Phương pháp xây dựng khung sóng nhỏ dựa trên các nguyên lý mở rộng

Khung cho ph²p ta biºu di¹n méi ph¦n tû trong khæng gian nh÷ mët tê hñptuy¸n t½nh giúa c¡c ph¦n tû trong khung nh÷ng khæng ái häi t½nh ëc lªp tuy¸n t½nhgiúa c¡c ph¦n tû khung, c¡c h» sè

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

C¡n bë h÷îng d¨n: Ti¸n s¾ Nguy¹n Ngåc Phan

Håc vi¶n: Bòi Thà Ph÷ñng

H€ NËI, 8/2020

Líi nâi ¦u 2

1.1 Sì l÷ñc v· cì sð v  mët v i iºm y¸u cõa cì sð 51.2 Giîi thi»u lþ thuy¸t khung 61.3 Mët v i v½ dö khung kh­c phöc iºm y¸u cõa cì sð 16

2.1 Giîi thi»u khung sâng nhä 192.2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch a ph¥n gi£i - MRA 24

3 Ph÷ìng ph¡p x¥y düng khung sâng nhä düa tr¶n nguy¶n lþ mð rëng 313.1 Mët sè h¤n ch¸ khi sû döng ph÷ìng ph¡p MRA 313.2 Ph÷ìng ph¡p th¡c triºn ìn nh§t 333.3 Ph÷ìng ph¡p th¡c triºn nghi¶ng 44

Líi nâi ¦u

Trong nghi¶n cùu v· c¡c khæng gian v²c tì, mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trångnh§t l  kh¡i ni»m cì sð, nhí â méi v²c tì trong khæng gian câ thº vi¸t nh÷ tê hñptuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû trong cì sð Tuy nhi¶n, i·u ki»n º trð th nh cì sð kh¡ch°t ch³, khæng cho ph²p sü phö thuëc tuy¸n t½nh giúa c¡c ph¦n tû trong cì sð i·u

n y l m cho vi»c t¼m ho°c khæng t¼m ÷ñc c¡c cì sð thäa m¢n mët sè i·u ki»n bêsung ¥y l  lþ do ta i t¼m mët cæng cö kh¡c linh ho¤t hìn, khung ch½nh l  mët cæng

cö nh÷ vªy Khung cho ph²p ta biºu di¹n méi ph¦n tû trong khæng gian nh÷ mët tê hñptuy¸n t½nh giúa c¡c ph¦n tû trong khung nh÷ng khæng ái häi t½nh ëc lªp tuy¸n t½nhgiúa c¡c ph¦n tû khung, c¡c h» sè khæng nh§t thi¸t duy nh§t Câ thº nâi khung nh÷mët cì sð nh÷ng ta câ thº th¶m nhi·u ph¦n tû hìn Khung ÷ñc giîi thi»u v o n«m

1953 bði Duffin v  Scharffer ¸n n«m 1986, khi b i b¡o cõa Daubechies, Grossmann

v  Meyer ra íi, lþ thuy¸t khung mîi b­t ¦u ÷ñc quan t¥m rëng r¢i Khung câ nhi·uùng döng trong xû lþ t½n hi»u, lþ thuy¸t mªt m¢, lþ thuy¸t l÷ñng tû, n²n dú li»u Mët khung câ thº xem nh÷ mët cì sð trüc chu©n suy rëng N¸u {fi} , i ∈ I l  mëtkhung cõa khæng gian V th¼ b§t k¼ v²c tì f ∈ V n o công câ thº vi¸t nh÷ mët tê hñptuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû fi C¡c h» sè khæng nh§t thi¸t duy nh§t v  khai triºn nâichung khæng trüc giao Nhí t½nh thøa m  khung câ nhi·u ùng döng quan trång trong

xû lþ t½n hi»u v  h¼nh £nh, bði v¼ nâ cho chóng ta t½nh b·n vúng, ch§t l÷ñng cõa t½nhi»u bà £nh h÷ðng ½t hìn khi câ nhi¹u ti¸ng çn v  t½n hi»u câ thº khæi phöc l¤i tø c¡cm¨u câ ë ch½nh x¡c t÷ìng èi th§p

