D47 - Câu 47-ỨNG-DỤNG-PHƯƠNG-PHÁP-HÀM-SỐ-ĐỂ-GIẢI-PHƯƠNG-TRÌNH-MŨ-LOGARIT - Muc do 1

Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhấtmột giá trịy nguyên thỏa mãn.. Vậy có 28 giá trị nguyên của y nên phương trình có 28 nghiệm.. Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tư

Câu 1 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x y; ) thỏa mãn 0£ £x 2020 và log 42 x4   x y 1 2y?

Từ điều kiện 0£ £x 2020Þ 0 2£ t-2- £1 2020Û £ - £ +1 t 1 1 log 20212 .

Theo giả thiết ta có: 2 ( )

f u = + - > " Îu + nên hàm f u( ) đồng biến trên đoạn[1;1 log 2021+ 2 ].

Dựa vào ( )* Þ f t( - 1)= f y( + Û - = +1) t 1 y 1.

Mặt khác 1£ - £ +t 1 1 log 20212 Þ £ + £ +1 y 1 1 log 20212 Þ 0£ £y log 2021 10,982 » .

Vì yÎ ¢Þ yÎ {0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10}.

Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt

Câu 2 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y; 

thỏa mãn x 2020và

2 2

Ta có:

2 2

Vì 1 x 2020 nên 2 y x 1 2021  2 y 44

Do

y nguyên dương nên có 43 số nguyên dương y thỏa yêu cầu bài toán

Rõ ràng, với mỗi y ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị x nguyên dương thỏa mãn.

Vậy có 43 cặp số nguyên x y; 

Câu 3 Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 2y 2 log2 2y 1

 1

trở thành: 2yy2t 2y t 1 2y1  y 1 2tt(2)

Xét hàm số f x( ) 2 xx x,  0 f x( ) 2 ln 2 1 0, x    x 0 nên hàm số f x( ) 2 xx luôn đồngbiến trên 0; Kết hợp với  2 ta có: t  hay y 1   1 1

2log 2x 2y y 1 2x 2y 2y x 2y

Vậy min

ln 22

y + 0  0 +

  1 Phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm thực khi và chỉ khi m 5 hoặc m 1

Vậy hàm f t  logt t đồng biến với 0t 

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

x x

 





Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 0

Câu 6 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 

3 2

3 22

Vậy hàm f t  logt t đồng biến với 0t 

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

x x

 





Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 0

Câu 7 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; 

Điều kiện bài toán:

Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất

một giá trịy nguyên thỏa mãn

Vậy có 28 giá trị nguyên của y nên phương trình có 28 nghiệm.

Câu 9 Cho mloga3ab

, với a 1, b  và 1 Plog2a b16 logb a

Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất

b a m

f m   m   m

Bảng biến thiên.

.Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 tại m  1

Câu 10 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; 

Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất

một giá trịy nguyên thỏa mãn

Từ điều kiện 0£ £x 2020Þ 0 2£ t-2- £1 2020Û £ - £ +1 t 1 1 log 20212 .

Theo giả thiết ta có: t- +1 2t- 2= + +y 1 2 *y( ).

Xét hàm số f u( )= +u 2u- 1 với 1£ £ +u 1 log 20212 .

2' 1 2 ln 2u 0, 1;1 log 2021

f u = + - > " Îu + nên hàm f u( ) đồng biến trên đoạn[1;1 log 2021+ 2 ].

Dựa vào ( )* Þ f t( - 1)= f y( + Û - = +1) t 1 y 1.

Mặt khác 1£ - £ +t 1 1 log 20212 Þ £ + £ +1 y 1 1 log 20212 Þ 0£ £y log 2021 10,982 » .

   3

2 0;1

x P

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt được khi x 0, y  1

Câu 14 Gọi x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log 9x log 6 y log 4xy và

x y

x y

Câu 15 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; 

Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất

một giá trịy nguyên thỏa mãn

Vậy có 1010 cặp số nguyên x y; 

Câu 16 Cho bất phương trình:9xm1 3 xm0 1  Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất

m 

3.2

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m g  log ln 77   0,856

(các nghiệm nàyđều thỏa mãn điều kiện vì x m 7x 0)

Do m nguyên thuộc khoảng 25;25, nên m   24; 23; ; 1  

Câu 18 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020 và

x x

Phương trình  1 trở thành

3 54

3 54

9 54

Câu 20 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 1      

Do đó hàm số f t  luôn đồng biến trên 

Từ (*) suy ra f x 2y21 f log 22 xy   x2y2 1 log 22 xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi và chỉ khi x y 1.

