Chuyên đề toán 8 sử dụng hằng đẳng thức trong giải toán

Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh nhữngphẩm chất, năng lực của con người lao động mới đó là: năng động, sáng tạo, thíchứng với sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ

I Cơ sở lý luận, khoa học của chuyên đề

II Phương pháp nghiên cứu

III Một số dạng toán cụ thể:

IV Hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề

03050518

PHẦN III: KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

2022

ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ -

1 Lí do chọn chuyên đề

Giáo dục bậc THCS có vai trò quan trọng trong nền GDPT ở nước ta Nó làcầu nối giữa các cấp học Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh nhữngphẩm chất, năng lực của con người lao động mới đó là: năng động, sáng tạo, thíchứng với sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội Vì vậy, học sinh phải được học và tiếp cận với tất cả các bộ môn khoa học cơ bản, trong đó môn toánđóng vai trò then chốt.Với mục tiêu của việc dạy môn toán ở trường THCS hiệnnay các em cần được cung cấp những kiến thức, phương pháp toán học phổ thông,

cơ bản, thiết thực Chính vì vậy các em cần được tăng cường luyện tập, rèn luyện

kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các mônhọc khác

Trong chương trình môn toán THCS, môn Đại số có rất nhiều ứng dụng Cácbài toán đại số giúp các em giải được nhiều bài toán một cách thuận lợi hơn và đặcbiệt là rất nhiều bài toán liên hệ với thực tiễn cuộc sống Trong chương trình toánTHCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan trọng đặc biệt Nó không những giúpcho chúng ta một phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểuthức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,…

Đầu học kỳ I của lớp 8, học sinh đã được học “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” Các hằng đẳng thức này rất quan trọng đối với nội dung kiến thức môn toán

không chỉ ở lớp 8 mà còn cả ở các lớp sau này

Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”, đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một

số dạng bài tập như : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh hằng đẳng thức,… Tuy nhiên, để nhìn nhận ra các hằng đẳng thức trong một số trường hợp học sinhcòn lúng túng Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo các biểu thức cóliên quan đến hằng đẳng thức là một việc rất cần thiết, đó là các thao tác cơ bản giúpcác em không chỉ về mặt kiến thức mà còn rèn luyện tư duy toán học rất tốt

Trong khuôn khổ chuyên đề này, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ vớicác tình huống từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi biến đổi biểuthức có vận dụng đến hằng đẳng thức

2 Phạm vi

- Môn Đại số lớp 8.

- Chương I: Phép nhân và phép chia đa thức

- Các bài toán: Rút gọn, tính toán, chứng minh,…

- Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo

3 Mục đích

- Nâng cao chất lượng dạy và học

- Học sinh hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập

- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các dạng toán áp dụnghằng đẳng thức, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này

- Học sinh có khả năng phân tích, phán đoán và làm tốt các bài toán áp dụnghằng đẳng thức

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tựmình tìm ra kiến thức mới, không những tìm ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản,các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn

- Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vàothực tiễn cuộc sống

-I Cơ sở lý luận, khoa học của chuyên đề

Ngành giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thôngbao gồm: đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy và học, đổi mới chương trìnhsách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mớicách kiểm tra đánh giá v.v…nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện.Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn Toánđóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tưduy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế pháttriển của đất nước ta hiện nay Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các mônhọc khác Xưa nay, đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắcđến, việc học toán đối với học sinh là một điều hết sức khó khăn Hơn thế nữa,chúng ta đang ra sức để xóa bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp Tất cả những lý

do trên xuất phát từ những nguyên nhân khách quan và chủ quan như: Học sinhchưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảngdạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn,…

Học toán đồng nghĩa với giải toán.Trong học tập muốn làm được bài tập ngoàiviệc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hỏi học sinh phải nắm được cáccông thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm, đinh lý,…

Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình độtri thức của con người phát triển rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của mọingười dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếuhọc của nhân dân Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển ở học sinh

“Những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau Tìm tòi những cái cũ trong cái mới” Để phát huy tính

tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào những tìnhhuống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới

Để góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của conngười lao động mới môn toán có một vai trò rất quan trọng Học sinh học toán đượchình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán, biến đổi, đo đạc, vẽ hình, Các em rènluyện khả năng suy luận hợp lý và hợp lôgic, khả năng quan sát dự đoán, bồi dưỡngcác phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo Bước đầu hình thành khả năngvận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác

Do vậy việc dạy và học toán cần đạt các yêu cầu sau:

- Đảm bảo tính hệ thống, khoa học

- Học đi đôi với hành

- Tích cực, tự lực, say mê học tập

- Rèn luyện kỹ năng tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vàvào các môn học khác

Để áp dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập toán yêu cầu học sinhphải nắm chắc các hằng đẳng thức sau:

(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc

Một số hằng đẳng thức tổng quát:

8 (a1+ a2+… + an)2 = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an

9 an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + … + abn-2 + bn )

(với mọi n nguyên dương)

10 an + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - … – abn-2 + bn ) (với mọi n lẻ)

11 (a + b)n = an +c1 an-1b +c2 an-2b2 + … +cn-1 abn-1 + bn

Khi khai triển (a + b)n ta được một đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu là an,hạng tử cuối là bn, các hạng tử khác đều chứa a và b; Bậc của mỗi hạng tử đối vớitập hợp biến a, b là n Các hệ số c1, c2 , … cn-1 được xác định bởi bảng tam giácPascal như sau:

Hình 1 Hình 2

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

liền sau ấy, như ở hình 2

II Phương pháp nghiên cứu

- Xuất phát từ các bài tập trong sách giáo khoa và những kiến thức đã học đểhọc sinh làm được các dạng bài tập: Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức,chứng minh đẳng thức,…

- Để hình thành kỹ năng này cho học sinh khi giảng dạy giáo viên phải tạo racác tình huống có vấn đề Học sinh phải được thực hành nhiều trên cơ sở vận dụngcác kiến thức đã học vào việc giải bài tập

- Về nguyên tắc phải đi từ cái đã biết đến cái chưa biết, từ đơn giản đến phứctạp, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng

- Phương pháp nghiên cứu chính là:

+ Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi mới

+ Bước đầu áp dụng thử nghiệm với học sinh lớp 8 trường THCS Trung Kiên+ Tổng kết rút ra bài học kinh nghiệm

III Một số dạng toán cụ thể

Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức

* Cách làm :

- Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng các hằng đẳng thức cơ bản đã học đểrút gọn

- Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau Chẳng hạn:

= x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4)

= x4 + 4x2+4 - x4 +16

= 4x2 + 20

= 4(x2 +5)

b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2)

= [(x+y)(x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)]

= (x3- y3)(x3+y3)

= x6 – y6

c, C = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2

= a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc

+a2 +b2+c2 - 2ab – 2bc + 2ac + a2 +b2+c2 - 2ac - 2bc + 2ab

Dạng toán 2: Tính giá trị của biểu thức.

* Cách làm: Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm theo hai cách:

+ Thay trực tiếp giá trị của biến vào để tính

+ Rút gọn biểu thức rồi sau đó thay giá trị của biến vào để tính

47 63

16 110 320

16 110

1 50 ( 

= 1275

Từ (1) và (2) ta có :

2

3 ) 2

3

b a y

Dạng toán 3 : Chứng minh các đẳng thức

* Cách làm : Để chứng minh đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi:

+ Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại

+ Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức

+ Xét hiệu VT – VP = 0 hoặc VP – VT = 0

Vậy nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc

b Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2

Từ a2 – b2 – c2 = 0  c2= a2 - b2

Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) 2 – (4c)2

= 25a2 – 30ab +9b2 – 16c2

= 25a2 – 30ab +9b2 – 16(a2 – b2)

= 25a2 – 30ab +9b2 – 16a2 +16b2

0 ) 1 (

x x

x x

2 0 2 ( 2) 0



2 2 2

( 2) 0 2 0 2( 3) 0 3 0 3

4 0 4 ( 4) 0

Dạng toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

I Các bước giải một bài toán cực trị :

1 Để tìm GTNN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :+ Chứng minh A(x) ≥ m với m là hằng số

Vì (x+1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 2 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= -1

Vì (x- 1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 8 với mọi x.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1

Vì (x- 3)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≤ 4 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=3

0 1

y

y x

Dạng toán 7 : Chứng minh một số là số chính phương.

Ví dụ 1 : Cho M là tích của 4 số nguyên liên tiếp Chứng minh rằng M + 1 là số

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng 1 là số chính phương

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương.

D = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 12

Bài 7 : Cho các số tự nhiên a và b Chứng minh rằng :

a Nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3

b Nếu a2 + b2 chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7

Bài 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

IV/ Hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề :

Qua quá trình giảng dạy cho cho học sinh tôi nhận thấy các em rất ham học.Các em đã tìm tòi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức dưới sự hướng dẫn củagiáo viên Các em đã được rèn luyện khả năng tư duy toán học và kỹ năng tính toántương đối thành thạo

Từ việc nắm chắc, ghi nhớ các “Hằng đẳng thức” giúp các em đã biết vận dụng

lý thuyết vào giải bài tập và đặc biệt là biết vận dụng kiến thức đã học để giải cácbài tập có ứng dụng thực tế một cách thành thạo Học sinh đã biết vận dụng hằng

đẳng thức để có lời giải ngắn gọn, khoa học hơn Cũng từ việc nắm chắc các hằngđẳng thức giúp các em tiếp cận với các dạng toán một cách tự tin hơn.

Bảng thống kê điểm kiểm tra khi chưa sử dụng chuyên đề ở lớp 8

+ Từ bảng 2 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp đó đạt được 5,4 điểm Số

học sinh đạt điểm thấp chỉ cũng ít, 5 em ( 18,6%) có điểm dưới trung bình

- Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I của năm học: 2012-2013 và

học kì I năm học: 2013-2014 của lớp 8 trường THCS Trung Kiên

- Dựa vào bảng 3 ta có thể thấy rõ hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề :

- Loại giỏi tăng: 0.3%

- Loại khá tăng: 1.2%

- Loại trung bình tăng: 24.2%

- Loại yếu giảm: 14.5%

- Loại kém giảm: 8.1%

- Đặc biệt điểm trung bình chung của cả lớp đó tăng 1.6 điểm

PHẦN III : KẾT LUẬN



Dạy học là một nghệ thuật, do đó để đạt được kết quả cao trong một giờ học thìngười thầy phải đầu tư nhiều thời gian, với mỗi bài cần có phương pháp thích hợpriêng để trò tự tìm ra kiến thức bằng chính công sức của mình, như thế các em sẽnhớ lâu và vận dụng tốt

Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa

chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phươngpháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinhthực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phứctạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK

Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các

phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từngphương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi

sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnhkiến thức

Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần

cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp nâng cao khác, các bài tập dạng mởrộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề đểviệc giải toán tốt hơn Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sángtạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cáchtoàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em

Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận

dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trongchương trình đại số 8 đã đề cập ở trên

Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ

và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắchơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách tườngminh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải Đồng thời tạo điều kiện để học sinhđược phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòisáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong họctập và trong học toán

Môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng là rất rộng, rất phong phú và

bổ ích, để tiếp cận và tìm hiểu được nhiều hay ít còn tùy thuộc vào năng lực, lươngtâm của mỗi thầy cô giáo đang hàng ngày đứng trên bục giảng

Đất nước đang cần và đang đặt niềm tin vào sự nghiệp giáo dục Chính vì vậy

mà mỗi chúng ta, mỗi thầy cô giáo cần làm tốt hơn nữa, thường xuyên học hỏi, traođổi kinh nghiệm giảng dạy để nâng cao trình độ chuyên môn góp phần đào tạo

những thế hệ học trò có đức, có tài, xứng đáng với niềm tin yêu của Đảng và nhândân.

Thông qua việc thực hiện chuyên đề đã giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiếnthức hơn, phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập cho họcsinh Giáo viên đã chuẩn bị hệ thống bài tập có chất lượng để tạo cho học sinh sựhứng thú học tập, tự tìm tòi, khám phá để khắc sâu kiến thức, nâng cao chất lượng

bộ môn

Các bài tập trong chuyên đề này góp phần giúp học sinh thực hiện tương đốithành thạo và trình bày lời giải hợp lý

Với cách khai thác từ các bài tập trong sách giáo khoa nên áp dụng được với tất

cả các đối tượng học sinh Có một số bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏicũng được các em vận dụng làm tốt Tuy nhiên khi áp dụng không thể tránh khỏinhững khiếm khuyết Tôi rất mong sự đóng góp bổ sung của các đồng chí đểchuyên đề được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Giáo viên báo cáo : NGUYỄN XUÂN THỊNH

Giáo viên dạy thực hành : NGUYỄN THỊ THƯỜNG

Tổ : KHTN Trung Kiên, tháng 12/ 2013

    