Bài báo trình bày kết quả đánh giá sai số giữa mô hình giải tích và mô hình (MH) số phần tử hữu hạn (PTHH) sử dụng hàm dáng tuyến tính một số bài toán chuẩn một chiều và các đánh giá sai số. Kết quả nổi bật cho thấy: 1) Với biên có nồng độ chất ô nhiễm-muối không đổi, khu vực càng gần biên độ sai số càng nhỏ (sai số tương đối không quá 0.05%-0,06%).
Trang 1ĐỘ SAI SỐ MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN LAN TRUYỀN MẶN
TRONG NƯỚC DƯỚI ĐẤT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU SỬ DỤNG
PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN
Nguyễn Văn Hoàng
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Nguyễn Thành Công
Viện Khoa học Thủy lợi Việt Nam
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả đánh giá sai số giữa mô hình giải tích và mô hình (MH) số phần
tử hữu hạn (PTHH) sử dụng hàm dáng tuyến tính một số bài toán chuẩn một chiều và các đánh giá sai số Kết quả nổi bật cho thấy: 1) Với biên có nồng độ chất ô nhiễm-muối không đổi, khu vực càng gần biên độ sai số càng nhỏ (sai số tương đối không quá 0.05%-0,06%) 2) Với ranh giới giữa NDĐ
bị ô nhiễm và không bị ô nhiễm, sai số của MH PTHH cao trong khoảng thời gian đầu của quá trình lan truyền, và giảm dần theo thời gian; 3) Sai số tuyệt đối và sai số tương đối của nồng độ theo MH PTHH không đồng bộ (sai số tuyệt đối lớn nhưng sai số tương đối lại nhỏ và ngược lại) có thể có mặt ở những miền có giá trị nồng độ lớn và thấp Từ kết quả nghiên cứu đã kiến nghị về việc lựa chọn biên mô hình hợp lý để giảm thiểu sai số trong mô phỏng đồng thời việc đánh giá độ sai số kết quả MH PTHH cần lưu ý việc sử dụng sai số tuyệt đối hay sai số tương đối (phụ thuộc vào yêu cầu thực tế của bài toán lan truyền chất rất độc hại nên sử dụng giá trị sai số tương đối, và những chất không độc hại như độ mặn thì nên dùng giá trị tuyệt đối )
Từ khóa: Nước dưới đất, lan truyền ô nhiễm, nhiễm mặn, mô hình, phần tử hữu hạn
Summary: The paper presents results obtained by analytical and finite element modeling (FEM) using
linear shape function of some one-dimensional problems and assessment of the errors It has been found that: (1) For the the boundary of constant concentration of pollutantor saline, the closer to the boundary, the smaller the error is: the relative error does not exceed 0.06% and decreases very small value, less than 0,05%; (2) For the boundary between the polluted and unpolluted groundwater, the error values are greater at the initial period of speeding process, and gradually decrease as time passes; (3) The absolute error and relative error are not of the same trend (i.e absolute error is great while relative error is less and vice versa) may be present at the areas having either high or low concentration From the study results some proposals for selection of proper boudaries to reduce error some recommedations of the evaluation FEM methods has been made: either absolute or relative FEM concentration errors should be well associated with the requirement of the actual problems (for heavily toxic substances, it should be used the relative error, and for the non-toxic substances such as salinity absolute error should be used)
