Những Khái Niệm Cơ Bản Về Lý Thuyết Xác Suất Câu Hỏi Trắc Nghiệm Vận Dụng

Môn xác suất thống kê được giảng dạy như một môn học cơ bản ở các bậc học như phổ thông, trung học chuyên nghiệp, cao đẳng… Tuy nhiên để tạo được đề thi trắc nghiệm để đánh giá đúng kết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

- -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG

BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN

SINH VIÊN THỰC HIỆN TRẦN TẤN THANH NGÀNH: TOÁN THỐNG KÊ KHÓA 32

Luận văn tốt nghiệp là kết quả của những năm tháng đầy những điều đáng nhớ, cũng là thử thách cuối cùng để chúng tôi hoàn tất chương trình đại học Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã gặp một số khó khăn, vướng mắc và đã được Cô hướng dẫn giải đáp thật tận tình Nhân đây, tôi xin được bài tỏ lòng biết ơn của mình đối với

Cô Dương Thị Tuyền, xin chân thành cảm ơn Cô đã giúp em hoàn thành luận văn cũng như giúp chúng em giải quyết những khó khăn trong học tập và trong cuộc sống Thành kính biết ơn toàn thể quý Thầy Cô trong Bộ môn Toán khoa Khoa Khoa Học Tự Nhiên, cũng như toàn thể Thầy Cô trong trường Đại học Cần Thơ đã truyền đạt cho chúng em những kiến thức cơ bản làm hành trang bước vào cuộc sống

Và xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và các thành viên trong gia đình đã đặt trọn niềm tin và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình Đại học

Xin cảm ơn những người bạn đã ở bên tôi, cùng tôi vượt qua những khó khăn thử thách trong suốt quãng đời sinh viên

Cần Thơ, tháng 5 năm 2010

Trần Tấn Thanh

MỤC LỤC

Trang LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2

1.1 Phép thử và biến cố 2

1.1.1 Khái niệm 2

1.1.2 Các loại biến cố và quan hệ giữa chúng 2

1.2 Định nghĩa về xác suất 5

1.2.1 Khái niệm về xác suất 5

1.2.2 Định lý xác suất theo lối cổ điển .6

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê 8

1.2.4 Định nghĩa xác suất theo lối hình học 9

1.3 Công thức tính xác suất 10

1.3.1 Công thức cộng xác suất 10

1.3.2 Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất 11

1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 13

1.3.4 Công thức Bernoulli 15

Chương 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 17

2.1 Giải tích tổ hợp 17

2.2 Những khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất 21

Chương 3: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM McMIX 50

3.1 Giới thiệu 50

3.2 Đặc điểm tính năng 50

3.3 Kết khi chạy phần mềm McMIX 51

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

LỜI MỞ ĐẦU - -

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Ra đời

từ thế kỷ 17 và được ứng dụng sâu rộng trong các ngành kinh tế - xã hội và khoa học

kĩ thuật Môn xác suất thống kê được giảng dạy như một môn học cơ bản ở các bậc học như phổ thông, trung học chuyên nghiệp, cao đẳng…

Tuy nhiên để tạo được đề thi trắc nghiệm để đánh giá đúng kết quả học tập của học sinh thì đòi hỏi người giáo viên phải tốn rất nhiều công sức và thời gian Nhằm giúp cho giáo viên giảm bớt phần nào gánh nặng khi biên soạn đề thi, tôi đã chọn đề tài “Những khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất - Câu hỏi trắc nghiệm vận dụng” Nội dung đề tài gồm có 3 chương:

- Chương 1: Giới thiệu những khái niệm cơ bản về xác suất như: phép thử, các loại

biến cố, định nghĩa về xác suất, những công thức tính xác suất …

- Chương 2: Dựa trên cơ sở lý thuyết đó để tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm mà giáo

viên có thể cho thi hay kiểm tra ở mọi bậc học như: phổ thông, cao đẳng, đại học…

- Chương 3: Giới thiệu phần mềm trắc nghiệm

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1.1.1 Khái niệm

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó

được gọi là một phép thử Kết quả của phép thử được gọi là biến cố Kí hiệu biến cố

A, B, C…

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc là một phép thử, còn xúc xắc xuất hiện mặt nào là các biến cố

Ví dụ 2: Bắn một phát súng vào tấm bia là phép thử, còn viên đạn trúng bia (hay

không trúng bia) là biến cố

Ví dụ 3: Từ một lô hàng gồm những sản phẩm tốt và có cả phế phẩm, lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm để kiểm tra chất lượng là một phép thử Còn lấy được phế phẩm (hay chính phẩm) là các biến cố

Như vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện

1.1.2 Các loại biến cố và quan hệ giữa chúng

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử Kí

hiệu: 

Ví dụ 4: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “con xúc xắc xuất hiện mặt có số

chấm nhỏ hơn 7” thì  gọi là biến cố chắc chắn khi đó ta có A  

- Biến cố không thể: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

Kí hiệu: Ø

Ví dụ 5: Lấy cuốn sách có một 100 trang và lật ngẫu nhiên một trang Gọi A là biến cố

lật được trang 102 khi đó ta có A  Ø

- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra khi thực

hiện một phép thử Người ta thường kí hiệu biến cố ngẫu nhiên là A, B, C…

Ví dụ 6: Tung ngẫu nhiên một con xúc xắc Gọi A là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt 2

chấm” thì A gọi là biến cố ngẫu nhiên

Tất cả các biến cố mà ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong ba loại biến cố trên Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thường gặp hơn cả và lý thuyết xác suất chủ yếu là nghiên cứu loại biến cố này

- Biến cố thuận lợi: Biến cố A được gọi là thuận lợi cho biến cố B nếu sự xảy ra

của A kéo theo sự xảy ra của B Kí hiệu: A  B hay A B

Ví dụ 7: Khi tung một con xúc xắc đồng chất và cân đối Gọi

A là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Ai là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là i (1 , 6)

Ta có: A2 A; A4  A; A6 A

- Biến cố tương đương: Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu

A xảy ra thì biến cố B xảy ra và ngược lại Kí hiệu: A B

Ví dụ 8: Xét một phép thử: chọn ngẫu nhiên 3 ba bệnh nhân trong một bệnh viện

Gọi: A là biến cố có một người nữ trong 3 người chọn ra

B là biến cố có hai người nam trong 3 người chọn ra

Khi đó, ta có: A = B

- Biến cố tổng: Biến cố C được gọi tổng của hai biên cố A và B nếu C xảy ra khi

và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc biến cố B xảy ra Kí hiệu: C  A  B

Tổng quát: Biến cố C được gọi là tổng của n biến cố A1, A2,…., An. Nếu A xảy ra khi

và chỉ khi có ít nhất một trong biến cố Ai đó xảy ra Kí hiệu: C = A1 + A2 + …+ An

