Giải số phương trình vi phân với các phương pháp euler và runge kutta

Chẳng hạn, lược 20 năm sau, 1985, Butcher mới chứng minh được kết quả: với p ≥ 8, không tồn tại phương pháp sau 1964, Butcher mới vén lên tấm màn nhung để người ta được thấy vẻ đẹp của p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

Nguyễn Hoàng Thông

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI

CÁC PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ RUNGE-KUTTA

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn:

Lê Phương Quân

2010

2

Lời nói đầu

Trước tiên, xin gởi lời cám ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy Lê Phương Quân (Khoa Khoa Học

Tự Nhiên) Lòng nhiệt tình và sự động viên của Thầy đã giúp em vượt qua những khó khăn để hoànthành được Luận Văn này Đặc biệt, em xin cám ơn Thầy đã hỗ trợ nhiệt tình cho em trong việc

Xin gởi lời cám ơn chân thành đến Cô cố vấn học tập Dương Thị Tuyền, người đã khuyến khích

em làm Luận Văn thay vì đăng ký học các Học Phần thay thế

Xin chân thành cám ơn các Thầy Cô và bạn bè đã cho những lời nhận xét quý báu để em có thểhoàn thiện thêm những nội dung còn thiếu sót trong Luận Văn và mở ra hướng nghiên cứu trongtương lai sau khi ra trường

Xin chân thành cám ơn các Thầy Cô và tất cả bạn bè trong Trường Đại Học Cần Thơ, nhữngngười đã giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt bốn năm học vừa qua Chúc các Thầy Cô

và bạn bè luôn dồi dào sức khỏe và hoàn thành tốt mọi nhiệm vụ của mình

Cuối cùng, xin bày tỏ nơi đây lòng biết ơn vô hạn của em đến mọi người thân trong gia đình,những người luôn có mặt bên em trong mọi thời khắc!

Cần Thơ, ngày 09 tháng 02 năm 2010,

Nguyễn Hoàng Thông

3

4 Lời nói đầu

Giới thiệu

Phương pháp Runge-Kutta đã được biết từ rất lâu, khi lần đầu tiên, ý tưởng của phương pháp được

mới được làm rõ hơn, chủ yếu qua các công trình của John Butcher (xem [2]) Như thường thấytrong sự tiến bộ của khoa học tính toán, một lý thuyết nâng cao sẽ đưa đến các thuật toán mới vàtốt hơn, rồi đến lượt chúng lại đưa đến sự thấu hiểu hơn về cấu trúc lý thuyết tiềm ẩn và cứ tiếptục như vậy

Các phương pháp số để giải phương trình hay hệ phương trình vi phân nói chung, thường đượcgọi tắt là giải số phương trình vi phân, có mối liên hệ bản chất với các phép cầu phương, thực chất

là các phép xấp xỉ tích phân (xem [1]) Mối liên hệ tự nhiên này tồn tại là do mỗi bài toán giá trịban đầu đối với phương trình vi phân tương đương với một phương trình tích phân Với quan điểmtoàn cục như vậy, các phương pháp Runge-Kutta được trình bày một cách tự nhiên dưới dạng cáclược đồ xấp xỉ tích phân Trong đó, các phương pháp Runge-Kutta dạng hiện, xuất hiện trước nhất

và được trình bày như thể một phép cầu phương không thể đơn giản hơn và thuận tiện hơn về mặt

5

6 Giới thiệu

bậc tương ứng phải lớn hơn số bậc, nhưng lại không theo một quy luật nhất định Chẳng hạn, lược

20 năm sau, 1985, Butcher mới chứng minh được kết quả: với p ≥ 8, không tồn tại phương pháp

sau (1964), Butcher mới vén lên tấm màn nhung để người ta được thấy vẻ đẹp của phương pháp

Ngày nay, (5) và (6) được gọi chung là công thức RK4 và ngay ở hình thức này, nó cũng đã là một

“thuật toán” vừa đẹp, vừa đơn giản, vừa thuận tiện cho bất kỳ một ngôn ngữ lập trình tính toán

Đối với các bài toán (1) có tính ổn định, thì công thức RK4 gần như là sự lựa chọn duy nhất nếukhông có những đòi hỏi quá khắt khe về độ chính xác của nghiệm số

