HUYÊN đề 27 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC, bài TOÁN MIN MAX

Theo giả thiết ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính Gọi: Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có:... Suy ra Suy ra thuộc đường thẳng

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

Phương trình bậc 2 với hệ số thực 1

Bài toán MIN-MAX 4

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 8

Phương trình bậc 2 với hệ số thực 8

Bài toán MIN-MAX 14

PHẦN A CÂU HỎI

Phương trình bậc 2 với hệ số thực

Câu 1 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu và là bốn nghiệm phức của phương

Câu 2 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình

Giá trị của biểu thức bằng:

Câu 3 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Kí hiệu , là hai nghiệm của phương trình Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn của , trên mặt phẳng tọa độ Tính với là gốc tọa độ

Câu 4 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Gọi là hai nghiệm phức của phương trình Giá trị của bằng:

Câu 5 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức và

là nghiệm

Câu 6 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương trình

Câu 16 (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi , là các nghiệm phức củaphương trình Giá trị bằng

Câu 21 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính modun của số phức ,

biết số phức là nghiệm của phương trình

Câu 25 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Kí hiệu là hai nghiệm

đó tam giác ( là gốc tọa độ):

A Là tam giác đều B Là tam giác vuông

C Là tam giác cân, không đều D Là tam giác tù

Câu 28 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hai số phức z và w khác 0, thỏa mãn

z w z w   và w  Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?1

A z 2 3 B

2 33

z 

32

z 

.Câu 29 (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho phương trình ,

Câu 30 (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi là tổng các số thực

để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn Tính

Câu 31 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho số phức

Câu 32 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi là tổng các giá trị thực của

để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn Tính

Bài toán MIN-MAX

Câu 33 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xét số phức thỏa mãn

A B C D

Câu 34 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Xét số phức thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tính

Câu 35 (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hai số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

(trong đó là số thực) và sao cho là lớn nhất Khi đó giá trị bằng

Câu 40 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho số phức z thỏa mãn

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Đặt

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 43 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Xét số phức và số phức liênhợp của nó có điểm biểu diễn là và Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểudiễn là và Biết rằng , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 47 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong các số phức thỏa mãn

, số phức có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Câu 58 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong các số phức thỏa mãn

có hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của bằng

Câu 59 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hai số phức thoả

Câu 60 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho là số phức thỏa

Câu 61 (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho các số phức , và số phức thay đổi thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giá trị biểu thức bằng

Câu 62 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho số phức thỏa mãn

và Giá trị lớn nhất của biểu thức là:

Câu 66 (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Hcho hai số phức thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 67 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho số phức thỏa Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Tính

Câu 68 (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho các số phức , thỏa mãn và

Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng

Câu 69 (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Xét các số phức ( ) thỏa mãn

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt

Câu 20. Do số phức là một nghiệm của phương trình

Câu 21. Chọn C

.+) là nghiệm của đa thức là nghiệm còn lại của

.Câu 22. Chọn A

Câu 26. Phương trình có

.Câu 27. Cách 1:

Vì z  0 nên ta được phương trình

Vậy tổng các giá trị thực của bằng

Bài toán MIN-MAX

Câu 33

Lời giảiChọn B

Goi là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính

Gọi:

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D

Ta có:

Vì là trung tuyến trong

Gọi là điểm biểu diễn số phức , và

hình chiếu của lên , ta có Suy ra

Suy ra thuộc đường thẳng

Do đó là giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Ta có nên lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất

đường kính của Khi đó

Câu 36. Cách 1:

Gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức

Từ giả thiết ta được:

.Suy ra tập hợp những điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn có tâm bán kính

Giả sử cắt đường tròn tại hai điểm với nằm trong đoạn thẳng

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn và là khoảng cách từ gốc tọa độđến 1 điểm trên đường tròn Do đó giá trị lớn nhất của chính là đoạn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

I B

E

hoặc Mà , , vậy

.Câu 44. Đặt ( , )

Khi đó

Thay vào ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Thay vào suy ra

Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy

Câu 46. Đặt và gọi là điểm biểu diễn của

Câu 47. Gọi , được biểu diễn bởi điểm

.Cách 1:

Vậy phần ảo của số phức có mô đun nhỏ nhất là

Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Ta có nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu của trên

Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là:

Vậy phần ảo của số phức có mô đun nhỏ nhất là

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức như sau:

Gọi biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức

Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức là giao điểm của đường tròn và

M O

Đặt do nên điều kiện

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm và sao cho nhỏ nhất

Đường thẳng song song với có dạng ,

H B

A

Gọi là điểm biểu diễn số phức

là điểm biểu diễn số phức

là điểm biểu diễn số phức ,

trở thành thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi là điểm chiếu của lên AB, phương trình ,

Nên thuộc đoạn

nhỏ nhất nhỏ nhât, mà thuộc đoạn AB

(phương trình vô nghiệm)

Vậy Do đó giá trị lớn nhất của là

Câu 57. Chọn C

Giả sử , Gọi lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức Suy ra

là số thực nên ta suy ra Tức là các điểm thuộc đường tròn tâm , bán kính

, suy ra không cắt đường tròn.

Gọi là hình chiếu của lên Dễ thấy nằm trên đoạn thẳng

Gọi là giao điểm của đoạn với đường tròn

Nhận xét : Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng

Gọi là điểm biểu diễn số phức ta có:

; điểm M nằm trên đường tròn tâm và bán kính bằng 1 Biểu thức

trong đó , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của đạt được khi

Câu 63.

Gọi là điểm biểu diễn số phức Do nên tập hợp điểm là đường tròn

.Các điểm , là điểm biểu diễn các số phức và Khi đó,

Nhận thấy, điểm nằm trong đường tròn còn điểm nằm ngoài đường tròn , mà

Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của đoạn với

Vậy

Câu 65. Chọn D

Đặt

.Nên

Câu 67. Vì và nên ta có

Đặt , với Do nên và

Khi đó

Câu 68. Gọi , với Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết,

Gọi là trung điểm của , ta có và khi đó:

Câu 69. Cách 1:

Ta có

.Vậy GTNN của là bằng đạt được khi

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểu thức

Vì nên nằm trong

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng

Phương trình đường thẳng

Thử lại thấy thuộc đoạn

Câu 70. Gọi , , lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức , , trên hệ trục tọa độ Khi

đó quỹ tích của điểm là đường tròn tâm , bán kính ;

quỹ tích của điểm là đường tròn tâm , bán kính ;

quỹ tích của điểm là đường thẳng

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

Gọi có tâm , là đường tròn đối xứng với qua Khi đó

Gọi , lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng với , Khi đó với mọi điểm ,