Đáp án Các Đề thi TCC2 hubt (khoa điện điện tử)

Hình elip đối Xứng, miền xác định đối xứng nên diện tích miền S cần tìm bằng 4 lần diện tích nằm trong... Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit + Tại X =1 ta được chuỗi ∑.. Chuỗi này l

Đáp án Các Đề thi TCC2

Đề 1

1 Ta có ( )( )

( ) ( )

i ( ( ) ) i ( )( ) ( )( ) i ( )( )

2 Xét I = ∫

Vì ( )( ) nên ta tìm phân thức hữu tỉ dưới dấu tích phân dưới dạng:

( )( ) ( ) ( ) (*)

( )

( )

( )

∫ ∫ ∫ | | 2 | | | |

3 Điểm cắt: {

[

Miền S: {

S=∫ ∫

(- ) | ( ) ( ) ( )

4

+b

√ (

√ √ )

= ( ) ( )

Vì: (√ ) (√ ) nên ta đặt √ √

( ) i ( )

Ta dự đoán: ( ) ( ) i ( )

Theo tiêu chuẩn Cô si thì i √| | i √

√

= i

( )

Bán kính hội tụ là tức

mà chuỗi ∑

Phân kỳ nên ∑

√ phân kỳ

i

V y I =

2

r = i i ( )

( ) i (

)

= 3 i (

) = 3 i (

) =

= 3 (

)

Vậy bán kính hội tụ là

3 Điểm cắt {

[

Miền S: {

Diện tích S = ∫ ( )

= ∫ ( ) | =

( )

4 Ta có ( )( ) ( ) ( )( )( ) ]

( ) (

)( ) (

)( ) Mà:

) ( ) ( )

2 Xét I = ∫ √

Đặt t= √

( )( ) ( ) ( ) =

( )( ) ( )

Vậy: ( )

Đề 5 1 Khi thì khi đó I = i ( ) i ( )

Vì i

2 Đặt X=x-2; √ t c chuỗi ũ thừa: ∑

Theo tiêu chuẩn Cô si thì i √| | i √

√

= i

( )

Bán kính hội tụ là tức

+ Tại x = -3 chuỗi thành ∑ ( ) √

∑ ( )

√

Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Lepliz +Tại x=7 chuỗi thành ∑ √

∑ ; khi n

√

mà chuỗi ∑

Phân kỳ nên ∑ √

phân kỳ V y miền hội tụ là:

3 Điểm cắt {

[

Miền S: {

Diện tích S = ∫ ( )

= ∫ ( ) | =

= (-1+3)-(1-3) =4(đvdt) 4 Xem I = ∫( )( )

Ta có: ( )( ) ( )( )( )

Vì tam thưc bậc 2: không có nghiệm thực nên ta tìm các hệ số dạng: ( )( )( )

= ( )( ) ( )( ( )( )( ) ( )( )( ) )

Bỏ mẫu số 2 vế và rút gọn ta được đồng nhất thức: 1 = ( ) ( ) ( ) ( )

Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ phương trình: {

{

Vậy: ( )( ) ( ) ( ) ( )

I =∫ ( ) ( ) ( ) | | ∫

( ) | |

√ arctg

√

Tại X =-1 ta được chuỗi ∑ ( ) chuỗi này phân kz

Tại X =1 ta được chuỗi ∑ ( ) chuỗi này phân kz

1 Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp ta được: I =

2 Ta tìm miền hội tụ theo quy tắc Dalamber của chuỗi lũy thừa:

i | | i ( )( ) ( ) = i = 1 = R

Suy ra khoảng hội tụ là (-1,1)

-Tại x = -1 thì ∑ ( )

( ) ( )

( )

là chuỗi hội tụ vì số hạng tổng quát

( )

Vậy miền hội tụ của chuỗi là [-1,1]

3 Đặt u = √ thì u(0)=1, u(13)=3 nên1

Vậy: ( )( )

( )