Trong những tài liệu hiện có về các phương pháp giải số phương trình vi phân, kể cả các quyểnsách chuyên khảo về đề tài này của chính John Butcher, việc “chứng minh công thức xấp xỉ nghiệm

quá khó, để có thể trình bày chi tiết và đầy đủ trong khuôn khổ các trang vốn dành để nói về nhiềukhía cạnh khác nhau của phương pháp Runge-Kutta Trong [1], Arieh Iserles, một trong các chuyêngia hàng đầu hiện nay về giải số phương trình vi phân cũng đã nói: “Việc nhận được công thức bậc

4 không vượt quá khả năng của một khai triển thành chuỗi Taylor, dù điều đó rất cần đến sự kiêntrì và tính cẩn trọng.”

Những nhận xét như trên chính là điểm xuất phát cho Luận Văn này Sự háo hức đi tìm lại conđường đưa đến công thức nổi tiếng RK4 chính là cảm xúc ban đầu của người thực hiện Luận Vănkhi được thầy hướng dẫn đặt ra những vấn đề cần giải quyết Và trong quá trình thực hiện mới hiểu

rõ hơn lý do tại sao người ta nói như vậy về quá trình tính toán để nhận được công thức đẹp đẽ ấy

minh và làm rõ một số vấn đề khác có liên quan đến các bước xây dựng các phép cầu phương cóbậc cao hơn Các phép cầu phương này được thiết lập bằng các lược đồ Runge-Kutta dạng ẩn, làdạng đặc biệt hiệu quả cho các bài toán dạng (1) không có tính ổn định Những vấn đề được yêucầu làm rõ ở đây là

Giới thiệu 7

(b) Chứng minh Định lý 2.3, một kết quả về một bậc cụ thể của một dạng cầu phương có liênquan đến các không điểm của các đa thức trực giao

(c) Phân tích khái niệm luồng trong tài liệu [3] để mô tả chi tiết nội dung của Bổ đề

3.2

Mặc dù một chương trình tính toán nghiệm số theo công thức RK4 đã được viết bằng ngôn ngữcủa Maple trong quá trình thực hiện Luận Văn này, nhưng việc tính toán cho các lược đồ có bậccao hơn vẫn là những mục tiêu đáng để theo đuổi Đặc biệt, việc xây dựng các thuật toán cụ thể

việc không đơn giản, nhưng không kém phần hấp dẫn Hơn nữa, việc tính toán các đạo hàm cấpcao lại liên quan đến lý thuyết đồ thị như đã được chỉ rõ trong [1], [2] và [5] Sự liên kết thú vị vàdường như tất nhiên này chắc chắn sẽ là một vấn đề nên được tìm hiểu thấu đáo

Trong Luận Văn có sử dụng một số thuật ngữ được dịch từ tiếng Anh Ngoài sự tham khảo cáchdùng từ phổ biến, việc chọn từ còn lưu ý đến nội dung kiến thức liên quan nên chắc chắn sẽ mangtính chủ quan Vì vậy, Danh sách thuật ngữ được cung cấp trong Luận Văn như một mong muốnđược góp ý về cách dùng từ sát hợp và chuẩn mực hơn

8 Giới thiệu

Danh sách thuật ngữ

ν-stage: ν-chặng

9

10 Danh sách thuật ngữ

Danh sách ký hiệu

12 Danh sách ký hiệu

Mục lục

1.1 Định lý Nhân Peano 15

1.2 Bổ đề Alekseev-Gr¨obner 24

Chương 2 Phương pháp Euler và phép cầu phương 29 2.1 Sự hội tụ và bậc của phương pháp Euler 29

2.2 Phép cầu phương Gauss 32

Chương 3 Phương pháp Runge-Kutta 37 3.1 Lược đồ dạng hiện của phương pháp Runge-Kutta 37

