D37 - Câu 37- KHOẢNG-CÁCH-GIỮA-HAI-ĐƯỜNG-THẲNG-CHÉO-NHAU - Muc do 1

Cạnh bên SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy... Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB vàAD; H là giao điểm của CN với DM.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AD2a ,

a

63

a

115

a

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm của AD  MD BC  BCDM là hình bình hành

k a

Lời giải Chọn B



ABCD

a S

Câu 3 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A , cạnh huyền BC a Gọi I là

trung điểm của BC và

32

a

SA SB SC  

Góc tạo bởi SI và mặt phẳng SAC

bằng 300 Tính cosincủa góc tạo bởi SA và mặt phẳng SBC

Chọn D

I H

B

A

J

C S

Do SA SB SC   SI ABC

(SI là trục của tam giác ABC hay SBC  ABC

.Khi đó góc tạo bởi SA và mặt phẳng SBC

là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đứng

Khi đó, kẻ AH BC H BC  SA SBC ,   ASH

Góc tạo bởi SI và mặt phẳng SAC là góc tạo bởi chiều cao và mặt bên.

Khi đó, kẻ IJ AC J AC SI SAC,   ISJ 30

cos

932

a SH ASH

SA a

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 3,BC a 2 Cạnh bên

SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách giữa SB và DC bằng:

23

a

32

a

Lời giải Chọn A

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d DC SB ,  d DC SAB ,   d D SAB ,   AD a 2

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB vàAD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng

a

319

a

3 319

a

Lời giải Chọn A

Gọi K là hình chiếu của H trên SC

Do ABCD là hình vuông nên DM CN

Có SH ABCD  SH DM

Suy ra DM SHC  DM HK

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC

Có DH là đường cao của tam giác vuông CDN nên CH CN. DC2

2 25

DC a CH

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB vàAD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng

a

319

a

3 319

a

Lời giải Chọn A

Gọi K là hình chiếu của H trên SC

Do ABCD là hình vuông nên DM CN

Có SH ABCD  SH DM

Suy ra DM SHC  DM HK

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC

Có DH là đường cao của tam giác vuông CDN nên CH CN. DC2

2 25

DC a CH

a

h 

155

a

h 

315

a

h 

Lời giải Chọn C

Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Khi đó OM BN ( tính chất đường trung bình)//

do đó OM//ABN Suy ra d OM AB ,  d OM ABN ,   d O ABN ,  

Dựng OK BN , OAOBC BN OA BN AK

Dựng OH AK khi đó OH ABN

Từ đó d OM AB , OH Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên

Câu 8 Cho hình chóp S ABC , có đáy là tam giác đều cạnh 2a , SA2a , SA vuông góc với mặt

phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ) Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,, AB AC Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng.

a

2 5719

a

5719

a

Lời giải Chọn A

O N

K

M C

B A

a

d 

C

1313

a

d 

D

3 1313

a

d 

Lời giải Chọn D

Ta có hình vẽ sau đây:

Gọi M là trung điểm BC , suy ra AM BC và

32

a

AM 

.Gọi K là hình chiếu của A trên SM , suy ra AKSM  1

SA AM a AK

a

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm AD, ta có BM / /DC BM / /(SDC)

a AH

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B Biết AB BC a AD  , 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng ABCDvà SA a 2 Gọi M là trung điểm AD Khoảng cách giữa

a

D 2aLời giải

a

63

a

115

a

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm của AD  MD BC  BCDM là hình bình hành

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng

a

C

2.2

a

D

21.28

a

Lời giải Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB Khi đó, SH ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra

+) AB2AC2 8a2 BC2 ABC vuông cân tại A

+) Gọi N là trung điểm AB

22

a

32

a

Lời giải Chọn D

Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc SBA   Do đó  60 SA a tan 60 a 3

