Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến giới hạn của dãy số là một những mảng kiến thức hay và khó, đặc biệt khi bài toán chưa cho công thức số hạng tổng quát của dãy

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

1.1 Lí do chọn sáng kiến

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến giới hạn của dãy số là một những mảng kiến thức hay và khó, đặc biệt khi bài toán chưa cho công thức số hạng tổng quát của dãy Một trong những kiểu dãy số như vậy chính là dãy cho bởi hệ thức truy hồi Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật; bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kỹ thuật tìm giới hạn của các bài toán dạng này

Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài

“Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi ” sẽ cho ta một phương pháp

để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh khối 11 ôn thi HSG, thi THPT QG

- Phạm vi nghiên cứu thuộc Chương III, IV của bộ môn Toán Đại số và Giải tích 11

6 Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: 10/3/2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Phần 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trong nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong giải các bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi, đặc biệt là những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Trong sách giáo khoa, sách bài tập các dạng toán này không nhiều nhưng

nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi Các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá đa dạng nhưng sử dụng nhiều bằng phương pháp sai phân, khá xa lạ với học sinh phổ thông

Đặt u n u n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số u n

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, được gọi là

dãy số hữu hạn

c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi, tức là:

+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

+ Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng

(hay vài số hạng đứng trước nó)

Ví dụ: Dãy Fibonaxi được xác định bởi

2 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

- Dãy số u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có n u n u n 1

- Dãy số u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n u n 1

- Dãy số u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:

a) Dãy số có giới hạn 0

- Ta nói rằng dãy số u có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho n

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết : lim u n 0 hoặc limu n 0 hoặc u n 0

Định lí 1: Cho hai dãy số u n và v n

Nếu u n v với mọi n và n limv n 0 thì limu n 0

Định lí 2: Nếu q 1 thì limq n 0

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Ta nói rằng dãy số u có giới hạn là số thực n L nếu lim u n L 0 Khi đó

ta viết : lim u n L hoặc limu n L hoặc u n⟶𝐿 Dãy số có giới hạn là một

số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Định lí 3: Giả sử limu n A, limvn B và c là một hằng số Khi đó:

lim u n vn A B ; lim u n vn A B

limv

là một cấp số nhân lùi vô hạn Khi đó

c Dãy số có giới hạn vô cực

- Ta nói rằng dãy số u n có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó Khi đó ta viết : Lim u n hoặc limu n hay u n

- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó Khi đó ta viết: Lim u n hoặc limu n hay u n

Định lí 5: Nếu limu n thì lim 1 0

n

u

II Các dãy số đặc biệt

( ,a d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng Trong đó: a là số hạng

đầu tiên, d là công sai

Đặc biệt khi d 0 thì u n là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau

và gọi là dãy số không đổi

Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S ) của cấp số cộng n u n

được cho bởi công thức:

(a q, là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số nhân Trong đó: a là số hạng

đầu tiên, q là công bội

Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S ) của cấp số nhân n u n

với công bội q 1 được cho bởi công thức:

4

n n n

Ta chỉ xét với trường hợp q 1,q 0,d 0vì nếu xảy ra dấu bằng ở một trong

ba trường hợp này thì dãy đã cho là CSC, hoặc dãy không đổi, hoặc CSN

Ta sẽ đưa dãy này về một CSN, bằng cách đặt u n v n c , thay vào hệ thức

truy hồi của dãy ta có:

Ví dụ 1: Cho dãy số u n xác định như sau:

1 1

20201

Đặt 2018 2019

112019

DẠNG 2: Cho dãy số u n biết 1 0

thì cũng làm tương tự như trên

Ví dụ 3: Cho dãy số u n được xác định bởi 1

n n

2019 1 2 1 2

1 2

u

12

n n

n

u

Ví dụ 9: Cho dãy số u n được xác định bởi

1 1

31

12

n

v v

v v

n n

y

v khi đó:

ĐS: lim 2 2

32

n n

u

3 Cho dãy số (un) xác định bởi

1 1

5 Cho dãy số u n xác định bởi

1 1

2

n n

- Nếu dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n M n và tồn tại giới hạn lim, u thì n

limu n M ; nếu dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n m n và tồn tại giới ,hạn limu thì lim n u n m

- Giả sử dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn thì n lim n lim n 1

Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi

hệ thức truy hồi Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số u n xác định bởi

1

1 2 1

1

21

n n

Khi đó dãy đã cho tồn tại giới hạn Ta đặt limu n a limu n 1 a a, 0 , chuyển qua giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi ta được: 2 0

Do u n giảm và bị chặn dưới nên dãy đã cho có giới hạn Đặt

limu n a a 2018 Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi của dãy ta