Ví dụ 9: Từ túi kẹo gồm có hai loại kẹo trái cây và kẹo sữa lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo

Gọi: C là biến cố chọn được viên kẹo trái cây hoặc được kẹo sữa

A là biến cố chọn được viên kẹo sữa

B là biến cố chọn được viên kẹo trái cây

Thì ta sẽ có sự biển diễn của biến cố C thông qua biến cố A và B là C = A+B

- Biến cố tích: Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và biến cố B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đồng thời xảy Kí hiệu C = A B

Tổng quát: Biến cố C được gọi là tích của n biến cố A1, A2,…., An nếu C xảy ra khi

và chỉ khi cả n biến cố đó đồng thời xảy ra Kí hiệu: C = A1.A2….An

Ví dụ 10: Từ túi kẹo gồm có hai loại kẹo trái cây và kẹo sữa lấy ngẫu nhiên 2 viên

kẹo

Gọi: C là biến cố chọn được hai viên kẹo khác loại

A là biến cố chọn được viên kẹo sữa

B là biến cố chọn được viên kẹo trái cây

Khi đó ta có: C = A.B

- Biến cố sơ cấp: Là biến cố không thể phân tích thành tổng của hai hay nhiều biến

cố nào khác Hay nói cách khác biến cố sơ cấp là biến cố không có biến cố nào khác thuận lợi cho nó ngoại trừ chính nó

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử gọi là không gian biến cố

sơ cấp Kí hiệu: 

Ví dụ 11: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất

Gọi: Ai là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt i chấm (i = 1 , 6)

Vậy ta có các biến cố A1, A2,…,A6 là các biến cố sơ cấp và  = {A1, A2, , An}

- Biến cố xung khắc: Hai biến được gọi là xung khắc với nhau nếu A.B = Ø

Tổng quát: Nhóm biến cố B1, B2,…, Bn được gọi là biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu tổng của chúng là biến cố chắc chắn và bất kỳ hai biến cố nào trong chúng cũng xung khắc nhau

Ví dụ 12: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất

Gọi: A là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ

B là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Khi đó, ta có A, B là nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc vì:

A + B =  và A.B = Ø

- Biến cố đối lập: Biến cố không xảy ra của biến cố A được gọi là biến cố đối lập

của biến cố A Kí hiệu: A

Ví dụ 13: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm trong đó 2 sản phẩm xấu chọn ngẫu nhiên

ra hai sản phẩm ra kiểm tra

Gọi A là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu,

B là biến cố không có sản phẩm nào xấu

Ta có A và B là hai biến cố đối lập nhau A B, B A

- Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A1, A2, An được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng một khả năng xuất hiện như nhau khi thực hiện phép thử

- Biến cố độc lập: Hai biến cố được gọi là độc lập nhau nếu biến cố này xảy ra hay

không xảy ra không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia

và ngược lại

Tổng quát: Nhóm biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến

cố trong nhóm độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại

Ví dụ 14: Có 4 túi kẹo, mỗi túi đều chứa những viên kẹo trái cây và kẹo sữa Chọn

ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ mỗi lọ

Gọi Ai là biến cố chọn được viên kẹo sữa từ túi thứ i (i =1,2,3,4)

Ta có: A1 , A2 A3 , A4 là nhóm độc lập toàn phần

Chú ý: Hai biến cố đối lập với nhau thì chúng xung khắc với nhau Nhưng hai biến

cố xung khắc với nhau nhưng chưa chắc chúng đối lập với nhau

1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1.2.1 Khái niệm về xác suất

Biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong một phép thử là điều không thể khẳng định trước Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có khả năng xảy ra không giống nhau, chẳng hạn bằng trực giác ta có thể thấy biến cố “ra mặt sấp” khi tung một đồng xu có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố

“ra mặt 6 chấm” khi tung một con xúc xắc Hơn nữa khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong điều kiện như nhau ta thấy tính chất ngẫu nhiên của một biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ thể hiện theo những qui luật nhất định

Từ đó ta thấy có thể đo lường khả năng khách quan xuất hiện của một biến cố nào đó

Định nghĩa: Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách

quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép thử

Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa và định lý sau đây

1.2.2 Định lý xác suất theo cổ điển

a/ Ví dụ: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A là biến cố “xúc xắc

xuất hiện mặt chẵn” Ta tìm xác suất biến cố A

Giải Khi tung xúc xắc cân đối và đồng chất ta thấy có 6 trường hợp có thể xảy ra: Xúc xắc ra mặt 1; 2; ; 6 chấm Những trường hợp này là duy nhất và có khả năng xảy ra như nhau Người ta thường gọi các trường hợp thỏa mãn các điều kiện trên là các kết cục “đồng khả năng” Trong đó sáu kết cục đồng khả năng,

ta chỉ thấy có 3 kết cục mà các kết cục này xảy ra thì biến cố A xảy ra Đó là các kết cục: xúc xắc ra mặt 2; 4; 6 chấm Những kết cục mà khi nó xảy ra làm cho biến cố A xảy ra gọi là các kết cục thuận lợi cho A

Như vậy về mặt trực quan ta thấy khả năng xảy ra biến cố A là

6

3 hay 0,5 Đó chính là cách tính xác suất theo lối cổ điển

b/ Định nghĩa: Xác suất xuất hiện biến cố A là tỉ số giữa số kết cục thuận lợi cho

A và số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử

Nếu kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A và m là số kết cục thuận lợi cho A, n

là số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử thì

P(A) =

nm

3) Nếu Ø là biến cố không thể thì: P(Ø) = 0

Như vậy biến cố A là biến cố bất kỳ thì xác suất của biến cố A luôn luôn thỏa mãn điều kiện: 0P(A)1

4) Nếu A là biến cố thuận lợi cho B thì P(A) P(B)

Chú ý: Mệnh đề đảo của tính chất 2, 3 và 4 chưa chắc đã đúng Nghĩa là biến

cố có xác suất bằng 1 thì chưa chắc đã là biến cố chắc chắn và một biến cố có xác suất

bằng 0 thì chưa chắc đã là biến cố không thể và nếu P(A)  P(B) thì A chưa chắc

thuận lợi cho B

Ví dụ 15: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối của số điện thoại cần

gọi mà chỉ nhớ rằng hai số đó khác nhau Tìm xác suất để người đó quay ngẫu nhiên

một lần được đúng số điện thoại cần gọi?

