Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

Nghiên cứu này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các đặc trưng tri thức luận của nó.

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn

ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN

CỦA KHÁI NIỆM VÔ CỰC TRONG TOÁN HỌC

An epistemological analysis of infinity in Mathematics

TS Nguyễn Ái Quốc

Trường Đại học Sài Gòn

TÓM TẮT

Vô cực xuất hiện ở nhiều hình dạng và hình thức trong Toán học Các điểm ở vô cực trong hình học xạ ảnh rất khác với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé xuất hiện trong giải tích phi chuẩn, hoặc các số siêu hạn trong lý thuyết tập hợp, hoặc vô hạn liên quan đến một tiến trình giới hạn Nghiên cứu này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các đặc trưng tri thức luận của nó

Từ khóa: vô cực, vô cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử

ABSTRACT

Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics The points at infinity in projective geometry are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process This study presented the epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and determine the epistemological characteristics of this knowledge object

Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological

analysis

1 Đặt vấn đề

1.1 Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm

vô cực

Khái niệm vô cực hiện diện trong nhiều

lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý

thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số,

tôpô học Nhiều khái niệm toán học được

xây dựng gắn liền với khái niệm vô cực, cho

thấy vai trò quan trọng của tri thức này trong

việc thiết lập các nền tảng của Toán học

1.2 Tồn tại những quan niệm sai của

học sinh về khái niệm vô cực

Cuối tháng 4 năm 2019, hai thực nghiệm

khảo sát được tiến hành trên 5 học sinh (HS) lớp 10 và 5 HS lớp 11 Trường trung học phổ thông Hùng Vương Vì đây là thời điểm cuối học kỳ 2 nên các HS lớp 10 đã kết thúc môn đại số, và các HS lớp 11 đã kết thúc môn đại

số và giải tích Khảo sát nhằm tìm hiểu xem

HS hiểu như thế nào về khái niệm vô cực trong Toán học

Nội dung thực nghiệm thứ nhất trên HS lớp 10 bao gồm câu hỏi sau:

“Cho các hệ thức sau:

a/  =  + 1; b/  -  = 1; c/ ∞

∞= 1

Em hãy cho biết mỗi hệ thức đúng hay

sai? Vì sao?”

Câu trả lời mong đợi:

a/ đúng; b/ sai; c/ sai

Nội dung thực nghiệm thứ hai trên HS

lớp 11 bao gồm câu hỏi sau:

“Trong giới hạn hàm số, em hãy cho

biết tại sao các dạng sau được gọi là dạng vô

định:

a/  - ; b/ 0; c/ ∞

∞ ?”

Câu trả lời mong đợi:

Vì đây là câu hỏi liên quan đến ý nghĩa

của đại lượng vô cùng lớn được biểu thị

bằng ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi là

nêu ra được một số trường hợp cụ thể để cho

thấy không thể xác định chính xác được giá

trị của mỗi biểu thức

Kết quả thực nghiệm:

Trong thực nghiệm thứ nhất, cả 5 HS

đều trả lời đúng cho câu a/, trong đó 3 HS

giải thích rằng cộng vô cực với một số

dương thì phải là vô cực, 2 HS còn lại giải

thích cộng vô cực với một số thực luôn bằng

vô cực Như vậy, các HS này quan niệm vô

cực là một con số rất lớn

Đối với câu b/, có 2 HS cho rằng đúng

và giải thích hệ thức trong câu b/ tương

đương với hệ thức trong câu a/, 3 HS còn lại

cho rằng sai vì vô cực trừ cho vô cực bằng 0

Đối với câu c/, cả 5 HS đều kết luận

đúng, trong đó 2 HS cho rằng đơn giản tử và

mẫu cho vô cực thì được 1, 2 HS còn lại cho

rằng hệ thức tương đương với hệ thức  = 

Trong thực nghiệm thứ hai, có 4 HS

giải thích rằng các biểu thức đã cho vô định

vì “Sách giáo khoa quy định đó là những

dạng vô định” Chỉ duy nhất 1 HS giải thích

biểu thức trong câu a/ không xác định vì

hiệu hai vô cực có thể là một số rất lớn,

nhưng cũng có thể rất nhỏ Đối với câu b/,

HS này giải thích rằng vì là giới hạn nên đại

lượng chỉ tiến dần đến 0 chứ không thể bằng

0, nên không thể xác định được giá trị của biểu thức Đối với câu c/, HS này giải thích tương tự như trong câu a/ rằng giá trị của biểu thức có thể rất lớn, hoặc rất nhỏ Như vậy, trong thực nghiệm thứ nhất, tồn tại ở HS lớp 10 một quan niệm “vô cực

là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các quy tắc biến đổi như với các số thực Trong thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn trong việc hiểu ý nghĩa của ký hiệu vô cực gắn liền với tiến trình giới hạn Mặc dù có 1

