Phát triển bài toán mới từ một bài tập cơ bản trong sách giáo khoa

Đối với học sinh bậcTHCS việc tiếp thu môn hình học còn gặp rất nhiều khó khăn.Vì vậy để họcsinh giỏi môn hình học không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biếtvận dụng các bài toán

1 Lời giới thiệu:

Mọi vật thể đều được cấu tạo từ chất và mọi chất được cấu tạo từnhững phân tử nhỏ Trong Toán học cũng vậy mọi bài toán đều bắt nguồn từnhững chi tiết nhỏ nhặt, những bài toán đơn giản hơn Đối với học sinh bậcTHCS việc tiếp thu môn hình học còn gặp rất nhiều khó khăn.Vì vậy để họcsinh giỏi môn hình học không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biếtvận dụng các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành nhữngbài toán mới có tầm suy luận cao hơn Cách dạy học như vậy mới đi đúnghướng đổi mới giáo dục hiện nay Có như vậy mới tích cực hóa hoạt động củahọc sinh, khơi dậy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh Nhằmnâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụngkiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềm say mê vàhứng thú học tập cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy môn toán bậc THCS, với nhiều năm trongnghề tôi thấy tình trạng chung là học sinh không thích thậm chí là sợ mônhình Vì lí do khó hiểu, mắc trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán, mấtphương hướng và không biết để chứng minh bài toán thì bắt đầu từ đâu, làmnhư thế nào

Trong quá trình giảng dạy môn hình ngay trong mỗi tiết học người thầykhông thường xuyên tạo thói quen, rèn thói quen cho học dùng phương phápphân tíchđi lên để tìm lờp giải bài toán thì học sinh dần dần học sinh sẽ khótiếp thu, không tự giải được bài toán hình

Nghiên cứu nguyên nhân, tôi thấy có mấy điểm dướiđây:

1 Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản

2 Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống kiến thứcđườngthẳng, không tổng hợp từng loại, từng dạng làm cho học sinh khó nắm bắtcách giải các bài toán

3 Trong SGK các bài toán mẫu thường là ít, hướng dẫn gợi ý chưa thậtđầy đủ nên khó tiếp thu và nghiên cứu

4 Học sinh thường chỉ học "Vẹt" các định lí và quy tắc

Trong các trường THCS hiện nay, tình hình phổ biến làđạiđa số họcsinh không thích học môn hình học Điều này theo tôi nghĩ có thể là do nhiềunguyên nhân Nhưng theo tôi là giáo viên chưa chuẩn bị một cách chu đáomột giờ luyện tập, thông qua đó củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ

năng vận dụng kiến thức vào bài tập, kĩ năng trình bày, hơn thế nữa rèn tínhsáng tạo, phát triển tư duy toán học cho học sinh.

Như vậy muốn có một giờ luyện tập tốt, theo tôi phải lưu ý mấy vấnđề sau:

- Chọn hệ thống bài tập như thế nào cho một giờ luyện tập;

- Phải sắp xếp hệ thống các câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở);

- Phải tổ chức tốt và thể hiện vai trò chủ đạo của người thày;

2 Tên sáng kiến:

“Phát triển bài toán mới từ một bài tập cơ bản trong sách giáo khoa”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Đoàn Công Bộ

- Địa chỉ tác giả sáng kiến:

Trường TH và THCS Bạch Lưu, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 0989.687.361

- E_mail: doancongbo.gvc2bachluu@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường TH và THCS Bạch Lưu.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn toán hình học - Bậc THCS.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu:Sau khi kết thúc năm học

2017-2018 tôi rút kinh nghiệm và thực hiện trong năm học 2019-2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Như chúng ta đều biết, khi mới xuất hiện, hình học là một khoa họcvềđo đạc, qua một số các đối tượng, vật cụ thể trong thực tiễnđã dần dầnđượckhái quát thành những khái niệm trừu tượng: Với 3 khái niệm cơ bản khôngđược định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ đó môn hình học dầndần trở thành một môn khoa học suy diễn, tức là môn khoa học mà những kếtluận đúngđắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ không bằngcách qua thực nghiệm như những môn khoa học thực nghiệm khác

Môn hình học bản thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao Nhưng

để học sinh tiếp thu được, hiểuđược nhiều khi chúng ta phải dùng trực quan

thông qua mô hình, hình vẽ, vật cụ thể,… để học sinh nắm bắt và hiểu bảnchất của vấn đề Điều đó rất đúng bởi quá trình tư duy của con người bao giờ

cũng tuân theo quy luật đó Như Lê Nin đã khẳng định"Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí của sự nhận thức khách quan".

