Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

Bài viết khảo sát mối liên hệ giữa các hàm hữu ích, các hàm trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ và các hàm distortion dùng trong rủi ro sử dụng tích phân Choquet.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 8 (33) - Tháng 10/2015

Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

Classes of distortion functions corresponding attitudes toward risk

of decision – makers

1

TS Phạm Hồng Uyên, 2 ThS Lý Sel, 3 ThS Lê Thanh Hoa

1 Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM

2 Trường Đại học Tơn Đức Thắng

3 Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM

1

Ph.D Pham Hoang Uyen, 2 M.Sc Ly Sel, 3 M.Sc Le Thanh Hoa

1

University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City

2 Ton Duc Thang University

3

University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City

Tĩm tắt

Lý thuyết quyết định được tiếp cận dựa trên các hàm hữu ích hoặc sử dụng các độ đo rủi ro Trong bài báo này, chúng tơi khảo sát mối liên hệ giữa các hàm hữu ích, các hàm trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ và các hàm distortion dùng trong rủi ro sử dụng tích phân Choquet Từ đĩ, nghiên cứu các thái độ của những người ra quyết định đối với rủi ro như trung tính với rủi ro, lo ngại rủi ro hay thích rủi ro khi

họ sử dụng tương ứng các lớp hàm distortion cụ thể

Từ khĩa: lý thuyết quyết định, hàm hữu ích, hàm trọng, hàm distortion, độ đo rủi ro phổ, độ đo rủi ro

distortion, thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định…

Abstract

Decision theory is mainly based on utility functions which could be seen via risk measures In this paper, we concern about relationship between utility functions and weighted functions of spectral risk measures as well as distortion functions in terms of Choquet integrals The paper proposes a theorem which can be used to determine a distortion function whether or not it characterizes attitudes toward risks of a decision-maker such as risk adverse, risk seeking and risk neutral In addition, a new class of distortion, named dual-gamma distortion is defined and some properties are examined

Keywords: decision theory, utility function, weighted function, distortion function, spectral risk

measure, distortion risk measure, risk aversion…

1 Giới thiệu

Giả sử trong một đầu tư, ta cĩ hai

phương án để lựa chọn Chẳng hạn, đối với

phương án thứ nhất thì số tiền lợi nhuận

(hay thua lỗ) là một biến ngẫu nhiên X1,

tương tự đối với phương án thứ hai là biến

ngẫu nhiên X 2 Vấn đề đặt ra, người ra

quyết định sẽ chọn phương án nào? Thực

tế, điều đĩ cịn phụ thuộc vào thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định, tức là người đĩ thích mạo hiểm, lo ngại hay là trung tính với các rủi ro của từng phương

án đang xét Do đĩ, người ta xây dựng lý thuyết hàm hữu ích cũng như lý thuyết các

độ đo rủi ro và ứng dụng trong quyết định

các vấn đề kinh tế-xã hội

Năm 2006 trong [2], K Dowd, J Cotter,

G Sorwar đã nghiên cứu mối liên hệ giữa

thái độ chấp nhận rủi ro (thông qua hàm hữu

ích) và độ đo rủi ro phổ (thông qua hàm

trọng) Tuy nhiên, mối liên hệ chỉ là một phía

từ hàm hữu ích qua hàm trọng và chỉ dựa

trên hai lớp hàm mũ và hàm lũy thừa

Năm 2010 trong [5], S Sriboonchitata,

Hung T Nguyen và K Kreinovich đã đưa

ra mối liên hệ hai phía giữa hàm trọng và

hàm hữu ích một cách tổng quát hơn bằng

bài toán tương tự trong Thống kê robust về

sự tương ứng giữa ước lượng M và ước

lượng L Tuy nhiên, các kết quả vẫn còn

nhiều hạn chế và chưa khảo sát vấn đề thái

độ chấp nhận rủi ro

Như vậy, chúng ta có một số quan hệ sau:

i) Mối liên hệ giữa M-estimates và

L-estimates

ii) Mối liên hệ giữa M-estimates và

hàm hữu ích (utilities)

iii) Mối liên hệ giữa L-estimates và độ

đo rủi ro phổ (spectral risk measures)

iv) Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và

hàm trọng (weighting functions) Từ đó, ta

có thể thiết lập mối liên hệ giữa hàm hữu

ích và độ đo rủi ro phổ

v) Mối liên hệ giữa hàm trọng và

hàm distortion

vi) Mối liên hệ giữa hữu ích và hàm

distortion

Tiếp nối các kết quả đã có, chúng tôi

tập trung tìm mối liên hệ giữa hàm hữu ích

và hàm distortion Từ đó, chúng tôi đi sâu

phân tích thái độ chấp nhận rủi ro ứng với

lớp các hàm distortion cụ thể

Về cấu trúc, nội dung bài báo gồm 6

phần Mục 1 giới thiệu về nguồn gốc bài

toán, các kết quả cũng như các vấn đề còn

hạn chế Mục 2 nhắc lại lý thuyết quyết

định truyền thống tiếp cận theo hàm hữu

ích và mục 3 là tiếp cận dựa trên các độ đo

rủi ro Về vấn đề xây dựng mối liên hệ giữa các hàm hữu ích và hàm trọng được trình bày trong mục 4 Đối với mục 5 là các kết quả chính của bài báo về thiết lập quan hệ và khảo sát các tính chất giữa hàm hữu ích và hàm distortion Cuối cùng trong mục 6, chúng tôi ứng dụng các kết quả ở mục 5 để phân tích thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

2 Lý thuyết quyết định dựa trên

kỳ vọng hữu ích

Chúng ta hãy bắt đầu với câu hỏi "Tại

sao mỗi người ra quyết định hành động theo nhiều kiểu khác nhau khi đối mặt với cùng một tình huống rủi ro?" Rõ ràng, đây

là một câu hỏi quan trọng vì người ra quyết định thường có thái độ chấp nhận rủi ro riêng theo cá nhân của họ

Ở đây, mục tiêu là mô hình hóa và tiên đoán hành vi của người ra quyết định Hơn nữa, chúng ta cung cấp các công cụ để giúp

họ làm sao ra các quyết định hợp lý

Thông thường, hướng tiếp cận truyền thống là sử dụng hàm hữu ích Cụ thể hơn, quyết định dựa trên kỳ vọng hữu ích đạt được

Giả sử X và Y là số tiền lợi nhuận (hay

thua lỗ) trong một dự án đầu tư nào đó nhưng theo hai phương án khác nhau

Trong từng trường hợp, giả sử X có thể

nhận các giá trị x i i, 0,1, ,n với các xác suất tương ứng làp i i, 0,1, ,n Tương tự,

Y có thể nhận các giá trị y i i, 0,1, ,n với các xác suất tương ứng là q i i, 0,1, ,n

Với mỗi giá trị nhận được của X và Y,

người đầu tư có thể gán cho chúng một hữu ích bằng một hàm hữu ích chọn trước Chẳng hạn, ta gọi là hàm u x  Khi đó,

nếu X nhận giá trị x i thì hữu ích đạt được là

 i

u x (tương tự cho Y) và như thế kỳ vọng

hữu ích xác định theo lý thuyết xác suất và thống kê là

         

0

0

;

n

i n

i









Khi đó, người đầu tư sẽ chọn phương

án thứ nhất nếu E u X  E u Y   và ngược

lại Vấn đề ở đây có thể hỏi là tại sao người

đầu tư không sử dụng trực tiếp kỳ vọng của

X và Y rồi ra quyết định chọn lựa Câu trả

lời có thể có nhiều lý do sẽ đề cập sau và

một trong những lý do chính mà lý thuyết

hữu ích giải thích là người ra quyết định

phản ứng khác nhau khi đứng trước các

tình huống có rủi ro Do đó, hàm hữu ích là

một công cụ có thể mô hình hóa các thái độ

đó của họ

Nhắc lại, các thái độ chấp nhận rủi ro

của người ra quyết được phân loại theo

Pratt và các cộng sự (1964) và Arrow và

các cộng sự (1974) như sau:

(i) Trung tính với rủi ro (Risk neutral):

Tức là khi một người đứng trước hai tình

huống có rủi ro khác nhau và có cùng kỳ

vọngE X E Y , nhưng thái độ của họ

lại cảm thấy thờ ơ, không có gì khác nhau

(ii) Lo ngại rủi ro (Risk adverse): Nếu

một người đứng trước hai tình huống có rủi

ro khác nhau, có cùng kỳ vọng

   

E X E Y , thì họ sẽ lựa chọn phương

án có rủi ro thấp hơn

(ii) Thích rủi ro (Risk seeking): ngược

lại, nếu một người đối mặt với hai tình

huống có rủi ro khác nhau, có cùng kỳ

vọngE X E Y , thì họ sẽ ưu tiên lựa

chọn phương án có rủi ro cao hơn

Ví dụ: Nếu bạn được hỏi chọn lựa lấy

100 ngàn một cách chắc chắn hay chơi một

trò chơi: "Tung một đồng xu đồng chất, nếu

mặt ngửa xuất hiện bạn sẽ có 200 ngàn;

còn nếu mặt sấp xảy ra thì bạn không nhận được gì cả" Rõ ràng, kỳ vọng nhận được

tiền trong trò chơi cũng là 100 ngàn vì

200 0 100

2 2  Khi đó, nếu bạn trả lời

"Tôi không quan tâm, lựa chọn nào cũng

như nhau" thì bạn là người trung tính với

rủi ro; còn nếu bạn quyết định lấy 100 ngàn chochắc thì bạn thuộc nhóm người lo ngại rủi ro Nhưng nếu bạn quyết định chọn tham gia trò chơi để có cơ hội lấy được 200 ngàn thì bạn chính là người thích rủi ro

Mô hình hóa các thái độ chấp nhận rủi

ro trên có thể dựa trên các hàm hữu ích Trước hết, định nghĩa về chúng như sau:

 Định nghĩa 2.1 (Hàm hữu ích) Một

hàm số 𝑢: 𝑅 → 𝑅 được gọi là một hàm hữu

ích nếu nó là một hàm không giảm

Tính chất không giảm của hàm hữu ích

là điều cần thiết vì nếu giả sử X chỉ nhận

hai giá trị x x với xác suất đều bằng 0.5 1, 2

và giả sử x1x2thì hiển nhiên các hữu ích cũng phải thỏa mãn u x 1 u x 2 Điều

đó có nghĩa là giá trị nào lớn hơn thì sẽ có hữu ích nhiều hơn và sẽ được thích hơn

1 2

1 2

max , 2

x x

x x

lựa chọn trung bình 1 2

2

x x

với khả năng

chắc chắn, thay vì chọn x hoặc 1 x với khả 2

năng 50% thì người đó là lo ngại rủi ro Nếu xét theo hữu ích thì họ cho rằng

   

nếu mô hình theo hàm hữu ích thì lo ngại

rủi ro được định nghĩa như sau:

 Định nghĩa 2.2 (Lo ngại rủi ro)

Người ra quyết định được gọi là lo ngại rủi

ro nếu như hàm hữu ích (không giảm) u(x)

của họ thỏa mãn

    , 2.1 

u E X E u X 

trong đó, X là một biến ngẫu nhiên không

suy biến, tức thỏa E X  

Tương tự, chúng ta xét thái độ thích

rủi ro được mô tả theo hàm hữu ích như

sau:

 Định nghĩa 2.3 (Thích rủi ro)

