BT hinh hoc vao lop 10 nam hoc 2019 2020

a Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn.. b chứng minh AIH ABE c Chứng minh: cosABP PK BK a Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn... Từ đó tứ giác AEKD nội tiếp

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2019-2020

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập các bài toán hình học trong đề tuyển sinh vào 10 môn toán năm học 2019-2020 Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều đề thi

để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới

về cấu tạo số thường được ra trong các kì thi gần đây

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng chuyên đề sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

vuông tại A có đường cao AH ta có

AB BH

Xét AHB vuông tại H, theo định lí Pitago, ta có: AB2AH2HB2

Xét ABC vuông tại A, có đường cao AH

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 1 2  12  12

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC

vuông tại A, đường cao AHta có:

Câu 5: [TS10 Long An, 2019-2020]~[9H1B1]

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ( HBC) Biết BH 3, 6cm và HC6, 4

Câu 6: [TS10 Tây Ninh, 2019-2020]~[9H1B1]

Cho tam giác vuông cân tại có đường trung tuyến ( thuộc cạnh ) Biết

3 3 5

CH sin CAH

B A

2

C H

B

A

Ta có: ; ; ;

Câu 7: [TS10 Thái Nguyên, 2019-2020]~[9H1Y1]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh

AC, BC của tam giác ABC

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính số đo và độ dài đường cao AH của tam

giác ABC

Lời giải

a) Ta có:

vuông tại A (định lý Pit o đảo)

Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí

ở bở bên này sang vị trí ở bờ bên ki , đường thẳng vuông góc với các bờ sông Do bị dòn nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị tri cách mội khoảng bằng 30 m Biết khúc sông rộng m, hỏi dòn nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây)

B

A

G F

Câu 1: [TS10 An Giang, 2019-2020]~[9H3Y7]

Cho tam gia c ABC vu n tại A có AB4cm AC, 3cm Lâ y điêm D thuộc cạnh



CAD ( iả thiết

090



CED ( óc nội tiếp chắn nử đườn tròn)

Bốn điểm C D A E, , , cùn nằm trên đườn tròn đườn kính CD

Vậy tứ i c ACED là tứ i c nội tiếp

nên ABCAFC (cùn chắn cun AC )

Mà ABGAFC (cùn bù với DFG )

P và cắt AB tại K

a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn

b) chứng minh AIH ABE

c) Chứng minh: cosABP PK BK

a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn

Ta có: AEB900 (góc nội tiếp chắn nử đường tròn)

HEI 900 (kề bù với AEB)

T tự, ta có: HFI 900

Suy ra: HEI+ HFI 900+9001800

 tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn (tổn h i óc đối nhau bằng 1800 )

b) chứng minh AIH ABE

P

Ta có: AIH AFE (cùng chắn cung EH)

Mà: ABE AFE (cùng chắn cung AE)

Suy ra: AIH ABE

c) Chứng minh: cosABP PK BK

Ta có: SA // IH (cùng vuông góc với AB)

 Tứ giác AHIS là hình thang

Mà tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn (gt)

Suy ra: AHIS là hình thang cân

 ASFvuông cân tại F

 AFBvuông cân tại F

Ta lại có: FEBFABBEK 450

FEK 2.FEB900EF EK

Câu 3: [TS10 Bắc Giang, 2019-2020]~[9H3K7]

O K

E

F

H I S

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O đường kính AC BA BC Trên đoạn thẳng

OC lấy điểm I bất kỳ I C Đường thẳng BI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là D

Kẻ CH vuông góc với BDHBD, DK vuông góc với AC KAC

a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp

b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ABD 60o Tính diện tích tam giác ACD

c) Đường thẳn đi qu K song song với BC cắt đường thẳng BD tại E Chứng minh rằng khi I th y đổi trên đoạn thẳng OC I C thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định

Lời giải

a) + Chỉ r được 0

90

DHC ; + Chỉ r được 0

90

AKC

Nên H và K cùng thuộc đườn tròn đường kính CD

+ Vậy tứ giác DHKC nội tiếp được trong một đường tròn

2 3cm

c) Vì EK / /BCnên DEKDBC

Vì ABCDnội tiếp nên DBCDAC Suy ra DEKDAK

Từ đó tứ giác AEKD nội tiếp và thu được 90o 90 o

AEDAKD AEB

Kết luận khi I th y đổi trên đoạn OC thì điểm E luôn thuộc đườn tròn đường kính AB.cố định

I

Trên nử đườn tròn đường kính AB, lấy h i điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là

i o điểm h i ti AI và BQ; H là i o điểm hai dây AQ và BI

a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp

I

A

Do đó,CIHK là tứ giác nội tiếp

b) Do tứ giác CIHK nội tiếp nên

Do I K, cùng nhìn AB dưới góc 90º nên tứ giác ABIK nội tiếp

Suy ra, CAI CBK sđCM sđCN C là điểm chính giữa của cung

M

K

I H

D

C

B A

Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường cao AH H   BC  Trên AC lấy điểm

EDCEHC  và EDC EHC, đối nhau

Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: ADBMCS ; ADB ACB

Nên BCA ACS

Câu 7: *TS10 Bình Dươn , 2019-2020]~[9H3B7]

Cho đường tròn  O R ;  Từ một điểm M ở n oài đường tròn  O R ;  sao cho

2

OM  R, vẽ hai tiếp tuyến MA MB, với   O (A B, là hai tiếp điểm) Lấy một điểm N

tuỳ ý trên cung nhỏ AB Gọi I H K, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên

AB AM BM

1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R

2) Chứng minh: NIH  NBA

3) Gọi E là i o điểm của AN và IH, F là i o điểm của BN và IK Chứng minh

tứ giác IENF nội tiếp được tron đường tròn

4) Giả sử O N M, , thẳng hàng Chứng minh: NA2NB2 2R2

Lời giải

1 Tính diện tích tứ giác MAOB theo R

Xét tam giác OAM và tam giác OBM ta có:

2) Chứng minh NIH NBA

Xét tứ giác AINH có: AINAHN 900900 1800  Tứ giác AINHlà tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổn h i óc đối bằng 1800)

NIH NAH

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN)

Mà NAH  NBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AN

Xét tứ giác NIBK ta có NIBNKB9090 180

Mà h i óc này là h i óc đối diện

( )

NIK NAB KBN

Xét  ANB ta có: ANBNABNBA180

Lại có: NIH NABNIE; NIK NABNIF;ANBENF

    N là trun điểm của OM

Ta có: ON  AB{ }I  I là trun điểm của AB

Lại có: OA  OB   R ON là đường trung trực của AB  NA  NB

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh 2



AK AH R c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM Chứng minh NIBK

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn

H M

N

K

c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI KM Chứng minh NIBK

Trên ti đối của tia KB lấy điểm E sao cho KEKM KI

Xét OAM có MC là đườn c o đồng thời là đường trung tuyến (vì C là trun điểm của

AMB (Góc nội tiếp chắn nử đường tròn)

 AMB vuông tại M ABM 300

Mặt khác: KM KE (cách dựng)  EKM cân tại K

Và EKM 600 EKM là t m i c đều KME600 (2)

Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d không cắt đường tròn ( )O

Dựn đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng d tại điểm H Trên đường thẳng d lấy điểm K (kh c điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn ( )O , ( A

và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía củ đường thẳng OK

a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được tron đường tròn

b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I Chứng minh rằng IA IB IH IO và

I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định

c) Khi OK2 , R OH R 3 Tính diện tích tam giác KAI theo R

Lời giải

a) Ta có KAO90 ( KAAO),

KHO  OH KH

Xét tứ giác KAOH có KAOKBO180

nên là tứ giác nội tiếp

b) Ta có KBOKAO180 nên KAOB là tứ giác nội

tiếp và đỉnh H B A, , cùng nhìn cạnh OK dưới một góc

vu n nên năm điểm K A B O H, , , , cùng thuộc đường

tròn đường kính OK

Xét tam giác IAH và tam giác IOB có HIA BIO (đối đỉnh) và AHI ABO (hai góc nội

tiếp cùng chắn cung AO ) Do đó IAH IOB g g ( ) IA IO IA IB IH IO

Ta lại có đường thẳng d cố định nên OH kh n đổi ( OHd)

Vậy điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng d cố định

c) Gọi M là i o điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có OA OB R nên OK là đường trung trực của AB, suy ra ABOK tại M và

Cho tam giác nhọn ABC ABAC nội tiếp đường tròn tâm O C c đường cao BD và

CE cắt nhau tại H D thuộc AC E, thuộc AB Gọi M N, lần lượt là trun điểm của các cạnh AB và AC

a) Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp

b) Chứng minh AE AM AD AN

c) Gọi K là i o điểm của ED và MN F, là i o điểm của AO và MN I, là i o điểm của

ED và AH Chứng minh F là trực tâm của tam giác KAI

Lời giải

a) Ta có: BEC 90 , BDC 90

,

E D

 thuộc đườn tròn đường kính BC

 Tứ giác BCDE nội tiếp đườn tròn đường kính BC

Do M N, lần lượt là trun điểm AB và AC OM  AB ON, AC

OMA ONA     mà OMA và ONA là h i óc đối nhau

 AMON là tứ giác nội tiếp

Gọi J là i o điểm của AF và DE

Tron đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMON

EAJ EAOMNO (góc nội tiếp cùng chắn cung OM )

là i o điểm thứ hai của BD với đườn tròn đường kính BC

a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CE song song với AD và b điểm E, C, K thẳng hàng

c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại h i điểm M và N ( với M thuộc cung nhỏ AD) Chứng minh rằng 2 2 2

BKC ( góc nội tiếp chắn nử đườn tròn đường kính BC)

090

Suy ra DHKC là tứ giác nội tiếp

b) Ta có OADEH là trun điểm của DE ( quan hệ vuông góc giữ đường kính và dây cung)

Tứ i c ADCE có H là trun điểm của AC và DE và ACDE

Nên ADCE là hình thoi

MEI  ( góc nội tiếp chắn nử đườn tròn đường kính MI)

MEIvuông tại E

Câu 12: *TS10 ĐăK LăK, 2019-2020]~[9H3Y7]

Cho đườn tròn (O) có h i đường kính AB và CD vuông góc với nh u Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho 0

BOM30 Gọi N là i o điểm của CM và OB Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P

1) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp

2) Chứn minh t m i c EMN là t m i c đều

3) Chứng minh NCOP

4) Gọi H là trực tâm của tam giác AEF Hỏi b điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vì sao ?

Lời giải

1) Ta có: 0

ONP90 ( PNOB)

0OMP90 (EF là tiếp tuyến tại M củ đường tròn (O))

Tứ i c ONMP có N, M cùn nhìn OP dưới một góc vuông nên là tứ giác nội tiếp

   (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Tam giác OME vuông tại M, có 0 0 0 0

MOE30 OEM90 30 60

NME NEM 60 nên là t m i c đều

3) Tứ giác ONMP nội tiếp nên NMENOP, mà NME MNE (t m i c EMN đều)

NOP MNE OP / /CM

Tứ giác OCNP có OP / /CN; NP / /CO nên là hình bình hành OPCN

4) T m i c ENM đều, NM / /OP nên suy r t m i c EOP đều

AP EF APO 90 OPE 90 60 30

        0

APEFAP / /OMPAOMOE30 (đồng vị)

Suy ra tam giác AOP cân OPOA (mâu thuẫn vì P nằm trên tiếp tuyến tại M của

đường tròn (O) nên P không thuộc đường tròn (O))

Vậy b điểm A, H, P không thẳng hàng

Câu 13: [TS10 ĐăK N n , 2019-2020]~[9H3B7]

Cho một điểm Mnằm bên n oài đường tròn O;6cm Kẻ hai tiếp tuyến MN MP, ( ,N Plà hai tiếp điểm) củ đường tròn  O Vẽ cát tuyến MAB củ đường tròn O s o cho đoạn thẳng AB6cm với ,A B thuộc đường tròn  O , A nằm giữa M và B

a) Chứng minh tứ giác OPMN nội tiếp đường tròn

b) Gọi H là trun điểm đoạn thẳng AB So sánh góc MON và góc MHN

A

c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn

tâm  O

Lời giải

a) Tứ giác PMNO có P= 900 và N= 900 (Tính chất tiếp tuyến)

P +N = 1800  Tứ giác PMNO nội tiếp được tron đườn tròn đường kính MO

b) Vì: H là trun điểm của AB, nên: OH  AB

Câu 14: [TS10 Điện Biên, 2019-2020]~[9H3K4][9H3G3]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có h i đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I

khác O) Kẻ đường kính CE

1 Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân

ICDACD BCE EBAD EB AD => (2)

Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân (đpcm)

E

DI

M

NA

Suy ra tam giác ABK cân tại B => BA = BK (4)

Biết ba góc CAB ABC BCA, , đều là góc nhọn

1) Chứng minh bốn điểm B C D E, , , cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh DE vuông góc với OA

3) Cho M N, lần lượt là trun điểm củ h i đoạn BC AH, Cho K L, lần lượt là giao

điểm củ h i đường thẳng OM và CE , MN và BD Chứng minh KL song song với

AC

Lời giải

Suy ra bốn điểm B , D , C , E cùng thuộc một đường tròn

2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn O tại A

Khi đó Ax AO ( tính chất tiếp tuyến)

Ta có: CAx CBA ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung

AC ) 1

Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) CBA EDA ( góc ngoài tại một đỉnh bằn óc đối diên

đỉnh đó) 2

Từ 1 và 2 suy ra CAx EDA CBA

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE//Ax

Mà Ax AO (cmt) nên DE AO (đpcm)

Câu 16: *TS10 Đồng Tháp, 2018-2019]~[9H3B7][9H3G4][9H3G6]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC) và đường cao AH ( K BC) Vẽ đường tròn (O) đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O)( với M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO ) Gọi H là i o điểm

củ h i đường thẳng AN và AK

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN

c) Chứng minh AN2  AK AH

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

X t đường tròn (O) có AM là tiếp tuyến nên

AM  OM hay AMO  900

Lại có AK  BC suy ra AKO  900

Xét tứ giác AMKO có AMO  AKO  900 nên hai

đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới các góc

vu n , do đó tứ giác AMKO là tứ giác nội

tiếp(đpcm)

b) Chứng minh KA là tia phân giác AKN

x t đường tròn (O) có AN là tiếp tuyến nên AN  ON hay ANO  900

Xét tứ giác KONA có AKO  ANO  900  900  1800 mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác KONA là tứ giác nội tiếp Suy ta NKA  NOA (1)

Lại có tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên MKA  MOA (2)

X t đường tròn (O) có AM, AN là 2 tiếp tuyến nên OA là tia phân giác của MON (TÍNH CHẤT)

1) Cho nử đườn tròn O R;  đườn kính AB Trên cùn nử mặt phẳn bờ AB chứ

nử đườn tròn O R;  vẽ c c tiếp tuyến Ax By, với nử đườn tròn đó Gọi M là một

điểm bất kì trên nử đườn tròn O R;  (với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến củ nử

đườn tròn tại M cắt Ax By, lần lượt tại C và D

) Chứn minh tứ i c ACMO nội tiếp

b) Chứn minh t m i c COD vu n tại O

c) Chứn minh 2

AC BD R b) Kẻ MN AB N, AB; BC cắt MN tại I Chứn minh I là trun điểm củ MN

Lời giải

) Chứn minh tứ i c ACMO nội tiếp

Theo tính chất tiếp tuyến t có 90

X t tứ i c ACMO có tổn h i óc ở vị trí đối nh u OACOMC90 90 180

Suy r tứ i c ACMO nội tiếp

b) Chứn minh t m i c COD vu n tại O

Tươn tự ý ) t cũn chứn minh được tứ i c BDMO nội tiếp

Ta có AMB90 ( óc nội tiếp chắn nử đườn tròn) suy ra tam giác ABM vu n tại B

Suy ra OAM OBM 90

Lại có OAM MCO (cùn chắn cun MO củ đườn tròn n oại tiếp tứ i c ACMO)

Lại có O là trun điểm củ AB suy r OC là đườn trun bình t m i c ABE

Suy r C là trun điểm củ AE

CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H

1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn

2) Chứn minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

3) Gọi K là trun điểm củ đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng

 

BFC (CF là đường cao)

BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông)

2) Chứn minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ BAFACB(tính chất giữ đường tiếp tuyến và dây cung)

Do tứ giác BCEF nội tiếp AFE ACB

Ta suy ra BAF  AFEEF Ax// (do hai góc so le trong)

Lại có AxOAOAEF (đpcm)

3) Chứng minh APE∽ ABI

Ta có : AEBABI ( Vì AEBEFC ABIEFC180)

Mặt khác APEPAI  90 (vì AI PE)

90

AIBPAI   ( Vì AH BC)APEAIB

Vậy APE∽ ABI ( g-g)

 Nội tiếp đường tròn

Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn PIM PDM HSM HS PI//

Câu 19: [TS10 Hà Tĩnh, 2019-2020]~[9H3G7]

Cho đườn tròn tâm O và điểm M nằm n oài đườn tròn đó Qu M kẻ các tiếp tuyến

MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm) Đường thẳng (d) th y đổi đi qu M, kh n đi qua O và luôn cắt đường tròn tại h i điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)

a) Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh MC.MD  MA 2

c) Chứn minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD lu n đi qu điểm cố định khác O

Lời giải

a) Theo tính chất tiếp tuyến có 0

90



MAO

090



MBO suy ra tứ giác AMBO nội tiếp đườn tròn (đpcm)

b) Xét MCA và MAD có góc M chung,

có MACMDA (cùng bằng 1

2 sđ AC ) Suy ra MCA và MAD đồng dạng

Suy raMC MA

MC.MD MA

c) Gọi H là i o điểm OM và AB suy ra H cố định

Xét trong tam giác MAO vuông tại A có đường cao AH suy ra có 2

MH.MO MA

Kết hợp với MC.MD  MA 2 nên có MH.MO  MC.MD

Từ đó có MC MH

MO  MD và góc M chung  MCH và  MOD đồng dạng CHM MDO nên

tứ giác OHCD nội tiếp đường tròn

Từ đó có đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD lu n đi qu điểm H cố định

