Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 1: Đại cương về đồ thị

Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 1: Đại cương về đồ thị trình bày định nghĩa đồ thị, các mô hình đồ thị, một số thuật ngữ cơ bản của đồ thị, một số đơn đồ thị đặc biệt, khái niệm Đường đi – Chu trình – Sự liên thông. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài 1

Đại cương về đồ thị

1.1 Định nghĩa đồ thị

Một số bài toán dẫn đến khái niệm

Một số bài toán dẫn đến khái niệm

đồ thị (tt)

 Bài toán 2: Một đoàn kiểm tra chất lượng các con đường Để tiết kiệm thời gian, đoàn kiểm tra muốn đi qua mỗi con đường đúng 1 lần Kiểm tra xem có cách đi như vậy không?

2 1

Đồ thị là gì?

 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị

5

a Đ n đ  th  vô h ơ ồ ị ướ ng b.    Không  ph i  đ n  ả ơ

đ   th   vô  h ồ ị ướ ng  do 

có các c p c nh n i  ặ ạ ố cùng m t c p đ nh ộ ặ ỉ

c.    Không  ph i  đ n  ả ơ

đ   th   vô  h ồ ị ướ ng  do 

có  c nh  n i  m t  ạ ố ộ

đ nh v i chính nó ỉ ớ

Định nghĩa đồ thị (tt)

Định nghĩa Một đa đồ thị vô hướng là một bộ G=<V,E>, trong đó:

 V là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.

 E là danh sách các cặp không có thứ tự gồm hai phần

tử khác nhau của V gọi là các cạnh

7

Định nghĩa đồ thị (tt)

VD:

Chú ý: Trong một số tài liệu có thể có nhập khái niệm

đa đồ thị và giả đồ thị, khi đó, chỉ có một tên gọi chung là đa đồ thị cho cả hai loại

a.  Đa  đ   th   vô  ồ ị

h ướ ng.  e1  và  e2  là  các c nh song song ạ

9

Định nghĩa đồ thị (tt)

Định nghĩa Một đa đồ thị có hướng là một bộ G=<V,E>, trong đó:

 V là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.

 E là danh sách các cặp không có thứ tự gồm hai phần

tử của V gọi là các cung

Chú ý:

 Các cung cùng nối giữa một cặp đỉnh được gọi là các

cung song song (parallel arcs).

 Nếu đồ thị có cung nối từ một đỉnh với chính nó (cung này được gọi là khuyên) thì đồ thị được gọi là giả đồ thị có hướng

Định nghĩa đồ thị (tt)

Ví dụ:

Chú ý: Đồ thị sau vẫn được coi là đơn đồ thị có hướng vì e1 và e2,

e3 và e4 không phải là 2 cung song song (do khác hướng).

New York

Chicago

Washington Detroit

Giả đồ thị vô hướng

San Francisco

Denver Los Angeles

New York

Chicago

Washington Detroit

Đơn đồ thị vô hướng

1.2 Các mô hình đồ thị

Đồ thị lấn tổ (niche overlap graph)

 Mỗi đỉnh biểu diễn một loài

cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn

Chim cú Đại bàng

Gấu trúc

Thú

Sóc

Chuột Chuột

chù

Chim gõ kiến

Đồ thị ảnh hưởng (influence graph)

 Mỗi cung biểu diễn cho sự ảnh hưởng của người này lên người kia

15

Linda Brian

Thi đấu vòng tròn (Round Robin)

 Mỗi đỉnh biểu diễn cho một đội

 Cung (a,b) biểu diễn cho trận đấu giữa hai đội a và b với kết quả đội a thắng đội b

Brazil Italy

England Holland

Đồ thị xác định ưu tiên (precedence graph)