Người ra quyết định được gọi là thích rủi

ro nếu như hàm hữu ích (không giảm) u(x)

của họ thỏa mãn

    , 2.2 

u E X E u X 

trong đó, X là một biến ngẫu nhiên không

suy biến, tức thỏa E X  

Dễ thấy rằng, các bất đẳng thức (2.1)

và (2.2) có thể diễn đạt lại bằng tính chất

giải tích của hàm hữu ích như sau

 Định lý 2.1 (Lo ngại rủi ro) Người ra

quyết định là người lo ngại rủi ro khi và

chỉ khi hàm hữu ích (không giảm) u(x) của

họ là một hàm lõm

Chứng minh định lý dựa vào bất đẳng

thức Jensen và độc giả có tham khảo thêm

trong [4] Hơn nữa, nếu giả sử các hàm hữu

ích u khả vi đến cấp hai thì tính lõm thể

hiện bằng đạo hàm cấp hai thỏa mãn

  0,

u x  x Chẳng hạn, xét u x ln x

 Định lý 2.2 (Thích rủi ro) Người ra

quyết định là người thích rủi ro khi và chỉ

khi hàm hữu ích (không giảm) u(x) của họ

là một hàm lồi

Tương tự, nếu giả sử các hàm hữu ích

u khả vi đến cấp hai thì tính lồi thể hiện

bằng đạo hàm cấp hai thỏa mãn

  0,

u x  x Ví dụ xét   2

u x x

Ngược lại với lo ngại và thích rủi ro là thái độ trung tính với rủi ro Trường hợp này có thể đặc trưng bằng

   

u E X E u X 

Chằng hạn, xét u x x (hàm tuyến tính)

Thêm nữa, để đặc trưng cho mức độ sự

lo ngại rủi ro, các tác giả Pratt (1964) và

Arrow (1974) cũng đã đưa ra hệ số lo ngại

rủi ro tuyệt đối (coefficients of absolute risk adversion) như sau

  u    x 2.3 

r x

u x



 



 Nếu r(x) > 0 thì u(x) đặc trưng cho lo

ngại rủi ro

 Nếu r(x) < 0 thì u(x) đặc trưng cho

thích rủi ro

 Nếu r(x) = 0 thì u(x) đặc trưng cho

trung tính rủi ro

3 Lý thuyết quyết định dựa trên các

độ đo rủi ro

Một cách khác để đưa ra quyết định là tiếp cận theo độ đo rủi ro Ở đây, chúng ta

xét X và Y là các biến ngẫu nhiên không

âm thể hiện số tiền tổn thất hay thua lỗ

(loss variable) tương ứng với hai phương

án đầu tư khác nhau Khi đó, nếu độ đo rủi

ro  X  Y , thì phương án đầu tư thứ nhất sẽ được thích hơn và được chọn Một trong những độ đo rủi ro thường dùng

là VaR (Value at Risk) và TVaR (Tail

Value at Risk) Chúng được nghĩa như sau

 Định nghĩa 3.1 (VaR) VaR của một

danh mục đầu tư ở mức xác suất  tại thời điểm t được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất của x sao cho xác suất để tổn thất X t 

lớn hơn x , lớn nhất bằng  Tức là”

𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋(𝑡)) = inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) > 𝑥)

≤ 𝛼}

= inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) ≤ 𝑥)

≥ 1 − 𝛼} (3.1)

 Ví dụ 3.1: Xét một danh mục đầu

tư cổ phiếu có VaR 5% là 1 triệu đôla mỗi

tháng Điều đó có nghĩa là danh mục đầu

tư có khả năng bị tổn thất từ 1 triệu đôla trở

lên mỗi tháng với xác suất không quá 5%

Tuy VaR là chuẩn mực trong đo lường

và giám sát rủi ro thị trường nhưng nó vẫn

có những hạn chế nhất định Một trong

những khuyết điểm là độ đo rủi ro VaR

không có tính chất rất cần thiết trong khoa

học về đầu tư, đó là sự đa dạng trong đầu

tư, có nghĩa là người ta muốn đầu tư vào

nhiều danh mục nhưng rủi ro của tổng thể

các danh mục phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng

các rủi ro thành phần Về mặt toán học, tính

chất này được gọi là bán cộng tính, tức là:

X Y  X  Y

Tiếp theo, độ đo rủi ro TVaR (Tail

Value at Risk) hay TCE (Tail Conditional

Expectation) cùng dạng với VaR nhưng

khắc phục được các hạn chế Nếu độ đo rủi

ro VaR được tính nhằm trả lời câu hỏi:

“Tổn thất nhỏ nhất phải chịu trong trường

hợp xấu nhất của đầu tư danh mục là bao

nhiêu?” thì độ đo rủi ro TVaR được tính

nhằm trả lời câu hỏi: “Tổn thất trung bình

phải chịu trong trường hợp xấu nhất của

đầu tư danh mục là bao nhiêu?”

Về mặt toán học tài chính, sau khi đã

tính VaR của danh mục, chúng ta quan tâm

tới những trường hợp tổn thất thực tế của

danh mục vượt ngưỡng VaR, kỳ vọng của

các tổn thất này gọi là TVaR

 Định nghĩa 3.2 (TVaR)

Giả sử biến ngẫu nhiên X t  là tổn

thất của các danh mục đầu tư và cho sẵn

mức xác suất  0;1 TVaR được định nghĩa như sau:

𝑇𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋(𝑡)) = 𝐸(𝑋(𝑡)|𝑋(𝑡)

> 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋(𝑡))) (3.2)

Một độ đo rủi ro thứ ba là độ đo rủi ro

phổ (spectral risk measure)

 Định nghĩa 3.3 (Độ đo rủi ro phổ)

Giả sử X là một tổn thất không âm

và có hàm phân phối là F X Khi đó, độ đo rủi ro phổ của X được xác định như sau:

0



trong đó, 1

X

F là hàm phân vị

(quantile) của X và

 p

 là một hàm trọng (weighting

function) thỏa mãn ba tính chất sau:

i) Không âm:   p 0

ii) Chuẩn hóa: 1  

0

1.

p dp



ii) Không giảm:  p 0

Chúng ta biết rằng, kỳ vọng của X có

thể tính bằng

0









Như vậy, độ đo rủi ro phổ thực chất là

kỳ vọng có trọng số của X Ở đây, hàm

trọng   p là do người ra quyết định tự

chọn lựa khi họ cần định lượng tổn thất X

Do đó, hàm trọng cũng thể hiện thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

Vì vậy, rõ ràng là hàm trọng có mối liên hệ với hàm hữu ích Ở mục 4, chúng ta sẽ nói

về quan hệ này

Ngoài ra, độ đo VaR hay TVaR đều

có thể biểu diễn qua độ đo rủi ro phổ Chính xác là:

   

1

1 1

; 1

1

X

X



















 

Hiện nay, người ta xây dựng khá nhiều

độ đo rủi ro Tuy nhiên, để  X nào đó

là một độ đo rủi ro thì chúng cần phải thỏa

mãn một số tính chất cần thiết sau đây và

khi đó  X còn được gọi là độ đo rủi ro

coherent (coherent risk measure):

 Định nghĩa 3.4 (Độ đo rủi ro

coherent)

Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên

tổn thất Khi đó,  được gọi là độ đo rủi

ro coherent nếu nó thỏa mãn các tiên đề

sau:

i) Tính đơn điệu: Nếu X  Y thì

 X  Y

ii) Tính thuần nhất: Với a > 0 thì

 aX a  X

iii) Tính bất biến dịch chuyển: Với c

𝑅, thì Xc X c.

