LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh khi giải dạng toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: học sinh rất sợ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh khi giải dạng toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: học sinh rất
sợ và thường rất lúng túng, hay mắc sai lầm như bỏ qua điều kiện, biến đổi sai đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường có các bài toán liên quan đến biểu thức chứa căn
Để khắc phục được vấn trên bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề “ Rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” với mong muốn các em học sinh nắm rõ
phương pháp giải và có kỹ năng thành thạo khi làm các bài tập liên quan đến “ Rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều
dạng toán khác sau này
Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” được xây dựng dựa
trên kiến thức cơ bản của sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ, được sắp xếp thành từng dạng để học sinh rễ học, rễ nhớ
II PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
1 Phạm vi của chuyên đề:
- Áp dụng với đối tượng học sinh đại trà lớp 9
2 Mục đích chuyên đề:
- Trao đổi với giáo viên tổ KHTN một số dạng bài tập và kỹ năng về rút gọn
biểu thức chứa căn bậc hai trong các giờ bồi dưỡng học sinh đại trà
- Giúp học sinh có kĩ năng khai thác và giải một số dạng bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Trang 2III NỘI DUNG
A LÍ THUYẾT:
1 Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1 (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2 (A – B) 2 = A 2 –2AB +B 2
3 A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3
5 (A-B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3
6 A 3 +B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 )
7 A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 )
2 Các công thức biến đổi căn thức:
2 A =2 A
4
B
A
6 A B = A2B với A 0; B 0
7 A B = - A2B với A < 0 ; B 0
B B
9
B
B A B
10 C C( A 2B)
A B
−
2
0,
A AB
ví i
A B
−
Trang 33 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm các hạmh tử
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức
4 Các tính chất cơ bản của một phân thức
.
A A M
B = B M (M0)
: :
A A N
B =B N (N là nhân tử chung của A, B)
Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử ( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức về dạng rút gọn
B CÁC DẠNG TOÁN:
- Dạng 1: Rút gọn biểu thức số
+ Dạng 1.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng
+ Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc hiệu
+ Dạng 1.3: Trục căn thức, quy đồng
- Dạng 2 Rút gọn biểu thức chứa chữ
+ Dạng 2.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng
+ Dạng 2.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc hiệu
+ Dạng 2.3: Trục căn thức, quy đồng
- Dạng 3 Các bài toán liên quan đến giá trị biểu thức sau khi rút gọn: (Tính
giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên của biểu thức )
Trang 4DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức trong căn Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo
+ Phân tích các biểu thức số phù hợp để vận dụng được các phép biến đổi
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ Triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân, chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…
Dạng 1.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Nhân, chia căn bậc hai; đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn; khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn thức đồng dạng
* Lưu ý thêm:
- Thực hiện phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A = 20 − 45 + 3 18 − 72
B = 125 − 4 45 + 3 20 − 80
C = 75 + 48 − 300
D = 98 − 72 + 0, 5 8
G =( 99 − 18 − 11) 11 3 22 +
H =( 99 − 18 − 11) 11 3 22 +
I = (2 3 + 5) 3 − 60
F = (5 2 + 2 5) 5 − 250
K = ( 28 − 2 3 + 7) 7 + 84
Trang 5+ Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau
A = 2 27 48 2 75
4 − 9 − 5 16
B = 2 9 49 25
8 − 2 + 18
C = 8 24 50 6
D = 1 2 125. 1
E = 1 1 3 4, 5 2 50 :4 1
+ Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc hiệu
* Lưu ý thêm: Hướng dẫn học sinh để làm mất dấu căn ta đi biến đổi biểu thức
dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu nhờ hằng đẳng thức (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 hoặc (A – B) 2 = A 2 –2AB +B 2 để áp dụng được hằng đẳng thức 2
A = A
+ Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
1 2
1 3 4 2 3
4 2 3
6 2
−
+ Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bằng cách trục căn thức hoặc quy đồng:
Lưu ý: Tùy từng bài mà ta có thể trục căn thức ở mẫu hoặc quy đồng hoặc rút gọn từng số hạng
+ Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
2 2 2 2 2 2
Trang 6c) 15 12 6 2 6
Giải:
a) Quy đồng mẫu:
A 3( 6 2) 4( 5 2) 3 6 3 2 4 5 4 2
3 6 4 5 2
30 10 2 3 2
+ − − Bế tắc!