Keywords: Groundwater, pollutanttransport, salinity transport, finite element model, linear element
1 MỞ ĐẦU *
Nghiên cứu lan truyền mặn trong nước dưới
đất là một lĩnh vực rất quan trọng đối với nước
ta do đường bờ biển dài và nguy cơ xâm nhập
mặn nước dưới đất từ nước biển rất cao Ở
Ngày nhận bài: 24/02/2016
Ngày thông qua phản biện: 25/3/2016
Ngày duyệt đăng: 20/4/2016
trong nước, các nghiên cứu nhiễm mặn còn tương đối mới mẻ, hạn chế và thông thường trong các báo cáo đánh giá tài nguyên nước dưới đất chủ yếu nêu lên biên giới phân chia vùng có nước mặn với độ tổng khoáng hóa bằng 1g/l và đề xuất rằng cần lưu ý đến khả năng nhiễm mặn vào các công trình khai thác tại các khu vực này, nhưcác tác giả Đặng Hữu
Ơn (1996, 1997), Nguyễn Trường Giang và
Trang 2nnk (1998), N guyễn Văn Đản và nnk (1998),
Ngô Ngọc Cát và Đoàn Văn Cánh (1998), N gô
Ngọc Cát và nnk (1998), Hồ Vương Bính và
nnk (1996) M ột số tác giả có sử dụng mô hình
số trong đánh giá nhiễm mặn như Phạm Quý
Nhân (2000), Ngô Đức Chân và Trương Thanh
Cường (2005), Bùi Trần Vượng (2008), Phan
Chu Nam (2010) Nghiên cứu sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn trong mô phỏng
chuyển động của nước dưới đất, lan truyền các
chất ô nhiễm và nhiễm mặn có tác giả Nguyễn
Văn Hoàng qua một số công trình đã công bố
như mô hình chuyển động nước dưới đất và
xâm nhập mặn khu vực Nam Định (Vũ Đình
Hùng chủ nhiệm, 2000) trong đề tài "Nghiên
cứu nguyên nhân làm suy thoái chất lượng
nước dưới đất vùng duyên hải Nam Định, Hải
Phòng và giải pháp khắc phục", tổng quan
nghiên cứu nhiễm mặn đất-nước ven biển và
một kết quả nghiên cứu ban đầu về giải pháp
bổ cập nhân tạo nước dưới đất và chống xâm
nhập mặn bằng đê ngầm (N guyễn Văn Hoàng
và Nguyễn Thành Công, 2001), Groundwater
Artificial Recharge and Salinization
Prevention as a Drought-Fighting Measure in
Central Coastal Areas of Vietnam (Shaft
M eister and Nguyen Van Hoang, 2001),
Ground Water Abstraction Potential and Salt
Water Intrusion Issue in Da Nang Coastal
Area (Phạm Quý Nhân, Nguyễn Văn Hoàng,
2005), đánh giá tiềm năng nước dưới đất và
khả năng nhiễm mặn trong quá trình khai thác
trên đảo Vĩnh Thực-Quảng Ninh (N guyễn Văn
Hoàng và N gô Ngọc Cát, 2005), mô hình phần
tử hữu hạn đánh giá xâm nhập mặn công trình
khai thác nước dưới đất ven biển tỉnh Thái
Bình do nước biển dâng (N guyễn Văn Hoàng
và nnk, 2011)
Tuy nhiên, nghiên cứ đánh giá sai số tính toán
nồng độ các chất ô nhiễm hoặc muối theo kết
quả mô hình số chưa được phân tích đánh giá
cụ thể Trong chương trình nghiên cứu cơ bản
định hướng ứng dụng, đề tài nghiên cứu mang
mã số ĐT.NCCB-ĐHUD.2012-G/04 được tài
trợ bởi Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia-NAFOSTED thực hiện xây dựng phần mềm mô hình phần tử hữu hạn chuyển động nước dưới đất và lan truyền các chất ô nhiễm cũng như nhiễm mặn Bài viết trình bày kết quả nghiên đánh giá sự đúng đắn và xác định độ chính xác của phần mềm chương trình được xây dựng thông qua việc so sánh các kết quả của mô hình số và kết quả lời giải tích chính xác của một số bài toán chuẩn lan truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn
2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN MỘT CHIỀU LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM NƯỚC DƯỚI ĐẤT