HS thấy được tính không xác định của giá trị biểu thức nhưng vẫn chưa đưa ra được một số trường hợp cụ thể để cho thấy các biểu thức có thể lấy nhiều giá trị khác nhau trong một tiến trình giới hạn Sau cùng, HS xem ký hiệu  biểu đạt cho cùng một đại lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài toán trừ, hay được đơn giản như một nhân

tử trong bài toán nhân hay chia

1.3 Sự cần thiết của phân tích tri thức luận

Việc xác định các loại sai lầm của người học trong học Toán và nguồn gốc của chúng luôn là nhiệm vụ đầu tiên đặt ra đối với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước khi đưa ra các giải pháp để giúp người học

loại bỏ các sai lầm đó Theo [1]:

- Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết

- Những quan niệm có thể gắn liền với tri thức

2 Khái niệm vô cực trong Toán 10

và 11

Khái niệm vô cực không được định nghĩa tường minh trong chương trình Toán

10 và 11

Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái niệm vô cực xuất hiện lần đầu trong bài

“Tập hợp và các phép Toán trên tập hợp”

của chương 1 “Mệnh đề và Tập hợp” Khái

niệm vô cực được đưa vào để giới thiệu các

khoảng (- ; +), (a ; +), [a ; +), (- ;

b), (- ; b], và không được định nghĩa hay

mô tả một cách tường minh

Trong Sách giáo khoa Đại số và Giải

tích 11, khái niệm vô cực được đưa vào

trong các tiến trình giới hạn và cũng không

được định nghĩa hay mô tả một cách tường

minh

3 Phân tích tri thức luận lịch sử khái

niệm vô cực

3.1 Sự mở đầu các ý tưởng về vô cực

Những ý tưởng ban đầu về vô cực gắn

liền với người Hy Lạp cổ đại Ban đầu từ

“apeiron” có nghĩa là không giới hạn, vô

hạn, không rõ ràng hoặc không xác định Đó

là một từ tiêu cực, thậm chí miệt thị Đối với

người Hy Lạp, sự hỗn loạn ban đầu mà thế

giới được hình thành là “apeiron” Aristotle

nghĩ rằng vô hạn là một sự thiếu thốn không

hoàn hảo Đó là sự vắng mặt của giới hạn

Những người theo trường phái Pythagoras1

không làm việc với khái niệm vô cực Tất cả

mọi thứ trong thế giới của họ là số Thật vậy,

họ liên kết thiện, ác với hữu hạn và vô hạn

Mặc dù nó chưa được hiểu rõ vào thời điểm

đó, nhưng phát hiện của họ về các đối tượng

vô ước không thể đo được, chẳng hạn √2,

sẽ đòi hỏi một khái niệm rõ ràng và sự hiểu

biết về vô hạn

Pythagoras cảm thấy rằng có một số lượng

hữu hạn các số tự nhiên Aristotle lập luận

chống lại bất cứ điều gì thực sự là vô hạn,

nhưng tin vào một vô hạn tiềm năng Trong

khi ông không tin vào vô hạn, ông tin rằng đối

với bất kỳ nhóm hữu hạn nào, có một nhóm

hữu hạn lớn hơn Chỉ có một số hữu hạn các

số tự nhiên đã được viết ra hoặc được hình

thành Nếu L là số lớn nhất được hình thành,

chúng ta có thể chuyển sang L + 1 hoặc L,

nhưng vẫn chỉ có một lượng hữu hạn được sử dụng [7, tr 12]

Tuy nhiên, đối với người Hy Lạp, khái niệm vô cực đã áp đặt họ bởi thế giới vật chất bằng ba quan sát truyền thống: thời gian dường như không có hồi kết; không gian và thời gian có thể được chia nhỏ không ngừng; không gian không bị ràng buộc

Với các định lý sao cho số lượng các số nguyên tố không bị chặn và do đó cần đến các số có độ lớn không xác định, người Hy Lạp phải đối mặt với viễn cảnh vô tận Aristotle đã né tránh tính thực tế của vô cực bằng cách xác định một vô cực nhỏ nhất, trong khi không đưa ra một số tự nhiên mới,

đủ gây ra nhiều khó khăn cho các định lý này Định nghĩa này về vô hạn tiềm năng, không phải vô hạn thực tế, vô cùng hiệu quả

và làm hài lòng các nhà toán học và triết gia trong hai thiên niên kỷ Vì vậy, các số nguyên là vô hạn tiềm năng vì chúng ta luôn

có thể thêm một để có số lớn hơn, nhưng tập hợp vô hạn các số như vậy không tồn tại Aristotle lập luận rằng hầu hết các đại lượng thậm chí không thể là vô hạn tiềm năng, bởi vì bằng cách thêm các đại lượng liên tiếp, có thể vượt quá giới hạn của vũ trụ Nhưng vũ trụ là vô hạn tiềm năng theo nghĩa

nó có thể bị chia nhỏ nhiều lần Thời gian là

vô hạn tiềm năng theo cả hai hướng Phản ánh suy nghĩ của người Hy Lạp, Aristotle nói rằng cái vô hạn là không hoàn hảo, chưa hoàn thành và không thể tưởng tượng được Trong hình học, Aristotle thừa nhận rằng các điểm nằm trên các đường nhưng các điểm không bao hàm đường thẳng và tính liên tục không thể được tạo thành từ rời rạc Nổi tiếng nhất trong các tác phẩm Hy Lạp cổ đại về sự vô hạn là của nhà triết học Zeno of Elea (495-435 B.C.E.) Zeno là người phát ngôn hàng đầu của Trường phái triết học Eleatic Ông cảm thấy rằng khoa