Giải Gọi A biến cố “người đó quay ngẫu nhiên quay một lần được số điện thoại cần

gọi”

Ta thấy số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra khi phép thử thực hiện là

n = A2

10= 90 (đây chính là số cách chọn hai số cuối của số điện thoại cần gọi)

Số kết cục thuận lợi cho biến cố A là m =1 Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta

có P(A) =

90

1 n

m



Ví dụ 16: Một hộp đựng 12 sản phẩm trong đó có 4 sản phẩm kém chất lượng, còn lại

là sản phẩm tốt Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm Tính xác suất để chọn được số sản

phẩm tốt bằng số sản phẩm kém chất lượng

Giải Gọi A là biến cố chọn số sản phẩm tốt bằng số sản phẩm kém chất lượng

56 = 0,3393

d/ Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm: Định nghĩa này cho ta mô hình toán rất tốt đối với các bài toán ngẫu

nhiên liên quan đến phép thử các kết cục đó đồng khả năng xuất hiện Nếu đáp ứng

đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa thì nó cho phép ta tìm được một cách chính xác giá

trị của xác suất

Nhược điểm: Đòi hỏi là số kết cục phải đồng khả năng có thể xảy ra trong số

phép thử phải là hữu hạn Trong thực tế có nhiều phép thử mà trong đó số kết cục có

thể là vô hạn và cũng phải không lúc nào cũng phân tích được thành các kết cục đồng

khả năng

Để khắc phục hạn chế này của định nghĩa cổ điển, người ta xây dựng định nghĩa thống kê của xác suất sau đây

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê

a/ Tần suất: Tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử là tỉ số giữa số

phép thử có biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Nếu ký hiệu số phép thử là n, số phép thử mà A xuất hiện là k, tần suất xuất hiện của biến cố A là f(A) Thì:

f(A) =

n

k Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần xuất là một trong những khái niệm

cơ bản của lý thuyết xác suất

Ví dụ 17: Khi kiểm tra ngẫu nhiên 60 sản phẩm người ta phát hiện ra 3 phế phẩm Nếu

gọi A là biến cố “xuất hiện phế phẩm khi kiểm tra một sản phẩm”, thì tần suất xuất

hiện của phế phẩm là: f(A) =

60

3

= 0,05

Ví dụ 18: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện của mặt sấp khi tung một đồng xu, người

ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng:

Từ thí nghiệm trên ta thấy, khi số phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện của mặt sấp dần dần tiến về 0,5 (xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu là 0,5) Vậy tần suất dần đến xác suất khi số phép thử tăng dần đến vô hạn Từ đó ta có định nghĩa sau:

b/ Định nghĩa: Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố A tiến

dần đến một số xác định được gọi là xác suất của biến cố A Kí hiệu:

n

k)

A(

P lim

n  



c/ Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm: Giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp không cần giả

thiết tính đồng khả năng, trong khi đó xác suất cổ điển chỉ áp dụng trong phạm vi không gian biến cố sơ cấp gồm hữu hạn biến cố sơ cấp đồng khả năng

Nhược điểm: Tuy nhiên, định nghĩa xác suất theo thống kê chỉ áp dụng được

đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định Hơn nữa, để xác định một cách chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành trên thực tế một số đủ lớn các phép thử Nói cách khác xác suất theo quan điểm thống kê là xác suất được tính sau khi phép thử đã thực hiện Trong nhiều bài toán thực tế rất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phép thử để dựa vào đó mà tính xác suất của một biến cố

1.2.4 Định nghĩa xác suất theo hình học

Định nghĩa: Cho miền  đo được (trong đường thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều v.v…) và miền con S đo được của  Ta lấy ngẫu nhiên một điểm M trong miền

 Đặt A= biến cố “MS” (đọc là điểm M thuộc miền S) Xác suất của biến cố A được xác định như sau:

- Miền  là không gian biến cố sơ cấp

- Nếu miền  là đường cong hay đoạn thẳng thì “độ đo” của  là độ dài của

nó Nếu miền  là hình phẳng hay mặt cong thì “độ đo” của miền  là diện tích của

nó Nếu  là hình khối ba chiều thì “độ đo” của  là thể tích của nó v.v

Ví dụ 19: Ném một chất điểm vào một hình vuông có cạnh 2cm Tính xác suất để chất

điểm rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông đã cho

Giải Gọi A là biến cố chất điểm rơi vào hình tròn

Độ đo của miền  là diện tích của hình vuông bằng 4cm2

Độ đo của miền S là diện tích của hình tròn tâm O bán kính 1cm bằng cm2

Ta có P(A) =

4

 Vậy xác suất cần tìm là

4



Độ đo của miền S

Độ đo của miền  P(A) =

1.3 CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

1.3.1 Công thức cộng xác suất

Trường hợp 1: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

P(A + B) = P(A) + P(B)

Chứng minh: Ta chứng minh trường hợp phép thử có thể phân tích thành n kết

cục đồng khả năng Trong đó có m1 kết thuận lợi cho biến cố A và m2 kết cục thuận lợi cho biến cố B Khi đó số kết cục thuận lợi cho biến cố (A + B): sẽ là m1 + m2 (vì A, B

xung khắc) Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có

m1 2







Tổng quát: Nếu A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi thì

P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2)+ …+ P(An)

Hệ quả 1: Nếu A1, A2,…, An là nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi thì:

1)A(P

n

1 i

i 





Hệ quả 2: Nếu A và A là hai biến cố đối lập với nhau thì: P(A) + P(A) = 1

Ví dụ 20: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để con xúc xắc

xuất hiện mặt 2 chấm hoặc mặt 6 chấm

Giải Gọi: A là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm

B là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên:

P(A + B) = P(A) + P(B) =

3

1 6

1 6

Trường hợp 2: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết cục đồng khả năng Trong đó có m1 kết cục thuận cho biến cố A , m2 kết cục thuận lợi cho biến cố B và có k kết cục thuận lợi

cho cả A và B Khi đó số kết thuận lợi cho biến cố (A + B) sẽ là: m1 + m2 – k Theo định nghĩa cổ điển về xác suất, ta có:

P(A+B) =

n

k n

m n

m n

k m

Tổng quát: Nếu A1, A2,…., An là các biến cố bất kì ta có

P(A1 + A2 + ….+ An) = P(A ) P(A A ) P(A A A ) ( 1)nP(A1 An)

k j i

k j i j

i

j i n

Ví dụ 21: Trong một lớp học có 50 sinh viên Trong đó có 20 sinh viên giỏi toán; 30

sinh viên giỏi ngoại ngữ; 10 người giỏi cả hai môn Chọn ngẫu nhiên một người trong lớp Tìm xác suất chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một trong hai môn trên

Giải Gọi: A là biến cố chọn được sinh viên giỏi toán

B là biến cố chọn được sinh viên học giỏi ngoại ngữ

C là biến cố chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một trong hai môn