Bức tranh lan truyền các chất ô nhiễm trong nước dưới đất của một tầng chứa nước nhất định nào đó ngoài các yếu tố quyết định là trường vận tốc dòng nước dưới đất và các thông số lan truyền vật chất của tầng chứa nước, còn bị quyết định bởi kiểu điều kiện biên và giá trị biên Có hai kiểu điều kiện biên phổ biến đối với các nguồn ô nhiễm nước dưới đất là nguồn ô nhiễm tồn tại một khoảng thời gian nhất định nào đó và tồn tại mãi mãi Một
số bài toán chuẩn lan truyền các chất ô nhiễm
và nhiễm mặn với các điều kiện biên đặc trưng được mô tả như sau:
2.1 Nguồn ô nhiễm ở dạng dải trong một thời gian rất ngắn
Đây là trường hợp tầng chứa nước dưới đất có chiều dày và chiều rộng không thay đổi, và cho rằng nước dưới đất không chuyển động
Ở một ranh giới của tầng tồn tại một dải mà nước dưới đất tại đây có nồng độ chất ô
nhiễm hoặc muối trong nước là C0 Có thể có hai trường hợp là: 1) biên ô nhiễm hoặc mặn tiếp giáp với đất đá không thấm nước, và 2) biên ô nhiễm hoặc mặn tiếp giáp với nguồn nước mặt nhạt H ai trường hợp này được biểu diễn dưới dạng một chiều và có lời giải giả tích tương ứng như sau:
- Tại x=0 tiếp giáp đất đá không thấm, tức là ∂C/∂x=0, chiều dài đới ô nhiễm hoặc bị mặn là h (hình 1)
Trang 3Trong trường hợp này thì nồng độ tại một
điểm bất kỳ nào đó tính từ gốc tọa độ x vào
thời điểm t xác định theo công thức:
Dt
h x erf Dt
h x erf
C C
4 4
2
0
(1)
- Tại x=0 tiếp giáp với khối nước mặt có nồng
độ chất ô nhiễm hoặc muối C=0 (hình2)
x
ban ®Çu C0 ban ®Çu C=0
x
ban ®Çu C0 ban ®Çu C=0
Hình 1 Nguồn diện bị chặn phía biên Hình 2 Nguồn diện tiếp xúc nước nhạt phía biên
Trong trường hợp này thì nồng độ tại một
điểm bất kỳ nào đó tính từ gốc tọa độ x vào
thời điểm t xác định theo công thức:
Dt
h x erf Dt
h x erf Dt
x erf
C
C
4 4
4
2
2
0
(2) 2.2 Biên ô nhiễm mãi mãi:
Đây là trường hợp: tầng chứa nước dưới đất
có chiều dày và chiều rộng không thay đổi, và
nước dưới đất chuyển động dọc theo chiều dài
của tầng Ở một ranh giới của tầng nước dưới
đất tại đây có nồng độ chất ô nhiễm hoặc
muối trong nư ớc là C0 Điều kiện ban đầu là
nguồn ô nhiễm có nồng độ C0 tồn tại mãi mãi
từ thời gian ban đầu đến hết thời gian tính
toán, tức là có điều kiện ban đầu và điều kiện
biên như sau:
- Điều kiện ban đầu: t=0; C(x)=0; x=0
- Điều kiện biên: C(0,t)= C0 với t = 0 ;
C( ,t) = 0
Hình 3 Biên là ô nhiễm hoặc nhiễm mặn
Theo Jacob Bear (1987), sau một khoảng thời
gian khi mà dòng chảy từ x=0 đã xâm nhập
vào tương đối sâu ta có lời giải sau:
dy e
2 ) ( erfc
; R / Dt 2
t) R / V ( x
; R / Dt 2
t ) R / V ( x erfc 2
1 C
) t x ( C
2
y
III MÔ HÌNH PHÂN TỬ HỮU HẠN LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM HOẶC NHIỄM MẶN NƯỚC DƯỚI ĐẤT MỘT CHIỀU
Phương trình lan truyền chất ô nhiễm hoặc nhiễm mặn nước dưới đất một chiều có dạng như sau (Jacob Bear, 1987):
t
C R x
C V x
C D
2
2
(5)
ở đây: D: hệ số phân tán thủy động lực học
theo hướng x (L2/T), C: nồng độ vật chất
trong nước (M /L3), V: vận tốc dòng chảy nước
dưới đất theo hướng x (M/T), R: hệ số chậm
trễ; t: thời gian (T)
Phương trình (5) chỉ có lời giải duy nhất khi có đầy đủ các điều kiện ban đầu và điều kiện biên được mô tả như sau:
Điều kiện ban đầu là phân bố nồng độ của vật chất đang xem xét vào thời điểm ban đầu tùy ý
t=t0 tại mọi vị trí trong miền tính
Các điều kiện biên có thể là một hoặc đồng thời các dạng sau:
Biên có nồng độ đã biết: C=Cc trênc (7)
Trang 4 Biên có gradient nồng độ pháp tuyến với
đường biên đã biết: J c
c
C
J c (8)
Biên có dòng vật chất pháp tuyến với biên
đã biết: V (C q C) q c
c
C
D 0
q c (9)
ở đây: V0, C q tương ứng là vận tốc dòng chất
lỏng và nồng độ vật chất của chất lỏng này qua
biên
Như vậy để có thể giải được bài toán lan
truyền vật chất (kể cả lan truyền mặn không
tính đến ảnh hưởng của tỷ trọng nước mặn,
điều này hoàn toàn phù hợp với nồng độ muối
không cao) cần phải biết trường vận tốc
Trường vận tốc được xác định bằng mô hình
chuyển động nước dưới đất thông qua trường
mực nước
Phương pháp phần tử hữu hạn giải phương
trình (5) như sau (Zienkiewicz O C and
Morgan K., 1983) Lấy chiều dài miền mô hình
là L (x=0 đến L) Miền 0L chia ra M phần tử
và M+1 nút; sử dụng hàm dáng toàn cục N m
cho từng nút Khi đó có thể thiết lập công thức gần đúng:
1
x N t C M m
m m
0 x L (10) )
(t
C m là giá trị gần đúng nồng độ vào thời điểm t tại nút thứ m, và Nm(x) là hàm dáng
Các điều kiện biên tại x=0 và x=L có thể cho
bằng chính các giá trị tại các nút ở biên
Như vậy với tất cả C1,C2, ,C M1 là ẩn số chưa biết trong bước này Sử dụng công thức
số dư trọng số:
0 2
2
x
Φ D x
Φ V t
Φ R W
L
o
x
x
1 ., 3 , 2 ,
(11) Trong W là hàm trọng số và với thành phần
có chứa số dư trên biên R =0
Áp dụng định lý Green biến đổi được:
L L
x
x
x
x
x x x dx W x
W dx
x
W
0 0
0
2
2
Áp dụng cho: dx
x D W
L
x
x
2 2
L
x
x
x x x dx DW x
W D
0
Thay vào (11) ta có:
0 )
(
0 0
x
x
x x x dx DW x
W D x V W
t
R
Thay (13) vào (10) ta có:
1
1
M
m
L
x
x
x
x
x
m m m
m m
dx
d DW dx
dt
dC N RW dx
t C dx
dN dx
dW D dx
dN VW
0
) ( } {
Sử dụng phương pháp Galerkin (W ℓ =N) Viết (14) dưới dạng ma trận:
KC +E
dt
dC
F (15) Trong đó: K =
1
1 0
M
m
x
x
m m
L
dx dx
dN dx
dN D dx
dN
E =
1
1 0
M
m
x
x
m
L
dx N
RN (17) F =
L
x
x
x
DN
0
(18) (1M 1)
Trang 5Sử dụng hàm dáng tuyến tính, với kí hiệu xx i đối với phần tử thứ e ta sẽ có:
e
e
j
j
h
N
N ;
e
e e i i
h
h N
i j
e x x (19)
Các hàm thử nghiệm toàn cục khác 0 đối với phần tử e chỉ là những hàm N i và N j Như vậy
Ntrong phần tử e nếu không bằng i hoặc j, tức là không thuộc phần tử e
Bởi vì: Km=
E e
e m
K
1
E
e
Cm m
1
ª
E
e
F
1
Có thể viết tổng quát cho phần tử e như sau:
e
h
j i j
i
e
ij
e
D V dx dx
dN dx
dN D dx
dN VN K
K
e
0
(21)
e
h
i j i
j
e
jj
e
D V dx dx
dN dx
dN D dx
dN VN K
K
e
0
(22)
3 0
e j
h
i
e
jj
e
ii
h dx N N
C
C
e
6 0
e j
h i
e ji
e ij
h dx N N C C
e
; (23)
0
1
x DN
F i i
;
1
x DN
F j M j
; e 0
i
F , e1& e 0
j
F , eM (24)
Khi có các thành phần của các ma trận phần tử
Ke và Fe được hoàn toàn xác định bằng cách
này, các ma trận K và F sẽ được hình thành
bằng phép cộng trực tiếp tất cả các phần tử
Yếu tố thời gian trong phương trình (15) được biến đổi như sau (Zienkiewicz O C and Morgan K., 1983):
t t
t
C K t
C
2
1 )
1
Để đảm bảo độ sai số của mô hình số cần tuân
thủ điều kiện sau (Peter S Huyakorn &
George F Pinder, 1987):
Số Peclet:
x
xx xx
x D
x Pe
2
x
t
Cr x x
4 ĐÁNH GIÁ SAI SỐ KẾT QUẢ MÔ HÌNH