học không thể vật lộn với thực tế trừ khi nó

tính đến những cách thức vô hạn dường như

xuất hiện ở mọi nơi trong tự nhiên Ông

được biết đến với những nghịch lý như làm

thế nào một thứ có thể di chuyển qua vô số

điểm trong một khoảng thời gian hữu hạn

Một trong những nghịch lý của ông là

thảo luận về một cuộc đua giữa Achilles,

người chạy theo huyền thoại và một con rùa,

trong đó con rùa được khởi hành trước

Zeno nói rằng Achilles sẽ không thể bắt kịp

con rùa Ông lý luận rằng vào thời điểm

Achilles bắt đầu chạy, con rùa đã đi trước

một khoảng cách Vào thời điểm Achilles

đạt đến điểm mà con rùa đã ở khi Achilles

bắt đầu chạy, con rùa đã di chuyển xa hơn

Khi Achilles đến điểm mới này, rùa lại tiếp

tục di chuyển Điều này sẽ tiếp tục mãi mãi,

ngăn Achilles không bao giờ bắt kịp

Nghịch lý này, và những người khác ủng hộ

Zeno, cũng là một trong những đề cập đầu

tiên của ý tưởng về một cái gì đó tiếp tục

mãi mãi

Trường phái triết học Eleatic là một

trong những người đầu tiên biết ước tính

diện tích hình tròn bằng cách cắt nó thành

hình tam giác và đo diện tích của mỗi hình

tam giác Khi số lượng hình tam giác tăng

lên và kích thước của mỗi hình giảm, ước

tính đã trở nên gần hơn với diện tích thực tế

Để có được diện tích thực tế, một người sẽ

phải tạo vô số hình tam giác nhỏ vô hạn Họ

hỏi làm thế nào một số lượng vô hạn những

cái không gì cả thêm vào một cái gì đó giống

như một vòng tròn?

Euclid, giống như Aristotle, cũng

không xem xét đến vô hạn thực tế Ông

được ghi nhận vì đã chứng minh, khoảng

300 B.C.E., có vô số số nguyên tố Tuy

nhiên, tuyên bố thực tế của ông là “số

nguyên tố nhiều hơn bất kỳ đại lượng nào

được gán cho các số nguyên tố” Số này phù hợp với niềm tin của Aristotle trong vô hạn tiềm năng

Tương ứng, các định nghĩa trong tác phẩm “Cơ sở” của Euclid phản ánh hình ảnh

ít rõ ràng hơn của các khái niệm cơ bản này Trong cuốn I, các định nghĩa về điểm và đường được đưa ra như sau:

Định nghĩa 1 Một điểm là cái không có phần

Định nghĩa 4 Một đường thẳng là một đường kéo dài với các điểm trên chính nó Trong “Cơ sở” của Euclid, định nghĩa

“Một điểm là không có phần”, gợi các ý tưởng về tính phân chia vô hạn của không gian một tình huống khác, Euclid tránh sự

vô hạn trong định nghĩa một đường bằng cách nói rằng nó có thể được mở rộng đến mức cần thiết Tiên đề về các đường song song cũng đòi hỏi các đường phải được kéo dài vô tận Bằng chứng về mối quan hệ giữa diện tích hình tròn và đường kính của nó là một quá trình giới hạn của một đối số hữu hạn thông qua phương pháp vét cạn2 Sau người Hy Lạp, người Ả Rập trở thành người trông coi di sản Hy Lạp và kiến thức toán học tiên tiến nói chung, đặc biệt là về đại số

Họ làm việc tự do với những đối tượng vô

tỷ nhưng không kiểm tra chặt chẽ bản chất của chúng và điều này đã phải chờ thêm một ngàn năm nữa

3.2 Ý tưởng về vô hạn trở nên rõ ràng hơn

Theo sau người Ả Rập, các nhà toán học châu Âu cũng nghiên cứu các số vô tỷ, mặc dù có một số nhầm lẫn với tính vô hạn Thánh Augustine đã chấp nhận quan điểm Plato rằng Thiên Chúa là vô hạn và có thể

có những suy nghĩ vô hạn Thánh Thomas Aquinas thừa nhận tính vô hạn của Thiên Chúa nhưng phủ nhận ông đã làm những điều không giới hạn

