Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải các dạng toán lớp 6 cho học sinh trường THCS tô hiệu, thành phố vĩnh yên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH YÊNTRƯỜNG THCS TÔ HIỆU HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ Tên sáng kiến: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào THPT ở tr

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH YÊN

TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU

HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ

Tên sáng kiến: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải một số dạng

toán ôn thi vào THPT ở trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên

Tác giả sáng kiến: Trần Thị Nụ

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Tô Hiệu.

Hồ sơ gồm:

1 Đơn đề nghị công nhận sáng kiến cấp thành phố

2 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến

Vĩnh Yên, năm 2018

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến thành phố Vĩnh Yên

(Cơ quan thường trực: Phòng Kinh tế thành phố Vĩnh Yên)

Tên tôi là: Trần Thị Nụ

Chức vụ (nếu có): Giáo viên

Trường: THCS Tô Hiệu

Điện thoại: 0983 590 658 Email: Tranthinu10@gmail.com

Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng sáng kiến thành phố VĩnhYên xem xét và công nhận sáng kiến cấp thành phố cho tôi như sau:

1 Tên sáng kiến: Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải các dạng toán

lớp 6 cho học sinh trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên

4.2 Các dạng toán và phương pháp giải

4.2.1 Dạng toán 1: Chứng minh quan hệ chia hết 4.2.2 Dạng toán 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư.4.2.3 Dạng toán 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

4.2.4 Dạng toán 4: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình

4.2.5 Dạng toán 5: Sử dụng hệ thức Vi – ét vào việc giải hệphương trình đối xứng

4.2.6 Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộcvào tham số

4.2.7 Dạng toán 7: Xét dấu các nghiệm

4.2.8 Dạng toán 8: Lập một phương trình bậc hai có nghiệm thỏamãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.4.2.9 Dạng toán 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.

4.2.10 Dạng toán 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (

a 0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m 0 ) (P)

5 Điều kiện áp dụng:

Có thể dùng giảng dạy cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

6 Khả năng áp dụng: Áp dụng cho học sinh lớp 9.

7 Hiệu quả đạt được

Qua việc áp dụng sáng kiến trên tôi thấy

- Lớp học rất sôi nổi, học sinh hiểu bài

- Nhiều học sinh còn yếu ở bộ môn Toán nay đã giải được một số bài tậpđơn giản Đối với học sinh khá giỏi các em giải khá tốt và làm được cácbài tập tự luyện

- Đa số học sinh nắm được nội dung bài học

8 Các thông tin cần được bảo mật: không

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu tráchnhiệm về thông tin đã nêu trong đơn

1 Lời giới thiệu

Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, được nhà trường phân công ôn tập chohọc sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập chohọc sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạytheo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phươngtiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này Quan trọng hơn việc nhớkiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậy kết quả bài làm của các emkhông cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT của các tỉnh nói chung và củatỉnh Vĩnh Phúc nói riêng đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét Chính vìthế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo

để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đã tiến hành phân dạng và vớitừng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã viếtsáng kiến :

Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào THPT ở

trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên

Trong sáng kiến dù biết không thể đề cập hết các phương pháp giải toánnhưng tôi cũng hy vọng đây là một nguồn tài liệu bổ ích cho học sinh và cũng làtài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo

2 Tên sáng kiến

Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào THPT ở

trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Trần Thị Nụ

- Địa chỉ tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0983 590 658 Email: tranthinu10@gmail.com;

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trần Thị Nụ

Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc

Chức vụ: Giáo viên

- Lĩnh vực có thể áp dụng: Ôn thi vào lớp 10 THPT; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

- Vấn đề mà chuyên đề giải quyết: Hệ thức Vi –Ét và ứng dụng

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Áp dụng lần đầu 5/2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1 Nội dung sáng kiến

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P  0)

7.1.2 Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

a Phương pháp:

Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

c

a

Trường hợp 2: Cho phương trình: x 2 + bx + c = 0.

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là:

Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính

ngay được m + n Khi đó:

+) Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

+) Nếu m + n - b, thì ta dừng lại và trong trường hợp này không nhẩmđược nghiệm

Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Mở rộng: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = 0 a 03 2    có nghiệm x0

thì phương trình phân tich được thành    2 

0 x-x Ax +Bx + C = 0

+) Có nghiệm x 1 nếu a b c d    0

+) Có nghiệm x 1 nếu a b c d    0

b Bài tập áp dụng

Bài 1 (Bài 37/SBT-Trang 57) Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0

để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c =23 - (-9) + (-32) = 0 Do đó phương trình

+) Giải phương trình  2 5x - x + 7 = 0 2

Ta có    12 4.5.7 1 140    139 0 

 phương trình  2 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

 phương trình  2 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1.

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1x2 =

ba

 Thay x1 = m vào hệ



=

23

Bài 2 (Bài 40/SBT-Trang 44)

Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình, rồi tìm giá trị m trongmỗi trường hợp sau:

x x =

ba

trước, sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét x1x2 =

ba

 (vì lúc này đã biết x1 và x2) đểsuy ra giá trị của tham số

c Bài tập tự luyện

Bài 1 Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm

kia

Bài 2 Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

Bài 3 Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

Bài 4 Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình

có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Dạng toán 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

a Phương pháp chung

Nếu hai số u, v thỏa mãn:

u v Su.v P

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì 2 số u, v cần tìm là:

1 2

 Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Bài 2 Giải hệ phương trình sau:

Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t2 – 10t - 24 = 0.

Ta có    102 4 24  196 0   14 Phương trình có hai nghiệmphân biệt: t1 = 12; t2 = -2

Suy ra x = 12, - y = -2  x = 12, y = 2

hoặc x = -2, - y = 12  x = - 2, y = -12

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12)

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang

giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

A B  A B  2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điềunày

Bài 3 Giải phương trình sau: x 9  x  x 9  x 4 (1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16.

c Bài tập tự luyện

Bài 1.

a Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

b Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

Bài 2

a Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2

b Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

Bài 3 Giải hệ phương trình sau

Bài 4 Giải phương trình: x 4  x  x 4  x 3

Dạng toán 4: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không

giải phương trình.

a Phương pháp chung

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (

a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2.

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xét biệt thức  b2  4ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc ' 0  )

Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức bài cho

Chú ý: Một số phép biến đổi thường gặp:

c) Ta có:

1 2

1 2

9 2 6



Chú ý: Để tính được tổng A B thì ta cần chứng minh được điều kiện để tồn tại các căn thức và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình phương biểu thức đó để tính theo tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm  0 (hoặc a.c < 0)

Sau đó áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng và tích của 2 nghiệm Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giải hệ phương trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm được tham số thỏa mãn điều kiện bài toán ta có lời giải nhưsau:

Giải

b Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

m m

Bài 3 Cho phương trình x2 m4x3m 3 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại.b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn x13x23 0

Giải

a) Để phương trình x2 m4x3m 3 0 có 1 nghiệm bằng 2

 2 2  m 4 2 3  m  3 0  4 2  m 8 3  m  3 0  m 1

Vì x1 x2  m 4  2 x2    1 4 x2  3 Vậy m = 1 và x2 = 3b) Xét phương trình x2 m4x3m 3 0

Bài 1 Cho phương trình: mx2  2mx  1 0 (m là tham số)

a Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm củaphương trình theo m

b Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấpđôi nghiệm kia

Bài 2 Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2 Khônggiải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a x1 + x2 ; x1.x2 b x13 + x23 c x1  x2

Bài 3 Cho phương trình x2 2m1x 4 0

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Hãy tìm m để x1  x2  5

Bài 4 Cho hàm số

2

1 2

có đồ thị là (P) và đường thẳng (d) có phương trình

y = x + m

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn

a Khái niệm hệ phương trình đối xứng

Một phương trình hai ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình không thay đổi.

Ta làm theo các bước sau:

Bước 1 Biểu diễn từng phương trình qua x y ; xy

Bước 2 Đặt S  x y; P xy ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P

Bước 3 Giải hệ phương trình tìm S và P

Bước 4 Các số x và y là nghiệm của phương trình t2 St P  0

(Vận dụng hệ thức Vi – ét đảo Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)

Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn:

2

S  4P 0

Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số t

từ đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình

c)

2 2

18 12

S P

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 X  12 0 

giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 4 và X 2 3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 4; 3  và 3;4

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 5X   6 0

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 3 và X 2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 3;2 và 2;3

c)

2 2

18 12

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai:t2  12t 32 0 

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là t 1 4 và t 2 8

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 4;8 và 8;4.

x y xy

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1;2 và 2; 1 

Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm

Chúng ta cần lưu ý điều này để không bỏ xót nghiệm của hệ phương trình.

Bài 2 Giải hệ phương trình

2 2

5 7

+) Với S = 3  P = 2 ta có

3 2

x y xy

vì a + b + c = 1+ -3 + 2= 0  nên phương trình (1) có nghiệm 2 là t 1 1 và t 2 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1;2 và 2;1

+) Với S = 2  P = 3 ta có

2 3

x y xy

Giải pt (2) ta có   '  121.3 1 3  2 0 nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1;2 và 2;1

c Bài tập tự luyện

Bài 1 Giải hệ phương trình

a) 2 2

2 4

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,   hoặc0

a 0, ' 0   )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số

b Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)

Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải

Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có:  ' m2  2m 2 m 1 2   với1 0mọi m Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:

S – P = 2  x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m)

Bài 2 Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó tìm hệ thức liên

hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m)

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ

thức (2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức

Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x 1 , x 2

c Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho phương trình: x - 2 m - 1 x + m + 3 m + 2 = 02   2 (1)

b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa cácnghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài 2 Cho phương trình: x - 2 m - 1 x + 3 m - 2 = 02   (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa cácnghiệm không phụ thuộc vào m

Dạng toán 7: Xét dấu các nghiệm.

a Phương pháp chung:

Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương trình

ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) dựa trên kết quả:

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu 1 2

P S

P S