PTHH SỬ DỤNG PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH
SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUẨN LAN
TRUYỀN CÁC CHẤT Ô NHIỄM
4.1 Nguồn ô nhiễm ở dạng dải trong một thời gian rất ngắn, nước dưới đất không chuyển động
Trường hợp là tại x=0 tiếp giáp với khối nước
nhạt, đều có các thông số sau:
- D=0,02m2/ngày; Miền mô hình dài 50m;
h=10m; Điều kiện ban đầu là C= C0=1g/l trên
đoạn x=0m10m, C=0 tại x=10m50m; Điều kiện biên: C=0 tại x=0m; Bước lưới trong mô
hình PTHH là 0,02m; Bước thời gian trong mô hình PTHH là 0,05 ngày
Trang 6Hình 4 Nồng độ theo mô hình PTHH: x=0
tiếp giáp đất đá không thấm
Hình 5 Nồng độ theo mô hình PTHH: x=0
tiếp giáp nước nhạt
Kết quả thể hiện trên hai hình 4 và 5 cho thấy
rằng phân bố nồng độ trong hai trường hợp
điều kiện biên tại x=0: 1) tiếp giáp với khối
nước nhạt, và 2) tiếp giáp với đất đá không
thấm ở khoảng cách x lớn hơn 5m là rất tương
tự nhau Vì vậy sẽ chỉ đánh giá độ sai số đối
với trường hợp điều kiện biên tại x=0 tiếp giáp
với khối nước nhạt vì qua kết quả cũng thể
hiện độ sai số đối với trường hợp điều kiện
biên tại x=0 tiếp giáp với đất đá không thấm
Nồng độ tính toán theo phương pháp giải tích
sẽ không thể hiện trong bài viết, mà chỉ thể hiện nồng độ tính toán theo phương pháp PTHH Theo hình 5 và 6 cho thấy phân bố
nồng độ ở dải x=6-14m có tính đối xứng qua
x=10 nên độ sai số ở hai dải x=6-10m và
x=10-14m là tương đương nhau (đúng như thể hiện trên hình 6) nên chỉ trình bày kết quả dưới
dạng bảng ở hai dải giá trị x=0-5m (bảng 1) và
x=8-14m (bảng 2)
Bảng 1 Nồng độ (g/l) theo MH PTHH trường hợp x=0 tiếp giáp nước nhạt ở dải x=0-5m
x (m) 10ngày 20ngày 30ngày 40ngày 50ngày 60ngày 70ngày 80ngày 90ngày 100ngày
0,00 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,50 0,57079 0,42391 0,35200 0,30744 0,27641 0,25321 0,23501 0,22022 0,20792 0,19747 1,00 0,88616 0,73652 0,63879 0,57092 0,52064 0,48155 0,45007 0,42399 0,40195 0,38302 1,50 0,98231 0,90652 0,82919 0,76444 0,71130 0,66726 0,63017 0,59843 0,57095 0,54686 2,00 0,99844 0,97468 0,93217 0,88625 0,84283 0,80346 0,76819 0,73661 0,70830 0,68279 2,50 0,99992 0,99482 0,97755 0,95195 0,92299 0,89354 0,86499 0,83788 0,81247 0,78874 3,00 1,00000 0,99921 0,99384 0,98232 0,96616 0,94728 0,92710 0,90654 0,88616 0,86627 3,50 1,00000 0,99991 0,99861 0,99436 0,98670 0,97617 0,96355 0,94955 0,93470 0,91940 4,00 1,00000 0,99999 0,99974 0,99844 0,99532 0,99015 0,98305 0,97432 0,96428 0,95324 4,50 1,00000 1,00000 0,99996 0,99962 0,99849 0,99615 0,99237 0,98712 0,98049 0,97267 5,00 1,00000 1,00000 0,99999 0,99989 0,99940 0,99815 0,99583 0,99229 0,98749 0,98150
Trang 7Bảng 2.Nồng độ (g/l) theo MH PTHH trường hợp x=0 tiếp giáp nước nhạt ở dải x=8-14m
x (m) 10ngày 20ngày 30ngày 40ngày 50ngày 60ngày 70ngày 80ngày 90ngày 100ngày