Nicolas của Cusa (1401 - 1464), giữa

thế kỷ 15, tin rằng vũ trụ là vô hạn Ông

cũng nói rằng các ngôi sao cách xa mặt trời

Vào thời điểm đó, Giáo hội Công giáo đang

cố gắng loại bỏ tất cả những dị giáo không

xem trái đất là trung tâm của vũ trụ Nicolas

được đưa đến trước Tòa án dị giáo Ông đã

bị tra tấn trong chín năm trong một nỗ lực

để làm cho ông nói rằng vũ trụ là hữu hạn

Ông đã từ chối, và đã bị thiêu cháy năm

1600

Nhiều nhà toán học Hy Lạp cổ đại tin

rằng không thể thực hiện phép cầu phương

bằng compa và thước, nhưng Nicolas nghĩ

có thể thực hiện điều đó vì ông tin rằng một

đường tròn là một đa giác với số cạnh lớn

nhất có thể Ông so sánh sự vô hạn và quá

trình vô hạn với việc đạt được chân lý cùng

thiên ân, là một kiểu nghịch lý nảy sinh

trong tư duy thời trung cổ Điều này được

hiểu rằng một vòng tròn lớn hơn nên có

nhiều điểm hơn một vòng tròn nhỏ hơn,

nhưng chúng được đặt trong sự tương ứng

một-một

Năm 1600, Galileo Galilei (1564 -

1642) đã đề xuất việc đưa vào vô số khoảng

trống nhỏ vô hạn Nhưng ông hiểu vấn đề là

sử dụng lý luận hữu hạn vào những thứ vô

hạn Ông nói, “thật sai lầm khi nói về các

đại lượng vô hạn là số lớn hơn hoặc nhỏ hơn

hoặc bằng số kia" Với cái nhìn sâu sắc của

thiên tài, ông tuyên bố vô cực không phải là

một khái niệm không nhất quán, mà là tuân

theo các quy tắc khác nhau

Sự hiểu biết của con người về vô hạn

đã được nâng cao rất nhiều bởi các tác

phẩm của Galilei Ông có thể có nhiều điều

để nói hơn, nhưng bằng nhận thức về số

phận của Nicholas đã làm ông cẩn thận hơn

với những gì mình nói ra

Trong bài tiểu luận về “On Two New

Sciences” (1638), ông đã thảo luận về các ý tưởng toán học như một cuộc đối thoại giữa Salviati - người thông minh và Simplicius - người đơn giản Salviati giải thích nhiều khía cạnh của vô cực cho Simplicius

“Vô hạn và những thứ không thể chia tách được vượt qua sự hiểu biết hữu hạn của chúng ta, cái thứ nhất vì sự vĩ đại của chúng, cái sau vì sự nhỏ bé của chúng Hãy tưởng tượng chúng là gì khi kết hợp lại với nhau” [7,

tr 19]

Galilei phân biệt giữa “vô hạn tiềm năng” và “vô hạn thực tế” Ông thiết lập một tương ứng một-một giữa các số tự nhiên và bình phương của chúng Ông suy luận phải

có nhiều số chính phương như các số tự nhiên Ông cố gắng suy luận nghịch lý một tập hợp bằng một tập hợp con của chính nó Ông viết, nếu bạn lấy tập hợp các số đếm, trừ

đi tập hợp các số chính phương có kích thước bằng với tập các số đếm, bạn vẫn còn một tập hợp vô hạn các số không chính phương Theo hướng thực tế hơn, Leonardo của Pisa được gọi là Fibonacci, đã chứng minh một phương trình bậc ba không thể giải được thuộc bối cảnh của bất kỳ số nào được thảo luận trong Euclid (đó là những con số

có dạng, √√𝑎 ± √𝑏, với a và b là số hữu tỷ) Hơn nữa, sự nhầm lẫn là hiển nhiên trong việc hiểu bản chất của các số vô tỷ và mối liên kết cơ bản của nó với vô hạn Trong cuốn sách “Arithmetica Integra” năm 1544, Michael Stifel (1487-1567) đã thực hiện những quan sát sau đây về số vô tỷ: có các

số vô tỷ bởi vì chúng hoạt động trong chứng minh các hình hình học; chúng có hình dạng như thế nào bởi vì khi chúng ta cố gắng đưa

ra một biểu diễn thập phân thì chúng lẫn trốn, và chúng ta không thể chạm tay vào chúng Do đó, một số vô tỷ không phải là một con số thực sự, mà nằm ẩn trong một