iv) Tính bán cộng tính:

X Y  X  Y

Các tính chất (i), (ii), (iii) và (iv) có ý

nghĩa như sau:

(i) Xét các biến ngẫu nhiên tổn thất,

biến nhỏ hơn sẽ có rủi ro nhỏ hơn

(ii) Rủi ro của tổn thất tài chính sẽ tỷ lệ

với kích cỡ của rủi ro Nghĩa là, danh mục có

quy mô càng lớn thì rủi ro càng cao

(iii) Nếu bổ sung thêm các tài sản phi

rủi ro giá trị c thì mức độ rủi ro giảm đi là

c, tức là   X  X  c c

(iv) Khi kết hợp nhiều danh mục đầu

tư trong một phương án đầu tư thì rủi ro

phải nhỏ hơn so với việc đầu tư riêng lẻ

từng danh mục

Người ta đã kiểm tra được rằng TVaR

là coherent, còn VaR thì không coherent

Một đại lượng đặc trưng thống kê nữa cũng

thỏa mãn các tính chất coherent là kỳ vọng

E(X) Tuy nhiên, kỳ vọng không sử dụng

như là độ đo rủi ro vì kỳ vọng là "khách

quan", trong khi việc đưa ra quyết định phụ

thuộc vào chủ quan của người ra quyết định Do đó, thay vì đi tính kỳ vọng dưới

dạng, (chú ý X  0)

người ta sử dụng phép biến đổi g sau đây

để định lượng rủi ro X:

0

1 , 3.4



 

trong đó, g: 0;1    0;1 , là một hàm không giảm và thỏa mãn 𝑔(0) = 0,

𝑔(1) = 1 được gọi là một hàm biến dạng (distortion function) và M g (X) xác định một

độ đo rủi ro distortion Để M g thỏa mãn

tính chất coherent thì nó còn phụ thuộc vào

tính chất của hàm distortion g

 Định lý 3.1 Độ đo rủi ro distortion

M g cho bởi (3.4) là coherent khi và chỉ khi

g là một hàm lõm

Ngoài ra, VaR và TVaR cũng có thể

được biểu diễn qua độ đo rủi ro distortion

Cụ thể,

0



 

với    ;1  

0, 0 1

1, 1

t

t





 





0



 

với g t min 1, t



Rõ ràng, hàm distortion có chứa đựng các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định Đây là vấn đề chính của bài

báo và sẽ được khảo sát ở mục 6

Một lớp độ đo rủi ro tổng quát đó là

tích phân Choquet được định nghĩa

trong đó,  là hàm khả năng (capacity

function) xác định trên trường  của các sự

kiện sơ cấp, tức là :  0;1 sao cho

  0,   1,

      và đơn điệu tăng:

nếu A B thì ta có   A   B

Dễ thấy rằng, nếu ta chọn   g P

thì rõ ràng tích phân Choquet biểu diễn

cho độ đo rủi ro distortion Hơn nữa, nếu

hàm g trùng với hàm distortion của VaR và

TVaR thì VaR và TVaR cũng là một tích

phân Choquet Tổng quát, độ đo rủi ro phổ,

độ đo rủi ro distortion và tích phân

Choquet có mối liên hệ sau:

 Định lý 3.2 Giả sử R X là một độ đo

rủi ro phổ được cho ở (3.3) Khi đó, ta có:

trong đó, hàm capacity   g P ,với g là

hàm distortion có dạng

  1  

0

g p    s ds

4 Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và

hàm trọng

Qua các mục 2 và mục 3, chúng ta

thấy rằng các hàm hữu ích cũng như hàm

trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ đều

có thể đặc trưng cho thái độ chấp nhận rủi

ro của người ra quyết định Vì vậy, chúng

có mối liên hệ với nhau và bài toán được

giải quyết thông qua thống kê robust Cụ

thể, để tìm hàm trọng từ hàm hữu ích hoặc

ngược lại, trong [5] các tác giả đã thực hiện

tính toán như sau

4.1 Từ hàm hữu ích tìm hàm trọng

 Bước 1: Tìm một hàm bổ trợ f(x)