8,00 0,99926 0,98771 0,96679 0,94404 0,92246 0,90286 0,88527 0,86950 0,85534 0,84256 8,50 0,99154 0,95437 0,91603 0,88379 0,85726 0,83524 0,81668 0,80078 0,78701 0,77492 9,00 0,94490 0,87065 0,82180 0,78777 0,76251 0,74286 0,72702 0,71390 0,70280 0,69326 9,50 0,79001 0,71576 0,67927 0,65663 0,64085 0,62904 0,61978 0,61225 0,60598 0,60066 10,00 0,50630 0,50445 0,50363 0,50314 0,50281 0,50257 0,50237 0,50222 0,50210 0,50199 10,50 0,21922 0,29186 0,32728 0,34919 0,36444 0,37583 0,38477 0,39203 0,39807 0,40319 11,00 0,05872 0,13412 0,18300 0,21684 0,24187 0,26131 0,27695 0,28991 0,30085 0,31024 11,50 0,00922 0,04783 0,08683 0,11934 0,14595 0,16798 0,18651 0,20235 0,21606 0,22806 12,00 0,00082 0,01302 0,03460 0,05778 0,07962 0,09939 0,11707 0,13288 0,14705 0,15979 12,50 0,00004 0,00268 0,01149 0,02447 0,03909 0,05393 0,06828 0,08189 0,09463 0,10650 13,00 0,00000 0,00041 0,00316 0,00903 0,01722 0,02675 0,03692 0,04725 0,05747 0,06740 13,50 0,00000 0,00005 0,00072 0,00289 0,00678 0,01211 0,01846 0,02549 0,03288 0,04045 14,00 0,00000 0,00000 0,00013 0,00080 0,00238 0,00499 0,00853 0,01283 0,01771 0,02299
Hình 6 Sai số tuyệt đối giữa mô hình giải
tích và mô hình PTHH: x=0-5m
Hình 7 Sai số tương đối nồng độ theoMH
PTHH: x=0-5m
Hình 8 Sai số tuyệt đối nồng độ theo MH
PTHH: x=0-16m
Hình 9 Sai số tương đối nồng độ theo MH
PTHH: x=0-18m
Trang 8Kết quả cho thấy sai số tuyệt đối ở khoảng
x=1-5m là dải phân tán chất ô nhiễm bị chi
phối bởi điều kiện biên có nồng độ chất ô
nhiễm bằng 0 có giá trị sai số tuyệt đối trong
thời gian 1-10 ngày rất bé, dưới 0,0002 (khi
thời gian khoảng 10 ngày) tới không quá
0,00002 (khi thời gian tới 100 ngày) (hình 6),
tương ứng với độ sai số tương đối (giá trị tuyệt
đối của tỷ số giữa sai số tuyệt đối và nồng độ
tính theo phương pháp giải tích) là từ dưới
0,06% đến 0,005% (hình 7) Tuy nhiên, ở dải
x=6-14m giá trị sai số tuyệt đối lớn nhất tại vị
trí x=10m (là ranh giới ban đầu nước ô nhiễm
và không ô nhiễm) đạt tới khoảng trên 0,06g/l
(thời gian khoảng 10 ngày) và xuống khoảng
0,002 (thời gian khoảng 100 ngày); càng ra xa
điểm x=10m này giá trị sai số càng giảm (hình
8), tương ứng giá trị sai số tương đối lớn nhất
là 5,2% (thời gian khoảng 10 ngày) xuống
2,3% (thời gian khoảng 100 ngày) (hình 9)
Trong khoảng thời gian ban đầu, độ sai số lớn
hơn so với thời gian muộn hơn do độ chênh
lệch nồng độ rất lớn ở ranh giới ô nhiễm (có
nồng độ là 1g/l) và không ô nhiễm (có nồng độ
là 0) do giá trị phân tán vật lý nhỏ hơn rất nhiều
sai số trong mô hình số (Huyakorn Pinder,
1987) Theo thời gian, sự chênh lệch nồng độ
trên giảm dần do quá trình phân tán vật lý nên
sai số của mô hình số giảm đi Từ đây rút ra
mộtkinh nghiệm là trên thực tế các bài toán lan
truyền các chất ô nhiễm và nhiễm mặn, dải biến
đổi nồng độ ở khu vực lân cận ranh giới cần
được xác định, và đưa các giá trị này vào mô
hình số sẽ loại bỏ được điều kiện biên ranh giới
ô nhiễm đột ngột gây sai số lớn trong MH
PTHH, và có độ sai số sẽ nhỏ đi rất nhiều
4.2 Biên tiếp xúc ô nhiễm mãi mãi và nước
dưới đất có chuyển động:
Trường hợp biên tiếp giáp với nguồn ô nhiễm
có nồng độ không đổi mãi mãi có các thông số
như sau:
- D=1m2/ngày, V=1m/ngày; Miền mô hình dài
1000m; Điều kiện ban đầu là C=C0 tại x=0m,
C=0 tại x=>0m 1000m; Điều kiện biên: C=C0
tại x=0 và C=0 tại x=1000m; Bước lưới trong
mô hình PTHH là ∆x=0,5m; Bước thời gian trong mô hình PTHH là ∆t=0,1ngày;
Kích thước phần tử và bước thời gian được lựa chọn đáp ứng yêu cầu về độ chính xác cần thiết đối với các bài toán thực tế nêu trong các công thức (28) đến (30) nêu trên
Trong tính toán nồng độ C các chất ô nhiễm