Ta thấy C = A + B (A, B là hai biến cố không xung khắc) Nên

P(C) = P(A) + P(B) – P(A.B) = 0 , 8

50

10 50

30 50

20







1.3.2 Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất

a/ Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được

gọi là xác suất có điều kiện của A Kí hiệu là P(A/B)

Ví dụ 22: Trong bình có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt

hai quả cầu (lấy không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng nếu biết lần thứ nhất lấy được quả màu trắng

Giải Gọi: A là biến cố “lần thứ hai lấy được quả màu trắng”,

B là biến cố “lần thứ nhất lấy được quả màu trắng”

Ta cần tìm xác suất P(A/B) Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được cầu trắng (tức B

đã xảy ra) nên trong bình còn lại 7 quả cầu (trong đó có 4 quả màu trắng)

Nên: P(A/B) =

7 4

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu màu trắng biết lần thứ nhất lấy

được quả màu trắng là

7

4

b/ Công thức nhân xác suất

Trường hợp 1: Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ thì

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết cục đồng khả năng Có m1 kết cục thuận lợi cho biến cố A; m2 kết cục thuận lợi cho biến cố B, vì A và B la hai biến cố bất kỳ nên có thể có k kết cục thuận lợi cho cả A và B Theo định nghĩa xác suất cổ

1

m

k Như vậy:

P(A).P(B/A)

m

kn

mn

kP(A.B)

Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là các biến cố bất kỳ thì:

P(A1.A2 …An) = P(A1).P(A2/A1) P(An/ A1.A2 …An-1)

Ví dụ 23: Một nhân viên đã để lộn một sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm tốt Nhân viên

này cần kiểm tra lần lượt từng sản phẩm cho đến khi phát hiện sản phẩm xấu thì dừng lại Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ tư

Giải Gọi: A là biến cố để việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ tư

Ai là biến cố nhân viên chọn được sản phẩm tốt thứ i

Ta có:

A  A1 A2A3A4

1 3

2 4

3 5

4







Vậy xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ tư là 0,2

Trường hợp 2: nếu A, B là hai biến cố độc lập thì:

P(A.B) = P(A).P(B)

Chứng minh: Ta có P(A.B) = P(A).P(B/A)

Mặc khác do A và B độc lập nên ta có P(B/A) = P(B)

Do đó P(A.B) = P(A).P(B)

Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là các biến cố độc lập toàn phần thì:

P(A1.A2 ….An) = P(A1).P(A2)….P(An)

Ví dụ 24: Một phân xưởng có 3 máy Xác suất để trong ngày các máy bị hỏng tương

ứng là: 0,1; 0,2; 0,15 Tìm xác suất để có một máy bị hỏng trong ngày

Giải Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố: “ máy thứ i bị hỏng trong ngày”;

A là biến cố: “có một máy bị hỏng trong ngày”

Ta có: A = A1.A2.A3 + A1.A2.A3 + A1.A2 A3

Vì các biến cố tích xung khắc từng đôi và trong mỗi tích đó các biến cố độc lập toàn phần Do đó:

P(A) = P(A1).P(A2).P(A3) + P(A1).P(A2).P(A3) + P(A1).P(A2).P(A3) = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329

Vậy xác suất để có một máy bị hỏng trong ngày là 0,329

1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sứ các biến cố A1,A2, ,An lập thành hệ đầy đủ các biến cố và B là biến

cố bất kỳ có thể xảy ra đồng thời một trong các biến cố Ai, ta có công thức:

)A/B(P)A(P)B(

n

1 i i







được gọi là công thức xác suất đầy đủ

Chứng minh: Ta có: BBA1BA2 BAn

Vì các A1, ,An xung khắc từng đôi nên BA1 ,BA2, ,BAn cũng xung khắc từng đôi nên:

)BA(P

)BA(P)BA(P)

1 i

Ví dụ 25: Có 3 lô sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm của từng lô sản phẩm tương ứng là 0,06;

0,02; 0,01 Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô chọn ra một sản phẩm Tìm xác suất để lấy được phế phẩm

Giải Gọi: B là biến cố lấy được phế phẩm, A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố: sản phẩm lấy ra thuộc lô 1,2,3

Các biến cố A1, A2, A3 là nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(B) = P ( A ) P ( B / Ai)

3 1 i i





P(A1) = P(A2)=P(A 3) =

3 1

Mặt khác, P(Ai.B) = P(Ai).P(B/Ai) = P(B).P(Ai/B)



) A / B ( P ) A ( P

) A / B ( P ) A ( P )

B ( P

) A / B ( P ) A ( P ) B / A ( P

i n

1 i i

i i

i i

được gọi là công thức Bayes

Ví dụ 26: Dây truyền lắp rắp gồm các chi tiết do hai máy sản xuất Máy thứ nhất sản

xuất 60%; máy thứ hai sản xuất 40% tổng số chi tiết máy Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của máy thứ nhất là 90%; của máy thứ hai là 85% Lấy ngẫu nhiên một chi tiết

từ dây chuyền đó thì được chi tiết đạt tiêu chuẩn Tìm xác suất để chi tiết đó do máy thứ nhất sản suất?

Giải Gọi: B là biến cố: “lấy được chi tiết đạt tiêu chuẩn”

Ai là biến cố “ lấy được chi tiết do máy thứ i sản xuất (i = 1, 2) Các biến

cố Ai (i=1, 2) là nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Theo giả thiết B xảy ra

Áp dụng công thức Bayes ta có:

) A / B ( P ) A ( P

) A / B ( P ) A ( P )

B ( P

) A / B ( P ) A ( P ) B / A ( P

i 2

1

i i

i i

9,0.6,0



Vậy xác suất để chi tiết lấy ra do máy thứ nhất sản xuất là 0,614

1.3.4 Công thức Bernoulli

a./ Dãy phép thử độc lập Bernoulli

Những phép thử có cùng một điều kiện và cùng kết quả được gọi là những phép thử lặp lại Những phép thử mà kết quả của mỗi phép thử không ảnh hưởng đến sự xuất hiện những kết quả của những phép thử khác được gọi là độc lập nhau Trong trường hợp phép thử có hai kết quả, không gian biến cố sơ cấp gồm hai kết quả, một

trong chúng gọi là “thành công” và kí hiệu là 1; phần tử kia gọi là “thất bại” và kí

hiệu là 0 Giả sử xác suất thành công là p, còn xác suất thất bại là q =1- p

Định nghĩa: Dãy n phép thử lặp lại, độc lập nhau, mỗi phép thử gồm một trong hai kết

quả “thành công” và “thất bại”, với xác suất thành công p không thay đổi theo phép

thử được gọi là dãy phép thử độc lập Bernulli

b/ Công thức xác suất Bernoulli

Xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần thành công trong n phép thử độc lập được tính theo công thức sau:

Pn(k) = Ck

npk

qn k

(k = 1,2,3,…,n)

Ví dụ 27: Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 0,05 Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng 5 sản

phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có hai phế phẩm

Giải Nếu ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là một phép thử, theo giả thiết ta có 5 phép thử độc lập Gọi A là biến cố: “sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm” Ta thấy trong một phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm lấy ra là phế phẩm (tức A xảy ra), hoặc sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra) Xác suất để A xảy ra trong mỗi lần kiểm tra đều bằng 0,05 theo công thức Bernoulli:

P5(2) = C25( 0 , 05 )2( 0 , 95 )3  0 , 0214

Vậy xác suất để có hai phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra để kiểm tra là 0,0214

Chương 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG

2.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Câu 1 Đề thi cuối học kì 1 của khối 9 của một trường trung học cơ sở gồm hai loại

đề tự luận và trắc nghiệm, trong đó đề thi tự luận có 15 đề, đề trắc nghiệm có 20 đề Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách để chọn đề thi cho học sinh

Câu 4 Một nữ sinh trung học có thể đến trường với hai loại trang phục là quần trắng

áo dài, hoặc quần xanh áo sơ mi Giả sử nữ sinh có 7 quần trắng và 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì nữ sinh có bao nhiêu bộ trang phục để đi học

A 840 B 59 C 62 D 58

Câu 5 Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiên số tự

nhiên có 5 chữ số, mà các số này không bắt đầu bằng 2 và chữ số cuối không chia hết cho 2

A.95 B 29160 C 59 D 8.94

Câu 6 Từ các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho

các chữ số này đều nhỏ hơn 600000

Câu 9 Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một cái ghế dài Có bao nhiêu cách sắp xếp

để A và F ngồi cạnh nhau

A.120 B 240 C 24 D 48

Câu 10 Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một cái ghế dài Có bao nhiêu cách sắp xếp

để A và F ngồi ngồi ở hai đầu của ghế

A 48 B 24 C 12 D 32

Câu 11 Một buổi họp gồm có 8 vị khách A, B, C, D, E, F, G, H Có bao nhiêu cách

sắp 8 vị khách này vào một cái ghế dài sao cho vị khách A và F không ngồi cạnh nhau A.8! B 7! C 6.7! D 8.6!

Câu 12 Có 5 lá phiếu được xếp thứ tự từ 1 đến 5 Có bao nhiêu cách sắp xếp để các

phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt

A 24 B 12 C 5 D 8

Câu 13 Một sinh viên có 12 cuốn giáo trình đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn

môn Xác Suất, 4 cuốn Giải Tích , 6 cuốn Anh Văn Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn giáo trên vào một kệ dài, nếu mọi cuốn sách cùng một lĩnh vực được xếp kề nhau

10.C

C C 3 2

5 3

10.C

C D 2 2

5 3

10.CC

Câu 15 Trong một túi có 8 viên kẹo cam, 5 viên kẹo chuối và 3 viên kẹo táo Từ trong

túi lấy ra 4 viên kẹo sao cho có đúng hai viên kẹo cam Có bao nhiêu cách lấy như thế

A 784 B 224 C 1820 D 448

Câu 16 Giả sử ta có 8 viên kẹo cam, 5 viên kẹo dâu, 3 viên kẹo sữa được bỏ vào một

cái túi Có bao nhiêu cách lấy từ trong túi 4 viên kẹo sao cho số viên kẹo cam bằng số viên kẹo dâu

A 784 B.204 C 400 D 448

Câu 17 Trong một hộp có 5 bi xanh, 4 bi trắng và 3 bi vàng Có bao nhiêu cách lấy từ

trong hộp 6 bi sao cho có đúng hai màu

A 112 B 109 C 119 D 102

Câu 18 Trong một hội nghị ba nước Đông Dương , phái đoàn Việt Nam có 5 người,

Lào và Campuchia cùng có 4 người được xếp ngồi vào một ghế dài Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho những người cùng quốc gia thì ngồi cạnh nhau

A 5!.(4!)2 3 B 5!.(4!)2 3! C 5!.4! 3 D 5!.4! 3!

Câu 19 Một bảng chữ cái gồm 21 phụ âm và 5 nguyên âm Có bao nhiêu chữ cái

(không cần nghĩa) gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 3 nguyên âm khác nhau

Câu 20 Trong một lớp học Anh văn có 28 trong đó có Tí Để thành lập một tổ văn

nghệ gồm có 13 người trong tổ cần có một tổ trưởng Có bao nhiêu cách chia tổ khi Tí luôn có mặt nhưng chỉ là thành viên

C C 1

13

C 11 26

C D 1

13

C 12 26

C

Câu 21 Trong một lớp học tiếng Hoa có 12 nam và 16 nữ Cần chọn ra một đội văn

nghệ gồm 13 người và phải có ít nhất 10 nữ và phải có nữ và nam Có bao nhiêu cách chọn như vậy

10 11 15 2 10 11

10 12 15 2 10 11

Câu 22 Cô giáo chủ nhiệm có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn

sách văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội họa Cô muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng 6

em học sinh có thành tích học tập tốt nhất của học kỳ qua Có bao nhiêu cách tặng nếu

cô giáo chỉ tặng hai loại sách văn học và âm nhạc

Câu 23 Một lớp toán có 30 sinh viên, trong đó có hai cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu

cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp

A 870 B 784 C 812 D 756

Câu 24 Một đoàn tàu có 3 toa chở khách (toa I, II, III) Trên sân ga có bốn vị khách

lên tàu Mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống, có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách đó lên 3 toa tàu trên

A 97 B 98 C 96 D 99

Câu 25 Trong một cuộc họp thượng đỉnh cả các nước công nghiệp phát triển G7, mỗi nước có ba đại diện tham gia Nước Nga được mời tham dự và Nga có hai đại diện Những người chung một nước thì ngồi chung với nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp để

họ ngồi thành một hàng

A 67 B 2.8! C 67.2.8! D 66.2.8!