0

exp x , 4.1

c

với c0 là một hằng số được chọn thích hợp

 Bước 2: Ta tìm hàm F(x) thỏa

   

x



 

 Bước 3: Tìm một hàm M(p) theo

công thức

 

   1  

4.2







 Bước 4: Chúng ta tính hằng số

chuẩn hóa I bằng tích phân

1

def

và ta được hàm trọng có dạng

 p M p  4.4 

I

Khi đó, độ đo rủi ro phổ được xác định theo sau

với F X (x) là hàm phân phối xác suất của X

4.2 Từ hàm trọng tìm hàm hữu ích

Nếu biết hàm trọng  p , ta có thể

tìm hàm hữu ích u(x) bằng cách sử dụng

liên hệ

 

M F x u x và I.  p M p 

 Bước 1: Tìm hàm F(x) và giá trị

chuẩn hóa I bằng cách giải phương trình sau:

(3.5)

(4.5)

 

     

 

4.6

F x

F x









 



  

 Bước 2: Tìm hàm f(x) bằng đạo hàm

của F(x) f x F x 

 Bước 3: Cuối cùng ta được hàm hữu

ích u x   f x     4.7  

f x



 

5 Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và

hàm distortion

5.1 Tìm hàm distortion thông qua

hàm hữu ích

Theo định lý 3.2 thì ta có mối quan hệ

giữa hàm trọng và hàm distortion như sau:

0

hay

  p g  1 p  5.1  

Do đó, chúng ta hoàn toàn có thể xác

định mối liên hệ giữa hàm hữu ích và các

hàm distortion Đầu tiên, ta có một mệnh

đề sau:

 Mệnh đề 5.1 Giả sử u là một hàm hữu

ích không giảm Khi đó, u thỏa mãn đẳng

thức

         

2



với F'= f xác định bởi (4.1)

Chứng minh:

Vì u là hàm không giảm nên hàm u tồn

tại đạo hàm hầu khắp nơi Sử dụng (4.7) và

tích phân từng phần ta được

2

2

2 '

.

f x

f x

f x

f x

f x u x dF x

F x u x dF x













 Tìm hàm distortion qua hàm hữu ích được thực hiện thông qua một số bước biến đổi và sử dụng mệnh đề trên Thật vậy,

   

 

   

  1

1

0 1

1 0

1

1

1 1

1

p

p

g p s ds

u F s ds I

u x dF x I















 



 



 







trong đó,

x

t c

F x u s ds dt



Áp dụng (5.2) và đặt c = 1/I, ta có

thêm một biểu thức thứ hai xác định hàm distortion

 Nhận xét:

i) Từ (5.3), ta có đẳng thức

 

1 1

= 1 5.5

F p

u x dF x I g p

 





ii) Nếu hàm hữu ích u có đạo hàm tới cấp

hai thì khi đó bằng cách sử dụng tích phân từng phần cho (5.3), ta được một công thức thứ ba để tìm hàm distortion

(5.4)

(5.6)

Ta xét một số ví dụ

 Ví dụ 5.1: Cho hàm hữu ích

u(x) = x Tìm hàm distortion tương ứng?

Ta có,

   0 

2 1

1

2

t c

2

c



 thì F(x) là hàm phân phối

chuẩn tắc Do đó, ta tính được giá trị I = 1

Khi đó, sử dụng (5.3) và ta nhận được

hàm distortion tương ứng g(p) = p

 Ví dụ 5.2: Cho hàm hữu ích

  0, 2 0,

, 0,

khi x

u x x

khi x x











Tìm hàm distortion tương ứng?