thông thường nồng độ được so sánh với nồng
độ C0 tại biên hoặc nguồn ô nhiễm và sử dụng
tỷ số C/C0 gọi là nồng độ tương đối Trong bài toán chuẩn này sử dụng nồng độ tương đối
trong so sánh độ sai số
Kết quả phân bố nồng độ theo mô hình PTHH cho thấy ở các bước thời gian đầu độ sai số tương đối lớn thể hiện qua hình dáng của các đường cong nồng độ không được mượt (hình 10), đặc biệt đối với thời gian trước 8 ngày Tuy nhiên sau đó các đường cong phân bố nồng độ
đã mượt hơn, độ sai số đã nhỏ đi Vì vậy, đã thể
hiện đồ thị phân bố nồng độ tương đố C/C0cho các thời gian trước 10 ngày (hình 10) và 91-100 ngày (hình 11), và số liệu đại diện kết quả tính theo MH PTHH thể hiện trong bảng 3 (1-10 ngày) và bảng 4 (91-100 ngày)
Sai số tuyệt đối đối với hai khoảng thời gian
1-10 ngày và 91-1-100 ngày được thể hiện tương ứng trên hình 12 và 13 Độ sai số nồng độ tương
đối C/C0tuyệt đối đối với thời gian 1-10 ngày tương đối lớn, cực đại đến khoảng 0,42 (thời điểm 1 ngày) và xuống tới khoảng 0,1 (thời điểm
10 ngày) (hình 12) Vì vậy, sai số tương đối đối với khoảng thời gian 1-10 ngày là rất lớn và sẽ không cần thiết được trình bày Trong khi đó, khi thời gian lan truyền đã kéo dài tới 91-100 ngày thì sai số giảm đi rất đáng kể, cực đại chỉ còn khoảng 0,0053 (thời điểm 91 ngày) xuống còn 0,005 (thời điểm 100 ngày), tương ứng sai
số tương đối là khoảng 1,5% (thời điểm 91 ngày) xuống khoảng 1,2% (thời điểm 100 ngày)
ở dải nồng độ tương đối C/C0 lớn hơn 0,8
(x=115-120m), tăng lên bằng 4%-6% ở dải nồng
Trang 9độ tương đối C/C0nhỏ hơn 0,02 (x>135m) Một
điều đáng được lưu ý là sai số tuyệt đối sau khi
giảm tới rất nhỏ (dưới 0,0001) (ở x=~95m đối
với t=91 ngày và 105m đối với t=100 ngày) đã
có xu thế tăng lên (tới 0,0013 ở x=~105m ở thời
điểm t=91 ngày, tới và 0,0011 ở x=~115m ở thời
điểm t=100 ngày), nhưng do giá trị nồng độ ở
đây thấp nên sai số tương đối rất lớn tới 4%-6%
Tương tự như trường hợp trên, trong khoảng
thời gian ban đầu độ sai số lớn hơn so với thời gian muộn hơn, ngoài nguyên nhân do độ chênh lệch nồng độ rất lớn ở ranh giới ô nhiễm
do giá trị phân tán vật lý nhỏ hơn rất nhiều sai
số trong mô hình số về phân tán, còn do nguyên nhân do nước dưới đất chuyển động, mà chiều dài dòng nước chuyển động trong bước thời gian không bằng tích của một số nguyên với bước thời gian (Huyakorn Pinder, 1987)
Hình 10 Nồng độ tương đố C/C 0 theo mô hình
PTHH: thời gian 1-10 ngày
Hình 11 Nồng độ tương đố C/C 0 theo mô hình
PTHH: thời gian 91-100 ngày
Bảng 3 Nồng độ tương đối C/C0 theo mô hình PTHH phần tử tuyến tính: 1-10ngày
x (m) 1ngày 2ngày 3ngày 4ngày 5ngày 6ngày 7ngày 8ngày 9ngày 10ngày
0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 0,9163 0,8375 0,9679 0,9501 0,9859 0,9812 0,9934 0,9921 0,9968 0,9965
2 0,3265 0,7835 0,7906 0,9197 0,9204 0,9653 0,9664 0,9839 0,9849 0,9922
3 0,1164 0,4521 0,6973 0,7720 0,8748 0,9000 0,9433 0,9540 0,9730 0,9780
4 0,0415 0,2227 0,4881 0,6538 0,7554 0,8401 0,8823 0,9232 0,9423 0,9620
5 0,0148 0,1013 0,2919 0,4949 0,6328 0,7379 0,8146 0,8656 0,9057 0,9308
6 0,0053 0,0439 0,1577 0,3322 0,4956 0,6210 0,7215 0,7952 0,8498 0,8906
7 0,0019 0,0184 0,0795 0,2023 0,3561 0,4962 0,6126 0,7072 0,7796 0,8353