3.2 Phương pháp 4-chặng RK-h bậc bốn 40

3.3 Lược đồ dạng ẩn của phương pháp Runge-Kutta 46

3.4 Sự sắp xếp theo thứ tự và các phương pháp RK-a 49

13

14 Mục lục

Chương 1 NHỮNG KẾT QUẢ VÀ KHÁI NIỆM CẦN THIẾT

Định lý Nhân Peano được nhắc lại trong chương này nhằm cung cấp một công cụ chủ yếu để ướclượng sai số của các phép cầu phương khi xấp xỉ tích phân Các ví dụ kèm theo sẽ làm rõ hơn cáchvận dụng công cụ này Ngoài ra, một cấu trúc quan trọng phát sinh từ những kết quả về nghiệmcủa bài toán giá trị ban đầu sẽ được khảo sát Đây là một cấu trúc rất cơ bản của một họ nghiệmphụ thuộc hai tham số chỉ thời gian Hơn nữa, họ nghiệm như vậy sẽ có mặt trong một ước lượngtoàn cục đối với sai số của nghiệm xấp xỉ qua “độ lệch”, là một khái niệm sẽ được xét trong chươngcuối Các tài liệu tham khảo [3] và [4] được chọn lọc cho phần trình bày những nội dung nói trên

1.1 Định lý Nhân Peano

16 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

Hàm số trên thường được gọi là hàm lũy thừa chặt cụt

thừa chặt cụt có độ trơn tăng lên Ta dễ dàng chứng minh được

d

Như vậy, đạo hàm của một hàm lũy thừa chặt cụt là bội của một hàm lũy thừa chặt cụt có bậc nhỏ

+

của nó thì không liên tục,

có thể được viết dưới dạng

L(αf + βg) = αL(f ) + βL(g),

tuyến tính được cho bởi

1.1 Định lý Nhân Peano 17Định lý 1.1 (Định lý Nhân Peano) Ta xác định hàm

tuyến tính, làm triệt tiêu đa thức Taylor và có thể hoán đổi phép lấy tích phân nên khi áp dụng nócho (1.1), ta nhận được

18 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

Chú ý Định lý 1.1 chứng tỏ rằng nếu K được xác định bởi (1.8) thì nó thỏa (1.7) Thật ra, ta có

bất kỳ thỏa (1.7) thì ta phải có

a

f(n+1)(t)K(t) − Kg(t)dt = 0, với mọi f ∈ Cn+1([a, b])

đúng đối với các phiếm hàm nhận được bằng cách cộng thêm vào vế phải của (1.10) các số hạngchứa các tính toán cùng dạng đối với các đạo hàm cấp cao hơn

1.1 Định lý Nhân Peano 19

kiện này thỏa cho một lớp các hàm nhân

t nếu n ≥ 2 Ta có thể thấy rõ điều này khi viết ra cụ thể L(f ):

K(t) là liên tục Vậy, đối với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục L thỏa các điều kiện của định lý,



20 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

34

[−3, 3] thành biểu diễn của nó trên (−∞, +∞) bằng cách dùng các hàm lũy thừa chặt cụt để viết

điều có vẻ tự nhiên Tổng quát hơn, ta sẽ chứng minh rằng đối với một lớp rộng các phiếm hàm

1.1 Định lý Nhân Peano 21

và cũng kiểm chứng được (1.13) theo cùng cách như đã chứng minh (1.1) và (1.2) Khi đó, ta có thể

cũng phù hợp với nội dung được cho trong Định nghĩa 1.1

Bây giờ, ta hãy định nghĩa

Trong định lý sau đây, ta sẽ cải tiến kết quả này và thiết lập điều kiện để các nhân Peano tươngứng là chẵn hoặc lẻ

22 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiếtVậy, đối với phiếm hàm (1.17), ta nhận được

[−a, a] có độ đo không, chứng tỏ rằng chúng phải trùng nhau trên toàn bộ khoảng [−a, a] khi n ≥ 2,

Ví dụ 1.4 Như đã biết, công thức Simpson để tính xấp xỉ tích phân trên một đoạn thì cho giá

số của công thức Simpson được cho bởi

Chú ý Để thiết lập các chận cho L(f ), từ Định lý Nhân Peano (Định lý 1.1) và theo bất đẳng thức

24 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

Từ đó suy ra

√14

Cấu trúc quan trọng và cơ bản nhất phát sinh từ những kết quả về bài toán (1.19) chính là ánh xạluồng Φ hay vắn tắt là luồng, được sinh bởi trường f và sẽ được xét sau Trước tiên, ta mở rộngkhái niệm tích phân của hàm số thành tích phân của một hàm vector

y(t) = z(t), với mọi t ∈ Q.