Câu 20: [TS10 Hải Dươn , 2019-2020]~[9H3B7][9H3K4][9H3G7]

Từ điểm A nằm n oài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứ điểm B vẽ cát tuyến AMN với đườn tròn (O) (AM < AN, MN kh n đi qu O) Gọi I là trun điểm của MN

1) Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp

2) Gọi H là i o điểm của AO và BC Chứng minh: AH.AO = AM.AN và tứ giác MNOH là

tứ giác nội tiếp

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F Chứng minh rằn M là trun điểm của EF

Lời giải

D

C

H O M

A

B

AIOC là tứ giác nội tiếp

2) (O) có: B1 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung MB

ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến củ (O)), có BH là đường cao

AB2 = AH.AO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

AHM ANO (c-g-c)

1

Tứ giác MNOH có H1 ANO

MNOH là tứ giác nội tiếp

3) Cách 1:

Gọi D là i o điểm của AN và BC

MNOH là tứ giác nội tiếp OMNH4

OMN cân tại O (vì OM = ON = R)

HA là đường phân giác ngoài của HMN

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

Vì ME // BN nên tứ giác MEBN là hình thang

Gọi K là trun điểm của EB

IK là đường trung bình của hình thang MEBN

C tia AC nằm giữa hai tia AD và AO Từ điểm O kẻ OI  AC tại I

a) Chứn minh năm điểm A D I O E, , , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB AC  AD2

c) Gọi K và F lần lượt là i o điểm của ED với AC và OI Qu điểm D vẽ đường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P Chứng minh D là

trun điểm của HP

Lời giải

4.1 a (0,75 điểm) Chứn minh năm điểm A,D,I ,O,E cùng thuộc một đường tròn;

+ Chứn minh 4 điểm A,D,O,E thuộc một đường tròn (1)

+ Chứn minh 4 điểm A,D,O,I thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy r năm điểm A,D,I ,O,E cùng thuộc một đường

4.1 b (1,0 điểm) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB AC  AD2;

Chứn minh được tứ giác AEID nội tiếp EIADIA (3)

Chứn minh được tứ AE AD AE AD (4)

Từ (3) và (4) suy ra IA là tia phân giác của DIE

Chứng minh ABD ADC

B O

E

A

Câu 22: [TS10 Hậu Giang, 2019-2020]~[9H3B7][9H3K3][9H3G7]

Cho đường tròn tâm (O) với đ y AB cố định không phải đường kính Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC Gọi I là i o điểm của BN và CM Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp

B O

E

A

 (góc nội tiếp bằng nửa số đo cun bị chắn)

AHN

   ( óc có đỉnh bên tron đường tròn)

    mà chúng ở vị trí so le trong AH / /KI

Chứn minh tươn tự ta có AKHKHI mà chúng ở vị trí so le trong AK / /HI

Xét tứ giác AHIK ta có AH / /KI

Tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp MHBMIB(hai góc nt cùng chắn cung MB)

Tứ giác NCIK là tứ giác nội tiếp NKCKIC(hai góc nt cùng chắn cung NC)

Mà MIBNIC dd MHBNKI

Cho tam giác ABC có AB AC nội tiếp đường tròn ( )O H i đường tròn BD và CE

của tam giác ABC cắt nhau tại H Đường thẳng AH cắt BC và ( ) O lần lượt tại F và K

( K A ) Gọi L là hình chiếu của D lên AB

a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và BD2 BL BA

b) Gọi J là i o điểm của KD và ( ), O ( J K Chứng minh rằng ) BJK BDE

c) Gọi I là i o điểm của BJ và ED Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trun điểm

ED

Lời giải

a) Ta có BEC BDC 90 nên c c điểm ,E D cùng nằm trên đườn tròn đường kính

BC Do đó tứ giác BEDC nội tiếp

Xét tam giác ABD vuông ở D có DL là đường cao nên theo hệ thức lượng, ta có

BD BL BA

b) Ta thấy H là trực tâm tam giác ABC nên AF cũn là đường cao của tam giác và

AF BC Xét đường tròn ( ) O có BJK BAK , cùng chắn cung BK

Tứ giác ADHE có ADH AEH 90 90 180 nên nội tiếp Suy ra

HAE HDE nên BAK BDE

Tứ các kết quả trên, ta suy ra BJK BDE

c) Xét hai tam giác BID và BDJ có

BDI BJD (theo câu b) và DBI chung

Suy ra tứ giác ALIJ nội tiếp

H

O

C B

A