Trục căn thức ở mẫu
b)
= 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
+
+
+
2
+
= +
c)
3
= −
*DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIÊU THỨC CHỨA CHỮ
Với biểu thức chữa chữ cũng làm tương tự như biểu thức số Chỉ khác là khi biến đổi phải kèm theo điều kiện
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A= x− x+ x (với x 0)
B= x+ x− x (với x 0)
Trang 71 1 1
1 9 9 24
x
F= a ab − a b + ab ab− b a b ( với a 0,b 0)
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau
2
4 16 8
B= − +x − x+x với x 4
2
6 2 9 6
D= x+ x− + x− x− với x2
E= x+ x− + x− x− vớix 2
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
x
A
y
−
=
− ( với x0; y0; và xy)
B
− + (với a0; b0; và ab)
C
a b
a b
−
− (với a0; b0; và ab)
2 2
2
D
x
=
− (với x 2)
2
2
x
+
+ (với x −2)
( )
2 4
2 1 1
x F
− +
−
=
− − ( với x1;y1 à yv 0)
ab -b ab -a
+ +
=
:
H
x y x y Với x > 0, y > 0 và x y
Trang 82 1
M
−
− − với x0; x1
N
4
a P
a
−
, với a > 0 và a 4
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
GIÁ TRỊ BIỂU THỨC SAU KHI RÚT GỌN
(Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên của biểu thức )
* CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:
Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác
không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Rút gọn biểu thức đã cho
Lưu ý:
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện mẫu thức chung
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không
Bước 3: Sử dụng kết quả rút gọn để giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị của
biểu thức ( luôn phải chú ý đến điều kiện xác định)
Ví dụ 1: Cho biểu thức
+ − −
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x 9
4
=
c) Tìm x để A = 5
d) Tìm tất cả các giá trị của x để A<1
e) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
f) Tìm giá trị nhỏ nhất của B=A x( − 1)
Giải:
ĐKXĐ: 0 0
Trang 9a) A =
1
x
+
=
x x
+
=
1
x x
=
−
b/ Với x = 9
4 ta có 3
2
x = khi đó A =
3 3
3
2 2 .2 3
1
−
c) Với x 0,x 1 Để A = 5 thì 5
1
x
−
Vậy 25
16
x = thì A = 5
d) Với x0; x1 Để A < 1 thì 1
1
x
−
− +
Vậy với 0 x 1 thì A <1
1
x
x x
x − −
tìm được x)
e) Với x0; x1 thì A= 1 1 1 1
− +
Để A nhận giá trị nguyên thì 1
1
x − nguyên x− − 1 1;1
+ nếu x− = = 1 1 x 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) + nếu x− = − = 1 1 x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x 0; 4 thì A nhận giá trị nguyên
Tìm x chính phương để A nguyên
Trang 10Tìm x nguyên tố để A chính phương
f) Với x0; x1 Ta có B= A(x-1) = ( 1)( 1) ( 1)
1
x
−
Vì x0; x1 thì x+ x 0 Dấu bằng xẩy ra khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 0 khi x = 0
( Lưu ý cách làm sai của HS: B = ( ) 2
Kết luận giá trị nhỏ nhất của 1
4
B = − là sai Vì ta không tìm được điều kiện để dấu bằng xẩy ra)
II Bài tập:
Bài 1 Thực hiện phép tính:
1) 8 − 2 72 + 18
2) 3 18 − 32 + 4 2 + 162
3) 2 18 3 98 − + 4 8
4) 125 − 4 45 + 3 20 − 80
5) 252 − 700 + 1008 − 448
6) 1 48 2 12 11
7) 3 200 2 0, 08 4 9
8
8) ( )2
5 − 3 + 60
18 − 2 50 + 2 − 2
5
11)
7 − 2 + 7 + 2 − 28
12) ( ) (2 )2
3 − 3 − 3 + 3
3 + 3 + 2 3
−
14) 3 9 49 2
8 − 2 + 1 2
−
16) 21 12 3 − − 3
17) 3 − 5 − 3 + 5
18) ( 3 − 2) 5 2 6 +
19) ( 72 − 2 2 + 3 5) 2 − 90
20) ( 12 + 75 + 27 : 15)
21) ( 125 − 4 45 + 3 20 − 80 : 5)
22) (5 + 21)( 14 − 6)(5 − 21)( 24 + 56)
23) (4 + 15)( 10 − 6) 4 − 15
24) 4 + 8 2 + 2 + 2 2 − 2 + 2
25) (2 8 + 3 5 − 7 2)( 72 − 5 20 − 2 2)
26)
+
Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau
Trang 111) 3 2 2 + + 6 4 2 −
2) 21 8 5 + + 21 8 5 −
3) 8 2 15 − + 8 2 15 −
4) 2 3 1 3
+
5) 12 6 3 − + 21 12 3 −
5 3 + 5 3
7) 7 4 3 28 10 3
3 2 5 3
8) 1 3 3 3 3 1
9)
:
−
6)
3 2 − 3 2
3 1 + 3 2 + 3 3
14)
2 3
1 3
7
2 4 6 2 4 6
−
+ +
+ +
−
2
4 11 3 7 7 2
−
17) 5 3 1 : 5 3
+
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
x 3 x x 3 x
−
với x > 0, x 9
( với x > 0, x 4 )
2
1 - a a 1 - a
1 - a
1 - a
= +
với a ≥ 0 và a ≠ 1
+ với x > 0
E
với 0 x 1
3 2
2
F
=
+ với a 0
Trang 122 2
1
+ + − + với x 0.