đám mây vô cực Điều này đánh dấu cảm

giác bối rối, không chắc chắn của các nhà

toán học chuyên nghiệp, trong khi minh họa

mối liên hệ với vô cùng

Bản chất của vô cực không được làm rõ

cho đến năm 1874, với một bài báo cơ bản

của Georg Cantor Trong thời gian chuyển

tiếp, tính toán cùng giải tích đã ra đời và

phát triển đầy đủ thành một lĩnh vực quan

trọng của toán học

Steven Simon (1548-1620), một kỹ sư

thương mại, là một trong những nhà toán

học sớm nhất từ bỏ lập luận doule reductio

ad absurdum (suy luận phản chứng kép) của

người Hy Lạp cổ đại và tiếp nhận một tiến

trình giới hạn Đây là sự chấp nhận giới hạn

như là một tiến trình vô hạn không đòi hỏi

mêtric hóa

Trong một nghiên cứu, Simon chứng

minh rằng trung tuyến của một hình tam

giác chia nó thành hai hình tam giác có diện

tích bằng nhau Ông đã hoàn thành điều này

bằng lập luận phân chia liên tiếp thành các

hình chữ nhật và ước tính phần thừa Ông là

một nhà toán học/kỹ sư thực tiễn, người

muốn thiết lập kết quả theo cách dễ hiểu và

truyền bá các phương pháp thập phân mới

Phần giới hạn trong lập luận của ông, rằng

1

2 𝑛 tiến đến 0 khi n tiến đến , mà ông tự cho

là hiển nhiên

3.3 Sự xuất hiện của giải tích

John Wallis (1616-1703) được cho là

nhà toán học quan trọng nhất ở Anh thế kỷ

17 ngoại trừ Newton, là giáo sư hình học

Savilian3 tại Oxford (ban đầu nghiên cứu về

thần học) Trong tác phẩm “Arithmetica

Infinitorum” (vô hạn số học), ông đã mở

rộng công trình của Torricelli (1608-1647)

và Cavalieri (1598-1647) trên các

“indivisiles”4 (các đối tượng không thể chia

tách được) và bằng một bước nhảy vọt về

phép quy nạp đã thiết lập rằng:

4

𝜋 =

3.3.5.5.7.7.9 … 2.4.4.6.6.8.8 …

Sự mở rộng vô hạn này cho , mặc dù không phải là lần đầu tiên, minh họa rõ ràng cho một quá trình vô hạn mà không cần biện minh

Năm 1655, Wallis đưa ra biểu tượng  cho vô cực Ông chọn biểu tượng này vì nó là một đường cong khép kín có thể vạch ra vô hạn lần Biểu tượng này xuất hiện trong bài báo “Tract on Conic Sections” (Miền trên các phần Conic) biểu thị một đường cong không

có kết thúc Vài tháng sau, ông sử dụng biểu tượng này lần nữa trong tác phẩm có ảnh hưởng lớn hơn “Arithmetica infinitorum” (Vô hạn số học) [7, tr 20]

Giống như Wallis, Newton, Leibnitz, Bernoulli, Euler và những người khác đã phát minh ra và sau đó theo đuổi các phép tính mới, không thực hiện một xem xét nghiêm túc nào cho chứng minh và bất kỳ lý thuyết về giới hạn và vô hạn Vì thế, một  xuất hiện trong một tính toán sẽ được coi là một nghịch lý Giải tích được Isaac Newton (1643 – 1727) và Leibniz (1646 – 1716) phát triển Giải tích được chia thành phép tính vi phân phép tính tích phân và chúng là

sự đảo ngược của nhau Cả hai đều liên quan đến việc chia một số lượng hữu hạn thành

vô hạn lần nhiều phần nhỏ vô hạn

Leonard Euler (1707-1783) không cải thiện tình trạng lý thuyết nào cả Ông theo đuổi giải tích mới với việc bỏ qua điều mà

cả Newton và Leibnitz quan tâm Chẳng hạn, ta xét hai chuỗi được Euler nghiên cứu: 1

(𝑥 + 1)2 = 1 − 2𝑥 + 3𝑥2− 4𝑥3+ ⋯ (∗) 1

1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥

2+ 𝑥3+ ⋯ (∗∗)

Thay x = – 1 vào (*), được  = 1 + 2 +

3 + 4 + …

Thay x = 2 vào (**), được –1 = 1 + 2 +

4 + 8 + …

Chuỗi thứ hai có từng số hạng lớn hơn

chuỗi thứ nhất Do đó, −1 > ∞

Những loại tính toán này phổ biến trong

giải tích ngày nay và được gọi là các nghịch

lý Bằng cách thay thế 𝑥 = −1 vào (**),

Euler cũng lưu ý rằng:

1

2 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

Euler tự cho phép 0/0 có một giá trị xác

định, mà có ảnh hưởng trong việc tiến đến

“tỷ lệ giữa các số không”:

Không có nghi ngờ rằng mọi đại lượng có

thể bị giảm đến mức nó tan biến hoàn toàn và

biến mất Nhưng một đại lượng nhỏ vô hạn

không gì khác hơn là một đại lượng tan biến

và do đó, nó chính là 0 [6, tr 429]

Sau đó, ông tiếp tục giải thích làm thế

nào dy/dx bằng 0/0, có thể có một giá trị xác

định Trích dẫn trên là từ một trong các cuốn

sách giáo khoa của Euler, về tổng thể có ảnh

hưởng tích cực to lớn trong việc tổ chức giải

tích thành một nghiên cứu chặt chẽ về các

biểu thức giải tích

3.4 Các nguồn gốc của vô cực

Jean d’Alembert (1717-1783) về cơ bản

rút ra phương trình sóng hiện đại cho dây

rung và cho thấy chuỗi lượng giác có thể

được sử dụng để giải nó Đây là một sự khởi

đầu đáng lưu ý các chuỗi lũy thừa, mà hầu

hết các nhà toán học hiểu được giới hạn của

tính hợp lệ Mặt khác, chuỗi lượng giác là

mới và khó phân tích hơn D’Alembert tự

giới hạn mình trong các điều kiện ban đầu là

các hàm tuần hoàn, giúp cho việc phân tích

dễ dàng hơn

Euler ngay sau đó đã cho phép điều

kiện ban đầu là bất kỳ hàm số nào không

nhảy vì đây là một đoạn Ông bảo đảm tính

tuần hoàn bằng cách mở rộng nó theo chu

kỳ bên ngoài khoảng

Daniel Bernoulli (1700-1782) đã đưa các ý tưởng đi xa hơn bằng cách tuyên bố tất

cả các đường cong mới, những đường cong được xác định bằng biểu thức, có thể được biểu diễn bằng chuỗi lượng giác Điều này