 Mỗi đỉnh thể hiện một công việc

 Cung (a,b) thể hiện việc a phải được thực hiện trước việc b

1.3 Một số thuật ngữ cơ

bản của đồ thị

Những thuật ngữ cơ sở

 Xét đồ thị vô hướng G = <V, E>

 Hai đỉnh u, v được gọi là hai đỉnh kề nhau

 Cạnh e được gọi là cạnh liên thuộc với đỉnh u và đỉnh v

 Đỉnh u, đỉnh v được gọi là đỉnh đầu của cạnh e

Những thuật ngữ cơ sở (tt)

 Xét đồ thị có hướng G = <V, E>

 Đỉnh v được gọi là đỉnh kề của đỉnh u

 Cung e được gọi là cung đi ra khỏi đỉnh u và là cung đi vào đỉnh v

 Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu của cung e, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cạnh e

là số cung đi ra khỏi nó.

là số cung đi vào nó.

Những thuật ngữ cơ sở (tt)

 Đỉnh có bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập

 Đỉnh có bậc 1 được gọi là đỉnh treo

 Định lý Xét đồ thị vô hướng G = <V, E> Khi đó, tổng

bậc của tất cả các đỉnh của đồ thị sẽ bằng hai lần số cạnh của nó

21

deg( ) 2 | |

v V

v = E

Những thuật ngữ cơ sở (tt)

 Định lý Xét đồ thị có hướng G = <V, E> Khi đó,

tổng bán bậc ra của tất cả các đỉnh sẽ bằng tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng số cung của đồ thị

deg ( ) deg ( ) | |

Đồ thị con

 Định nghĩa Xét đồ thị G = <V, E> Đồ thị H = <W, F>

là một đồ thị con của G nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của H cũng là đỉnh của G và mọi cạnh/cung của H cũng là cạnh/cung của G (W V, F E)

VD:

23

3

2 1

5 4

5 4

Đồ thị con của G

3 2

1

5 4

Đồ thị con của G

3 2

1

5 4

Không là đồ thị con của G

Đồ thị con (tt)

hay đồ thị khung (spanning subgraph) của G

 Định nghĩa Hợp 2 đồ thị: Hợp của 2 đồ thị G1=(V1,

E1) và G2=(V2, E2) là đồ thị G=(V, E) với:

 V = V1 V2

 E = E1 E2

1.4 Một số đơn đồ thị

đặc biệt

Đồ thị Bù

 Ví dụ: Tìm đồ thị bù của các đồ thị sau:

G 3

( F V

G c

1.4 Khái niệm Đường đi

– Chu trình – Sự liên

thông

Đường đi

Định nghĩa Xét đồ thị G = <V, E> Một đường đi độ

dài n từ u tới v, n là một số nguyên dương, trong một

đồ thị là một dãy:

u = x0 x1 x2 … xn = v sao cho i {0,…,n-1}, (xi, xi+1) E

Chu trình

Định nghĩa Xét đồ thị G = <V, E> Một chu trình độ dài

n (n là một số nguyên dương) là một đường đi có độ dài n với đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau

Đường đi – Chu trình

 Một đường đi (chu trình) được gọi là đường đi sơ

Sự liên thông

Định nghĩa Xét đồ thị vô hướng G = <V, E> G được

gọi là đồ thị liên thông nếu luôn tồn tại đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của G

VD:

Sự liên thông (tt)

 Định nghĩa Xét đồ thị vô hướng, liên thông G = <V, E>

nó (cùng với các cạnh liên thuộc) ra khỏi đồ thị sẽ làm đồ thị mất tính liên thông.

khỏi đồ thị sẽ làm đồ thị mất tính liên thông

VD:

Đỉnh cắt: e, x, y Cạnh cắt: (e,x), (y,w)

Sự liên thông (tt)

Định nghĩa Xét đồ thị có hướng G = <V, E>

đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của G.

tương ứng với nó (biến các cung 1 chiều thành cạnh 2 chiều) là đồ thị liên thông.

VD:

Đồ thị có hướng không liên

thông mạnh (nhưng là liên

thông yếu)

Đồ thị có hướng không liên thông yếu (hiển nhiên không

liên thông mạnh)

Đồ thị có hướng liên thông

mạnh (hiển nhiên cũng là liên

thông yếu)