Câu 21 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Do đó  *  f 2m 2x f  2x  2m 2x2x 2m2x2x

.Đặt g x 2x2x

Vì g x'  2 ln 2 2 0, x    x 0;2

nên ta có BBT:

Nếu 2x 1 3  2x1 mod 3   2x4 mod 3   x2 mod 3 

Nếu 2x1 3  2x1 mod 3   2x2 mod 3   x1 mod 3 

Ta có 2021 giá trị nguyên của x sao cho 0 x 2020 Trong đó có 674 số chia hết cho 3 Nên có

nên có 1347 số nguyên x thỏa  ** .

Với mỗi giá trị nguyên của x thì ta tìm được một và chỉ một giá trị y nguyên tương ứng Vậy có 1347

cặp x y; nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 23 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn log 22 x 2002  x y 1002 2 y và

x y

nguyên nên có 200 số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 31 Cho hệ phương trình  2  2  

 , m là tham số Gọi S là tập các giá trị

m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất Tập S có bao nhiêu phần tử?

Lời giải Chọn B

x y

   3

2 0;1

x P

Câu 36 Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0< £x 2020 và

2 2

5

5 sin 5 cos 10

ln 53

Vậy để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6m 5 6

Câu 38 Xét các số thực dương x y, thoả mãn

2 3

P y x bằng

12

Lời giải Chọn C

khi

34

116

2 2

116

2 0;1

x P

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt được khi x0;y 1

Câu 42 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình :

5 11

4 4

01

    t  1;1  Hàm số đồng biến trên đoạn 1;1

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m f t ;  

A a.b 5 B a.b 1 C a.b 8 D a.b 4.

4 4

01

    t  1;1  Hàm số đồng biến trên đoạn 1;1

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m f t ;  



A

10

Câu 47 Có tất cả bao nhiêu cặp số a b; 

với a b, là các số nguyên dương thỏa mãn:

Với a b, là các số nguyên dương, ta có:

Do a b  nên phương trình ,  *  * vô nghiệm Suy ra: a b 3.

Mà a b, là các số nguyên dương nên *

b b

không xảy ra

Trường hợp 3: a b 3, khi đó  1

thỏa mãn

Mà a b, là các số nguyên dương nên

2112

a b a b

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 48 Cho phương trình:

 m

hoặc m3

 1



Từ bảng biến thiên, ta có được kết quả

25

08

trên 0; .

  2 1 0, 0; 

f t  t   t  

 f t  đồng biến trên khoảng 0;  do đó  1  f  m2x f  2x  m2x 2x

Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 50 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 1      

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi và chỉ khi xy 1.

Câu 51 Cho phương trình  2 

Ta có điều kiện 4

0log

x m (*) (với m nguyên dương).

Phương trình 2 log23x log3x1 4x m 0 1 

.Phương trình  3  xlog4m

3 3

  m

Suy ra m3;4;5; ;63  .

Vậy từ cả 2 trường hợp ta có: 63 3 1 1 62    giá trị nguyên dương m

Câu 52 Tìm m để tồn tại duy nhất cặp số x y sao cho ;  log2020(xy) 0 và x y 2xy m  , m 1thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

m 

*) Thử lại, với

12

22

Giả thiết 2x2y21x y 1 x y 1 log 22 xy  2x2y21x y 2 1 log 22 xy

Câu 55 Cho phương trình

2

2 2

  Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn B

m

m m

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x8,y  Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1.3

Câu 57 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 58 Có bao nhiêu cặp số nguyên dươngx y; 

y nguyên dương nên y1;2;3; ;1009

Rõ ràng, với mỗi y ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị x nguyên thỏa mãn

Vậy có 1009 cặp số nguyên x y; 

Câu 59 Cho 2 số thực dương ,x y thỏa mãn log3x1 y1y1  9 x1 y1

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là

Từ (*) suy ra

91

     ,Suy ra 0 log 1 2  y log 1019 9,992 

Do mỗi y cho ta một x và y nguyên nêny 0;1;2; ;9

Câu 62 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 22x3y39.24x6y3 8.32x3y11 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x29y2 8x12 tương ứng bằng

Lời giải Đáp án: C

+ Đặt t2x 3y thế vào giả thiết sẽ được:

x y

3

3x x 1 3 y log 3y

.Xét hàm số f t  3t t

Ta có: f t  1 3 ln 3 0,t  t

.Suy ra hàm số f t 

liên tục và đồng biến trên 

Vì y 0;2020

nên 3x2 2020  x 2  log 2020 3  x 2 log 2020  3

Do x y  ; nên x 2;3;4;5;6;7;8

.Ứng với mỗi giá trị nguyên của x cho ta 1 giá trị nguyên của y .