đã bị từ chối bởi d’Alembert và Euler Euler cho rằng các hàm số không thể liên tục và không liên tục

Tình trạng này vẫn chưa được giải quyết trong gần một thế kỷ cho đến khi Jean Baptiste Joseph de Fourier (1768-1830) áp dụng chuỗi lượng giác cho bài toán nhiệt Chuỗi lượng giác tương tự như chuỗi phương trình sóng, nhưng đòi hỏi về tính liên tục của các điều kiện ban đầu không được yêu cầu, nếu chỉ dựa trên cơ sở vật lý như đối với dây rung Bài báo cơ bản năm

1807 đã bị từ chối không kém gì Legendre, Laplace và Lagrange, mặc dù sau đó công trình nghiên cứu tiếp tục của ông được khuyến khích Fourier trở lại việc giải thích các hệ số của chuỗi Fourier là diện tích, trái ngược với nguyên hàm Ta hãy xem xét các chuỗi hàm sin:

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛sin (𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

𝑏𝑛 = 2

𝜋 ∫ 𝑓(𝑠) sin(𝑛𝑠) 𝑑𝑠

𝜋

0

Fourier cho rằng mọi hàm có thể được biểu diễn bằng một chuỗi lượng giác Câu hỏi đặt ra là: Phân loại các hàm số

mà chuỗi Fourier hội tụ Câu hỏi đơn giản này có tác động sâu sắc đến sự phát triển của giải tích và theo nghĩa đen buộc phải nghiêm ngặt đối với chủ đề, trước là cho các

ý tưởng về tính liên tục, sau là định nghĩa về tích phân và cuối cùng là khái niệm tập hợp Điều này buộc các nhà toán học đối đầu với

vô cực Đây là một trong những mối liên hệ

gây tò mò hơn trong lịch sử toán học

3.5 Vô cực và Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

(1845-1918) là người đầu tiên thực hiện một

công trình nghiên cứu lớn về các mặt khác

nhau của vô cực Đến nay, hầu hết các ý tưởng

của chúng ta trong lĩnh vực này đều xuất phát

từ ông [7, tr 22]

Cantor là một học trò của Dedekind và

thừa hưởng từ người vấn đề thành lập lớp

các hàm số có chuỗi Fourier hội tụ Tiếp nối

thầy mình, Cantor bắt đầu nghiên cứu các

họ hàm số có chuỗi Fourier hội tụ được phân

loại theo các điểm đặc biệt của chúng Đó là

ngay cả sau những ý tưởng đầu tiên về hội

tụ, Cantor đã mở rộng số điểm đặc biệt mà

một hàm số có thể có và vẫn có một chuỗi

Fourier hội tụ ngoại trừ tại những điểm đó

Nỗ lực đầu tiên của ông vào năm 1872 là đã

tính đến vô số điểm đặc biệt trả lời cho câu

hỏi của Riemann

Cantor xét một tập hợp vô hạn các

điểm Ông định nghĩa tập dẫn xuất S của S,

là tập hợp các điểm giới hạn của S; định

nghĩa tập dẫn xuất S của S, còn được gọi

là tập hợp dẫn xuất thứ hai của S, v.v

0 = ∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥)

Cantor đã có thể chỉ ra rằng nếu

chuỗi lượng giác hội tụ về số không, ngoại

trừ tại một tập các điểm có một tập dẫn xuất

hữu hạn thứ k, với k hữu hạn, thì 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 =

0, 𝑛 = 1, 2, … Hơn nữa, ông cũng cho thấy

sự tồn tại các tập như thế với mọi n

Cantor chắc chắn đã nhận thức được

rằng quá trình dẫn xuất có thể được thực

hiện vô hạn Sử dụng ký hiệu 𝑆(𝑛) là tập dẫn

xuất thứ n của S, thì 𝑆(𝑛+1) = (𝑆(𝑛))′ là tập

dẫn xuất của 𝑆(𝑛) Bằng cách này, định

nghĩa 𝑆(∞)là các điểm trong 𝑆(𝑛) với mọi n

hữu hạn, ta có thể tiếp tục áp dụng phép toán dẫn xuất nhận được các tập các điểm sau:

𝑆(0), 𝑆(1), …, 𝑆(∞), 𝑆(∞+1), …, 𝑆(∞.2),

…, 𝑆(∞.4), … , 𝑆(∞2), …, 𝑆(∞ ∞ ), …

Số  xuất hiện tự nhiên trong ngữ cảnh này Các số +1, +2 cũng xuất hiện như vậy Như vậy, nguồn gốc của các số vô hạn

là nhằm đạt đến việc giải một bài toán giải tích

Năm 1882, Cantor giới thiệu một vô cực mới, phân biệt bản số với bậc, các số đếm với các số thứ tự, chẳng hạn một, hai,

ba khác với thứ nhất, thứ hai, thứ ba Ông muốn nói rằng (𝑎1, 𝑎2, … ) và (𝑏2, 𝑏3, … 𝑏1)

có cùng bản số hay lực lượng nhưng thứ tự của chúng khác nhau Bộ thứ nhất có bậc  trong khi bộ thứ hai có bậc +1 Đối với các tập hữa hạn, chỉ có một bậc có thể được đưa

ra mặc dù các phần tử có thể được hoán vị

Do đó, các số thứ tự và số đếm có thể được đồng nhất

Tuy nhiên, Cantor khi đó đã dành thời gian của mình cho các khía cạnh lý thuyết tập hợp của nỗ lực mới của mình, từ bỏ một

số vấn đề cơ bản của các bài toán chuỗi Fourier Đầu tiên ông dành thời gian của mình để phân biệt các tập hợp hữu tỷ và tập

số thực Năm 1874, ông đã thiết lập rằng tập hợp các số đại số có thể được đặt thành tương ứng một-một với các số tự nhiên Nhưng tập hợp các số thực không thể được đặt vào một sự tương ứng như vậy

Định lý Tập hợp các số hữu tỷ tương ứng một – một với các số tự nhiên

Chứng minh 1 Đặt 𝑟𝑚,𝑛 =𝑚

𝑛 là một số hữu tỷ được biểu diễn dưới dạng tối giản Định nghĩa mối liên hệ 𝑟𝑚,𝑛 → 2𝑚3𝑛 Điều này cho tương ứng các số hữu tỷ với tập con các số tự nhiên, và do đó tương ứng với các

số tự nhiên

Chứng minh 2 Sắp xếp tất cả các số

hữu tỷ trong một bảng và đếm các số theo

các mũi tên

Hình 1 Phương pháp đường chéo của

Cantor Cách đếm này đặt các số hữu tỷ thành

tương ứng với các số tự nhiên Lưu ý có một

số sự trùng lặp của các các số hữu tỷ Vì vậy,

để kết thúc, chỉ cần loại bỏ các bản sao

Ngoài ra, xây dựng bảng với các số hữu tỷ

theo thứ tự thấp nhất

Chứng minh cho các số đại số chỉ phức

tạp hơn một chút

Chứng minh của một kết quả khác, rằng

các số thực không thể được đưa vào một sự

tương ứng như vậy đã đòi hỏi một lập luận

mới và thông minh: phương pháp đường

chéo Cantor Lập luận này đã được áp dụng

thành công cho nhiều kết quả khác

Định lý Tập hợp các số thực không thể

được đưa vào một tương ứng một – một với

các số tự nhiên

Chứng minh thứ nhất (năm 1891) Thu

gọn tập con các số thực trong khoảng (0 ; 1)

Giả sử chúng không thể đếm được như tập

{𝑎𝑛}𝑛=1∞ , chúng ta viết khai triển thập phân

của chúng như sau:

a1 = 0, d1,1d1,2d1,3…

a2 = 0, d2,1d2,2d2,3…

a3 = 0, d3,1d3,2d3,3…

…

Trong đó d là các chữ số từ 0 đến 9 Ta

định nghĩa số: a = 0.d1d2d3… bằng cách

chọn d1d1,1, d2d2,2, d3d3,3, … Điều này

cho một số không nằm trong tập hợp {𝑎𝑛}𝑛=1∞ , và kết quả đã được chứng minh Chứng minh thứ hai (năm 1874) Ta chứng tỏ rằng với một dãy số bất kỳ 𝑣1, 𝑣2,

… các số thực thì có một số không nằm trong

dãy trong khoảng tùy ý các số thực (a ; b) Trước hết, đặt a1 và b1 là các số hạng đầu

tiên của dãy trong (a ; b) với a1 < b1 Gọi a2

và b2 là các số hạng đầu tiên của dãy nằm

trong (a1 ; b1) với a2 < b2, và tiếp tục như thế

Do đó a1, a2, … là một dãy tăng, và b1, b2,

… là một dãy giảm Có ba trường hợp Nếu dãy là hữu hạn, thì bất kỳ số nào nằm bên trong khoảng được chọn sau cùng thỏa các yêu cầu Giả sử rằng các dãy là vô hạn và

chúng hội tụ lần lượt về các giới hạn, a và

b Nếu chúng bằng nhau, thì giá trị này thỏa yêu cầu Nếu không, bất kỳ giá trị trong

khoảng mở (a ; b) cũng thỏa yêu cầu Tìm kiếm các tập không thể đếm được, Cantor đã xem xét các khái niệm tô pô cho các tập hợp dẫn xuất của mình Ta nói một

tập S(a ; b) là trù mật nếu S(a ; b) Ta nói S đóng nếu SS=S Ta nói S cách ly nếu S=; S là đầy đủ nếu S=S Đáng lưu ý