Câu 26 Sau một buổi tổng kết, có 5 công nhân của xí nghiệp A được khen thưởng

Công đoàn của nhà máy có 3 xuất đi du lịch để thưởng cho 3 trong 5 công nhân đó, 2 công nhân còn lại được thưởng tiền Có bao nhiêu cách phân phối phiếu du lịch cho 3 trong 5 công nhân, giả sử cách phiếu du lịch là khác nhau

Câu 27 Ba người bạn sinh viên A, B, C cùng đến nhà D mượn sách Bạn D có 9

quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển giáo trình và một quyển truyện tranh Bạn

B mượn hai quyển, C mượn 3 quyển, A mượn hai quyển và một quyển truyện tranh Bạn D có bao nhiêu cách cho mượn sách

C 3 5

C 3 D 1

8

C 2 7

C 3 5

C 6

Câu 28 Hai vợ chồng có 4 người con cùng chụp hình lưu niệm Có bao nhiêu cách

xếp hàng nếu người vợ đứng bên trái người chồng và hai vợ chồng luôn đứng cạnh nhau

A 48 B 24 C 36 D 60

Câu 29 Một sinh viên có 7 cuốn giáo trình gồm 3 cuốn xác suất, 2 cuốn giải tích và 2

cuốn cơ nhiệt Mỗi lần học lấy ra 3 cuốn, có bao nhiêu cách lấy sao cho mỗi lần lấy ra đều có đúng hai cuốn xác suất

A 3 B 12 C 4 D 24

Câu 30 Trong một hộp đựng 2 viên bi đỏ,3 viên bi trắng và 5 viên bi vàng Có bao

nhiêu cách lấy từ trong hộp để số bi lấy ra không có đủ cả ba màu

A 115 B 110 C 80 D 150

Câu 31 Trong một hộp bánh trung thu có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân

đậu xanh Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát bánh cho các em thiếu nhi có đúng

4 bánh nhân thịt khi lấy ra

Câu 32 Một người bạn mời 6 người bạn đến nhà, bố trí họ vào một bàn dài và đãi tiệc

Tiệc xong khi tiễn bạn, ông ta tuyên bố: bắt đầu từ tuần tới, mỗi tuần mời các người bạn đến chơi một lần và mỗi lần ngồi theo một trật tự khác nhau Phải mất bao nhiêu tuần ông ta mới thực hiện xong lời mời đó

A 719 B 720 C 718 D 721

2.2 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Câu 33 Gieo một con xúc xắc Gọi A là biến cố con xúc xắc xuất hiện mặt k chấm với

Câu 45 Kiểm tra theo tứ tự lô hàng gồm N sản phẩm Các sản phẩm đều thuộc một

trong hai loại tốt hoặc xấu, kí hiệu Ak (k = 1,2,….N) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Biến cố cả N sản phẩm đều xấu được biểu diễn là:

A A1 + A2 + A3 B A1 + A2A3 C A1A3 + A2 D A1A2 + A3

Câu 49 A là biến cố có ít nhất 1 trong 3 dụng cụ kiểm tra bị hỏng

B là biên cố cả ba dụng cụ kiểm tra đều tốt

Vậy biến cố A + B là biến cố:

A không thể (rỗng) B chắc chắn

C A, B đều sai D biến cố sơ cấp

Câu 50 A là biến cố trong 4 sản phẩm có ít nhất 1 phế phẩm vậy ý nghĩa của biến cố

A là:

A Trong 4 sản phẩm không có phế phẩm nào

B Trong 4 sản phẩm có không quá 2 phế phẩm

D Có không quá 3 phế phẩm trong 4 sản phẩm

Câu 52 Tìm biến cố ngẫu nhiên X từ đẳng thức: XAXAB

Câu 54 Một thiết bị gồm hai nồi hơi và một đầu máy

A là biến cố đầu máy được sửa xong

B là biến cố nồi hơi thứ k được sửa xong (k=1,2)

Thiết bị muốn hoạt động được nếu đầu máy và ít nhất một nồi hơi được sửa chửa xong Gọi C là biến cố thiết bị hoạt động Hãy biểu diễn biến cố C qua biến cố A

và Bk :

A C = A.B1 B A.(B1+B2) C A + B1 + B2 D A + B1B2

Câu 55 Một thiết bị gồm hai nồi hơi và một đầu máy:

Gọi: A là biến cố đầu máy được sửa xong

B là biến cố nồi hơi thứ k được sửa xong (k = 1,2)

Thiết bị muốn hoạt động được nếu đầu máy và ít nhất một hơi được sửa chữa xong

Gọi C – biến cố thiết bị hoạt động Hãy biểu diễn biến cố Cqua biến cố A và Bk :

A C = A+B1.B2 B C = A+B1.B2

C C = B1 B2 D C = A + B1B2

Câu 56 Chọn một câu đúng trong các câu sau:

A Biến cố A là thuận lợi cho biến cố B nếu B xảy ra thì A xảy ra

B Hai biến cố là độc lập nhau khi và chỉ khi chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử

C Xác suất của tổng các biến cố bằng tổng các xác suất của các biến cố đó khi chúng độc lập toàn phần

D Hệ các biến cố được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu và chỉ nếu có ít nhất một trong các biến cố đó xảy ra và hai biến cố bất kỳ trong chúng xung khắc nhau

Câu 57 Có 3 sinh viên thi môn xác suất thống kê một cách độc lập Gọi A i là biến cố sinh viên thứ i thi đạt(i 1, 2,3) Chọn một câu đúng trong các câu sau:

A Có đúng 1 sinh viên thi đạt: A1 + A2 +A3

B.Có đúng 2 sinh viên thi đạt: A1A2 + A2A3+ A1A3

C Sinh viên thứ nhất thi đạt: A1A 2 A 3

D Sinh viên thứ nhất và sinh viên thứ hai thi đạt: A1A2

Câu 58 Lọt vào vòng chung kết của một giải thi đấu cờ vua có 4 người: Lan, Mai,

Trường, Nam Dự kiến cuộc thi sẽ có 1 giải nhất, 1 giải nhì và 1 giải ba

Gọi Ai, (i = 1 4) lần lượt là các biến cố Lan, Mai, Trường, Nam đạt giải nhất;

Bi, (i = 1 4) lần lượt là các biến cố Lan, Mai, Trường, Nam đạt giải

Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

D Tất cả điều sai

Câu 59 Một hộp có 15 bi, trong đó có 3 bi đỏ Từ hộp này lấy ngẫu nhiên 2 bi, gọi A i

là biến cố lấy được i bi đỏ(i 0,1, 2) Chọn một câu sai trong các câu sau:

A A, B độc lập B A, B xung khắc C.A  B D Tất cả đều sai

Câu 61 Có ba người chơi bóng rỗ, mỗi người ném một quả Gọi Ai là biến cố người

thứ i ném trúng (i =1,2,3), A là biến cố có người ném trúng rỗ Chọn câu sai:

A P(A1.A) P(A1) B P(A1/A2) = P(A1)

C P(A) P(A1) + P(A2) + P(A3) D P(A) = 1- P(A1).P(A2).P(A3)

Câu 62 ChoA và B là hai biến cố bất kỳ Chọn một câu sai trong các câu sau:

A P ( A B )  P ( A )  P ( A B )

B P ( A B )  P ( B )  P ( A B )

C P ( A / B )  1  P ( A / B )

D P ( A / B )  1  P ( A / B )

