Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tôinhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán có chứa dấu giátrị tuyệt đối và thường mắc phả

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tôinhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán có chứa dấu giátrị tuyệt đối và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinhcòn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ,chưa xét hết các trường hợp xảy ra Lí do là học sinh chưa nắm vững quy tắc xétdấu của nhị thức bậc nhất, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giảiđối với từng dạng bài tập Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạng bàitập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em có thể vận dụng linhhoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từngdạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo Từ đó rèn luyện chohọc sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.

Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một vài kinh nghiệmbồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” vớimong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thànhcủa các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả.

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán

có chứa dấu giá trị tuyệt đối” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từngdạng bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biếtphân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả Qua đógiúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, pháttriển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em họcsinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán vàniềm đam mê bộ môn

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phươngpháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp họcsinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sángtạo cho học sinh Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ,

dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc có thể giải đượcnhiều dạng Toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú đểhọc tốt môn Toán và các môn khoa học khác

3 Đối tượng nghiên cứu

Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứadấu giá trị tuyệt đối

4 Giới hạn của đề tài

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán có chứa dấugiá trị tuyệt đối.

Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xãQuảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017

- 2018

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệutrên mạng internet, các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong các đề thi họcsinh giỏi các cấp qua các năm

- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải chotừng thể loại bài tập

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9 trườngTHCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk qua cácnăm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018

- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy

c) Phương pháp thống kê toán học:

- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài

- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó Việc học Toán không phải chỉ là học trong sáchgiáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô đưa ra mà phải nghiên cứu đàosâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ

ích Dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng toán rất quan trọng trong

chương đại số 9, đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi họcsinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận

và phát huy tối đa khả năng phán đoán Với mục đích nhằm nâng cao chất lượngdạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giảicho từng kiểu loại bài tập Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xâydựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựachọn phương pháp giải phù hợp Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thờikhơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển họcsinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiềuchuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một số dạng toán cóchứa dấu giá trị tuyệt đối” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồidưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương

vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán có chứa dấu giá trịtuyệt đối thì giáo viên nên phân theo từng kiểu loại bài tập, mỗi loại bài tập phântheo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phươngpháp giải chung cho từng dạng Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tàinghiên cứu “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa

dấu giá trị tuyệt đối” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng

vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoahọc, lập luận logic và chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập

3 Nội dung và hình thức của giải pháp

a) Mục tiêu của giải pháp

Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có

chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều

dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị chohọc sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng toán cóchứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề raphương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duylinh hoạt và sáng tạo Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán có tính

tư duy

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

b.1 Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp giải

Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét cáctrường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trườnghợp

Lưu ý: Đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối là mộtđường gấp khúc.

Khi thay x bởi –x, giá trị của

hàm số y x không đổi nên đồ thị

n m

O

y

x 1

-1

Ví dụ 2 Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x 1 

Giải

1 2

-12

-1

n m

O y

1 -1

-1

n m

O

y

x 1

-1

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x 1  

Giải

y

x 1

x 0 1

x - 0 + +

1 - x + + 0 Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến cụ thể như sau:

x

B

1 2

Ví dụ 7 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày

3 2

b.2 Loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải tốt phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu học sinh cần phải nắm vững một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cụ thể như sau:

- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế

- Cách tìm nghiệm x trong phương trình: Thực hiện phép tính , chuyển vế,

Dạng 1 Phương trình dạng A(x)  k

Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k R

Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm.Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệtđối rồi giải phương trình vừa tìm được

* Phương pháp giải

Trường hợp k > 0:

A(x) k   



A(x) kA(x) k

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = k và A(x) = -k rồi kết luận nghiệm

x 1

x 12

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thứckhông xảy ra Nếu B(x) < 0 Do đó để đẳng thức luôn xảy ra cần phải đặt điều kiện:B(x)  0

+ Xét A(x) 0 Từ đó suy ra điều kiện của x

Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) 0)

+ Xét A(x) < 0 Từ đó suy ra điều kiện của x

Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)

Ta có 9 - 7x = 5x - 3 hoặc 9 – 7x = - (5x - 3)

+ Nếu 9 - 7x = 5x - 3  12x = 12  x = 1 (thoả mãn điều kiện)

+ Nếu 9 - 7x = -(5x - 3)  2x = 6  x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1;3

 x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1;3

+ Nếu x – 5 = 3 + x  0x = 8( loại)

+ Nếu x – 5 = -3 – x  2x = 2  x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1

Cách 2: | x – 5| - x = 3

Với x - 50 hay x 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3  0x = 8 (loại)Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3 -2x = -2

 x = 1 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1

Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giốngnhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợp đặcbiệt của dạng 2 Thông qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương phápgiải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng A = B Nếu

B0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B làbiểu thức có chứa x thì đó là dạng 2 và giải bằng cách 1 hoặc ta đi xét các trườnghợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối

Ví dụ 3 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày

Với x  0 thì ta có phương trình: x = 2x - 1 x = 1 (thoả mãn điều kiện).