Ta có ngay một kết quả được suy ra từ Định lý 1.4

x(t) = y(t), với mọi t ∈ I ∩ J

Ta cũng có một kết quả khác liên quan đến khoảng tồn tại nghiệm

Chứng minh Gọi I là họ mọi khoảng I mà trên đó có một nghiệm của bài toán (1.20) được xácđịnh Gọi

I(s,y)= ∪

I ∈II

VìI(s,y)là hợp các tập mở, liên thông với một điểm chung làs nên cũng là tập con mở và liên thông

26 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

Bây giờ là lúc có thể xét đến khái niệm luồng Φ sinh bởi trường vector phụ thuộc thời gian

x0(s,y)(t) = f(t, x(s,y)(t)), với mọi t ∈ I(s,y),

nhận được tính chất quan trọng đầu tiên của luồng:

các tính chất quan trọng khác về luồng

trúc dưới đây

x(s,y)(t) = Φ(t, s, y) = Φs

t(y),

{Φst}s,t∈I

chất: hợp của hai ánh xạ của họ cũng là một ánh xạ của họ chính là tính chất nửa nhóm Điều nàyđược suy từ kết quả sau

1.2 Bổ đề Alekseev-Gr¨obner 27

Định lý 1.6 (Tính chất Nửa nhóm) Giả sử Φ là luồng sinh bởi một trường vector phụ thuộc

t (y))= I(s,y)và

t (y))∩ I(s,y) và chú ý rằng J 6= ∅ vì t ∈ J Khi đó hai đường cong tích

t (y)) và x(s,y) có miền xác định tương ứng làI(t,Φs

t (y)) vàI(s,y) Xem t là một giátrị đầu và tại đó giá trị của các đường cong nghiệm trùng nhau:

t (y))= x(s,y) (1.26)Nhưng đồng nhất thức trên chính là tính chất nửa nhóm (1.25) khi được diễn giải theo ký hiệu đãdùng:

u(y),

Để giải thích tính chất nửa nhóm (1.25) theo các cấu trúc Đại số, ta quay lại những kết quả đã

bản thân nó Từ đó, hai ánh xạ trong họ có thể được kết hợp bởi phép hợp các ánh xạ, đặc biệt

(1.27) là

t

s

những ý nghĩa quan trọng trong cơ học môi trường liên tục mà trường hợp đặc biệt của nó là cơhọc chất lưu Ta sẽ không bàn đến vấn đề này ở đây mà chủ yếu là dùng kết quả trên để thiết lậpmối quan hệ giữa “độ lệch” và “sai số” đối với nghiệm của bài toán dạng (1.19), được cho bởi Bổ đề

28 Chương 1 Những kết quả và khái niệm cần thiết

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ PHÉP CẦU PHƯƠNG

và mối liên hệ với ý tưởng xấp xỉ tích phân tổng quát sẽ được tham khảo chủ yếu trong [1] và [4]

2.1 Sự hội tụ và bậc của phương pháp Euler

30 Chương 2 Phương pháp Euler và phép cầu phương

Ngoài ra, người ta còn xét phương pháp Euler với cỡ bước thay đổi, được xác định bởi công thứcxấp xỉ

n = 0, 1, Trong Hình 2.1 dưới đây là các đường gấp khúc Euler tương ứng với các cỡ bước khác

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 t y

lim

h→0 + max

0 ≤n≤[τ/h]kyn,h− y(tn)k = 0

Định lý 2.1 Phương pháp Euler (2.3) là hội tụ

Chứng minh Ta chứng minh định lý này với giả thiết bổ sung: f là giải tích (trên thực tế, chỉ cần

Theo định lý Taylor và bài toán (2.1), ta có

en+1,h= en,h+ hf(tn, y(tn) + en,h) − f(tn, y(tn))] + O(h2)

2.1 Sự hội tụ và bậc của phương pháp Euler 31

Từ đó, thay vào (2.6), ta nhận được

trường hợp thực tế, cận trên đã nêu lớn hơn nhiều lần sai số thực tế Điều này thường là do tính

nhỏ hơn gấp nhiều lần so với (2.7)

Khi đó, ta nói rằng phương pháp Euler (2.3) là có bậc một Tổng quát, một phương pháp xấp xỉbài toán (2.1) theo các bước thời gian có dạng