Lþ thuy¸t sâng nhä l  k¸t qu£ cõa sü né lüc cõa nhi·u ng nh v  gâp ph¦n em c¡c

nh  to¡n håc, vªt lþ, kÿ s÷ ngçi l¤i vîi nhau Nhúng ùng döng cõa sâng nhä câ m°ttrong xû lþ t½n hi»u, kÿ thuªt n¥ng cao ch§t l÷ñng h¼nh £nh, n²n d§u v¥n tay, nhªnd¤ng èi t÷ñng, kÿ thuªt gi£m ti¸ng çn ¥m thanh

Khung sâng nhä l  mët khung câ c§u tróc °c bi»t Lîp khung n y r§t húu ½chtrong vi»c xû lþ c¡c t½n hi»u ng­n, c¡c t½nh hi»u câ °c tr÷ng h¼nh håc phùc t¤p ºx¥y düng khung sâng nhä câ c¡c ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau Luªn v«n xin tr¼nh b yph÷ìng ph¡p x¥y düng khung sâng nhä düa tr¶n c¡c nguy¶n lþ mð rëng

Luªn v«n gçm ba ch÷ìng: Ch÷ìng 1 gçm ba ph¦n, tr¼nh b y sì l÷ñc v· cì sð v kh¡i ni»m khung, mët sè °c t½nh cõa khung sau â tr¼nh b y v½ dö khung kh­c iºm

y¸u cõa cì sð düa tr¶n t½nh thøa cõa khung Nhí t½nh thøa m  khung câ nhi·u ùngdöng quan trång trong xû lþ t½n hi»u v  h¼nh £nh Ch§t l÷ñng cõa t½n hi»u ½t bà £nhh÷ðng hìn khi câ nhi·u ti¸ng çn, t½n hi»u câ thº khæi phöc l¤i tø c¡c m¨u câ ë ch½nhx¡c t÷ìng èi th§p Ch÷ìng 2 gçm hai ph¦n, ph¦n mët tr¼nh b y lþ thuy¸t khung sângnhä, °c tr÷ng khung sâng nhä Ph¦n hai tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p x¥y düng MRA v v½ dö x¥y düng khung theo ph÷ìng ph¡p MRA Ch÷ìng 3 l  nëi dung ch½nh cõa luªnv«n, gçm ba ph¦n Ph¦n mët luªn v«n ÷a ra mët sè h¤n ch¸ khi x¥y düng khung theoph÷ìng ph¡p MRA, ph¦n hai luªn v«n tr¼nh b y c¡ch thùc x¥y düng khung sâng nhädüa tr¶n ph÷ìng ph¡p th¡c triºn ìn nh§t Ph¦n ba luªn v«n tr¼nh b y c¡ch thùc x¥ydüng khung sâng nhä düa tr¶n ph÷ìng ph¡p th¡c triºn nghi¶ng.

M°c dò ¢ r§t cè g­ng nh÷ng ch­c ch­n luªn v«n khæng tr¡nh khäi ÷ñc nhúngthi¸u sât Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng nhªn x²t, gâp þ tø quþ th¦y cæ v  b¤n åc

º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 01 th¡ng 08 n«m 2020

Håc vi¶n

Bòi Thà Ph÷ñng

Líi c£m ìn

· ho n th nh luªn v«n n y, ngo i nhúng sü chu©n bà cõa c¡ nh¥n tæi, c¦n nhí câ

sü ch¿ b£o tªn t¼nh v  chu ¡o cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n Tæi xin b y tä láng bi¸t ìns¥u s­c tîi TS Nguy¹n Ngåc Phan, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n v  gióp ï tæi ho n

th nh luªn v«n n y Th¦y luæn quan t¥m v  ëng vi¶n tæi, nhµ nh ng ch¿ d¨n v  gâp

þ º tæi ch¿nh sûa luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n Khoa To¡n - Cì - Tin, Pháng Sau

¤i håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi, công nh÷

to n thº quþ th¦y cæ gi¡o ¢ gi£ng d¤y khâa cao håc 2017 - 2019 Xin c£m ìn c¡c th¦y

cæ ¢ d¤y b£o v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± v  çng nghi»p ¢ luæn hé trñ, ëng vi¶n,t¤o i·u ki»n º tæi håc tªp v  ho n th nh luªn v«n n y

H  Nëi, ng y 01 th¡ng 08 n«m 2020

Håc vi¶n

Bòi Thà Ph÷ñng

Giîi thi»u v· lþ thuy¸t khung

Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ tr¼nh b y sì l÷ñc v· cì sð v  mët v i iºm y¸u cõa

cì sð Düa tr¶n â ta ÷a ra kh¡i ni»m khung v  lþ thuy¸t khung trong khæng gianHilbert, çng thíi tr¼nh b y mët sè v½ dö khung kh­c phöc iºm y¸u cõa cì sð