Dựng D sao cho ABCD là hình vuông Dựng AE SD tại E

a

3 1313

a

6 1313

a

Lời giải Chọn A

Gọi N là trung điểm của SA ta có MN SB//  SB//NCM

.Khi đó: d SB CM ,  d SB NCM ,   d B NCM ,   d A NCM ,  

Theo giả thiết tam giác ADM đều nên MEAD với E là trung điểm của AD ,

32

a

ME 

Suy ra

MECM Kẻ đường thẳng qua A song song với ME cắt CM tại K

Khi đó CK AK CK NAK NAK NCK

AH NA AK    a  

(Vì

32

a

319

a

3 319

a

Lời giải Chọn A

Gọi K là hình chiếu của H trên SC

Do ABCD là hình vuông nên DM CN

Có SH ABCD SH DM

Suy ra DM SHC  DM HK

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC

Có DH là đường cao của tam giác vuông CDN nên CH CN DC  2

2 25

A'

B D

D'

C

C' B'

Chọn D

Ta thấy : AB D' '  CB D' ' B D' '

Gọi I là giao điểm của ' 'A C và B D' '

Khi đó ta suy ra: AI AB D' ' , AI B D' ', CI CB D' ' , CI B D' '

Suy ra :  AB D' ' , CB D' '  AI CI, 

Xét tam giác AIC có: AC 2, CI AI  AA2A I' 2  3 1 2 

Do đó tam giác AIC đều  AIC 600

Suy ra:       0

' ' , ' ' 60

AB D CB D 

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB2a , AD DC BC a   SA

vuông góc với mặt phẳng ABCDvà SA3a Gọi M là trung điểm AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng:

613

a

34

a

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết ta có tam giác AMD đều cạnh#a.

Đặt IMDAC thì I là trung điểm AC và MD Nên

32

a

Lời giải

Chọn D

+ Ta có CC // BB; BBABB A  suy ra CC // ABB A 

Nên d CC AB ;  d CC ;ABB A   d C ;ABB A    1

+ Lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có BB ABC và BBABB A 

suy ra

ABB A   ABC

+ Kẻ CM  AB suy ra CM ABB A 

nên d C ;ABB A   CM  2+ Từ  1

và  2

ta có d CC AB ;   CM

+ Mặt khác tam giác ABC đều cạnh a có CM là đường cao nên

32

Theo giả thiết S ABC=a2√3

4Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), Gọi M là trung diểm của BC,

d(A , (SBC ))=3 V

S SBC=

3 a√1313

Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy

Biết hình chóp S ABC có thể tích bằng a3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC

K E O

D

A S

d 

4a 195195

d 

8a 195195

d 

Lời giải Chọn B

A

B

C S

I K

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do các mặt bên của khối chóp tạo với đáy các góc bằng nhau

nên SO^(ABCD). Giả thiết

Tam giác vuông SOE, có 2 2

2

SOOE a OK

SO OE

+ Suy ra d SA CD[ , ]=a 3. Chọn B.

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B Biết AB BC a AD  , 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD

và SA a 2 Gọi M là trung điểm AD Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC bằng

A 2.

a

2.2

a

D 2 aLời giải

+) Tứ giác AMCB là hình vuông nên cạnh AB a nên AC a 2,CM a

Do đó tam giác ACD có

12

A a 3 B 5a 3 C

52

a

10 379

a

Lời giải Chọn D

5 , 5 3

AC a SA a

Gọi N là trung điểm BC  AB//SMN  d AB SM , d A SMN ,   

.Dựng AH MN tại H trong ABC

.Dựng AK SH tại K trong SAH

a

32

a

155

a

Lời giải Chọn B

Ta có AC a 2, dễ thấy CD a 2 nên AD2 AC2CD2 suy ra tam giác ACD vuông cân tại C.Dựng hình vuông ACDE khi đó ta có AC DE//  AC//SDE.

a

63

Gọi N là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho AB = 3BN Khi đó có tứ giác DMBN là hình bình hành nênsuy ra BM // DN Suy ra BM / /SDN.

a AH

a

62

a

63

a

Lời giải Chọn D

Trong mặt phẳng đáy, tạo hình bình hành ACDK.

Khi đó, do AC KD// nên d AC SD , d AC SDK ,   d A SDK ,  

Gọi I là trung điểm của AD thì

12

Câu 29 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có AB  1, AA'm m 0 

Hỏi m bằng bao nhiêu để góc giữa

'

AB và BC' bằng 600?

Lời giải Chọn A

Lấy M N P là trung điểm ', ' ',, , BB B C AB  khi đó

// ', // '

MP AB MN BC

Suy ra góc cần tìm là góc giữa MP MN,

2 12

N

Suy ra

PM MN PN cosPMN

PM MN

 

, từ đó tính được m  2.

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, AB3a, vuông góc với mặt phẳng đáy

và SA4a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

a

12 8949

a

6 214

a

Lời giải Chọn A

Dễ dàng chứng minh được: NC//AM d AM SC ,  d AM SNC ,   d A SNC ,  

Sau đó: kẻ AK NC tại K và AH SK tại H

5

3 52

a

a AK

SA AK



Câu 31 Cho hình chóp S.ABC có đáyABClà tam giác vuông tại B, BA = 3 a BC , = 4 a mặt phẳng

( SBC )vuông góc với mặt phẳng ( ABC ).Biết SB =2 3 a và SBC= 300 Khoảng cách từ điểm B

Lời giải Chọn D

2a 3 4a 3a

30 0

A

B

C S

H G K

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC Do SBC  ABC vuông góc với nhau theo giao tuyến

BC nên SHmp ABC 

Trong  SBHvuông tại H có SH SB.sin 30  0  a 3, BH SB.cos 30  0  3a

Trong mp(ABC) dựng HG  ACtại G Ta có  

HK HG HS 9a 3a 9a   Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, nên có:

Câu 32 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 Hai mặt phẳng SAB và

SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Gọi M , N là các

điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN.

J I

J I

Gọi I là giao điểm của DM và AC

Ta có: DM // NE DM //SNE  d DM SN ;  d DM SNE ;   d I SNE ;  

Do

2//

a

2 6623

a

10 527

a

Lời giải Chọn B

HK SH HM a  a  a   .

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng

572

19

a a

HK 

Câu 34 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SA và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng ABC bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC

a

1568

a

1517

a

Lời giải Chọn B

S

C D

O

I

N

E M

Gọi I là trung điểm OA

Vì IM SO//  IM ABCD nên hình chiếu của MN lên ABCDlà IN.

OE OS ON  a a  a   .

Vậy  ,  2 2 15 30

3162

a

d BC DM  OE  a

Câu 35 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC3a, BC a 3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA3a 2 Điểm G là trọng tâm tam giác SAC ( minh họa như hình bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BG bằng

a

63

a

Lời giải Chọn D

Gọi AM là đường trung tuyến của SAC Kẻ đường thẳng qua G song song với SC, cắt AC, SA tại E

và F Khi đó SCBEFnên d SC BG ,  d SC BEF ,  

2

23

EC BC

BC AC  , suy ra hai tam giác ECB và BCA đồng dạng (c.g.c).

  0

90

BEC ABC

   hay EBAC  EBSAC

Gọi H là chân đường cao tại đỉnh A của AEF,

AH EF và AH EB  AH BEF hay d A BEF ,   AH

Xét AEF vuông tại A có AH là đường cao,

2

2 23

a AH

Câu 36 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC3a, BC a  3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA 3a 2 Điểm G là trọng tâm tam giác SAC ( minh họa như hình bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BG bằng

a

Lời giải Chọn D

Gọi AM là đường trung tuyến của SAC Kẻ đường thẳng qua G song song với SC, cắt AC, SA tại E

Xét  AEFvuông tại A có AH là đường cao,

Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang, AB 2 ,a ADDCCBa SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SA3a Gọi M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và

a

3 1313

a

6 1313

a

Lời giải Chọn A

Gọi N là trung điểm của SA ta có MN SB//  SB//NCM

.Khi đó: d SB CM ,  d SB NCM ,   d B NCM ,  d A NCM ,  

Theo giả thiết tam giác ADM đều nên ME AD  với E là trung điểm của AD,

32

a

ME 

Suy ra

ME CM Kẻ đường thẳng qua A song song với ME cắt CM tại K.

