skkn bài toán tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi

Trongnhững năm học vừa qua, từ việc nghiên cứu, sưu tầm, tổng hợp, phát triển các bài toánvới nhiều nguồn tài liệu khác nhau và trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinhgiỏi Toán trự

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

LĨNH VỰC: TOÁN THPT

Đề tài:

BÀI TOÁN TAM THỨC BẬC HAI

TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI

HÀ TĨNH, 2020

A Tam thức bậc hai và một số kiến thức liên quan 6

B Một số dạng toán Tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi 7

V Khả năng ứng dụng, triển khai và ý nghĩa của sáng kiến 24

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

THPT: Trung học phổ thông

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đề tài sáng kiến này là công trìnhnghiên cứu của riêng cá nhân tôi, được hoàn thành trên cơ sởđúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy, phân tích, tổng hợp, chọnlọc và sắp xếp từ nhiều nguồn tài liệu tham khảo đã nêu trong

đề tài

Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung của đề tàisáng kiến này

Tác giả sáng kiến

PHẦN MỞ ĐẦU

I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI

Nghị quyết số 29 của Ban Chấp hành Trung ương khóa XI một lần nữa khẳngđịnh muốn đổi mới căn bản, toàn diện và nâng cao chất lượng giáo dục của nước ta thìphải phát triển đội ngũ nhà giáo Để phát triển đội ngũ nhà giáo cần nhiều yếu tốnhưng không thể thiếu được việc đào tạo, bồi dưỡng, tập huấn và khuyến khích độngviên họ tự bồi dưỡng thường xuyên để nâng cao trình độ, đáp ứng với yêu cầu côngviệc của mình Bản thân tôi là một giáo viên tại trường THPT X, bên cạnh việc dạyhọc toàn diện còn phải tập trung nhiều công sức cho việc đào tạo học sinh giỏi mônToán các cấp nên việc tự học, tự bồi dưỡng là việc làm thường xuyên, liên tục Trongnhững năm học vừa qua, từ việc nghiên cứu, sưu tầm, tổng hợp, phát triển các bài toánvới nhiều nguồn tài liệu khác nhau và trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinhgiỏi Toán trực tiếp của mình tôi đã có nhiều suy nghĩ, hệ thống được nội dung của đề

tài: “Bài toán Tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi” Từ đầu năm học

2018 – 2019 tôi đã tổng hợp, chọn lọc để viết thành báo cáo tại Hội nghị tập huấn giáoviên Toán nòng cốt của các trường THPT, tổ chức dạy học thực nghiệm và đánh giáhiệu quả của đề tài Tôi hy vọng rằng đề tài sáng kiến này sẽ là một tài liệu để giúp bảnthân tôi cũng như các bạn đồng nghiệp áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi,góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán cấp THPT trong thời gian tới

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán cấp phổ thông có thể nói kiến thức về phương trìnhbậc hai và tam thức bậc hai (sau đây gọi chung là tam thức bậc hai) là kiến thức trungtâm của nội dung đại số Các kiến thức này được học và nghiên cứu khá đầy đủ ở cáclớp 9 cấp THCS và lớp 10 cấp THPT Trong thực tiễn dạy học có rất nhiều nội dungkiến thức như đa thức bậc 3, đa thức bậc 4, phân thức, căn thức… cũng có thể đưa vềviệc xét các tam thức bậc hai và dùng kiến thức của tam thức bậc hai để giải quyết

Các vấn đề chung về tam thức bậc hai đã được nghiên cứu rất nhiều Các tàiliệu về tam thức bậc hai cũng rất đa dạng và phong phú Tuy nhiên đó thường là nhữngkiến thức đại trà, các dạng toán cơ bản, các bài toán luyện thi lặp đi lặp lại hoặc chỉcần thay số, điều chỉnh rất ít Rất hiếm gặp các tài liệu tổng hợp và đưa ra được nhữngbài toán hay về tam thức bậc hai

Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi toán các cấp, kể cả cấp THCS và cấp THPTthường xuất hiện nhiều bài toán về tam thức bậc hai Đặc biệt, trong kỳ thi chọn họcsinh giỏi cấp tỉnh lớp 10 của Hà Tĩnh thì các bài toán có kiến thức về tam thức bậc haithường xuyên xuất hiện Đây thường là các bài toán khó, có nhiều suy luận và vậndụng hay, là bài toán để phân loại các em học sinh và phát triển một số kỹ năng củacác em Sau mỗi kỳ thi thì các em học sinh và các đồng nghiệp trong tỉnh rất hay liên

hệ, trao đổi với bản thân tôi về cách tìm lời giải những bài toán này

Từ những tích lũy kiến thức của cá nhân trong quá trình dạy học và bồi dưỡng

các đội tuyển học sinh giỏi, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Bài toán Tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi” Thông qua đề tài này tôi muốn đưa ra hệ thống một

số dạng toán về tam thức bậc hai thường xuất hiện trong các kỳ thi, một số nhận xét vàkinh nghiệm khi nghiên cứu dạng toán đẹp và khó này

III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Trong đề tài này sẽ nghiên cứu, hệ thống một số dạng bài tập toán về tam thứcbậc hai và các tính chất liên quan xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, xác định đặctrưng của từng dạng toán để có thể khắc sâu, mở rộng kiến thức về tam thức bậc hai

IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của đề tài là thông qua những nghiên cứu từ cơ sở lý luận

và thực tiễn, đưa ra hệ thống một số dạng toán hay về tam thức bậc hai xuất hiện trongcác kỳ thi học sinh giỏi và một số vấn đề liên quan để nâng cao khả năng giải toán củahọc sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

 Hệ thống được một số kiến thức cơ bản và một số dạng bài tập toán về Tamthức bậc hai thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi

 Phân tích, rút ra một số nhận xét quan trọng của các dạng toán về Tam thứcbậc hai

 Phân dạng và xây dựng được một hệ thống bài toán có tính hợp lý, khoa họctrong đó các bài toán được trích từ các đề thi học sinh giỏi toán các cấp; phân tích địnhhướng việc tìm tòi lời giải và rút ra nhận xét sau lời giải của một số bài toán

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Kiến thức về phương trình bậc hai và tam thức bậc hai (sau đây gọi chung làtham thức bậc hai) đã được học sinh biết đến từ khi học các vẫn đề về hàm số vàphương trình của chương trình môn Toán lớp 7 cấp THCS Thực tế thì đây là vấn đềtrung tâm của đại số bậc phổ thông vì tam thức bậc hai có nhiều tính chất đặc trưngcủa hàm số Bên cạnh đó việc tìm nghiệm của tam thức bậc hai luôn được giải quyếttriệt để, rất nhiều các phương trình khác muốn tìm nghiệm phải chuyển về việc tìmnghiệm của các tam thức bậc hai Các vấn đề được xây dựng và phát triển từ kiến thứccủa tam thức bậc hai rất phong phú và đa dạng, tương ứng được với nhiều đối tượng,mức độ, tính chất phù hợp với quá trình phát triển tư duy, rèn luyện kỹ năng Trên cơ

sở các nội dung cơ bản đã được trình bày trong sách giáo khoa, nếu có những sự khaithác, hệ thống hợp lý chúng ta có thể đi đến những dạng bài toán về tam thức bậc haikhó hơn, hấp dẫn hơn, có khả năng phát triển tư duy cao hơn

Trong các sách giáo khoa bậc phổ thông hiện nay, kiến thức cơ bản và một sốvận dụng của tam thức bậc hai được trình bày với những nội dung chính sau:

 Toán 7: trình bày khái niệm hàm số, có lấy ví dụ về tam thức bậc hai

 Toán 9: trình bày một số tính chất của hàm số, lấy ví dụ về tam thức bậc hai;khảo sát hàm số bậc hai dạng y ax 2; giải phương trình bậc hai và một số phương

trình quy về bậc hai

 Đại số 10: chính xác hóa khái niệm hàm số, nghiên cứu sâu nhiều tính chấtcủa các hàm số; khảo sát hàm số bậc hai; giải các phương trình, bất phương trình bậchai, các phương trình quy về bậc hai

Bên cạnh đó sau khi học các kiến thức về tam thức bậc hai ở lớp 10, nhiều ứngdụng của tam thức bậc hai đã cho thấy hiệu quả Sau khi có các kiến thức về liên tục

và đạo hàm ở các chương trình Giải tích 11, Giải tích 12 thì việc nghiên cứu các yếu tốgiải tích của tam thức bậc hai được hoàn thiện hơn

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trong các kỳ thi vào Đại học trước đây nay là kỳ thi THPT Quốc gia và kỳ thichọn học sinh giỏi toán các cấp thường xuất hiện các bài toán về Tam thức bậc hai liênquan đến: khảo sát nghiệm, đánh giá các hệ số, đánh giá các tam thức, xác định cáctam thức… Đối với dạng toán này muốn giải quyết tốt học sinh cần được trang bị cáckiến thức chắc chắn, có năng lực suy luận cao cũng như có kinh nghiệm giải quyết cácvấn đề của phân môn Đại số, Giải tích Trên cơ sở những kinh nghiệm trong quá trìnhdạy học và bồi dưỡng các đội tuyển thi học sinh giỏi các cấp, chúng tôi muốn phânloại, phân tích cách giải một số dạng toán về tam thức bậc hai để từ đó rút ra được một

số cách thức, phương pháp và kinh nghiệm giải dạng toán này

III CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A TAM THỨC BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

 

trong đó  b2 4ac.

3 Nghiệm của tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai f x( )ax2bx c là nghiệm của phương trình

( ) 0

f x  Xét biệt thức của f x  là  b24ac Nếu  0, phương trình vô nghiệm,

nếu �0, phương trình có 2 nghiệm 2

b x

a

 � 



(khi  0 có thể nói f x  cónghiệm kép 2

b x a

4 Định lý Viet cho phương trình bậc hai

Nếu tam thức f x( )ax2 bx c có hai nghiệm x x1, 2 thì

x x a

5 Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2bx c (a� 0) với  b24ac.

TH1:  0, khi đó a f x ( ) 0   �x R.

TH2:  0, khi đó a f x ( ) 0  2

b x a

 �

.TH3:  0, khi đó f x( ) 0  có 2 nghiệm x1x2 và

( ) 0

a f x  với x� �( ; )x1 �( ;x2 �); a f x ( ) 0 với x�( ; )x x1 2

6 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức f x( )ax2 bx c (a� 0) Nếu có số  mà a f ( ) 0  thì tam

thức có 2 nghiệm x1x2 và  �( ; )x x1 2 .

Trường hợp đặc biệt là  0, khi đó a f ( ) a c  0 thì tam thức có hai

nghiệm phân biệt khác dấu

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI

1 Dạng 1: TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài toán khảo sát nghiệm của tam thức bậc hai nói riêng hay của một đa thứcnói chung là bài toán thường gặp trong các đề thi ở chương trình môn toán phổ thông.Tùy vào mức độ kiến thức được học ở mỗi giai đoạn mà cách giải bài toán này đượcphát triển một cách tương ứng Đây cũng là dạng toán có nhiều bài tập hay, thú vị, cầnđến những kiến thức tổng hợp liên quan khác Trong bài viết chúng tôi đặt trọng tâmvào việc khảo sát tính chất nghiệm của tam thức bậc hai

Sau đây là một số bài toán tiêu biểu

Bài 1 Cho phương trình (x2ax1)2a x( 2ax    với a là tham số.1) 1 0,

Biết rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất, chứng minh rằng a 2.

(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2019)

Lời giải Cách 1. Đặt f x( )   Do phương trình x2 ax 1. f f x( ( )) 0 có nghiệm thực

nên phương trình f x( ) 0 có nghiệm thực Suy ra  a2 � 4 0

Gọi x x1, 2là các nghiệm của f x 

thì f x( ) ( x x x x1)(  2); ,x x1 2��.+) Nếu x1  thì x2 2

1

( ( )) ( ( ) )

f f x  f x x Suy ra phương trình f x( )x1

cónghiệm duy nhất hay (x x 1)2 x1 có nghiệm duy nhất Suy ra 2

vô lý Suy ra a2 4 0.SSc

+) Khi x1� thì một trong hai phương trình x2 f x( )x1 và f x( )x2 vô nghiệm,

phương trình còn lại có nghiệm kép (nếu xảy ra cả hai phương trình có nghiệm thìnghiệm của phương trình này không là nghiệm phương trình kia vì x1� và khi đóx2

phương trình f f x( ( )) 0 có hơn 1 nghiệm) Ta có thể giả sử 2

hợp với a2  suy ra 4 0 a2, ta có điều phải chứng minh.

Cách 2 Đặt tx2ax1 ta có phương trình t2   at 1 0(*) Phương trình ban

đầu có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm t nên

2 4 0

a

   � ۳ a 2 hoặc a�2.+) Nếu a2 ta có phương trình

Xét phương trình (**), do có 1 1 t2 0 nên (**) có hai nghiệm trái dấu, suy

ra phương trình ban đầu có nhiều hơn một nghiệm

Do đó a2 và a�2 không thỏa mãn nên a2.

2

a

 

Bài 2 Cho tam thức bậc hai f x  x2 ax b với a b R, � Biết rằng tồn tại duy

nhất số thực x0sao cho f f x  0   0, chứng minh rằng a b, là các số không âm

(Đề thi chọn đội tuyển HSG Sư phạm HN 2018)

Lời giải

Do phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm thực nên phương trình f(x) = 0 cũng có nghiệm thực nên ta viết f(x) = (x - y1)(x - y2) với y1; y2 nào đó

+) Nếu y1 = y2 thì f(f(x)) = (f(x) - y1)2 Từ giả thiết suy ra phương trình f(x) = y1

có duy nhất nghiệm hay (x - y1)2 = y1 có duy nhất nghiệm Do đó y1 = 0 suy ra f(x) ≡ x2

nên a = b = 0.

+) Nếu y1; y2 phân biệt thì một trong hai phương trình f(x) = y1; f(x) = y2 vô

nghiệm, phương trình còn lại có nghiệm kép (nếu xảy ra cả hai có nghiệm thì nghiệm

của phương trình này không là nghiệm phương trình kia do y1 � y2)

Ta giả sử rằng phương trình x2 + ax + b - y1 = 0 có nghiệm kép và phương trình

x2 + ax + b - y2 = 0 vô nghiệm Khi đó, theo định lý Viet, ta có

Kết hợp các trường hợp lại ta luôn có a, b không âm

Nhận xét: Bài toán này có nhiều điều tương đồng với bài toán trên Do có đến

hai tham số a, b nên chỉ đánh giá được a, b không âm.

Bài 3 Cho tham thức f x  x2 ax b Biết rằng phương trình f f x     0

cóbốn nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm có tổng bằng -1, chứng minh rằng

14

có bốn nghiệm phân biệt x x x x1; ; ;2 3 4 trong đó

có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1  x2 1 Suy ra phương trình f x   0 phải có hai

nghiệm phân biệt, gọi chúng là c d; , theo định lý Viet ta có c d  a

Khi đó x x x x1; ; ;2 3 4 là các nghiệm của các phương trình f x  c f x;   d Ta

xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: x x1; 2 là hai nghiệm của cùng một phương trình, chẳng hạn

Các phương trình này đều có hai nghiệm phân biệt nên

b�

.Kết hợp cả hai trường hợp ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Trong bài toán này bắt buộc phải chia các trường hợp hợp lý để sử

dụng tính chất tổng hai trong bốn nghiệm của phương trình là -1

Bài 4 Cho a b c R, , � và a�0 Chứng minh rằng nếu đa thức sau vô nghiệm

Để giải quyết bài toán, chứng minh g x  ax2 bx ccó hai nghiệm khác dấu

ta chứng minh a  c 0 �ac 0 Ta giả sử ngược lại ac�0

Trường hợp 1: ac0  c0 (do a�0) Khi đó

Do x1 0 x2 nên ax1 và ax1 trái dấu Nếu ax1 0 thì a c x  1 ac ax 1  0 nên

(1) có nghiệm; nếu ax2 0 thì a c x  2 ac ax 2  0 nên (2) có nghiệm Tóm lại f x 

có nghiệm nên trái với giả thiết ban đầu

Vậy giả sử sai hay ac0 có nghĩa g x  ax2  bx ccó hai nghiệm khác dấu.

Nhận xét: Đối với bài toán này do f x 

vô nghiệm nên việc sử dụng phươngpháp phản chứng, nếu kết luận không đúng thì f x 

có nghiệm, mâu thuẫn với giảthiết là lựa chọn thích hợp nhất

Bài 5 a) Cho f x  ax2 bx c (a�0) Biết phương trình f x  x vô nghiệm,

vô nghiệm, bài toán được chứng minh

b) Đặt thì phương trình ban đầu trở thành:

+) Nếu thì , khi đó (3) là phương trình bậc 2 có biệt thức

= nên pt (3) vô nghiệm

Vậy điều kiện cần và đủ để (1) vô nghiệm là hoặc

Bài 6 Cho tam thức bậc hai f x  x2 bx c Chứng minh rằng nếu

 2  

b  b c  thì phương trình f f x    x

có 4 nghiệm phân biệt

(Đề thi HSG chọn đội dự tuyển Toán 10, THPT Chuyên, 2015)

nên phương trình (1) cũng có hai nghiệm phân biệt

Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung là x0 thì ta có

không thỏa mãn giả thiết

Vậy các phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không cónghiệm chung nên phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt

2 Dạng 2: ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ TAM THỨC, ĐÁNH GIÁ TAM THỨC

Trong dạng toán này chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán đánh giá các hệ số củamột tam thức bậc hai và đánh giá miền giá trị của tam thức bậc hai

Bài 7 Cho f x( )ax2bx c thỏa mãn điều kiện f x( ) �h với mọi x �1.Chứng minh rằng:

a) a   �b c 4h b) a   �b c 3h.

(Đề đề xuất kỳ thi Olympic 30-4 năm 2007)

b) Bài toán này cần chứng minh chặt chẽ hơn bài toán trên nên ta sẽ sử dụng bổ

đề là đẳng thức: x y   x y 2 max x y;  (*) Áp dụng bổ đề này và BĐT về giá

1) Câu b) của bài toán chặt hơn câu a) và việc đánh giá khó khăn hơn

2) Khi đáng giá tam thức f x  ax2 bx c trên đoạn  ;  thì cần chú ý các