1.1 Sì l÷ñc v· cì sð v  mët v i iºm y¸u cõa cì sð

Cho V l  khæng gian v²c tì húu h¤n chi·u ÷ñc trang bà mët t½ch væ h÷îng Nhîl¤i r¬ng, mët d¢y {ek}mk=1 trong V l  cì sð n¸u hai i·u ki»n sau thäa m¢n

Vîi méi f ∈ V ·u ÷ñc biºu di¹n qua c¡c ph¦n tû cõa cì sð Tçn t¤i duy nh§td¢y c¡c væ h÷îng {ck}mk=1 sao cho f =

m

X

k=1

ck ek (1.1)N¸u {ek}mk=1 l  mët cì sð trüc chu©n th¼

hek, eji = δk,j =

(

1 n¸u k = j

0 n¸u k 6= j .Vîi méi ej tóy þ ta câ

1.2 GIÎI THI›U LÞ THUY˜T KHUNG

°c tr÷ng ch½nh cõa mët cì sð {ek}mk=1 trong khæng gian v²c tì V l  vîi méi f ∈ V

câ thº ÷ñc biºu di¹n nh÷ mët tê hñp c¡c ph¦n tû ek trong cì sð

• Khæng d¹ º x¥y düng ÷ñc cì sð vîi c¡c thuëc t½nh °c bi»t

• Thªm ch½ mët thay êi nhä công câ thº ph¡ hõy thuëc t½nh cì b£n cõa cì sð

Cì sð ÷ñc x¥y düng theo khai triºn (1.1) vîi d¢y c¡c h» sè ck(f ) l  duy nh§t C¥uhäi °t ra l  sü duy nh§t â li»u câ thüc sü c¦n? C¥u tr£ líi l  khæng Thæng th÷íng

ta bi¸t sü tçn t¤i cõa mët sè c¡c h» sè còng vîi mët cæng thùc º t¼m ra chóng l  õ

¥y l  ch¼a khâa trong qu¡ tr¼nh bi¸n êi tø cì sð sang khung Gií ta s³ i giîi thi»ukh¡i ni»m cõa khung trong khæng gian H

1.2 Giîi thi»u lþ thuy¸t khung

ành ngh¾a 1.2.1 Mët d¢y {fk}∞k=1 trong H ÷ñc gåi l  mët d¢y Bessel n¸u tçn t¤imët sè B > 0 sao cho:

∞

X

k=1

| hf, fki |2 ≤ Bkf k2, ∀f ∈ H

B ÷ñc gåi l  cªn Bessel cõa {fk}∞k=1

ành l½ 1.2.2 Cho {fk}∞k=1 l  mët d¢y cõa H v  cho tr÷îc B > 0 Khi â {fk}∞k=1 l mët d¢y Bessel vîi cªn B khi v  ch¿ khi

=

ˆ

φ γ + kb



1.3 Mët v i v½ dö khung kh­c phöc iºm y¸u cõa

l  mët cì sð m°c dò vîi méi f ∈ X câ biºu di¹n d¤ng f =

m

X

k=1

ckek+ dφ (1.13)Thüc t¸, d¢y {ek} ∪ φ khæng ëc lªp tuy¸n t½nh, mët sè c¡ch chån d¢y sè {ck} v 

d x¡c ành nh÷ sau: Câ thº chån cho d = 0 v  cho {ck} l  c¡c h» sè biºu di¹n cõa ftrong cì sð {ek} ho°c câ thº chån c¡ch kh¡c l  cho {ck} sao cho f − φ =

Th nh ph¦n cì b£n nh§t trong to¡n håc l  c¡c sè thüc, c¡c sè n y ¢ bà thay êikhi l m vi»c vîi m¡y t½nh Méi sè ph£i ÷ñc thay th¸ bði mët sè vîi húu h¤n chú sèthªp ph¥n tr÷îc khi xû lþ Trong thüc h nh ta biºu di¹n t§t c£ c¡c sè tr¶n mët kho£ng(v½ dö [1, 1 + 10−8]) b¬ng còng mët sè (trong tr÷íng hñp n y l  sè 1) i·u n y d¨n