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số u n tăng và bị chặn trên

Chứng minh dãy (u ) tăng bằng quy nạp, tức là n u n 1>u n, n 1

Khi n = 1 ta có u2 2 u1 2 2 2 u1

Giả sử u k 1 u , khi đó k u k 2 2 u k 1 2 u k u k 1 Vậy

1

n

u >u n, n 1 Do đó u n bị chặn dưới bởi 2 Ta sẽ chứng minh dãy (u ) n

bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy

Vì 2 a 2 nên a 2 Vậy limu n 2

Ví dụ 4 : Cho dãy số u n xác định bởi: 1

Ví dụ 5: Cho dãy số u xác định bởi: n

1

1 1

u u

luôn đúng với mọi n

Ta chứng minh u đơn điệu tăng Thật vậy n n , ta có :

2 1

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó

Giải :

Dễ thấy u n 0, n Ta chứng minh u n u n 1, (1) n

Với n 1 thì (1) đúng Giả sử (1) đúng với n k k 1 , ta có u k u k 1 Với n k 1, ta có u k 1 u k u k 1 u k 1 u k u k 2, vậy (1) luôn đúng với mọi n Do dãy tăng nên u n u1 1, n

Trước hết ta nhận xét rằng u > 0, với mọi n, n

Thật vậy, ta có u1 2 0 Giả sử u k 0, k 1, ta chứng minh u k 1 0

Từ hệ thức truy hồi suy ra

2 2

Nên u là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2, do đó dãy n u có giới hạn hữu n

hạn Giả sử limu n a , khi đó 0 a 2

Ví dụ 8: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2015-2016) Cho dãy số  x n được xác định

1 2016, n 1 n n 1, 1, 2,3,

x  x  x x  n

a) Chứng minh rằng dãy  x n tăng và limx n  

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt

Giả sử dãy bị chặn trên, khi đó dãy tồn tại giới hạn hữa hạn Đặt

limx n   a a 2016 Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình:

dãy đơn điệu tăng và không bị chặn Tìm giới hạn của dãy số y trong đó n y n

được xác định bởi công thức:

Giả sử dãy bị chặn trên, khi đó dãy tồn tại giới hạn hữa hạn Đặt

limx n   a a 3 Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình:

96

u u

4 Cho dãy (u ) xác định bởi n 1

2 1

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại nhà trường

+) Nhóm thực nghiệm : Đội tuyển học sinh giỏi

+) Lớp đối chứng : 11A1

Kết quả: Các học sinh đội tuyển HSG đa phần có thể làm được các bài tập dạng

này, còn các em không trong đội tuyển và chưa tìm hiểu các kỹ thuật giải toán

này thì rất khó khăn và hầu như không thể giải quyết được yêu cầu của bài toán

Điều đó cho thấy học sinh ở nhóm thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng

8 Những thông tin cần bảo mật: Không có

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

Môn Toán là môn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử của học sinh, vì vậy luôn được sự quan tâm nhà trường, các em học sinh cũng như các bậc phụ huynh Không những thế đây còn là môn học được nhiều lĩnh vực khác áp dụng Đối với học sinh: Cần rèn luyện tư duy logic, nắm được kỹ thuật giải để

nhận dạng nhanh và áp dụng vào giải bài tập

Đối với giáo viên: Cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng bài tập, có phương pháp và bài tập tự luyện Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chương

trình và cấu trúc đề thi

Đối với nhà trường: Cho phép giáo viên linh hoạt trong việc thực hiện phân phối chương trình chuyên đề Điều này giúp giáo viên thuận tiện hơn trong việc áp dụng dạy học và kiểm tra đánh giá theo yêu cầu đổi mới

10 Đánh giá lợi ích thu đƣợc hoặc dự kiến có thể thu đƣợc do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia

áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin và có khả năng giải quyết được một số bài toán về tính giới hạn của dãy số truy hồi

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

Với những kết quả đạt được sáng kiến đã khẳng định được tính khả thi,

hiệu quả của đề tài và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất

lượng dạy học bộ môn Toán nói riêng

Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong các giờ học, phần lớn các em có thể làm được những bài tập phức tạp và

có thể giải được một số bài về về tính giới hạn của dãy số truy hồi trong các đề HSG, thi THPT QG

Đề tài đã rút ra được một số phương pháp tính về tính giới hạn của dãy số truy hồi Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán của học sinh THPT Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán về giới hạn dãy số

Với kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nên tác giả mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

Số

TT

Tên tổ chức/cá nhân

Chương 3, 4 bộ môn Đại số