Khi đó CK AK CK NAK NAK NCK

AH NA AK    a  

(Vì

32

4

a

d SB CM 

Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành AB2 ,a AD a BAD , 120o , SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA=3a Gọi Mlà trung điểm của AB Khoảng cách giữa 2 đường DM và SB

a

Lời giải Chọn B

Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD2a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm Hcủa AD , góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD)

là450 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a

a

D

25

a

Lời giải

Chọn D

Do SH ABCD

nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là góc SBH  450 Ta có SBHvuôngcân tại H nên SH BH a 2 Gọi K là trung điểm của BC, ta có BH / / DK BH/ /SDK Suyra:

I A

Chọn D

Ta thấy : AB D' '  CB D' ' B D' '

Gọi I là giao điểm của ' 'A C và B D' '

Khi đó ta suy ra: AI AB D' ' , AI B D' ', CI CB D' ' , CI B D' '

Suy ra :  AB D' ' , CB D' '  AI CI, 

Xét tam giác AIC có: AC 2, CI AI  AA2A I' 2  3 1 2 

Do đó tam giác AIC đều  AIC 600

SA ABCD , cạnh SC tạo với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD

sao cho DN a Khoảng cách giữa MN và SB là

a

2 9519

a

819

a

Lời giải Chọn A

Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN//SBK

a

32

a

53

a

Lời giải Chọn B

+ Gọi ;I J lần lượt là trung điểm của CD AB,

ABC  ABD   DJ CJ,  90 hay DJCJ

+ ACD cân tại A , I là trung điểm CD  AICD mà ACD  BCD  AIBCD

+ AIC vuông tại I  AI2 AC2  IC2 a2 x2

+ DJC vuông tại J  DJ2CJ2 CD2  a2 x2 4x2

33

a x

Câu 43 Cho tứ diện ABCD có ACD  BCD

, AC AD BC BD a    , CD2x Giá trị của x để hai mặt phẳng ABC và  ABD vuông góc với nhau là:

a

32

a

53

a

Lời giải Chọn B

+ Gọi ;I J lần lượt là trung điểm của CD AB,

+ ACD cân tại A , I là trung điểm CD  AICD mà ACD  BCD  AIBCD

+ AIC vuông tại I  AI2 AC2  IC2 a2 x2

a x

Câu 44 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SAABC

, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC

bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

a

77

a

Lời giải Chọn B

Vì SAABC nên SB ABC;   SB AB;  SBA  SBA 60

.tan

a

AM 

.Trong tam giác SAM vuông tại A, ta có

a AH

Vậy d AC SB ;  d A SBD ;  

155

a AH

H

Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA a,  và SA vuông góc với đáy

Gọi M là trung điểm SB N, thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND Tính thể tích V của khối tứ diện

ACMN ?

A

31

.12

V  a

B

31.6

V  a

C

31.8

V  a

D

31.36

V  a

Lời giải Chọn A

Cách 1 Ta có

3

1

I

3 2

Vì OM//SD nên SD/ /AMC

Do đó d N AMC ;   d D AMC ;   d B AMC ;  

S  S

)

Câu 46 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, hai mặt phẳng (ABCD) và (SAD)

vuông góc nhau,SAD cân tại S Góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ AD đến (SBC)

Gọi H là hình chiếu của S trên AD( H là trung điểm AD, do SAD cân tại S) Ta có :

a a

Câu 47 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a Gọi  là góc giữa mặt bên

và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2cos

4

 

10cos

10

 

2cos

2

 

14cos

2

 

Lời giải Chọn A

O

C B

S

M

Giả sử hình chóp đều S ABCD. thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi M là trung điểm của CD; O AC BD SOABCD( do hình chóp đều S ABCD. )

Câu 48 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB Biết rằng

AD DC CB a   , AB2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và mặt phẳng SBD

tạo với đáy góc 45.Gọi I là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng SBD

a

d 

22

a

d 

Lời giải Chọn C

H

I A

B S