ÔN tập HOÁN vị tổ hợp CHỈNH hợp câu hỏi THEO 4 mức độ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh trong lớp học này đi dự trại hè của trường?. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè

DẠNG TOÁN 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN:

1 Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m

 Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A Bn A   n B

2 Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện

hoàn thành công việc

II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1 Hoán vị :

một hoán vị các phần tử của tập A

b) Số các hoán vị : Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

n

P n n n! ( 1) 1 1.2.3 ( 1)n n

Chú ý : Ta có Pn n! 1.2.3 ( n1)nn3 ! n2  n1 n n2 !  n1 n

2 Chỉnh hợp:

và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

k n

Chú ý :  Ann Pn  Qui ước: n! 0! 1, An0  thì (2) đúng với 1 0  k nKhi k = n thì Ann Pn n!  Với 0  k n, ta có thể viết: Ank n

n k

!



3 Tổ hợp:

một tổ hợp chập k của n phần tử của A



k

k n

n

C

!

 Với 0 k n ta có thể viết : Cnk n

k n k

!



Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ

Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Đếm số (chỉ dùng một loại P hoặc A hoặc C)

 Đếm số (kết hợp P-A-C)

 Chọn người, vật (thuần hoán vị)

 Chọn người, vật (thuần chỉnh hợp)

 Chọn người, vật (thuần tổ hợp)

 Chọn người, vật (kết hợp P-A-C)

 Bài toán liên quan hình học

 Tính toán, rút gọn biểu thức chứa P,A,C

 PT-HPT đại số tổ hợp

 Đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp

 Hoán vị bàn tròn

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm có 10 học sinh

A 2

10

10

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán dùng quy tắc đếm hoặc tính số tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

2 HƯỚNG GIẢI:

2

10

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lờigiải Chọn A

10

C Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Bạn Hoàng muốn đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại của mình Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn

nhiêu cách đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại

A.2016 B.5040 C.10000 D.9000

Lời giải Chọn C

Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hoàng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ

Câu 2 Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh

trong lớp học này đi dự trại hè của trường?

Lờigiải Chọn C

Áp dụng quy tắc cộng:

Câu 3 Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh

nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường?

A.25 B.20 C.45 D.500.

Lời giải Chọn D

Áp dụng quy tắc nhân:

Số cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của

Câu 4 Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?

Lời giải Chọn B

Áp dụng quy tắc cộng:

Câu 5 Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có 4 con

A 24 B 7 C 6 D 12

Lời giải:

Chọn D

Câu 6 Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3, 4,5?

A 4

5

5

Lời giải:

Chọn A

5

Câu 7 Cho đa giác lồi n đỉnh n Số tam giác có 3 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là

A 3

n

n

3 3!

n C D n! Lời giải:

Chọn B

Số tam giác lập được là 3

n

Câu 8 Số tập con của tập hợp gồm 2020 phần tử là

A 2020 B 22020 C 20202 D 2.2020

Lời giải:

Chọn B

Số tập con của tập hợp có 2017 phần tử là 22017

Câu 9 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau?

A 5! B 95 C 5

9

9

A Lời giải:

Chọn D

của 9 phần tử

9

Câu 10 Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng

1

điểm trên Giá trị của n là

A n10 B n7 C n8 D n9

Lời giải:

Chọn B

5 n

C C

5 n

C C

C C C C  2!5 !2 ! 1! 10 !1 ! 175

 

10 175 2

n n

n



   5n215n350 0

 

7 10

n





 Mức độ 2

Câu 1 Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt A A1, , ,2 A10 trong đó có 4 điểm A A A A1, , ,2 3 4 thẳng

hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?

A 116 tam giác B 80 tam giác C 96 tam giác D 60 tam giác

Lời giải

Chọn A

10

C tam giác

Do 4 điểm A A A A1, , ,2 3 4 thẳng nên số tam giác mất đi là 3

4

C

Câu 2 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp

nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?

