hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên

CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN.. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS GIA KHÁNH CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN

CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

LỚP 8 BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS GIA KHÁNH

CHUYÊN ĐỀ:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHÂN TÍCH ĐI LÊN.

Giáo viên : Nguyễn Thị Lê Mai Tổ: Khoa học Tự nhiên

Năm học: 2019 - 2020

-2-

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài:

Toán học là một trong những bộ môn quan trọng trong nền giáo dục của mỗi đất nước Mặc dù học sinh ngay từ lúc đi học đã được học và tiếp thu kiếm thức toán học rất lớn qua các năm học nhưng môn Toán không phải là bộ môn dễ dàng đối với tất cả các học sinh Thực tế giảng dạy cho thấy, đối với học sinh, việc tìm

ra lời giải cho mộtbài toán là điều không hề đơn giản và hầu hết đều mang tính tự phát, làm theo bản năng, không cóhệ thống hay phương pháp cụ thể Các em có thể tiếp thu rất nhanh khi đọc hướng dẫn giải trong các ví dụminh họa nhưng khi gặp những bài tương tự lại cảm thấy bế tắc, không tìm rahướng giải quyết phù hợp Trong hai phân môn Toán của chương trình THCS, học sinh thường có phần “ưu ái” hơn đối với phân môn Đại số và rất “sợ” phải học Hình học Nguyên nhân chủ yếu là học sinh không định hình được với một bài toán hình hình được đưa ra phải làm như thế nào? Bắt đầu từ đâu? Căn cứ nào để giải quyết vấn đề đó?…

Là một giáo viên đứng lớp, qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhậnthấy một trong những cách thức để tìm được lời giải bài toán hình học nhanh nhất chính là suyluận phân tích đi lên Đây là phương pháp đơn giản và dễ thực hiện, thông quaviệc liên kết điều phải chứng minh với giả thiết và những điều đã biết trước đó,học sinh có thể dễ dàng tìm ra các “cầu nối” giữa những điều này và theo quyluật lôgic, lời giải dần được hình thành một cách mạch lạc và đầy thuyết phục.Không chỉ vậy, suy luận phân tích đi lên còn giúp các em giải quyết những tìnhhuống phát sinh ngoài thực tiễn một cách nhanh chóng và hợp lí.Xuất phát từ

những lí do trên, tôi lựa chọn chuyên đề: “Hướng dẫnhọc sinh giải bài toán hình

học lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên” để áp dụng trong quá trình giảng

dạy môn Hình học lớp 8

II Mục đích nghiên cứu :

*) Đối với bản thân: chuyên đề này sẽ giúp tôi:

- Hiểu rõ vị trí vai trò phương pháp phân tích đi lên trong chương trình toán

8 nói riêng và toán bậc THCS nói chung

- Tìm hiểu rõ thực trạng, nguyên nhân các sai lầm, khó khăn của học sinh khi học và vận dụng phương pháp phân tích đi lên

- Đề ra các biện pháp khắc phục; xây dựng sơ đồ phân tích đi lên để tìm tòi lời giải hợp lí nhanh nhất

- Có được phương pháp dạy HS vận dụng phương pháp phân tích đi lên khi giải bài toán hình đạt hiệu quả cao

*) Đối với HS, sau khi thực hiện chuyên đề sẽ giúp các em:

- Có sự hiểu biết sâu sắc về phương pháp phân tích đi lên

-3-

- Rèn luyện kĩ năng vận dụng phương pháp phân tích đi lên để lập sơ đồ giải các bài toán hình và trình bày lời giải các bài toán đó chặt chẽ, logic

- Rèn luyện kĩ năng thực hành các thao tác tư duy toán học hợp lí

- Cung cấp thêm vốn kiến thức cần thiết và tăng cường hiểu biết là cơ sở tiếp thu các kiến thức toán học ở các lớp sau này

Ngoài ra:

- Chuyên đề sẽ góp phần minh họa cho phương pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều phải chứng minh

- Cung cấp thêm một phương pháp chứng minh hình học mà hướng đi là từ kết luận đến giả thiết theo tư duy suy luận đi lên

- Chuyên đề được sử dụng để tổ chức dạy trên lớp và tổ chức chuyên đề về phương pháp chứng minh hình học ở cấp THCS nói chung và đối với học sinh lớp 8 nói riêng

III Đối tượng nghiên cứu :

Hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán chứng minh hình học 8: Chương I Tứ giác

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Thu thập, tham khảo và xử lí tài liệu sưu tầm được

- Điều tra khả năng học hình học của học sinh

- Phân tích, khái quát hóa và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

- Trao đổi, thảo luận chuyên môn với đồng nghiệp

- Cập nhật thông tin từ mạng internet

V Phạm vi nghiên cứu

Hình học lớp 8: Chương I Tứ giác

B NỘI DUNG

I.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng chuyên đề:

Thứ nhất: Nhiều học sinh không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài

học, không nắm được định nghĩa, các định lí, tính chất, các dấu hiệu nhận biết hoặcnắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng

Thứ hai:Đa số học sinh không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo

cácphương pháp suy luận trong giải toán, không tìm được hướng giải bài toán, không khai thác và sử dụng hết các dữ kiện của bài toán Chỉ chú trọng tìm lời giải của bài toán mẫu, hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động

Khi phát phiếu điều tra về mức độ hứng thú học phân môn Hình học đầu năm cho thấy kết quả như sau :

Số HS (lớp 8A) HS có hứng thú HS không có hứng thú

II Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

Thứ nhất: Học sinh phải nắm được định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết

của các tứ giác đặc biệt thông qua các thông tin về cạnh, góc, đường chéo của các

tứ giác đó Nắm được các định nghĩa, tính chất khác để vận dụng giải toán

Thứ hai:Sử dụng phương pháp phân tích đi lên, đi từ kết luận đến giả thiết

để làm rõ quá trình chứng minh một bài toán hình học cần trải qua các bước nào

Cụ thể như sau:

Bài toán 1: (Bài 12 – SGK.74)

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB <CD) Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang Chứng minh rằng DE = CF

GT

Hình thang ABCD cân (AB//CD)

AB < CD; AE DC; BF DC

KL DE = CF

Chứng minhi:

DE = CF



AED = BFC



AD = BC;D = C; E = F

 (gt) Ngoài ra AED = BFC theo

trường hợp nào ? vì sao ?

Xét  ADE vuông tại E và  BCF vuông tại

F có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)



ADE= BCF ABCD là hình thang cân) Suy ra:AED = BFC ( Cạnh huyền - góc nhọn)

 DE = CF (hai cạnh tương ứng)

C2:  AED = BFC theo TH cạnh góc vuông (AE = BF), góc nhọn (DC )

C D

Nhận xét: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong trường hợp này ta đưa

về chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng đó bằng nhau Qua suy luận từ kết luận đến giả thiết đề bài cho từ đó chứng minh theo chiều ngược lại: Từ giả thiết đến kết luận theo yêu cầu của bài toán

Bài toán 2: (Bài 18 – SGK.75)

Chứng minh định lí: “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E Chứng minh rằng: a) BDE là tam giác cân

b) ACD = BDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

GT

Hình thang ABCD cân (AB//CD)

AC=BD; BE //AC (E DC)

KL a) BDE là tam giác cân

b) ACD = BDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

Chứng minhi:

a) BDE là tam giác cân



BD = BC



AC = BE;

AB // CE; AC // BE

 (gt)

a)Chứng minh ΔBDE cân

Hình thang ABEC ( AB//CE) có: AC // BE nên AC = BE (nhận xét Tiết 2: Hình thang)

Mà AC = BD(gt) nên BD = BE =>ΔBDE cântại B(đ/nn)

b) ACD = BDC



AC = BD; DC: cạnh chung (gt);

ACD  BDC

b) Chứng minh ΔACD = ΔBDC

AC // BE suy ra ACDBEC(2 góc đồng vị)

ΔBDE cân tại B nênBDE BEC (t/c) Vậy BDEACD

O

E

B A

ACD  BEC;

BDE  BEC



AC // BE (gt);

ΔBDE cân tại B (ý a))

Δ ACD và Δ BDC có BDE ACD; AC = BD ; cạnh DC chung nên Δ ACD = Δ BDC

c) ABCD là hình thang cân



AB // CD (gt);

ADC = BCD



Δ ACD = Δ BDC (ý b)

c)Chứng minh ABCD là hình thang cân

Δ ACD = Δ BDC suy ra ADC = BCD (2 góc tương ứng)

Lại có AB // CD nên ABCD là hình thang cân

Nhận xét:

a) Để chứng minh đượcBDE là tam giác cân ta cần chứng minh hai cạnh

BD = BE bằng cách sử dụng kiến thức đã học ở tiết trước (Tiết 2) về “hình thang

có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau” Các thông tin này có được nhờ giả thiết đã cho

b) Để chứng minh ΔACD = ΔBDC ta cần tìm đủ 3 yếu tố cấu thành nên 2 tam giác bằng nhau Bằng cách suy luận ngược lại, từ cái ta cần đến thông tin có được theo giả thiết và theo kiến thức đã chứng minh được ở ý trước

c) Để chứng minh ABCD là hình thang cân, căn cứ vào định nghĩata cần có hai yếu tố: ABCD là hình thang và có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau Từ đó tìm được dẫn chứng đã cho từ giả thiết và từ ý b để chứng minh được bài toán

Bài toán 3: (Bài 48 – SGK 93)

Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

GT

Tứ giác ABCD

AE = EB; BF = FC; CG = GD;

AH = HD

KL Tứ giác EFGH là hình gì?

H

G

F

E D

C

B A

-7-

Chứng minh:

EFGH là hình bình hành



EH // GF; EH = GF



EH / /BD;

1

2





EH là đường

trungbình

của ABD



 (gt)

Vì E,H là trung điểm của AB, AD nên EH là đườngtrung bình của ABD (đ/n)

1

EH / /BD;EH BD (t / c)

2

Vì F,G là trung điểm của BC, CD nên FG là đường trung bình của BCD (đ/n)

1

FG / /BD;FG BD (t / c)

2

Từ (1) và (2) suy raEH // GF; EH = GF

Do đó, tứ giác ABCD là HBH (dhnb)

Nhận xét:

Học sinh phải có khả năng quan sát và nhận dạng hình tốt để chỉ ra được EFGH là hình bình hành Đây là bước quan trọng để quyết định hướng chứng minh bài toán

Sau khi đã xác định rõ EFGH là hình bình hành, học sinh lại phải nắm được các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và lựa chọn 1 dấu hiệu phù hợp có thể chứng minh được cho bài toán Từng bước suy luận từ các yêu cầu cần có đến các kiến thức đáp ứng được yêu cầu đó đã có từ giả thiết ta chứng minh được bài toán như dự đoán ban đầu

Và

FG / /BD;

1

2



FG là đường trung bình của

BCD

E,H là trung

điểm của

AB, AD

F,G là trung điểm của

BC, CD

Bài toán 4:

Cho hình bình hành ABCD Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AE = CF Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc BC và AD sao cho CM =

AN Chứng minh rằng :

a MENF là hình bình hành

b Các đường thẳng AC, BD, MN, EF đồng quy

GT

Hình bình hành ABCD;

AE = CF (E  AB; F CD);

CM = AN (M  BC; N AD)

KL a) MENF là hình bình hành

b) AC, BD, MN, EF đồng quy

Chứng minhi:

a) MENF là hình bình hành



NE = FM; EM = NF



AEN = CMF ; BEM = DFN



 (gt)

 (gt)

a) Xét AEN và CMF, ta có:

BAD = BCD (ABCD lµ hbh

AE CF (gt)

AN CM (gt)

)











 AEN = CMF(c.g.c)

NE = FM (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có:

AB DC (gt)

AE CF (gt)



Hay BE = DF Lại có:

AD BC (gt)

AN CM (gt)



Hay BM = DN Xét BEM và DFN, ta có:

O

F

E

B A

BE = DF,

 

B  D,

BM = DN

AE = CF,

 

A  C,

AN = CM

AB – AE = DC - CF

BC – CM = AD - AN

  ABC = ADC (ABCD lµ hbh

BE DF (cmt)

BM DC (cmt)

)















 BEM = DFN(c.g.c)

EM = FN (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MENF là hình bình hành

b) AC, BD,MN, EF đồng quy tại O



AC  BD={O} MN  EF={O}



ABCD là hbh

có O là giao

điểm 2 đường

chéo

 

(gt) OM = ON; OE = OF



AEO = CFO ANO = CMO





(gt) (gt)

b)Hình bình hành ABCD có AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (3)

 AO = OC Xét AEO và CFO , ta có:

AE CF (gt) EAO = FCO

AO OC(cmt)











 AEO = CFO (c.g.c)

 EO = FO (2 cạnh tương ứng) (4) Xét ANO và CMO , ta có:

AN CM (gt) NAO = MCO

AO OC(cmt)











 ANO = CMO (c.g.c)

 NO = MO (2 cạnh tương ứng) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: O là trung điểm của hai đường chéo MN và EF của hình bình hành MENF (6)

Từ (5) và (6) suy ra AC, BD, MN, EF đồng quy tại O

 

MENF là hbh

có O là giao điểm 2 đường chéo

AE=CF;

EAO = FCO;

AO =OC

AN=CM;

NAO = MCO

AO =OC

(2 góc đối đỉnh)

(2 góc đối đỉnh)

-10-

Nhận xét:

Đối với mỗi một bài toán hình học, ta có thể vận dụng các dấu hiệu nhận biết linh hoạt để chứng minh tứ giác đã cho là hình bình hành

Qua từng bước tư duy, suy luận, căn cứ vào những điều cần phải chứng minh ta tìm điều kiện để có thể chứng minh các yếu tố đó Lần lượt trong từng bước suy luận để đi đến giả thiết đề bài cho hoặc kiến thức đã chứng minh được trước đó

C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Cùng một vấn đề có thể phân tích theo các hướng khác nhau, từ đó sẽ tìm

ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ra lời giải, chúng ta hãy tích cực suy luận theo nhiều hướng khác để tìm kiếm những lời giải mới

Với mỗi bài toán hình học khác nhau, không có tư duy lối mòn, dập khuân một cách giải hay một phương pháp giải Tuy nhiên, muốn tìm được lời giải cho bài toán một cách dễ dàng thì ta cần phân tích bài toán theo hướng từ kết luận đi đến giả thiết để tìm ra hướng giải tốt nhất

Suy luận phân tích cần phải luyện tập thường xuyên và theo thời gian, sự tích lũy kinh nghiệm sẽ dần hình thành nên một khả năng vô cùng đặc biệt, đó là trực giác Đây là dạng phản xạ có điều kiện nhưng lại diễn ra rất nhanh sau những phân tích chóng vánh của bộ não Nó làm nên tính nhạy bén trong phân tích – điều mà bất kì người học toán nào cũng cần phải đạt được Không chỉ riêng trong học toán, phép suy luận nói chung và phép suy luận phân tích đi lên nói riêng còn rất cần trong thực tiễn Khi bắt gặp một vấn đề phức tạp thì trước khi hành động, chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm điều gì trước?, làm điều gì sau?, sử dụng cái đã có như thế nào và làm sao khắc phục được cái còn thiếu? Những định hướng này sẽ dần kết nối với nhau và hình thành nên một mạng lưới lôgic có tên gọi là “bản kế hoạch dự kiến”, giúp chúng ta giải quyết triệt để vấn đề đang gặp phải

II Kiến nghị

Giới hạn của chuyên đề mới dừng lại ở việc áp dụng phép suy luận phân tích

đi lên trong môn hình học lớp 8: Chương I Tứ giác Để đạt được hiệu quả cao hơn, chúng ta có thể sử dụng phương pháp này xuyên suốt trong quá trình dạy học môn hình học cho đối tượng học sinh bậc THCS bắt đầu từ lớp 6 Từ việc tập suy luận với một, vài bước đến những bài toán phức tạp cần nhiều bước suy luận Bên cạnh

đó, có thể sử dụng nhiều phương pháp dạy học khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh

-11-

Đề nghị BGH, tổ chuyên môn tạo điều kiện, giúp đỡ để tôi tiếp tục triển khai thực hiện chuyên đề này trong nhà trường Rất mong nhận được những phản hồitích cực và lời góp ý chân thành của bạn bè và đồng nghiệp

Tôi xin cảm ơn!

Gia Khánh, ngày 17 tháng 10 năm 2019

Nguyễn Thị Lê Mai