Trong quá trình dạy học môn Toán người thầy cần thấm nhuần nguyên

lí giáo dục: "Học đi đôi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhàtrường gắn liền với xã hội"

Thông qua môn toán, học sinh tiếp cận và tiếp thu các môn học tựnhiên khác Bởi dạy môn Toán cho học sinh không những truyền thụ kiếnthức cho các em mà quan trọng hơn là dạy tư duy

Hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh bậcTHCS Trong hình học phẳng nói chung học sinh đều cảm thấy có ít nhiềukhó khăn

Những biện pháp, giải pháp đặt ra của sáng kiến:

Từ bài tập số 20 trang 68 (SGK hình học lớp 8 –Tập 2 -NXB Giáo dục2008) và bài tập 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2-NXB giáo dục 2008 sau khihọc sinh được làm, tôi đã thay đổi thành các bài toán có nội dung như sau:

Bài toán 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau ở O sao cho AB song

song với CD Đường thẳng qua O song song với AB cắt BC ở I Chứng minh rằng

A

Bài toán 1.1: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi O là giao điểm của hai

đường chéo Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD và BC lần lượt

tại hai điểm M và N Chứng minh O là trung điểm của MN

Nhận xét: Trong bài toán này ta thấy AB // CD và AC cắt BD tại O OM //

AB // CD nên theo bài toán (1) ta có

1 1 1

OM AB CD ON // AB // CD nên theo

bài toán (1) ta có

ON AB CD Từ đó ta có lời giải như sau:

Chứng minh: Áp dụng bài toán (1) ta có:

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC Điểm M và N là hai điểm bất kì trên cạnh

AB và AC sao cho MN song song với BC Gọi O là giao điểm của BN và

CM, I là giao điểm của Ao với BC Chứng minh IB = IC

Nhận xét:

Trong bài toán này ta đã có hai đoạn thẳng song song là MN và BC Để sử

dụng bài toán gốc (1) ta phải tạo ra

đường thẳng song song với MN và

BC tại giao điểm của BN và CM Từ

đó ta có lời giải như sau:

Chứng minh:

4

N O

M

B A

O

N M

A

Qua O vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AB và AC lầnlượt tại E và F.

Theo bài toán (1) ta có:

Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với AB Hãy

dùng thước hãy tìm trung điểm M của AB

Nhận xét: Trong bài toán này ta đã thấy để sử dụng bài toán gốc (1) thì ta

phải tạo ra hai đoạn thẳng song song Từ đó ta có thể tạo ra đoạn thẳng song song với AB như sau Từ điểm S không thuộc đoạn thẳng AB và đường thẳng

d vẽ SA và SB, hai đường thẳng này lần lượt cắt d tại hai điểm D và E, ta có

AB // DE Từ đó ta có thể vận dụng bài toán 1.3 như sau: (Hệ quả của bài toán 1)

này lần lượt cắt d tại hai

điểm M và E Gọi O là giao

điểm của AE và BD Đường

thẳng SO cắt AB tịa M

Thật vậy: Theo bài toán 1.3

ta có MB = MC hay M là trung điểm của BC

M

d

O

E D

B A

S

Bài toán 1.4: Cho góc xOy M là một điểm bất kì nằm trong góc đó Dựng

đường thẳng qua M cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho

Giả sử đã dựng được đường thẳng AB

thỏa mãn nội dung bài toán Qua M vẽ

đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại

D, trên đường thẳng này lấy điểm N sao

cho NO song song với AB Khi đó tứ giác

Cánh dựng: Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, đường thẳng này

cắt Ox và Oy tại A và B Ta được đường thẳng cần dựng

Bài toán 1.5: Cho góc xOy M là một điểm cố định nằm trên tia phân giác

của góc đó Một đường thẳng thay đổi qua M cắt Ox và Oy lần lượt tại A và

B Chứng minh rằng

1 1

OA OB không đổi

Nhận xét:

Trong bài toán này ta đã thấy để sử

dụng bài toán gốc (1) thì ta phải tạo ra

hai đoạn thẳng song song là AC // OB

lời giải như sau:

Chứng minh: Qua A vẽ đường thẳng song song với Oy cắt tia phân giác của

góc xOy tại C Đường thẳng qua M song song với AC cắt tia Ox tại D

Bài toán 2:(Bài tập 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng

Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

a) Phân tích bài toán:

b) Lời giải:

Ta có +) ΔEBHΔDCHEBH  ΔEBHΔDCHDCH(g.g) (1)

2 1

A O

A

E

H C D

B

Khai thác bài toán:

 Từ kết quả (1) (của bài toán 2): ΔEBHΔDCHEBH  ΔEBHΔDCHDCH

Ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC BD,CE là hai đường cao cắt nhau tại H