Câu 63 Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu Gọi Ai là biến cố bắn trúng ít

nhất i viên, Bi là biến cố bắn trúng i viên,  là biến cố chắc chắn,  là biến cố không

thể Chọn câu sai:

A A2B1 = B1 B A2 + B1 = A2 C A B1 2 = A1 D A B1 2 = 

Câu 64 Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu Gọi Ai = {bắn trúng ít nhất i

viên}, Bi = {bắn trúng đúng i viên} Biến cố nào sau đây là biến cố không thể:

A A1 B2 B A2 B 2 C A3 B 1 D A1B2

Câu 65 Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu Gọi Ai = {bắn trúng ít nhất i

viên}, Bi = {bắn trúng đúng i viên} Chọn câu sai trong các câu sau đây:

A A1 + B2 =  B A2+ B1 = A2 C A2B1 = B1 D A1 B2 = 

Câu 66 Chọn một câu đúng trong các câu sau:

A.Nếu Ai (i=1 , n) là nhóm biến cố xung khắc từng đôi thì

P(A1.A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An)

B Nếu Ai (i=1,n) là nhóm biến cố độc lập toàn phần thì

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)

C Nếu Ai (i=1 , n) là nhóm biến cố đầy đủ thì P(A1 + A2 +…+ An) = 1

D Nếu Ai (i=1,n) là nhóm biến cố đồng khả năng thì P(A1) = P(A2) = … = P(An) = 1

Câu 67 Cho A và B là hai biến cố bất kỳ Chọn kết luận đúng:

A P(A/B)P(A)  P(B/A)P(B)

B P(A B) = 1- P(A) – P(B)

C P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)

D A, B độc lập P(A + B) = P(A) + P(B)

Câu 68 Một hộp có n sản phẩm, trong đó có k sản phẩm tốt( k 2) Chọn ngẫu nhiên

2 sản phẩm từ hộp, gọi Ai là biến cố chọn được i sản phẩm tốt (i = 0,1,2) Chọn một câu sai trong các câu sau:

A P(A0 + A1 + A2) = 1 B P(A0.A1.A2) = P(A0).P(A1).P(A2)

C P(A0.A1 + A2) = P(A2) D P(A 1 A2) = P(A0)

Câu 69 Nếu A là biến cố chắc chắn thì

1) A xung khắc với tất cả các biến cố khác

2) A độc lập với tất cả các biến cố khác

Chọn một câu đúng trong các câu sau:

A Chỉ có 1) đúng B Chỉ có 2) đúng

C Cả 1) và 2) đúng D Cả 1) và 2) sai

Câu 70 Cho biến cố A có P(A) = 0 Xét hai kết luận:

1) A xung khắc với tất cả các biến cố khác

2) A độc lập với tất cả các biến cố khác

Chọn câu đúng trong các câu sau:

Câu 73 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Xác suất để mặt có số chấm chẵn

Câu 74 Gieo đồng thời hai con xúc xắc Xác suất để nhận được hai mặt có tổng số

Câu 75 Gieo đồng thời hai con xúc xắc Xác suất để được hai mặt có tổng số chấm

Câu 76 Gieo một con xúc xắc đối xứng và đồng chất Xác suất để được hai mặt có ít

Câu 77 Gieo đồng thời hai con xúc xắc Xác suất để tổng số chấm xuất hiện bằng k;

Câu 80 Có 100 lá thăm như nhau được đánh số từ 1 đến 100 Xác suất để ta nhận

được lá thăm không có chữ số 5 khi ta lấy ngẫu nhiên một lá là:

100 7

Câu 81 Một trong 3 người khách rời khỏi nhà và đã để quên mũ Chủ nhà không biết

rõ chủ của chiếc mũ nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên Xác suất để chủ nhà trả đúng mũ cho chủ của nó là:

Câu 82 Một em nhi đồng tập xếp chữ Em có các chữ cái N, I, H, Ê, G, M Xác suất

để em nhi đồng đó sắp ngẫu nhiên được chữ NGHIÊM là:

Câu 83 Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng lại quên chữ số cuối và chỉ biết rằng

chữ số đó khác 0 Xác suất để khi người đó quay số một lần được số điện thoại của người bạn là:

Câu 84 Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó và 20 đề trung bình Xác suất để một học

sinh chọn ngẫu nhiên một đề, gặp được đề trung bình là:

30 2

Câu 85 Một người mua một vé số gồm 6 chữ số Xác suất để người đó trúng giải đặc

Câu 86 Có 100 tấm phiếu như nhau được đánh số từ 1 đến 100 Xác suất để khi lấy

ngẫu nhiên một phiếu được phiếu có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả 2 và 5 là:

Câu 88 Thang máy của tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách Xác suất để

Câu 89 Thang máy của tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách Xác suất để

mỗi người ra ở một tầng khác nhau là:

Câu 90 Chọn ngẫu nhiên một số gồm 5 chữ số, và số này được thành lập từ các chữ

Câu 91 Chọn một số tự nhiên gồm 6 chữ số Xác suất để chọn được số gồm 6 chữ số

khác nhau và số này chia hết cho 5 là:

A 0,032 B 0.015 C 0,017 D 0,04

Câu 92 Một bộ bài tiến lên được chia đều cho 4 người chơi Xác suất để mỗi người

đều nhận được con hai là:

C

C C C

C 13

52

12 24 12 36 12 48

C

! 4 C C C

52

12 24 12 35 12 48

C

! 2 C C C

Câu 93 Một bộ bài tiến lên được chia đều cho 4 người chơi Xác suất để có một người

nhận được 13 quân cơ là:

Câu 94 Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ bài tiến lên gồm 52 con Xác suất để lấy

được 1 con cơ, 2 con rô, 3 con pic là:

C C 13

C 8

52

3 13 2 13

C

C C 12

D 8

52

3 13 1 13

C

C C 12

Câu 95 Chọn ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ bài tiến lên gồm 52 con Xác suất để lấy

được 3 con cùng nước đã xác định trước

C

C C

C 8

52

5 39 3 13

C

C C

D 8

52

6 39 2 15

C

C C

Câu 96 Hai anh em là lái xe công tác ở hai đội xe gồm 5 và 7 người tương ứng Trong

một đợt công tác, mỗi đội phải chọn ngẫu nhiên 3 nguời và phân công ngẫu nhiên mỗi người chở hàng xuống một kho Xác suất để anh và em chở hàng xuống hai kho khác nhau

2 6 2 4

C C

C C

C 3

7 3 5

3 6 3 4

C C

C C

D

3 C C

C C

3 7 3 5

2 6 2 4

Câu 97 Hai anh em là lái xe công tác ở hai đội khác nhau gồm 5 và 7 người tương

ứng Trong một đội công tác , mỗi đội xe phải chọn ngẫu nhiên 3 người và phân công mỗi người chở hàng xuống một kho (theo nguyên tắc ngẫu nhiên) Xác suất để cả anh

và em đều được phân công đi chở hàng là:

C C

3 7 3 5

3 4 3

6 C 3

7 3 5

2 4 2 6

C C

C C

D

3 C C

C C

3 7 3 5

2 4 2 6

Câu 98 Một người có n chìa khóa trong đó chỉ có một chìa mở được khóa Ngườ đó

mở từng chìa Xác suất để người đó mở được chìa khóa trong lần thử thức k và số chìa khóa đã thử được để riêng ra ngoài

A

A 

Câu 99 Một người có n chìa khóa trong đó có một chìa mở được khóa.Người đó thử

từng chìa Xác suất người đó mở được khóa trong lần thử thứ k và biết các chìa đã thử không được bỏ ra ngoài

Câu 100 Có một cái hộp, trong đó có chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ kích

thước giống hệt nhau, lấy ngẫu nhiên hai quả Xác suất để lấy được hai quả khác màu:

C C

D 2

10

2 4 2 6

C

C C

Câu 101 Có một cái hộp, trong đó có chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ kích

thước giống hệt nhau, lấy ngẫu nhiên hai quả, xác suất để lấy được ít nhất một quả màu đỏ:

Câu 102 Có 5 khách hàng không quen nhau cùng vào mua hàng tại một của hàng có

3 quầy hàng Nếu sự lựa chọn quầy hàng của khách hàng là ngẫu nhiên, xác suất để cả

Câu 103 Trong một hộp có 6 viên bi màu trắng, 4 viên bi màu vàng và được chia làm

hai phần bằng nhau Xác suất để cả hai phần đều có số bi đỏ như nhau

C

C C

C 5

10

3 4 2 6

C

2 C C

D 5

10

3 4 2 6

C

! 2 C C

Câu 104 Trong một hộp có 6 viên bi màu trắng, 4 viên bi màu vàng và được chia làm

hai phần bằng nhau Xác suất để có một phần có 4 bi đỏ là:

C

C C

C 5

10

1 6

C

2 C C

Câu 105 Giả sử có một cái hộp có 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ kích thước giống

hệt nhau Lấy lần lượt ra hai quả theo phương thức có hoàn lại Xác suất để lấy được hai quả khác màu là:

Câu 106 Giả sử có một cái hộp có 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ kích thước giống

hệt nhau Lấy lần lượt ra hai quả theo phương thức có hoàn lại Xác suất để lấy được ít nhất một quả đỏ

Câu 107 Có hai cái hộp, hộp thứ nhất có 6 bi trắng; 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 5 bi trắng

và 5 bi đỏ Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra một bi và từ hộp thứ thứ hai lấy ra hai bi Xác suất để trong 3 bi lấy ra có đúng hai bi đỏ

Câu 108 Có hai cái hộp, hộp thứ nhất có 6 bi trắng; 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 5 bi trắng

và 5 bi đỏ Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra một bi và từ hộp thứ thứ hai lấy ra hai bi Xác suất để trong 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

Câu 109 Có 3 khách hàng không quen nhau cùng đi mua hàng ở một cửa hàng có 5

quầy hàng Giả sử khách hàng chọn quầy hàng để mua hàng là ngẫu nhiên Xác suất để

có hai người vào quầy số 1

A 2

5

4

B 25

Câu 110 Có 3 khách hàng không quen nhau cùng đi mua hàng ở một cửa hàng có 5

quầy hàng Giả sử khách hàng chọn quầy hàng để mua hàng là ngẫu nhiên Xác suất để

có hai người vào cùng một quầy

A 5

3

120

B 53

Câu 111 Có 5 khách hàng không quen nhau cùng đi mua hàng ở một cửa hàng có 3

quầy hàng Giả sử khách hàng chọn quầy hàng để mua hàng là ngẫu nhiên Xác suất để

Câu 112 Người ta chia tấm bìa có in dòng chữ KINH TẾ KẾ HOẠCH chia tấm bìa

thành 13 phần tương ứng với 13 chữ cái Xác suất để xếp ngẫu nhiên 13 tấm bìa trên thành dòng chữ KHOA KINH TE

24

10 13

D

! 10 C

24

10 13

Câu 113 Một công ty kinh doanh hàng may mặc tiến hành quay số trúng thưởng cho

khách hàng trên máy vi tính bằng cách dùng hàm ramdom chọn ngẫu nhiên một số

gồm các chữ số từ 0 đến 9 Số hóa đơn có 7 chữ số Xác suất để số hóa đơn trúng thưởng trùng với năm sinh của chủ hóa đơn là:

A 0,4.10-4 B 0,5.10-4 C 0,4.10-3 D 0,5.10-3

Câu 114 Một em bé có 2 bi trắng và 4 bi đỏ được để trong một cái hộp Em lấy ra

từng bi một cho đến bi cuối cùng Xác suất để viên bi cuối cùng màu đỏ là:

Câu 115 Một thương buôn mua 15 tivi Anh ta sẽ đồng ý chấp nhận mua lô 15 tivi

này với điều kiện kiểm tra ngẫu nhiên 4 chiếc thấy không có chiếc nào bị khuyết tật Chủ cửa hàng đưa ra lô tivi có 3 chiếc bị khuyết tật Xác suất để người mua từ chối không mua lô hàng là:

A 0,8791 B 0,1209 C 0,896 D 0,1321

Câu 116 Trong một xưởng có 3 cỗ máy Sau một tuần làm việc (7 ngày) người ta báo

cáo lên phòng giám đốc rằng cả 3 máy đều bị hỏng mỗi cái một lần Xác suất không có ngày nào có quá một máy bị hỏng là:

7

3.C

C 3

2 7

7

C

D 3

2 7

7

!3.C

Câu 117 Đường dây cáp ngầm nối một tổng đài với một trạm dài 1km Xác suất để

dây cáp ngầm bị đứt tại nơi cách tổng đài không dưới 800m

Câu 118 Gieo ngẫu nhiên một điểm lên đoạn thẳng có độ dài 30cm Xác suất để điểm

đó rơi vào đoạn con có độ dài 10cm và nằm hoàn toàn trong đoạn đó

Câu 119 Ném một đồng xu có bán kính 1cm lên mặt phẳng, mà trên đó có kẻ các

đường thẳng song song cách đều nhau , cách nhau một đoạn 5cm Xác suất để đồng xu cắt đường thẳng song song là:

Câu 120 Gieo ngẫu nhiên một điểm lên hình tròn bán kính R Xác suất để điểm đó rơi

vào hình vuông nội tiếp vòng tròn đó là: