Định hướng giải một số dạng toán khó về hàm số trong kì thi THPT quốc gia

Qua tham khảo đề thi thử THPT QG của nhiều trường trong cả nước, cũng như đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, tôi nhận thấy rất nhiều bài toán ở mức độ vận dụng,vận dụng cao được khai thác q

PHẦN MỞ ĐẦU

I Bối cảnh của đề tài:

Trong những năm gần đây, khi bài thi môn Toán trong kì thi THPT QG đượcchuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đã làm phong phú thêm các dạng toán, đặcbiệt là ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Qua tham khảo đề thi thử THPT QG của nhiều trường trong cả nước, cũng như

đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, tôi nhận thấy rất nhiều bài toán ở mức độ vận dụng,vận dụng cao được khai thác qua các kiến thức về hàm số như: tính đơn điệu, cực trị,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tiệm cận, đồ thị…Với các bài toán này, học sinhthường gặp rất nhiều khó khăn trong việc định hướng lời giải, cùng với áp lực về mặtthời gian thì nhiều học sinh có lực học giỏi cũng gặp nhiều khó khăn để đưa ra đượcphương án đúng

Chính từ các yêu cầu và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Định hướng giải một số dạng toán khó về hàm số trong kì thi THPT Quốc gia”.

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

- Nghiên cứu các cách giải các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao về hàm

số ở các đề thi thử, thi chính thức THPT QG và các tài liệu tham khảo để phân loại và

đề xuất các định hướng giải các bài toán đó

- Xây dựng hệ thống ví dụ, bài tập phù hợp để rèn luyện kỹ năng cho học sinh

- Đề tài được nghiên cứu và áp dụng trong quá trình giảng dạy cho các học sinhkhá và giỏi của lớp 12

IV. Mục đích nghiên cứu.

- Tìm hiểu các khó khăn, các sai lầm của học sinh khi giải bài toán sự biến

thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và tiệm cận của hàm số ở mức độ vận dụng vàvận dụng cao

- Phân dạng một số bài toán về hàm số Nghiên cứu phương pháp giải để từ đóđịnh hướng hình thành kỹ năng cho học sinh giải các dạng toán trên

- Sáng kiến sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học về các dạng toán khó vềhàm số cho học sinh lớp 12

V.Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

- Sáng kiến đã nghiên cứu và phân loại một số dạng toán ở mức vận dụng, vậndụng cao về hàm số trong các đề thi thử THPT QG

- Sáng kiến đề xuất định hướng giải các dạng toán đã phân loại

- Sáng kiến đã xây dựng hệ thống ví dụ để minh họa đồng thời phân tích địnhhướng để làm rõ cách giải các dạng toán trên

- Sáng kiến đã xây dựng các bài tập tương ứng với mỗi dạng để bạn đọc có thểrèn luyện

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

Trong chương trình THPT, khái niệm hàm số và các kiến thức cơ bản về hàm

số đã được trình bày đầy đủ và phù hợp với học sinh THPT

Sách giáo khoa Giải tích 12, chương 1 đã trình bày ứng dụng cơ bản của đạohàm để nghiên cứu các vấn đề cơ bản về hàm số, cụ thể:

- Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số Đồng thời đã nêu quytrình để xét tính đơn điệu của hàm số

- Khái niệm cực trị, các dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, cực tiểu

- Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số và các phương pháp tìm GTLN, GTNN

- Khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của hàm số và cácphương pháp tìm đường tiệm cận

- Khảo sát hàm số các hàm cơ bản và sự tương giao của hai đồ thị

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã nêu, trong sách giáo khoa và sách bài tậpGiải tích 12 cũng đã xây dựng hệ thống bài tập gồm tự luận và trắc nghiệm để khắcsâu, củng cố kiến thức cho học sinh

so với SGK

Xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1 (Câu 34, mã đề 104- Đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f x 

, có bảng xétdấu f x 

như sau:

III.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Dạng 1 Biết một số dấu hiệu của hàm f x' , yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm

số g x  f u x   

hoặc g x f u x   h x 

Định hướng: Trong dạng toán này ta thường sử dụng công thức đạo hàm của

hàm hợp y x'( )u x f u x'( ) '    Trên cơ sở dấu hiệu của f x'  ta lập bảng xét dấu của g x'( )để từ đó suy ra tính đơn điệu Dấu hiệu của hàm f x'  thường là đồ thị của

 

'

f x

hoặc công thức của hàm f x' 

Ta xét một số ví dụ minh họa cho dạng toán nói trên:

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  liên tục trên  Biết rằng hàm số y f x   có đồ thịnhư hình vẽ bên dưới:

1 3

Định hướng: Để xét tính đơn điệu của hàm số ta tính đạo hàm bằng công thức hàm

Phân tích : Khi lập bảng biến thiên của f u x   

, phải chú ý tới nghiệm là bội chẵn hay bội lẻ để vẽ chính xác bảng biến thiên Nhiều học sinh thường mắc sai lầm khi không chú ý đến điều này

Cụ thể: Qua các nghiệm đơn hoặc bội lẻ thì đạo hàm sẽ đổi dấu, các nghiệm bội chẵn đạo hàm số không đổi dấu

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm sốyf x 2  5

để hàm số yf x 23x m 

đồngbiến trên khoảng 0;2

khi y x    0, x 0;2

, m  nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.

Phân tích: Một sai lầm thường gặp trong bài toán trên là học sinh không để ý đến giả

thiết f x 

có đạo hàm trên  và số nghiệm của y x '  0

là hữu hạn nên khi đặt điều kiện đồng biến là y x    0, x 0;2

Phân tích: Đối với các học sinh không thành thạo trong việc vận dụng các bất đẳng

thức đại số nên hướng dẫn học sinh dùng đạo hàm lập BBT của h x 

để suy ra m 6

Trong một số bài toán khó hơn, yêu cầu ta phải xét tính đơn điệu của hàm số

g x f u x h x

, trong các bài toán này ta thấy h x 

thường được cho để phương trình g x '  0

là giải được, hoặc xét được dấu của g x 

Ví dụ sau sẽ minh họa cho nhận xét trên.

Ví dụ 4 Cho hàm số yf x  có      

2 2

f x x x x Hàm số

    1 3

5 3

  thì hàm số y g x   đồngbiến

Ví dụ 5 Cho hàm số f x 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y3f x 2 x33x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ; 1

B 1;. C 1;0

D 0;2.

Lời giải

Định hướng: Trong một số bài toán ta không giải được phương trình g x '  0

nhưng vẫn xét được dấu của g x' 

trên một khoảng nào đó Để thực hiện được điều này ta thường căn cứ bảng xét dấu f x' 

để đưa ra các cận và xét dấu của y x' 

trên các khoảng định ra

Ví dụ 6 Cho hàm số yf x 

có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x  

như hình bên dưới

Định hướng: Đây là bài toán khó giả thiết chỉ cho đồ thị của hàm số y f x  , khi

và đường thẳng d y: x (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

không giải được thì ta thường so sánh vị trí tương đối của các đồ thị, thường

là đồ thị f x'  với đường bậc hai hoặc bậc nhất.

Do vậy, hàm số y g x   đồng biến trên khoảng 5;6

m m

Nhận xét: Đối với các dạng toán này, ta thường không đưa ra được một quy trình để

giải Trong quá trình dạy giáo viên nên định hướng, phân tích lời giải cho học sinh đúc rút kinh nghiệm, đồng thời cho học sinh rèn luyện qua các bài tập tương tự để các

em phát triển được tư duy và hình thành được kỹ năng giải toán

Định hướng: Đối với dạng toán này ta thường đạo hàm hàm số g x'  dựa vào quy tắc

đạo hàm của hàm hợp và biểu thức f x' , sau đó lập bảng biến thiên của g x  để xác

định các yếu tố về cực trị Để làm rõ định hướng trên ta xét các ví dụ sau:

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x 

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g x ( ) f x 2  2019

có tất cả 3 điểm cực trị

Từ BBT ta thấy hàm số g x 

có 3 điểm cực trị

Phân tích: Khi lập bảng biến thiên, như chú ý trong dạng 1, ta cần để ý tính chất bội

chẵn hay lẻ của các nghiệm Trong ví dụ 2 ta thấy các điểm x2,x2 là các nghiệm bội chẵn trong biểu thức g x' 

, nên qua các điểm này g x' 

không đổi dấu

Phân tích: Trong bài toán đếm số cực trị, cần phải nhìn thấy các nghiệm bội chẵn và

tính chất nghiệm để làm đơn giản bài toán, đặc biệt là các bài toán có tham số.

Nhận thầy các nghiệm của (1), (2) và (3) không trùng nhau, từ biểu thức của f x'( ) tathầy các nghiệm của (1) đều là nghiệm bội bậc chẵn, nên các nghiệm của (1) không thể

m m

có đúng 1điểm cực trị?

x y

x mx

é =ê

Ta thấy nghiệm của ( )1

nếu có sẽ khác 0 Nên x=0 là 1 cực trị của hàm số.Đặt 2

t=x , ta có phương trình t2+ 2 mt + = 4 0 (2)

Do đó để hàm số có 1 điểm cực trị thì ( )2 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hoặc

có hai nghiệm âm

Từ đó suy ra hệ điều kiện:

2 2

Phân tích: Một số bài toán yêu cầu từ giả thiết là biểu thức hàm số y f x   xét cực trị của hàm số y g x   f u x   h x  Dạng toán này biểu thức h x'  thường có mối liên hệ với f x'  để ta có thể giải phương trình g x'( ) 0 hoặc xét dấu g x'( )

2 2

ln 1 0 (1)

x x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g x  

đạt cực tiểu tại x x  0 2 Vậy 0

3

;32

trên khoảng, đoạn.

Định hướng: Đối với các bài toán dạng này, ta thường căn cứ vào đồ thị để xác định

như hình bên dưới.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;3 .

Phân tích: Bài toán không có thêm các giả thiết khác ngoài đồ thị, trong các trường

hợp như thế này ta cần khai thác thêm các so sánh về diện tích các hình phẳng.

, trong ví dụ 3 không có hệ thức liên

hệ nào thể hiện mối quan hệ giữa f 0

2

y

x 3 -1

Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 

, bài toán không cho thêm các giả thiết khác, từ đó

ta định hướng có thể sử dụng thêm các so sánh về thể tích, muốn vậy ta cần bổ sung thêm các cận tích phân, tương ứng là giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Gọi a là hoành độ giao điểm của y f x  

và trục hoành trên 1;0

Gọi b là hoành độ giao điểm của y f x  

a -1

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên1;3

như sau:

x 1 a b 3

 '

Ví dụ 5 Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên đoạn 1;2, có đồ thị hàm số

Phân tích: Tuy nhiên từ bảng biến thiên vẫn không xác định được đáp án Từ đó ta

cần khai thác thêm các yếu tố khác

2 2

3 1

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

f x y

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng

5 3

y 

.Vậy tổng số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số bằng 1

Ví dụ 2 Hàm số yf x  xác định trên \ 1;1  , có đạo hàm trên \ 1;1  và cóbảng biến thiên như sau:

y

f x



 có hai tiệm cận đứng là hai đường thẳng x a  ; x0

Tiệm cận ngang: Nhìn vào bảng biến thiên ta có

Ví dụ 3 Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị là đường cong hình bên dưới

Phân tích: Khi gặp các bài toán này có một sai lầm học sinh thường mắc phải đó là

cho rằng số đường tiệm cận đứng bằng số nghiệm của phương trình

    2   0

Để tính chính xác số tiệm cận đứng ta cần để ý nghiệm chung của

tử và mẫu, đồng thời lưu ý tới bậc nghiệm của tử và mẫu để giản ước Để làm rõ hơn

ta xét ví dụ sau.

IV.Hiệu quả mang lại của sáng kiến:

- Sáng kiến thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học môn toán bậc trung học phổthông

- Sáng kiến được áp dụng cho đối tượng là các học sinh khối 12 có năng lực khá

và giỏi

- Qua quá trình thực nghiệp được tiến hành như sau:

+ Dạy thử nghiệm ở lớp 12 với thời gian 4 buổi (16 tiết) cho đối tượng học sinhkhá và giỏi

+ Nhờ các đồng nghiệp ở các trường khác đang dạy các đối tượng học sinh khá

và giỏi ở lớp 12 tiến hành thực nghiệm đề tài

- Kết quả thực nghiệm: Phần lớn các em học sinh sau khi tiếp cận đề tài đã cókhả năng định hướng tốt hơn về cách giải các dạng toán khó về hàm số đã nêu Kỹnăng tiến hành giải các bài toán thuộc các dạng toán đã nêu cũng tốt hơn

V Khả năng ứng dụng và triển khai:

- Sáng kiến được áp dụng trong việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khối 12 trong các trường THPT để thi HSG cũng như thi THPT QG (thi tốt nghiệm THPT)

- Đề tài có thể tiếp tục nghiên cứu để phát triển theo hướng tìm số lượng

nghiệm của các phương trình dạng f u x    m

khi biết một số dấu hiệu của hàm

 

f x

hoặc f x' 

VI Ý nghĩa của sáng kiến:

- Sáng kiến được áp dụng cho đối tượng là học sinh khá và giỏi của lớp 12

- Sáng kiến góp phần rèn luyện tư duy và kỹ năng giải các bài toán về hàm số ở mức vận dụng, vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia (thi tốt nghiệm THPT) và thihọc sinh giỏi

Phần kết luận

I Những bài học kinh nghiệm:

Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng sáng kiến vào dạy học bản thân tôi nhậnthấy:

- Việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán nhỏ lẻ thiếu hệ thống và dấu hiệuđặc trưng sẽ rất khó hình thành nền tảng kiến thức và kỹ năng cho các em

- Để quá trình dạy học mang lại hiệu quả cần phải dành nhiều thời gian tìm hiểucác đề thi, các tài liệu tổng hợp nghiên cứu các dạng toán, đưa ra các định hướng giảicho mỗi dạng toán, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập tương ứng với mỗi dạng đểcũng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng cho học sinh

- Qua quá trình thử nghiệm nhận thấy đề tài có ý nghĩa trong việc góp phầnđịnh hướng giải một số dạng toán về hàm số trong kỳ thi THPT QG cho học sinh

II.Những kiến nghị, đề xuất:

Để đề tài thực sự mang lại hiệu quả tôi xin kiến nghị và đề xuất một số nội dungsau:

- Tạo điều kiện cho các giáo viên toán trong các trường THPT tiếp cận với đề tài và áp dụng đề tài trong quá trình dạy học

- Mong muốn nhận được sự phản hồi và góp ý của giáo viên và học sinh để tiếptục mở rộng, phát triển và hoàn thiện đề tài

PHẦN BÀI TẬP BỔ SUNG Bài tập bổ sung dạng 1

Hàm số y  2 ( ) 4f x x đồng biến trên khoảng

có 5điểm cực trị ?

Bài tập bổ sung dạng 3.

Bài 3.1 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm yf x'( ) Hàm yf x'( )

có đồ thị nhưhình vẽ

Biết rằng f(0) f(1) 2 (2) f f(4) f(3) Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất Mcủa f x  trên đoạn [0; 4].

A mf(4);M f(2) B mf(4);M f(1).

C mf(0);M f(2) D mf(1);M f(2).

Bài 3.2 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x 

Đồ thị của hàm số yf x  được chonhư hình vẽ bên Biết rằng f  0 f  3 f  2  f  5 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị

lớn nhất M của f x  trên đoạn 0;5 .

vẽ bên Biết rằng f  0  f  3 f  2  f  4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f x 

trên đoạn 0;4 lần lượt là

A f 0 ,f  4 B f 2 ,f  0 C f  1 ,f  4 D f  2 ,f  4 .

Bài 3.4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x 

liên tục trên  và đồ thị của hàm số

 

f x

trên đoạn 2;6 như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây là đùng?

được cho như hình bên dưới và f  2  , 3 f  0 5, f  1  Gọi M , 0 m

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y f x  1 trên 2;1 Khi đó

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

A 0m1 B 0m1 C m 0 D m 1 Bài 4.2 Cho hàm số f x  mx3nx2px q m n p q  , , ,  có đồ thị như hình vẽ

Tìm số giá trị mnguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số     2

20198

A 2 B 3 C 4 D 5 Bài 4.5 Cho hàm số y f x 

đồng biến trên khoảng

3;0

Bài 1.3 Đáp án B

Ta có g x   2x1 f x 2 x 2

Ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0;)

Bài 1.5 Đáp án A

Ta có g x'( )f x'( )x3 5x28x 4f x'( ) ( x1)(x 2)2 (x1)(x 2) (2 x2 7x13).

t mt phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

Kết hợp với điều kiện m nguyên, không vượt quá 2018 suy ra có 2017 giá trị của m

         

 

2 2

2 2

Yêu cầu bài toán  g x  0 có 5 nghiệm bội lẻ  mỗi phương trình    1 , 2 đều

có hai nghiệm phân biệt khác 4.  *

Xét đồ thị  C của hàm số y x 2 8x và hai đường thẳng d y1: m d y, :2 m2

(như hình vẽ)

Khi đó  *  , d d1 2

cắt  C tại bốn điểm phân biệt  m 16 m16.

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa

2

00

2 2

Ta có bảng biến thiên trên [0;4]

Dựa vào bảng biến thiên ta có M f(2);mmin{f  0 ; f  4 }

Mặt khác có f(1) f(2); (3)f  f(2) f  1  f  3 2f  2  2f  2  f  1  f  3 0Mà