là Cantor đã chứng tỏ rằng các tập đầy đủ phải là không thể đếm được Một trong những tập đầy đủ nổi tiếng nhất được gọi là tập các phần ba trung tâm được định nghĩa

là phần dư của khoảng mở (0 ; 1) bằng cách loại bỏ phần ba ở giữa, tức là bỏ (1/3 ; 2/3) Tiếp theo loại bỏ các phần ba ở giữa của hai khoảng con còn lại và các phần ba của bốn khoảng con còn lại sau đó, và tiếp tục như thế Tập này là một trong các ví dụ đầu tiên của tập Lebesgue đo được không đếm được

có độ đo không

Lúc đó, ông đề cập đến hai kiểu vô hạn,

vô hạn có thể đếm được và không thể đếm được Không thể xác định được một vô hạn

ở giữa, ông đưa ra một chứng minh rằng mọi

tập hợp điểm trên đường thẳng có thể được

đặt tương ứng một-một với các số tự nhiên

hoặc số thực Chứng minh của ông là không

chính xác, nhưng sự tìm kiếm của ông được

biết đến ngày nay và được gọi là giả thuyết

liên tục Năm 1938, Kurt Godel đã chứng

minh rằng giả thuyết liên tục không thể bị

bác bỏ trên cơ sở các nguyên tắc lý thuyết tập

hợp mà chúng ta chấp nhận ngày nay Hơn

nữa, vào năm 1963, Paul Cohen đã xác định

rằng nó không thể được chứng minh trong

các nguyên tắc này Điều này có nghĩa là sự

liên tục không thể giải quyết được

Năm 1879, Cantor đề cập đến các lực

lượng của vô hạn, xác định hai tập hợp sẽ có

cùng lực lượng nếu chúng có thể được đặt

vào tương ứng một-một Sử dụng phương

pháp đường chéo của mình, ông có thể

chứng minh các bậc hoặc lực lượng vô hạn

của mỗi bậc

Năm 1895, Cantor định nghĩa lũy thừa

số đếm Sử dụng thuật ngữ 0 để ký hiệu

bản số của các số tự nhiên, ông định nghĩa

20cho bản số của các số thực Với 1 (và

tổng quát hơn  ký hiệu bản số thứ ) là

bản số lớn hơn 0, giả thuyết liên tục được

viết là 20 = 1

3.6 Lý thuyết tập hợp

Theo Cantor, một tập hợp M là “một sự

tập hợp thành toàn bộ, theo định nghĩa, các

đối tượng phân biệt (gọi là các phần tử) của

M theo nhận thức và suy nghĩ của chúng ta”

Chẳng hạn, các số {1, 2, …, 10} tạo thành

một tập hợp Tập hợp các số nguyên tố giữa

1 và 100 Bậc của các phần của một tập hợp

là không quan trọng Do đó, các tập hợp {1,

2, 3} và {3, 2, 1} là như nhau Do đó, hai

tập M và N là như nhau nếu chúng có cùng

số các phần tử

Quan điểm này được nhấn mạnh bởi

Gottlob Frege (1848 - 1926), trong quá trình

phát triển lý thuyết tập hợp, người đã chấp nhận rằng các tập vô hạn không thể đếm được Ông tìm kiếm một lý thuyết độc lập với việc đếm Vì vậy, ông đã lấy các tương ứng một-một làm nền tảng, không theo thứ

tự tốt Nội tại của điều này là khái niệm về bản số

Định nghĩa Một tập hợp M gọi là tương đương với tập hợp N, ký hiệu là MN, nếu

có thể lấy các phần tử của N tương ứng với

các phần tử của M trong một cách thứ một – một

Định nghĩa Bằng một số đếm của một lực lượng, chúng ta nói đến một đại diện tùy

ý M của một lớp các tập hợp tương đương

với nhau Số đếm của một lực lượng của một tập hợp sẽ được ký hiệu bởi |𝑀| Tại điểm này, chúng ta có các số đếm sau:

0, 1, 2, … , 0, 1, 2, …

Ba số đếm sau cùng được gọi là các số đếm siêu hạng Chúng ta cũng biết làm thế nào xây dựng nhiều số đếm hơn bằng cách lấy tập hợp các tập con của bất kỳ đại diện của một số đếm

Định nghĩa Một tập hợp M được gọi có một số đếm nhỏ hơn một tập hợp N, ký hiệu

là |𝑀| < |𝑁|, nếu và chỉ nếu M tương đương

với một tập con của N, nhưng N không tương đương với một tập con của M

Trong số các số đếm siêu hạn, 0 là nhỏ nhất Giả thuyết liên tục khẳng định rằng

20 = 1 Bản số của tất cả các hàm trên bất kỳ khoảng nào (hoặc tập hợp không đếm được) là 1

3.7 Tiên đề chọn

Năm 1904, Zermelo lần đầu tiên đưa ra tiên đề chọn trong tạp chí Toán học, mặc dù

nó đã được sử dụng trong gần hai mươi năm Thật kỳ lạ, mặc dù đã được sử dụng nhiều lần trước đây, nhưng nó đã không được chính thức tuyên bố như vậy Nó chỉ là một