¸n mët sai sè, ÷ñc gåi l  sai sè l÷ñng tû hâa

H¤n ch¸ cì b£n khi sû döng c¡c k¸t qu£ khung l  b§t ký kiºu xû lþ t½n hi»u n o

·u ph£i thüc hi»n tr¶n d¢y sè húu h¤n Khi â biºu di¹n f =

∞

X

k=1

hf, fki S−1fk, vîimåi f ∈ H s³ bà c­t cöt Ta ch¿ câ thº tªp trung v o t½nh to¡n mët sè húu h¤n c¡c h»

sè khung {hf, fki}mk=1 Biºu di¹n ch½nh x¡c f =

l  hf, fki + ck vîi mët nhi¹u ck n o â (hi vång nhä) T§t c£ c¡c kiºu truy·n hay xû lþs³ sinh ra th¶m c¡c nhi¹u

N«m 1986, J Morlet ¢ ch¿ ra r¬ng t½nh thøa cõa khung d¨n ¸n t½nh b·n vúng,ngh¾a l  chóng ta câ thº l÷u trú c¡c h» sè khung vîi ë ch½nh x¡c th§p m  v¨n câ thºkhæi phöc l¤i t½n hi»u vîi ë ch½nh x¡c cao hìn nhi·u

Gi£ sû ta muèn truy·n mët t½n hi»u f thuëc khæng gian vec tì V tø mët m¡y ph¡t

A¸n mët m¡y thu R b¬ng c¡ch gûi c¡c h» sè khung {hf, fki}mk=1 Khi â c¡c h» sè s³

bà £nh h÷ðng bði mët v i nhi¹u {ck}mk=1 v  R s³ nhªn ÷ñc c¡c h» sè {hf, fki + ck}mk=1.B¶n nhªn R s³ thu ÷ñc c¡c t½n hi»u nhi¹u

F : H → l2(N) , F f = {hf, fki}∞k=1

l  mët ¡nh x¤ unita v  £nh F (H) = l2

(N)

1.3 MËT V€I V DÖ KHUNG KHC PHÖC IšM Y˜U CÕA CÌ SÐ

N¸u {fk}mk=1 l  khung thøa tùc l  c¡c fj khæng ëc lªp tuy¸n t½nh th¼ F (H) = RF

l  mët khæng gian con thüc sü cõa l2(N) Khung c ng thøa th¼ RF c ng nhä Ta câ

kf − ˜f k = k ˜F∗ck ≤ kck.N¸u RF c ng nhä tùc l  khung c ng thøa th¼ kf − ˜f kc ng nhä Ta xem méi th nhph¦n cõa nhi¹u ck nh÷ mët bi¸n ng¨u nhi¶n, gi£ sû r¬ng méi ck câ trung b¼nh b¬ng 0

v  ph÷ìng sai σ2 K½ hi»u

E[ck] = 0, E[ckcl] = σ2δk,l vîi k, l = 1, m

Sai sè to n ph÷ìng trung b¼nh ÷ñc t½nh theo cæng thùc

1

,

V  e1 = u1, e2 = −

√3

2 u1− 1

2u2, e3 =

√3

Tø â cho th§y sai sè to n ph÷ìng trung b¼nh trong qu¡ tr¼nh khæi phöc t½n hi»u khi

sû döng khung nhä hìn khi sû döng cì sð trüc chu©n

Giîi thi»u khung sâng nhä

Ð ch÷ìng 1 chóng ta ¢ nghi¶n cùu khung têng qu¡t trong khæng gian v²c tì V Ch÷ìng n y chóng ta s³ chuyºn sang nghi¶n cùu mët lîp khung câ c§u tróc °c bi»ttrong L2(R), â l  lîp khung sâng nhä Lîp khung n y r§t húu ½ch trong vi»c xû lþc¡c t½n hi»u ng­n, c¡c t½n hi»u câ °c tr÷ng h¼nh håc phùc t¤p

2.1 Giîi thi»u khung sâng nhä

ành ngh¾a 2.1.1 Cho a > 1, b > 0 v  ψ ∈ L2(R) Mët khung trong L2(R) câ d¤ng{ψj,k}j,k∈Z =aj/2ψ (ajx − kb)

j,k∈Z ÷ñc gåi l  khung sâng nhä

Tr÷îc ti¶n ta ph¡t biºu i·u ki»n c¦n cho mët khung sâng nhä i·u ki»n n y doDaubechies ÷a ra n«m 1990

