Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

Tên sáng kiến “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” 3.. Tôi sử dụng các phương pháp so sánh, phương pháptổng hợp từ đó hệ thống sắp xếp

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 11, các

em học sinh đã được tiếp cận với giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm sốcũng như cách giải của nó Tuy nhiên trong thực tế các bài toán tìm giới hạn củadãy số và giới hạn của hàm số rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, trong các đềthi Đại học - Cao đẳng – Trung cấp chuyên nghiệp các em sẽ gặp một lớp cácbài toán về giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số mà trong đó có không ítcác em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọngàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong quá trìnhtính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số dẫn đến kết quả sai

Trong quá trình dạy học môn toán THPT tôi nhận thấy học sinh rất gặp rấtnhiều khó khăn trong việc tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số Hầuhết các em không phân biệt được các dạng của giới hạn của dãy số và giới hạncủa hàm số Điều này vô cùng quan trọng vì trong mỗi dạng lại có cách giảikhác nhau, nếu không phân biệt rõ sẽ dẫn đến giải sai và cho kết quả sai Đểgiúp học sinh hiểu và tính được giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tốthơn tôi nghĩ phải có biện pháp giúp học sinh làm sao có thể hiểu tường tận từngvấn đề từ đó có thể hiểu sâu hơn và tính được giới hạn của dãy số, giới hạn củahàm số một cách nhanh chóng dễ dàng hơn mà không phạm phải những sai lầmđáng tiếc Là một giáo viên tôi rất trăn trở với vấn đề này, tôi luôn có suy nghĩlàm thế nào để có thể làm cho học sinh hiểu tường tận và cặn kẽ hơn về giới hạncủa dãy số và giới hạn của hàm số Vì vậy lúc nào tôi cũng cố gắng tìm tòi cácbiện pháp giúp học sinh có thể hiểu được các dạng toán tìm giới hạn của dãy sốvà giới hạn của hàm số đơn giản dễ hiểu nhằm giúp học sinh có hứng thú từ đóhọc nội dung về giới hạn tốt hơn Qua tìm hiểu tôi nhận thấy: “Hệ thống bài tập giới hạn” có thể giúp cho học sinh có một cách nhìn mới hơn về giới hạn Giúp

học sinh hiểu sâu hơn về giới hạn từ đó có thể giải được các bài toán tìm giớihạn một cách nhanh chóng, không những thế cách trình bày còn gọn gàng hơn,chặt chẽ, dễ hiểu hơn, nhất là không tính sai kết quả Đây là sai lầm mà học sinhthường dễ gặp phải, và cũng làm mất điểm của học sinh trong quá trình làm bàithi

Trong qúa trình tìm hiểu nguồn thông tin trên mạng tôi cũng thấy có rất nhiềuthầy cô giáo ít nhiều suy nghĩ về vấn đề này thông qua rất nhiều đề tài liên quanđến giới hạn với nhiều cách tiếp cận khác nhau, và cách đề cập đến vấn đề nàycũng khác nhau Tên một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã biết: Phươngpháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11; Một số sai lầm thường gặp và cácphương pháp tìm giới hạn; Với các đề tài này các tác giả đều đề cập đến đốitượng nghiên cứu là học sinh hệ THPT Còn với đối tượng là học sinh hệ GDNN

- GDTX với ý thức tổ chức kỷ luật yếu, học lực yếu thì việc áp dụng các sáng

kiến trên đối với học sinh là rất khó vì bản thân học sinh có trình độ về các mônvăn hóa thường yếu, ý thức lại chưa cao, lại đang trong độ tuổi ham chơi Vì vậyđể các em có thể tiếp thu tốt nội dung bài học cũng như có thể ghi nhớ bài học từ

đó vận dụng tốt vào việc giải bài tập, tôi thấy việc mình phải có phương phápphù hợp cũng như lựa chọn những nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng

học sinh Vì vậy trong quá trình giảng dạy đại số 11 tôi đã “Hệ thống bài tập giới hạn” từ đó học sinh có thể tiếp cận với nội dung kiến thức về giới hạn một

cách đơn giản nhất, dễ hiểu nhất để có thể làm được các dạng bài tập củachương nhằm tạo hứng thú trong học tập từ đó đạt kết quả học tập tốt góp phần

đạt thành tích cao trong năm học Tôi nhận thấy việc “Hệ thống bài tập giới hạn” sẽ giúp các em tiến bộ hơn, có ý thức hơn từ đó tiếp thu bài học dễ dàng

hơn, phù hợp hơn với đối tượng học sinh hệ GDTX

2 Tên sáng kiến

“Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương

- Số điện thoại: 0987357077 E_mail: lethi.minhly2@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

- Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ giáo viên trung tâm GDNN - GDTX TamDương

cao Vì vậy tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn Bắt đầu từ những bài trong líthuyết cho đến các bài toán Tôi sử dụng các phương pháp so sánh, phương pháptổng hợp từ đó hệ thống sắp xếp và phân thành từng dạng có phương pháp giảiđơn giản và cụ thể nhằm hạn chế khó khăn của học sinh khi học chương giớihạn Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi

quyết định chọn đề tài: “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”

B Nội dung đề tài:

Kí hiệu: limun  0 hoặc limu  n 0

n =0(k N*) ; limqn=0( q 1)Định lí: Cho hai dãy số (un) và (vn).Nếu |un| vn với mọi n và lim vn=0 thìlim un=0

2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

2.1 Định nghĩa:

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu limu n  L 0

Kí hiệu:limun  0 hoặc limu  n 0

b) Nếu un0 với mọi n thì L0 và lim u n  L

Định lý 2: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì :

a) limu n v n  L M

u S

Kí hiệu: lim(un)=  hay limun=  hay un  

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là   nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạngcủa dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó

Kí hiệu: lim(un)=   hay limun=   hay un   

3.2 Một vài giới hạn đặc biệt

+ – –

Tính chất 3: Nếu limu n  L 0, limv n  0 và v n  0 hoặc v n 0 kể từ một số hạng

nào đó trở đi thì

n n

u v

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Giới hạn của dãy số (u n ) với

 

 

n

P n u

Q n



với P, Q là các đa thức:

1.1 Nếu bậc P = bậc Q , hệ số của n có số mũ cao nhất của P là a0, hệ số của n

có số mũ cao nhất của Q là b0 thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và

đi đến kết quả:   0

0

lim u n a

b

.1.2 Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q , thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhấtvà đi đến kết quả : lim(un) = 0

1.3 Nếu k = bậc P > bậc Q, thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và điđến kết quả : lim(un)=

2 Giới hạn của dãy số dạng:

 

 

n

f n u

g n



, f và g là các biển thức chứa căn.

2.1 Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp

2.2 Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

Ghi chú: Những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài

nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc

điểm trên đều có thể giải được

100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong

dãy số đều có |un|<

1 100

với số dương

với số dương

1

999 ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 mọi số hạng trong dãy số

đều có |un|<

1 999

Bài 2 Dãy số (un) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao?

b) lim  

n

Vì với số dương 1 ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>1

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0

Bài 3 Xác định giới hạn của các dãy số sau?

n nên có giới hạn là 0

c) và d) là những dãy số có dạng un=

Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa

Bài 5 Tìm giới hạn các dãy số sau

n n

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này

Bài 7 Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng quamột vài kiểm chứng cụ thể

a) un=n3 b) un= n

giải

a) Dự đoán limn 3

Kiểm chứng: Với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạngtrong dãy số đều có un>1000

với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy sốđều có un>1000000

b) Dự đoán lim  n  

Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trongdãy số đều có un<-100

với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều

có un < -1000000

Lưu ý: nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn vô cực

Bài 8 Xác định giới hạn của các dãy số sau?

n

Giải

a) Là dãy số có dạng un=nk nên có giới hạn là 

b) Là dãy số có dạng un=k n nên có giới hạn là 

c) Là dãy số có dạng un=q n với q>1 nên có giới hạn là 

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt

Bài 9 Tìm giới hạn các dãy số sau

n

Giải

Bài 10 Tìm giới hạn các dãy số sau

1 2

n n

PHẦN II GIỚI HẠN HÀM SỐ:

I KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa giới hạn của hàm số:

1.1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm:

Giả sử ( ; )a b là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập

a b x0

( ; ) \ { } Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại

điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x n trong tập ( ; ) \ { }a b x0 mà limx nx0 ta đều có

1.2 Định nghĩa giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự như trên.

1.3 Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực: Gỉả sử hàm số f xác định trên

khoảng ( ;a ) Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới + nếuvới mọi dãy số ( )x n trong ( ;a )mà limx n, ta đều có:

n

f x L

lim ( )  Ta viết: xlim ( ) f x L

Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự

1.4 Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên

khoảng ( ; )x b0 (x0R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x

dần tới x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x n trong ( ; )x b0 mà limx n x0,

ta đều có lim ( ) f x n L Ta viết: x x0 f x L

Qui tắc 2: Nếu x x0 f x L

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

1 Giới hạn của hàm số dạng:

 

 

0 lim

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số

Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thứcliên hợp

Sau đó rút gọn tử, mẩu

Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x

Chú ý: Nếu x   thì coi như x>0, nếu x    thì coi như x<0 khi đưa x ra

hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

3 Giới hạn của hàm số dạng: limx f x  g x  - 

III CÁC VÍ DỤ:

Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau:

x 1

x lim x

x 1

lim x

1

x lim x

  

giảia) Xét hàm số f(x)=x2+1 Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1

ta có f(xn)= (xn)2+1 suy ra lim f(xn)=(-1)2+1=2 Vậy

x x

x 1

x lim x

x  Với mọi dãy số (xn) , xn 1 với mọi n và limxn=1,

ta có f(xn)= 2

3 (x  n 1) vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ralimf(xn)= +

x lim x

   

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số

Bài 2 Xác định giới hạn của các dãy số sau?

x x e)   5

1 lim

Giảia)  

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm

Bài 4 Tìm giới hạn các hàm số sau

3x - 3



c)

3x-1 lim

BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn

Bài 1: (Tính trực tiếp)

x -1

x + x+1 lim

 

c f

a) lim x +1 - x ; b) lim x + x +1 - x ; c) lim x - 2x - 1 ;

d) lim 2x +1 + x ; ) lim ; ) lim x 4x + 9 + 2x ;

Bài 7: (Giới hạn một bên)

a) Gỉa sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của

nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm

Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [ ; )a b , ( ; ]a b , [ ;a ), ( ; ]  b

cũng được định nghĩa tương tự

Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ]a b và f a f b( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất mộtđiểm c( ; )a b sao cho f c( ) 0

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ]a b và f a f b( ) ( ) 0 thì đồ thị hàmsố y f x ( ) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c( ; )a b

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Hàm số liên tục tại điểm:

Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau:

- Rút ra kết luận

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc

- Rút ra kết luận

* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không

3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:

Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm nhưsau :

- Đặt y = f(x)  hàm số liên tục trên (a;b)

- Tính f(a), f(b)  f(a) f(b)<0

- Kết luận về sự có nghiệm của phương trình

III CÁC VÍ DỤ:

Bài 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 :

Vậy f(x) liên tục tại x0=1

Bài 2 Cho hàm số

2 2 , khi x 0 ( )

1

2 Limf(x)

2

1 1

x

2 3

1

víi x=0 2

a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;

b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;

c) Tìm a để hàm số liển tục trên R.

Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó

Bài 7: Xét tính liên t c c a hàm s ục của hàm số ủa hàm số ố

khi x > 1

x 1 f(x)

- Nhắc lại các công thức đã học

- Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt

- Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán

Trên đây là một vài ngiên cứu của tôi trong việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” Tôi đã nghiên

cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11a1, 11a2 , 11a3 tại trung tâmGDNN - GDTX Tam Dương

Trước khi áp dụng ngiên cứu tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra kếtquả như sau:

Lớp Sĩ số Điểm dưới 5 Điểm 5 đến 6 Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10