B

Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là các đường cao cắt

nhau tại H

Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE

(Giải tương tự như bài toán 1.1- HS về nhà tự giải)

Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại

 Từ kết quả (2) (của bài toán 3): EBH  DBA ta có các bài tập sau:

Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC BD và CE là hai đường cao cắt nhau

tại H Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA

Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD và CE là hai

đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh rằng: BH BD CH CE BC.  .  2

Giải:

FB

HE

A

A

E

H C D B

Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC tại F ta được đường cao AF

Ta có: BFH  BDC (g.g) (chứng minh tương tự (2) của bài toán ( 1))

HE

A

OHAC tại H, kẻ BK AC tại K

a) Tứ giác OHBK là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CE.CO = CB.CF

c) Chứng minh rằng : AB.AE + AO.AF = AC2

(Bài 258 sách Nâng cao và Phát triển Toán 8 tập 2)

Giải:

a) Dễ thấy tứ giác OHBK là hình bình hành

b) Ta có ABC = AOC   nên suy ra CBE = COF 

OAH BCK (so le trong)

Suy ra: AOH =CBK (cạnh huyền-góc nhọn)

E

F

K

+) Từ kết quả của bài tập trên:DBA ECA cho phép ta giải các bài toán

sau:

Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai

đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC

Từ (1) và (2) suy ra AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm)

Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức 2) và 3)

Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là các đường cao cắt

A

F B

H E

A

FB

HE

A

Theo kết quả bài 2.2:

Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai đường cao

Chứng minh rằng: ADE ABC

Suy ra ADE ABC (c.g.c) (đpcm)

8 Những thông tin cần được bảo mật: không.

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

B

Sau khi được học xong bài toán này học sinh có kỹ năng làm các bàitoán một cách hợp lý , các em nhìn nhận mỗi bài toán dưới nhiều khía cạnhkhác nhau Từ đó kích thích được sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khámphá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học khácnói chung Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khai thácbài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra được nhiều bài toán hay ,bài toán khó

và có những lời giải độc đáo Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì

có sự chuyển biến rõ rệt; đặc biệt là các em có học lực từ trung bình trở lên;các em đó chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, lời giải cũng mạch lạc hơn

Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổiđáng kể Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt

Những hạn chế:

Ngoài những kết quả đã đạt như nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện ápdụng kinh nghiệm này vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấynhững hạn chế sau :

- Số lượng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên

đề còn hạn chế

- Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinhkhá ,giỏi

Bài học kinh nghiệm:

Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có phươngpháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.Muốn có có được phươngpháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng nhữngkiến thức cho mình Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tưởng giảitoán, sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải

Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đếnkhó Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tòi lời giải, tự phântích và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Kết quả: Trong quá trình trang bị cho học sinh phương pháp giải toán

hình học với cách tiếp cận ở đề tài trên tôi thấy học sinh rất say mê học tập và thực sự đã phát huy được tính tò mò, sáng tạo, tích cực học tập của học sinh

Cụ thể :Sau khi học sinh được giáo viên truyền đạt nội dung của đề tài thì học sinh tiếp thu nhanh, vận dụng tốt đặc biệt là số học sinh giỏi

Kết quả áp dụng sáng kiến như sau :

1

Vũ Hoàng Anh

8A

Hình học

3 Nguyễn Xuân Bắc

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

4 Đào Xuân Chiến

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

5

Đỗ Văn Chuẩn

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

6 Nguyễn Quốc Dân

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

7

Đỗ Thị Thuỳ Dương

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

8 Nguyễn Tùng Dương

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

9 Nguyễn Vũ Đức

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

10

Hà Mạnh Giang

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

11 Nguyễn Tuấn Khanh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

12 Dương Đặng Quốc Khánh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

13 Nguyễn Nam Khánh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

14 Khương Thị Ngọc Lan

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

15

Vũ Khánh Linh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

16 Nguyễn Thị Ly

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

17 Trần Thu Mai

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

18

Đỗ Tiến Mạnh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

19 Nguyễn Thị NgaB

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

20 Trần Thị Thu Phượng

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

21

Hà Thị Quyên

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

22 Ngô Văn Quyết

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

23 Dương Văn Sáng

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

24 Nguyễn Thế Tài

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

25 Nguyễn Xuân Thịnh

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

26 Trần Văn Thọ

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

27

Hà Trần Tiến

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

28 Trần Thị Huyền Trang

8A Trường THCS Bạch Lưu

Hình học

29 Lưu Thị Yên

8A Trường THCS Bạch Lưu

Bạch Lưu, ngày17 tháng 06 năm 2020

TÁC GIẢ

(Ký, ghi rõ họ tên)

Đoàn Công Bộ