:
với x 0, x 4, x 9
2 2
2 x - 2x + 1
x - 1 4x
M = , với 0 < x < 1
BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho biểu thức B = 1 1
x
2
x
x − ) a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi x = 4 2 3 −
c/ Tìm giá trị của x để B<1
3
d) Tìm x nguyên để B là số nguyên tố
A
3
x x
+ + )
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 3: Cho biểu thức
2
.
B
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B > 0
c) Tìm x để B = -2
d) Tìm giá trị lớn nhất của B
9
C
x
+
−
3
x + ) a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị của x để 1
3
C =
c) Chứng minh rằng với x thỏa mãn ĐKXĐ thì A < 2
d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
25
D
x
−
5
x x
− + )
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
Trang 13b) Tính giá trị của D khi x = 9
c) Tìm x để D<1
3
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
e) Tìm x nguyên để D nhận giá trị nguyên
Bài 6: Cho biểu thức 1 1 . 1 1 2
1
−
X )
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm giá trị của x để B = 3
Bài 7: Cho biểu thức: 1 1 1 1
P
với a >0 và a 1 ( Đ/S
2
1 + a )
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với những giá trị nào của a thì P > 1
2
Bài 8: Cho biÓu thøc B =
2
1 : ) 4
1 4 2 2
(
+
−
− +
−
−
b b
b b
b
víi b 0 vµ b 4 a) Rót gän biÓu thøc B
b) TÝnh gi¸ trÞ cña B t¹i b = 6 + 4 2 ( Đ/S 1
2
b
− + )
Bài 9: Cho biểu thức: P = 3 ( 1 )
4 2
8
x x
x
x x
− + + +
−
, với x 0 ( Đ/S 1 2 x− )
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =
P
P
− 1
2
nhận giá trị
Bài 10: Cho biểu thức A =
:
x
+
+
− ( Đ/S
1
x x
−
)
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 1
3
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x
1
x
x
= − + − + + −
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x sao cho A 0 ( Đ/S x 1
x
+
)
Trang 14Bài 12: Cho M x x 1 x x 1
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa
b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
c) Cho N= 3
3
Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
Bài 13: Cho biểu thức : 1 1 1
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìn x để A = - 3
c) Tìm x nguyên để giá trị của A là nguyên tố
Bài 14: Cho biểu thức 1
1
x Q
− − với x>0 và x 1
a) Thu gọn Q
b) Tìm các giá trị của xR sao cho 1
9
x và Q có giá trị nguyên
Bài 15: Cho biểu thức:
2 3
T
1 x 1 x 1 x
+
a) Tìm điều kiện của x để T xác định Rút gọn T
b) Tìm giá trị lớn nhất của T
Bài 16: Cho M x x 1 x x 1
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa
b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3
Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
Bài 17: Cho biểu thức P = 1 1 : x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P > 1
2
Bài 18: Cho biểu thức A = a a : a 1
a - 1
−
với a > 0, a 1
Trang 15a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của a để A < 0
Bài 19: Cho biểu thức: P = a a - 1 - a a + 1 : a +2
a - 2
với a > 0, a 1, a 2
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 20: Cho biểu thức
P = x + 1 + 2 x + 2 + 5 x
4 - x
x - 2 x + 2 với x ≥ 0, x ≠ 4
1) Rút gọn P
2) Tìm x để P = 2
Bài 21: Cho M = x - 1 : 1 + 2
x - 1
a) Rút gọn M
b) Tìm x sao cho M > 0
Bài 22: Cho biểu thức: K = x - 2x - x
x - 1 x - x với x >0 và x1 1) Rút gọn biểu thức K
2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3
Bài 23: Cho biểu thức P = 1 1 : x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P > 1
2
Bài 24: Cho biểu thức A = a a : a 1
a - 1
−
với a > 0, a 1 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm các giá trị của a để A < 0
Bài 25: Cho biểu thức P = − + + −
a a
a
3 1 3
1 3 1
với a > 0 và a 9
Trang 16b) Tìm các giá trị của a để P >
2
1
+ + +
− +
+
−
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010
Bài 27: Cho biểu thức: Q = 2 −21 −+11− +−11
2
x
x x
x x
x
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa Rút gọn Q
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x- 3
Bài 28: Cho biểu thức: P =
a
a a
a a
a
−
+ +
−
+ +
7 3 3
1 3
2
với a > 0, a 9
a) Rút gọn
b) Tìm a để P < 1
C KẾT LUẬN
Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ Trong quá tình viết chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót, rất mong các đồng chí trong tổ tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề của tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn!
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tam Hồng, tháng 11 năm 2019
Nguyễn Thị Dinh