2.1 GIÎI THI›U KHUNG SÂNG NHÄ

B¥y gií ta x²t i·u ki»n õ º {ψj,k}j,k∈Zl  mët khung cõa L2(R) C¡c k¸t qu£ s³ ÷ñc

ph¡t biºu thæng qua c¡c h m sau

| ˆψ(ajγ) ˆψ(ajγ + k/b)| vîi γ ∈ R

Ta cè ành a, b n¶n ta s³ khæng ÷a a, b v o c¡c k½ hi»u h m G0, G1 Chó þ r¬ng

G0(aγ) = G0(γ), G1(aγ) = G1(γ).V· m°t h¼nh håc i·u n y câ ngh¾a l  c¡c ç thà cõa G0, G1 vîi |γ| ∈ [aj, aj+1] l  c¡c

phi¶n b£n d¢n nð cõa c¡c ç thà â vîi |γ| ∈ [aj−1, aj] Tø â ta câ

j,k∈Z l  khung cõa L2(R) vîi c¡c cªn A, B

Bê · 2.1.4 Cho x, y ∈ R Khi â vîi måi δ ∈ [0, 1], ta câ

= C2 |ajγ|

(1 + |ajγ|2)3/2

1

1 + |ajγ + k/b|2.Dòng bê · (2.1.4) cho (1 + |ajγ + k/b|2)−1 vîi δ = 2/3, khi â

1 + |k/b|2

2/3

.V¼ trong ¡nh gi¡ tr÷îc j, k xu§t hi»n trong c¡c sè h¤ng kh¡c nhau n¶n

k6=0

1

2.1 GIÎI THI›U KHUNG SÂNG NHÄ

k6=0

1

M»nh · 2.1.6 Cho ψ ∈ L2

(R) v  a > 1 Gi£ sû r¬ng(i) inf|γ|∈[1,a]

X

j∈Z

| ˆψ(ajγ)|2 > 0.(ii) Tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho

| ˆψ(γ)| ≤ C |γ|

(1 + |γ|2)

3/2

Khi â aj/2ψ(ajx − kb)

j,k∈Z l  khung cõa L2(R) vîi måi b > 0 õ nhä

Chùng minh:

Tr÷îc ti¶n ta chùng minh aj/2ψ(ajx − kb)

j,k∈Z l  d¢y Bessel vîi måi b > 0 Lªpluªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh bê · (2.1.5) ta ÷ñc

X

j∈Z

| ˆψ(ajγ)|2 ≤

1

1

2π2√2ππ−14γ2e−2π2γ 2

= 8√3π94γ2e−2π2γ 2

A 13.1 6.55 4.36 3.26 2.33 1.25 0.422 0.0069

ành ngh¾a 2.2.1 Mët ph¥n t½ch a ph¥n gi£i cõa khæng gian L2(R) bao gçm mëtd¢y c¡c khæng gian con âng Vj, (j ∈ Z) cõa L2(R) v  mët h m φ ∈ V0 thäa m¢n:(i) V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 , khæng gian Vj lçng nhau.

(ii) ∪j∈ZVj = L2(R) v  ∩j∈ZVj = {0}

(iii) f(x) ∈ Vj ↔ f (2x) ∈ Vj+1

(iv) f ∈ V0 → Tkf ∈ V0, ∀k ∈ Z

(v) {Tkφ}k∈Z l  mët cì sð trüc giao cõa V0

ành ngh¾a tr¶n d¨n ¸n mët ph÷ìng ph¡p chung º x¥y düng sâng nhä v  câ thº

÷ñc xem nh÷ sü khði ¦u cõa ph¥n t½ch sâng nhä hi»n ¤i [5] Gi£ sû r¬ng c¡c i·uki»n trong ành ngh¾a 2.2.1 thäa m¢n Vîi j ∈ Z, k½ hi»u Wj l  ph¦n bò trüc giaocõa Vj trong Vj+1 v  Qj l  ph²p chi¸u trüc giao tr¶n Wj

ã Cên khung trản tối ữu l giĂ tr nhọ nhĐt cĂc cên khung trản

ã Cên khung dữợi tối ữu l giĂ tr lợn nhĐt cĂc cên khung dữợi

ã Khung ữủc gồi l chuân... Mởt khung ữủc gồi l cht náu A = B

ã Khung Parseval l  khung câ A = B = 1.

Ta xt mởt... nghiản cựu khung tờng quĂt khỉng gian v²c tì V Ch÷ìng n y chóng ta s chuyn sang nghiản cựu mởt lợp khung cõ cĐu tróc °c bi»ttrong L2(R), â l  lỵp khung sâng nhä Lợp khung ny rĐt