32 Chương 2 Phương pháp Euler và phép cầu phương

Phương pháp Euler thực chất là một phép xấp xỉ tích phân và để có thể mở rộng phương phápnày, ta sẽ xét việc xấp xỉ nghiệm của bài toán (2.1) theo hướng tổng quát hơn Do y(t) là nghiệmcủa bài toán (2.1) tương đương với

2.2 Phép cầu phương Gauss

Thông thường, việc xấp xỉ một tích phân được cho bởi một tổng hữu hạn các số và điều này thường

a

Xấp xỉ (2.9) chính xác đến mức độ nào? Giả sử rằng phép cầu phương đúng bằng tích phân khi

≤ c max

a ≤t≤b

2.2 Phép cầu phương Gauss 33Vậy, theo Định lý Nhân Peano, ta có thể viết

một ma trận Vandermonde không suy biến, do các điểm nút là phân biệt Vậy, hệ (2.10) có nghiệm

chính là nghiệm duy nhất của hệ (2.10)

đến các công thức cầu phương được gọi là các phương pháp Newton-Cotes Thậm chí, một chọn lựa

34 Chương 2 Phương pháp Euler và phép cầu phương

Hiển nhiên rằng theo định nghĩa trên thì các đa thức trực giao không xác định duy nhất vì ta luôn

dàng chứng minh được rằng các đa thức trực giao đơn nhất là duy nhất (đa thức đơn nhất là các

Các đa thức trực giao có mặt trong hầu hết các lĩnh vực của toán ứng dụng: lý thuyết xấp xỉ,thống kê, biểu diễn nhóm, lý thuyết phương trình vi phân, giải tích hàm, nhóm lượng tử, lý thuyết

mã, vật lý toán, giải tích số, Có ba họ trọng hàm có quan hệ mật thiết với các đa thức trực

Đối với các đa thức trực giao, ở đây, ta chỉ khảo sát vị trí các không điểm của chúng vì có liênquan đến phép cầu phương

không điểm đơn

a

2.2 Phép cầu phương Gauss 35

k ≥ 1 Bây giờ ta hãy giả sử rằng k ≤ m − 1 và đặt

nghiệm của hệ Vandermonde (2.10) Khi đó:

36 Chương 2 Phương pháp Euler và phép cầu phương

ep(t) :=

Vậy, định lý đã được chứng minh

Các phương pháp tối ưu của Định lý 2.2 thường được gọi là các công thức cầu phương Gauss.Trong các đoạn sau, ta sẽ cần đến một kết quả tổng quát hóa của Định lý 2.2 Đó là

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA

Làm thế nào để mở rộng một công thức cầu phương cho bài toán (2.1)? Câu trả lời gần như là hiển

làm điều đó, ta lại cần đến các giá trị xấp xỉ! Trong chương này, một số nội dung cũng được chọn từ[1] để giới thiệu tổng quát về các phương pháp Runge-Kutta Việc xây dựng tỉ mỉ công thức RK4

sẽ làm sáng tỏ ý nghĩa của các phương pháp này và cung cấp kỹ thuật tính toán chủ yếu để có thểnhận được các công thức có bậc cao hơn

3.1 Lược đồ dạng hiện của phương pháp Runge-Kutta

38 Chương 3 Phương pháp Runge-Kutta

ν-giai đoạn

Vấn đề ở đây là ta nên chọn ma trận RK như thế nào? Cách chọn hiển nhiên bao gồm việc khai

giả thiết về tính đủ trơn của hàm vector f , ta có

Bây giờ ta cần so sánh (3.3) với khai triển Taylor của nghiệm chính xác trong lân cận của cùng điểm

xác định một 2-chặng RK-h duy nhất vì có vô số giá trị các tham số thỏa mãn Các lựa chọn phổbiến của chúng được cho trong bảng RK dưới đây:

0

1

2 12

0 1,

0

2

3 23 1

mã, vật lý tốn, giải tích số, Có ba họ trọng hàm có quan hệ mật thiết với đa thức trực

Đối với đa thức... data-page="36">

36 Chương Phương pháp Euler phép cầu phương< /p>

ep(t) :=

Vậy, định lý chứng minh

Các phương pháp tối ưu Định lý 2.2 thường gọi công thức cầu phương Gauss.Trong đoạn...

3.1 Lược đồ dạng phương pháp Runge- Kutta

38 Chương Phương pháp Runge- Kutta< /p>

ν-giai