A 120 B 98 C 150 D 360

Lời giải:

Chọn B

9

C cách

Câu 3 Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 2520 B 50000 C 4500 D 2296

Lời giải Chọn D

9 9.A

8 5.8.A

Câu 4 Giải phương trình 3 x 2 14

A x3 B x6 C x5 D x4

Lời giải Chọn C

2

x x

2

       

Cách 2: Lần lượt thay các đáp án B, C, D vào đề bài ta được x5

Câu 5 Từ các chữ số 0, 1, 2 , 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

A 72 B 120 C 54 D 69

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm dạng: abcd , a0

4

Câu 6 Một đoàn tàu có bảy toa đỗ ở sân ga Có năm hành khách bước lên tàu Có bao nhiêu trường

hợp có thể xảy ra về cách chọn toa tàu của năm hành khách, biết rằng không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách?

A.2520 B.78125 C.16807 D.21

Lời giải Chọn A

Không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách nên ta làm như sau:

7

C cách chọn

7

Câu 7 Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí Hỏi có bao nhiêu cách xếp

sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau?

Lời giải

Chọn B

Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ

Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số 1 hoặc một nam ngồi ở vị trí số 1 Ứng với mỗi

Câu 8 Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0, 1, 2 , 3, 4 ?

A 125 B 120 C 100 D 69

Lời giải

Chọn A

Gọi số cần tìm là abc a b c, , 0;1;2;3;4  (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0)

a có 5 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 5 cách chọn

của g x x22x m 21g 1 0 m2   0 m 0

Câu 9 Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ

phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau

A 310080 B 930240 C 1860480 D 15505

Lời giải:

Chọn A

Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó

18

18

Câu 10 Trong mặt phẳng có 2019 đường thẳng song song với nhau và 2020 đường thẳng song song

có đỉnh là các giao điểm nói trên

A 2019.2020 B 4 4

2019 2020

C C D 2019 2020 Lời giải:

Chọn C

Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên

2019

2020

2019 2020

 Mức độ 3

Câu 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền

giữa hai chữ số 1 và 4 ?

A 249 B 1500 C 3204 D 2942

Lời giải:

Chọn B

6

6

6 .4.2A cách

6

6.2

Câu 2 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A1; 2;3; 4;5 sao

A 72 B 36 C 32 D 48

Lời giải Chọn B

Chọn một vị trí a b, hoặc c cho số 3 có 3 cách chọn

4

A cách

4

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu

Câu 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa

A 720 số B 360 số C 288 số D 240 số

Lời giải Chọn D

và f là số chẵn

Trường hợp 1: Nếu f   2 n abcde2

Có 4 cách chọn c, nên có 4.4! 96 số

Có 3 cách chọn c, nên có 3.4! 72 số

Có 3 cách chọn c, nên có 3.4! 72 số

Câu 4 Sắp xếp 20 người vào 2 bàn tròn A B, phân biệt, mỗi bàn gồm 10 chỗ ngồi Số cách sắp xếp

là

A

10

20.9!.9!

2

C

B 10

20.9!.9!

20

20.10!.10!

C Lời giải

Chọn B

20

C cách chọn người Tiếp

20.9!

giai đoạn 2 có 9! cách

20.9!.9!

Câu 5 Cho đa giác đều A A A1 2 3.A30 nội tiếp trong đường tròn  O Tính số hình chữ nhật có các

A 105 B 27405 C 27406 D 106

Lời giải:

Chọn A

Trong đa giác đều A A A1 2 3.A30 nội tiếp trong đường tròn  O cứ mỗi điểm A1 có một điểm i

A đối xứng với A1 qua O A1 Ai ta được một đường kính, tương tự với A2, A3, , A30 Có

nhật tất cả

Câu 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào

đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần

A 786240 B 846000 C 907200 D 151200

Lời giải:

Chọn D

5

9

trí)

5

Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8

+) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1) Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ

nhau 1 vị trí nữa

9

A cách chọn Câu 7 Từ các chữ số thuộc tập hợp S 1; 2;3; ;8;9 có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao

số 6?

A 36288 B 72576 C 45360 D 22680

Lời giải:

Chọn C

9

C cách

Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 3, 4 (số 3 đứng trước 4 ): có 2

7

Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 5, 6 (số 5 đứng trước 6): có 2

5

3 chữ số còn lại có 3! cách

Câu 8 Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang Số cách xếp sao

cho các bạn nam luôn ngồi cạnh nhau và các bạn nữ luôn ngồi cạnh nhau là

A 1782 B 1728 C 3456 D 288

Lời giải:

Chọn B

Cách 1: Lấy 4 ghế xếp liền nhau coi là nhóm ghế A , lấy 3 ghế xếp liền nhau coi là nhóm B

4

Câu 9 Cho một đa giác đều n đỉnh n2,n Tìm  n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn

A n12 B n10 C n9 D n45

Lời giải:

Chọn B

Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm

n

2 n

n n

Câu 10 Hai bạn An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá 9 bạn được xếp vào 9 ghế

ngồi cạnh nhau?

