MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9.

Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức viét vào nhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Viét để giải các bài toán liên quan. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi. Đó là lý do tôi chọn đề tài: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9”.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG

TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT

TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9.

Tác giả sáng kiến : Lê Thị Thanh Hương

* Mã sáng kiến: 28

LŨNG HÒA, THÁNG 2 NĂM 2020

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu

2 Tên sáng kiến:

3 Tác giả sáng kiến:

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

6 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

7.2 Hệ thức vi-ét và một số ứng dụng trong giải toán

8 Những thông tin cần được bảo mật: 21

9 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 21

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề .22

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả : 22

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức cá nhân 22

10.3.Kết luận 23

11 Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ

sở, là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xãhội Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kỹ năng tính toán cầnthiết mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logic, một phươngpháp luận khoa học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vậndụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toánhọc được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lý thuyết còn phảichú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải mốt số bài toán,nhưng để nắmvững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiếnthức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo

và kinh nghiệm đã tích lũy được để giải quyết các bài tập có liên quan Thôngqua việc giải bài tập các em được rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã họcvào giải bài tập, kỹ năng trình bày, kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùngdạy học Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng, tượng sáng tạo, rèn khảnăng phán đoán, suy luận của học sinh

Các bài toán ứng dụng hệ thức vi-ét có vị trí quan trọng trong chương trình dạyhọc toán trung học cơ sở Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặttrong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức vi-ét vàogiải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vi-ét vàonhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trongviệc giải toán Nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất

ít, lượng bài tập chưa đa dang

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các

em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán liênquan Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi Đó là lý do tôi chọn đề

LỚP 9”.

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm củaphương trình bậc 2 một ẩn, học sinh có phương tiện là hệ thức Vi-ét để tính toán Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà không biết

cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứatham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tínhgiá trị biểu thức, quan hệ giữa 2 nghiệm, các phép tính trên 2 nghiệm của

phương trình Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là

vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số Trong trường hợp đó hệthức Vi-ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này

2 Tên sáng kiến:

“MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Thị Thanh Hương

- Địa chỉ: THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0388415760; Email: nguyennhatminh299@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Lê Thị Thanh Hương - Trường THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 9 có nội dung

liên quan đến hệ thức vi-ét

6 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

tháng 3 năm 2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

7.1.1 Mục đích nghiên cứu

-Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về phươngtrình bậc hai một ẩn có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ

đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển

-Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bàitoán về phương trình bậc hai một ẩn mà cả các dạng toán khác

7.1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêucầu rất quan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho họcsinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

-Nghiên cứu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có liên quan đến hệthức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức

để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình

-Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hêthức Vi-ét vào các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn sao cho hợp lý

7.1.3 Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Địa điểm: Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc

+ Thời gian: Từ tháng 3 năm 2018 đến tháng 2 năm 2019

+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9 Trường THCS Lũng Hòa -VĩnhTường-Vĩnh Phúc.

+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phương trình bậc hai một ẩn có liênquan tới hệ thức vi-ét

7.1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Đọc tài liệu : Tham khảo tài liệu chuyên môn có liên quan

+ Sách giáo khoa toán 9, sách giáo viên, sách bài tập

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9,tài liệu chuyên toán lớp

9 ,nâng cao và phát triển toán 9,

2 Điều tra :

a Dự giờ:

- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ Qua đó, tôi luôn chú ý đếnphương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đógiúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương phápdạy học

b Đàm thoại:

- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra cácnguyên nhân học sinh chưa sử dụng hệ thức vi-ét thành thạo ở từng dạng toán cụthể Xem học sinh hổng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trìnhbày để có biện pháp xử lí kịp thời

- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biệnpháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớpkhác

vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toáncho học sinh Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tựhọc ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập

ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngoài ra đối với học sinh khá, giỏi giáoviến nên có thêm những bài tập đòi hỏi tính tư duy cao

d.Theo dõi các bài kiểm tra:

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá,giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợpcho từng đối tượng học sinh

7.2 Hệ thức vi-ét và một số ứng dụng trong giải toán

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phươngtrình

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phươngtrình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãnbiểu thức chứa nghiệm

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcnghiệm

 Ứng dụng 9: Sử dụng hệ thức Viet trong giải hệ phương trìnhđối xứng loại I

2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có

hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo

hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

II Lập phương trình bậc hai :

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3b/ x1= 3a và x2= ac/ x1= 36 và x2= - 104d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước

3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 <

x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x 1 2 1 và

b/ y1  2x1  1 và y2  2x2  1

(Đáp số: a/ y2  4y  3 m2  0 ; b/ y2  2y (4m2  3) 0  )

III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hainghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:

Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Giải:

Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến

đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tíchhai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãytính:

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1

và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đóđưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Lập hệthức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụthuộc vào m

1

m

m m

Bài 1:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm : 0; 16

.

m m

m m

VII Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0

có 2 nghiệm trái dấu

VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm :

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệmcủa phương trình Tìm m để: A = 2 2

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm củaphương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ

tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m

B B

B B

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0

Tìm m để biểu thức Ax1  x22 có giá trị nhỏ nhất

2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 Tìm m sao nghiệm x1 và

x2 thỏa mãn điều kiện 2 2

x x  có giá trị nhỏ nhất

3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m sao 2 nghiệm

x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :

*Khái niệm về hệ phương trình đối xứng loại I:

Một phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi xthì phương trình không thay đổi

*Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I:

- Biểu diễn từng phương trình qua x y x y ;

-Đặt S x y P xy;  ta được hệ phương trình mới chứa ẩn S,P

-Giải hệ phương trình ẩn S,P

-Các số x,y là nghiệm của phương trình t2  St P  0(Vận dụng hệ thức vi –

ét đảo tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng)

Lưu ý: Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình chứa ẩn S,P có nghiệmthỏa mãnS2  4P 0

Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số

từ đó đưa ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình

-Muốn giải hệ phương trình trên ta làm như thế nào?

( giáo viên nêu cách làm bằng cách đặt S x y P xy;  khi đó các em thảo luận

và trình bày lời giải như sau)

X  X  giải phương trình này ta được hai nghiệm là X1  4;X2  3

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ; )x y (4; 3);( 3;4)   

Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp cộngđại số ta cũng tính được x y x y. 121



giải phương trình tìm x,y

Chú ý: nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm x a y b

-Muốn giải hệ phương trình trên ta làm như thế nào?

-Học sinh nêu cách làm là biến đổi hệ phương trình về dạng tổng, tích của x và y bắng cách đặt S  x y P xy;  ta có hệ phương trình 2 5

-Khi đó các em đèu nhận thấy cách vận dụng hệ thức vi-ét vào nhẩm nghiệm củphương trình bậc hai các em trình bày lời giải như sau:

vi-ét thì x,y là hai nghiệm của phương trình bậc hai t2  3t  2 0(1)

Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm là t1=1 và t2=2

Vậy hê phương trình có hai nghiệm là (1;2);(2;1)

3

x y xy

Giải phương trình (2) ta có   ' 2 0  nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hê phương trình có hai nghiệm là (1;2);(2;1)

Phương pháp chung:

Như vậy là từ những bài toán về hệ phương trình trình đối xứng loại Ixong nếu biết biến đổi lin hoạt và vận dụng hệ thức vi-ét về tìm hai số khi biếttổng và hiệu của chúng ta sẽ đưa bài toán trở về dạng đơn giản từ đó tìm đượcnghiệm của hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thê coicác ẩn đó là nghiệm của một phương trình rồi sử dụng hệ thức vi-ét để thiết lậpphương trình mới này.Tức là ta đã chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn về giảimột phương trình bận n một ẩn, nếu phương trình này giải được thì đó là nghiệmcủa hệ n ẩn đã cho

8 Những thông tin cần được bảo mật: không.

9 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề 10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả :

Qua việc hướng dẫn các đối tượng học sinh thông qua mức độ nhận thứcmột số ứng dụng của hệ thức vi-ét và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đãtạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất cáccách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập Việc khai thác và đề xuất ranhững ứng dụng của hệ thức vi-ét còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toánTHCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được Khi áp dụng chuyên đề nàyvào trong giảng dạy cho các em học sinh khá, giỏi lớp 9 thì các em tiếp thu tốt

và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặccảm với dạng toán này thì các em có hứng thú học hơn và đạt được kết cao tốt

- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được mộtcách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

Tr ước khi áp dụng sáng kiến: c khi áp d ng sáng ki n: ụng sáng kiến: ến:

Sau một thời gian nghiên cứu, kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng

như trong kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và giảng dạy ôn thi vào trung

học phổ thông hàng năm cùng với sự giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp tôi đã

hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC

VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9” Tôi thấy đa số các em đều tự giác, tích

cực trong học tập vận dụng tương đối linh hoạt những ứng dụng của hệ thức