Với x < 0 thì ta có phương trình: -x = 2x - 1 1

x 3

 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

b) x  x 5 

Nếu x  0 thì x = -x - 5 x  2,5(loại)

Nếu x < 0 thì -x = -x - 5 0x = -5 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2 Vẽ đồ thị của hai hàm số y  x và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ.Giao điểm của hai đồ thị trên là điểm (1; 1) Do đó nghiệm của phương trình

x  2x 1  là x = 1

Vẽ tiếp đồ thị của hàm số y = -x – 5 ta thấy đồ thị của hai hàm số y  x và y

= -x – 5 không cắt nhau Do đó phương trình x  x 5  vô nghiệm

1 O

Dạng 3 Phương trình dạng A(x)  B(x) = 0

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Với dạng này yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trịtuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổngcủa hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0) Vậy ở bài này tổngtrên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0) Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện:A(x) = 0 và B(x) = 0

* Phương pháp giải

A(x)  B(x) = 0  A(x) 0B(x) 0





Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0

Sau đó ta tìm x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi kết luận nghiệm

, 4

0 5 , 3

x x

 



 5 , 4 5 , 3

x x

(Điều này không đồng thời xãy ra)Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

1 (

0 3 2

x x

x x

1 (

0 ) 3 (

x x

x x

3 0

x x

x x

 x 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  3

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

a) x 1 x 4      x 1 x 3      0

b) 2x 1 x 2 0   

Giải

a) x 1 x 4      x 1 x 3      0

   (Điều này không đồng thời xảy ra)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Lưu ý: Ở dạng này cần lưu ý học sinh khi kết luận nghiệm của phương trìnhthì nghiệm đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình A x  0 và B x  0

Dạng 4 Phương trình dạng A(x) B(x) = k

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x; kR; k0

Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm.Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệtđối rồi giải phương trình vừa tìm được

mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2 x <9) Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu

  Phương trình vô nghiệm

Với x 9  thì ta có phương trình: x 2 x 9 1     2x 12  x 6 (loại)Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 -2x = 6  x = -3 (thỏa mãn)

Với -2 x 3  thì ta có phương trình: 3 - x + x + 2 = 7

 0x + 5 = 7 (vô nghiệm)

Với x 3  thì ta có phương trình: x - 3 + x + 2 = 7  2x – 1 = 7

 2x = 8  x = 4 (thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   3; 4

Ví dụ 3 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày

25/02/2010)

Giải phương trình: x 1  x 2  3 x 2010

Giải

Thực hiện tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2

x -1 2 3

x + 1 - 0 + + +

x - 2 - - 0 + +

3 - x + + + 0 -Với x < -1 thì ta có phương trình: -x - 1 + 2 – x + x - 3 = 2010

 x = -2012 (thỏa mãn)

Với   1 x 2 thì ta có phương trình: x + 1 + 2 – x + x - 3 = 2010

 x = 2010 (loại)

Với 2 x 3  thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 + x - 3 = 2010

 x = 2014

3 (loại) Với x 3 thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 - x + 3 = 2010

 x = 2008 (thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2012; 2008

Dạng 6 Phương trình dạng A(x)  B(x) hay A(x)  B(x)  0

Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x

Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai

vế đều không âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đốibằng nhau” để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) = -B(x)

* Phương pháp giải

Ta có |A(x)| = |B(x)|  A(x) B(x)A(x) B(x)

5 17 5 17

x x

x x

17

5 5 17 17

x x

4 3 ) 9 2 ( 2

x x

x x

4 3 14 4

x x

x x

3

4

18 4

22

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 2; 22

2

4 3 ) 9 2 (

2

x x

x x

4 3 14 4

x x

x x

18 4 3 4

x x

x x

22

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 2; 22

b.3 Loại bài tập giải phương trình vô tỉ đưa được về phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

* Phương pháp giải

Khi gặp phương trình vô tỉ mà biểu thức lấy căn có thể viết được dưới dạngbình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A 2  A để làm mấtdấu căn đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Với x < 2 thì ta có phương trình: 2 - x = 8 - x 0x = 6 (vô nghiệm)

Với x 2 thì ta có phương trình: x - 2 = 8 - x  2x = 10

 x 5 (thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  5

Ví dụ 2 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày

  (phương trình nghiệm đúng với mọix R /1 x 2    )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S x R /1 x 2    

* Các ví dụ minh họa