8 0,0007 0,0076 0,0381 0,1143 0,2356 0,3717 0,4972 0,6057 0,6952 0,7663
9 0,0002 0,0031 0,0176 0,0610 0,1451 0,2602 0,3831 0,4982 0,5998 0,6851
10 0,0001 0,0012 0,0079 0,0311 0,0843 0,1710 0,2792 0,3921 0,4991 0,5947
11 0,0000 0,0005 0,0035 0,0153 0,0466 0,1062 0,1925 0,2943 0,3995 0,4997
12 0,0000 0,0002 0,0015 0,0073 0,0247 0,0628 0,1261 0,2106 0,3068 0,4056
13 0,0000 0,0001 0,0006 0,0034 0,0127 0,0356 0,0788 0,1438 0,2259 0,3174
14 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0063 0,0194 0,0472 0,0940 0,1595 0,2391
15 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0031 0,0103 0,0272 0,0590 0,1082 0,1735
16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0053 0,0152 0,0357 0,0706 0,1213
17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0027 0,0083 0,0209 0,0445 0,0818
18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0013 0,0044 0,0119 0,0271 0,0534
19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0023 0,0066 0,0161 0,0337
20 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0011 0,0035 0,0093 0,0207
Trang 10Bảng 4 4 Nồng độ tương đố C/C0 theo mô hình PTHH phần tử tuyến tính: 91-100ngày
x (m) 91ngày 92ngày 93ngày 95ngày 95ngày 96ngày 97ngày 98ngày 99ngày 100ngày
50 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
55 0,997 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999
60 0,989 0,991 0,992 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,997 0,998
65 0,973 0,977 0,980 0,983 0,985 0,987 0,989 0,991 0,992 0,993
70 0,940 0,948 0,954 0,960 0,965 0,970 0,974 0,977 0,980 0,983
75 0,882 0,895 0,907 0,917 0,927 0,935 0,943 0,950 0,956 0,961
80 0,793 0,812 0,830 0,846 0,862 0,876 0,889 0,901 0,912 0,921
85 0,672 0,697 0,721 0,744 0,766 0,786 0,806 0,823 0,840 0,856
90 0,530 0,559 0,587 0,615 0,642 0,667 0,692 0,716 0,739 0,760
95 0,383 0,412 0,442 0,471 0,500 0,529 0,557 0,585 0,612 0,638
100 0,252 0,278 0,304 0,331 0,358 0,386 0,415 0,443 0,472 0,500
105 0,150 0,169 0,189 0,211 0,234 0,258 0,283 0,309 0,335 0,362
110 0,080 0,092 0,106 0,122 0,138 0,156 0,175 0,196 0,217 0,240
115 0,038 0,045 0,053 0,063 0,073 0,085 0,098 0,112 0,128 0,144
120 0,016 0,019 0,024 0,029 0,035 0,042 0,049 0,058 0,068 0,079
125 0,006 0,007 0,009 0,012 0,015 0,018 0,022 0,027 0,032 0,038
130 0,002 0,003 0,003 0,004 0,006 0,007 0,009 0,011 0,014 0,017
135 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,005 0,007
140 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002
Hình 12 Sai số tuyệt đối nồng độ tương đố
C/C 0 theoMH PTHH thời điểm 1-10ngày
Hình 13 Sai số tuyệt đối nồng độ tương đốiC/C 0 theo MH PTHH thời điểm 91-100ngày
4 NHẬN XÉT, KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
- Đối với diện gần biên có nồng độ chất ô
nhiễm-muối không đổi, khu vực càng gần biên
độ sai số càng nhỏ; Sai số tương đối không
quá 0,06% và giảm xuống giá trị rất nhỏ dưới
0,05%;
- Đối với ranh giới giữa nước dưới đất bị ô
nhiễm và không bị ô nhiễm, sai số của mô hình PTHH cao trong khoảng thời gian đầu của quá trình lan truyền, và giảm dần theo thời gian: trong thời gian ban đầu (10 ngày trở về trước) sai số tương đối tới trên 5% (lớn nhất), nhưng giảm xuống tới khoảng 1,5% (lớn nhất)
từ ngày thứ 100