A 40320 B 322560 C 357840 D 282240

Lời giải:

Chọn D

9! 362880 cách

   2! 8! 80640 cách (Xem hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau như ngồi một vị trí, sau đó hoán vị hai bạn An và Bình)

362880 80640 282240 

 Mức độ 4

Câu 1 Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n4, n), trong đó không có ba điểm nào thẳng

A 8 B 12 C 5 D 6

Lời giải Chọn D

Cách 1 :

2n

n

200

n n n n n n

200

n n n n n n

7n 9n 2n 1200 0

     n6 7  n233n2000  n 6

Vậy n6

Cách 2 :

Có các trường hợp sau :

TH1 : n điểm đồng phẳng tạo ra 1 mặt phẳng

n

C mặt phẳng

tạo ra C Cn2 n1n C n2 mặt phẳng

tạo ra C Cn1 n2n C n2 mặt phẳng

Vậy có 1Cn32nCn2201 n 6

Câu 2 Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang

như vậy?

A 80640 B 108864 C 145152 D 217728

Lời giải Chọn C

Xét các trường hợp sau:

4 2! .7!A cách

4 2! .6!A cách

4 2! .5!A cách

4 2! .4!A cách

Câu 3 Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên

A 4320 B 90 C 43200 D 720

Lời giải Chọn C

5

Câu 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào

đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần

A 786240 B 846000 C 907200 D 151200

Lời giải:

Chọn D

5

9

A cách

trí)

5

C cách

Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8

+) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1) Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ

nhau 1 vị trí nữa

Suy ra số cách chọn là 3

9

A cách chọn

9

Câu 5 Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần

(kể từ trái qua phải) bằng:

A 204 B 120 C 168 D 240

Lời giải:

Chọn A

TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải

9

TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải

10

C

Câu 6 Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có 2 chữ số 1

đứng cạnh nhau?

A 54 B 110 C 55 D 108

Lời giải:

Chọn B

Có 1 số

Xếp 6 số 8 ta có 1 cách

TH4: Có 3 chữ số 1, 5 chữ số 8

Vậy có: 1 8 21 20 5 55     số

Câu 7 Từ các chữ số , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có chữ số khác

nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

Lời giải:

Chọn B

Câu 8 Cho hàm sốy f x  liên tục, không âm trên  và thỏa mãn lim ( ) 1, lim ( ) 2x f x x f x

cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần

A 786240 B 846000 C 907200 D 151200

Lời giải:

Chọn D

9 A cách

trí)

1 2 3 4 5 6

a a a a a a

a  a1a2a3  a4a52  

 

a a a

a a





 





 

a a a

a a











a  a1a2a3  a4a54  

 

a a a

a a







 

a a a

a a







a  a1a2a3  a4a56  

 

a a a

a a





 





 

a a a

a a











3!.2! 12 6.12 72

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0

5

C cách

Câu 9 Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao

cho có đủ cả ba màu Số cách chọn là

A 2163 B 2170 C 3003 D 3843

Lời giải:

Chọn B

15

Khi chọn bất kỳ thì bao gồm các trường hợp sau

đủ ba màu

6

6

5

5 9 5

10 5

Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán (có đủ ba màu) là

Câu 10 Một tổ học sinh có 6 nam và 3 nữ được yêu cầu xếp thành một hàng ngang Số cách xếp sao

cho không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau là

A 9! B 151200 C 25200 D 86400

Lời giải:

Chọn B

Xét trường hợp có đúng 2 bạn nữ đứng cạnh nhau:

3

C (cách)

Nếu xếp hai bạn nữ vào các vị trí  2;3 hoặc  3;4 hoặc  4;5 hoặc  5;6 hoặc  6;7 hoặc

Vậy số cách xếp để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau là

2 3