Khi x > 0, ta viết lại u(x) như là một

trường hợp riêng của hàm hữu ích lũy thừa

  2

1,

u x

x

  

Nhắc lại, hàm hữu ích lũy thừa có

dạng

, 1 5.7 1

k x

U x







 



Ở đây, ta xét  = 2, k = 2 để nhận

được hàm u(x) trong Ví dụ 5.2 này

Khi đó, ta có

 

0

2

x

c

f x dt c x e c x e

t

Chọn c1 = 1/(3) = 1/2 thì f(x) chính là

hàm mật độ xác suất Gamma với tham số

hình dạng (shape) bằng 3 và tham số tỷ lệ

(scale) bằng 1 Vì thế, ta có:

        2 2

0

x

F x   x  t e dt   x  x e 

trong đó, (s) và , x) lần lượt là hàm

Gamma và Gamma không đầy đủ dưới

(lower incomplete gamma)

1 0 1 0

, 5.8

, 5.9

s t

x t

s t e dt

x t e dt

 



 

 







Do đó, F-1

(p) là phân vị của hàm phân

phối Gamma Cụ thể,

F p   p  p

Tiếp theo, giá trị I = 1 Sử dụng công thức (5.3), ta nhận được hàm distortion

exp 3, 2 5.10

g p   p 

Đồ thị của g(p) được cho ở dưới và ta thấy rằng g(p) là một hàm lồi, g"(p) > 0

Hình 1 Đồ thị hàm distortion g(p) =

exp(- -1

(3, 2p))

 Ví dụ 5.3: Cho hàm hữu ích u(x)

với các tham số k >1 và  > 0,

  0, 0,

khi x

u x k

khi x

x 









Tìm lớp hàm distortion tương ứng?

Ta xét Ví dụ 5.3 là mở rộng của Ví dụ 5.2

Ta có

   

0

1 1 1

x

c

k

t



Chọn

1

1

k

c

k

 



 

thì f(x) chính là hàm mật độ xác suất

Gamma với tham số hình dạng (shape)

bằng k+1 và tham số tỷ lệ (scale) bằng 1/

(còn  là tham số tốc độ (rate parameter))

Để thuận tiện, chúng ta ký hiệu hàm phân

phối xác suất Gamma với tham số hình

dạng  và tham số tỷ lệ  bằng (x; , )

0

1

; , 5.11

x t

 





Khi đó, ta có

; 1,



Do đó, F-1

(p) là phân vị của hàm phân phối Gamma với shape  = k+1 và scale 

= 1/

; 1,

F p   p k 

Chú ý rằng theo Ví dụ 5.2 thì F(x)

cũng có thể viết dưới dạng hàm Gamma

không đầy đủ dưới như sau:

  1   

1, 1

 

Tiếp theo, giá trị I được tính

 

2

1

I

k







Sử dụng công thức (5.3) và đặt  = 1/,

ta nhận được lớp hàm distortion tương ứng

trong đó, x; ,  là phân phối đuôi (tail) Gamma, x; ,   1 x; , 

Với trường hợp đặc biệt ở Ví dụ 5.2, k

= 2 và  = 1 thì

g p     p   p 

Hình 2 Đồ thị hàm distortion

Từ ví dụ 5.3 và biểu thức (5.12), chúng tôi đề nghị xây dựng thêm một lớp hàm distortion dạng Gamma Nhắc lại rằng trong [7], S.Wang cũng đã xây dựng một lớp hàm distortion dạng phân phối chuẩn như sau:

   1  

 Định nghĩa 5.1 (Hàm dual-gamma

distortion) Hàm dual-gamma distortion là

một hàm phụ thuộc vào 4 tham số dương

1, ,1 2, 2

    được định nghĩa như sau:

Hàm đối ngẫu của dual-gamma

distortion là một hàm phân phối gamma

Thật vậy,

1 1 2 2

1 1 ; , ; , , 0;1

G p  G    p   p     p

(5.12)

(5.13)