Vậy có 7 cặp số nguyên x y; 

thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 64 Cho các số thực x y , thỏa mãn 0 x y,  1 và

B min

2 10 5

.2

C min

2 10 7

.2

D min

2 10 1

.2

Vậy min

2 10 3

.2

Lời giải

Chọn D

Điều kiện:

13

Nếu y chẵn ta có 2y1 không chia hết cho 3 suy ra (*) vô nghiệm

Nếu y lẻ 2y1 chia hết cho 3 Do đó từ (*) suy ra

2 13

x y e

M 

C

94

2 21

32

x 

và

12

x y e

M 

C

94

2 21

khi

32

x 

và

12

Đặt x  1001   u 0,2y   v 0 ta có phương trình log2u u   log2v v 

     Suy ra 0 log 1  2   y log 1019 9,992  .

Do mỗi y cho ta một x và y nguyên nên y 0;1;2; ;9

Câu 73 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y; 

thỏa mãnx 2020và

2 2

Vì 1 x 2020 nên 2 y x 1 2021 2 y 44

Do

y

nguyên dương nên có 43 số nguyên dươngythỏa yêu cầu bài toán

Rõ ràng với mỗiy ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị x nguyên dương thỏa mãn.

Hàm số f x  x3 3x

có bảng biến thiên như sau:

Theo giả thiết

 nên số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa g n  1  là 1 150 n   n16.

Câu 75 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình  

3 2

3 22

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng -2.

Câu 76 Biết rằng với ma b; 

x t

x

 Do đó 0   t 1.Phương trình trở thành 2t3 3t2 m * 

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm

số y2t3 3t2 (chỉ xét trong phần t 0;1) và đường thẳng y m 

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình   * có nghiệm

thuộc đoạn 0;1   1 m0

Do y nguyên dương nên y 1; 2;3; ;1009 

Với mỗi giá trị y xác định được tương ứng duy nhất một giá trị x nguyên dương thỏa mãn Vậy có

1 2( ) 2 log

Do x nguyên nên x2;3; 4; ;1011

Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất

một giá trịy nguyên thỏa mãn

Điều kiện

012

x x

3 54

9 54

Câu 80 Cho phương trình 5xmlog5x m 

, với m là tham số Số giá trị nguyên của

Điều kiện của phương trình: x m

cho 2

, ta được: 5x 5t  t x 5x x 5tt.Đặt f x  5xx  f x 5 ln 5 1 0x    , vậy x f x 

là hàm đơn điệu trên tập xác định

Từ đây suy ra 5x x 5tt  f x f t   x t , thế vào phương trình  1 , ta được:

5xm x  x 5x m.

Xét hàm g x   x 5x có g x   1 5 ln 5x  g x  0 1 5 ln 5 0x

1log

và m , từ đây suy ra m  và 2019   m 1

Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 81 Cho a , b , c là ba số thực dương, a  thỏa mãn 1  

3 3

410

a bc c bc

b c a b c

21210

bc a c bc a b c

a b c

Câu 82 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 1      

x y



A 3 B 2. C 1. D 4.

Lời giải Chọn A

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 3 khi và chỉ khi x y 1.

Câu 83 Cho phương trình  2  2 2 2

2log 2x  4x4 2y y  x 2x1

Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y; 

và 0x100 thỏa mãn phương trình đã cho?

(1).Xét hàm f t  2tt

+) y 1 x2 2x 2 2  x2 2x0 x2 (Thỏa mãn Đk (*) và x nguyên dương)

+) y 2 x2 2x 2 16  x2 2x14 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn)

+) y 3 x2 2x 2 512 x2 2x 510 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn)

Vậy có một cặp nguyên dương x y ;  2;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.