( ) ( )

b) ( ) ( ) ( ) ,…, ( )( )

( )

( ) ( )

Khai triển Taylor của hàm số tại x = 0 là: ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

Đề 8 1 Đặt i ( )

i ( )

Do nên ( ) Do đó i ( ) = i ( )

i

( ) = i

Vì khi thì sin u

2 Tìm điểm dừng: + ( )

=

+ Xác định cực đại, cực tiểu:

''(0) 0 4 1 1 ''(1) 0 4 4 2 2 y y                  Vậy: ( ) ( )

3 Ta tính: I = ∫( )

= ∫( )

= ∫( )

= ∫( )

= + C = + C,

4 Điểm cắt: , ( )

*

Miền S: ,

( )

Diện tích ∫ ∫ ( )

∫ ( )

4 Xem phương trình hình Elip

√

Vẽ hình Elip này trên hệ trục 0xy Hình elip đối

Xứng, miền xác định đối xứng nên diện tích miền

S cần tìm bằng 4 lần diện tích nằm trong

góc phần tư thứ nhất Giới hạn của miền như sau:

: ,

√

Diện tích hình Elip là: ∫ ∫ √ ∫ √

Đặt ; 0 thì

Vậy ∫ √ ( ) ∫

∫ ( ) | (đvdt) Đề 11 1 Xét i

√ √ ( ) ⏞

( ) i

√

√

i

√

√

i

√

√

Vì khi , cos2x , cos 3x 2 Xét chuỗi ∑ ( ) ĐK: , đặt thì được chuỗi lũy thừa ∑

Theo Tiêu chuẩn D’Alembert ta có: i i

Miền hội tụ là: ( )

+ Tại X = -1 ta được chuỗi ∑ ( ) Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit + Tại X =1 ta được chuỗi ∑ Chuỗi này là chuỗi điều hòa nên phân kz

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi là:

*

*

Vẽ đồ thị hai đường này trên hệ trục tọa độ 0xy

Miền S =

: ,

,

Diện tích miền S là:

1 1

2 lim cos sin

2 lim cos sin

x

x





 

 

2

   và lim sin 1 0

x x x 

 

Theo định lý đã biết về giới hạn bị chặn thì I = 0

2 Xét i

Logarit hóa 2 vế ta được: i i * +

= i * + i * + i * +

Vậy =

3 xét I =∫

Ta có:

( )

( )

( ) Vậy: ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

( ) (√ ) = | | | |

√ √

= | | | |

√

√

4 Xét các đường | | và

Ta có { ặ

và

Điểm cắt: { | |

[

Vẽ các đường này trên hệ trục tọa độ 0xy Miền S =

{

{

{

Vậy diện tích miền S là: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ( ) d ∫ ( ) d ∫ ( ) d

(đvdt) Đề 13 1 Xét i ( √

√ ) Đặt x = √ √ Khi thì

Nên I = i ( √

√ ) i ( ) i ( )( )( ( ) ( ) )

i ( )( )( ( )( )

) = i ( )

( )( )

2 Ta có: ∫ ∫

∫( ) ( ) ∫( ) ( )

∫( ) ( )

3 Đặt X=5x-4; th t c chuỗi ũ thừa

∑

Theo tiêu chuổn Cô si thì: i √| | i √

i

( )

Hoặc r = i i

( ) i ( )

( ) i )

V y bán kính hội tụ:

+Tại thì chuỗi có dạng: ∑ ( )

Đâ huỗi dấu có số hạng tổng quát nên chuỗi hội tụ theo Leplitz +Tại thì chuỗi có dạng ∑ Chuỗi này hội tụ vì

V y miền hội tụ là:

4 Xem 3 đường và

Các điểm cắt: {

*

{

{

Vẽ 3 đường trên hệ trục tọa độ 0xy Miền S =

Đặt X=5x-4;

th t c chuỗi ũ thừa

nên chuỗi hội tụ theo Leplitz

+Tại thì chuỗi có dạng ∑ Chuỗi này hội tụ vì

Vẽ các hàm này trên hệ trục tọa độ 0xy

Đặt X = ( ) ta được:

2[1+ ( ) [ ( ) ] ( )

( )

Ta đã dùng khai triển Maclaurin đến bậc nhất:

∫ * + ( ) | |

3 Xem các đường và

Điểm cắt {

{

√

= i

( )

Bán kính hội tụ là tức

mà chuỗi ∑

Phân kỳ nên ∑

√ phân kỳ

V y miền hội tụ là:

3 Xét các đường và

Điểm cắt: thay lần lượt vào

+Tại chuỗi thành ∑ ( ) ∑ ( ) là chuỗi dấu hội tụ theo Lepnitz

+Tại X = chuỗi thành ∑ ( ) ∑ hội tụ vì số hạng tổng quát

V y miền hội tụ của chuỗi ã h

Vẽ ờng này trên hệ trục tọ ộ 0xy

+ Tại ta có chuỗi ∑

phân kỳ

( ) ( )

Từ ó ∫ ( ) ( ) ( ) ( )

| | | | |( | arctg +C, C

2 Xét chuỗi ∑

( ) Đặt ta có chuỗi lũy thừa ∑

Vẽ hai đường này trên hệ trục tọa độ 0xy

Do tính đối xứng nên diện tích

Với { √

Diện tích miền S là:

vì i ( ) i ( ) i ( )

Nên chuỗi ∑ (

) ( )

+ Tại ta được chuỗi ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) Tương tự trên

(

) chuỗi ∑ (

)

phân kỳ Tóm lại, miền hội tụ là:

3 Xem ∫( ) ( )

Vì tam thưc bậc 2: không có nghiệm thực nên ta tìm các hệ số dưới dạng:

( )( )

( ( )( ) ( ) )

Bỏ mẫu số 2 vế rồi rút gọn ta được đồng nhất thức: ( ) ( ) ( )

Đồng nhất các hệ số hai vế ta được hệ phương trình: {

{

Vậy:

( )( )

( )

( )

( )

( ) +

( ) ∫ ( ) ( ) +

( )

| | | |

√

√

4 Ta có:

√( ) ( ) *

√( ) ( )

√( ) ( ) +

Vì ( √( ) ( )

) (

√( ) ( )

)

√( ) ( )

√( ) ( )

√( ) ( ) ( )

√( ) ( ) i ( )

Vì i ( )

√( ) ( ) √( ) ( )

V y √( ) ( ) i ( )

v √( ) ( ) hi i ( )

Cụ thể h tr ờng h p:

* +

Vì ( ) ( )

( ) i ( )

Vì i ( )

V y i ( ) v hi i ( )

Đề 21 1 Ta có I = i ( ) i ( ) i ( )=

= i (

)

2 Xét I = ∫

Vì ( )( ) nên ta tìm phân thức hữu tỉ dưới dấu tích phân dưới dạng:

( )( ) ( ) ( ) (*)

( )

( )

( )

∫ ∫ ∫ | | 2 | | | |

3 Đặt X=x-2; √ t c chuỗi ũ thừa: ∑

Theo tiêu chuẩn Cô si thì i √| | i √

√

= i

( )

Bán kính hội tụ là tức

mà chuỗi ∑

Phân kỳ nên ∑

√ phân kỳ

V y miền hội tụ là:

4 Ta có

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ] ( ) (

)( ) (

)( ) Mà:

) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Tại X =-1 ta được chuỗi ∑ ( ) chuỗi này phân kz

Tại X =1 ta được chuỗi ∑ ( ) chuỗi này phân kz

Miền hội tụ là -1 < X < 1 -1 < x+3 < 1 -4 <x < -2

3 Điểm cắt: {

*

√ √ Miền S: { √ √

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Ta biết rằng: ( ) i ( )

( ) ( ) ( )

………

( )( ) ( ) (Bằng quy nạp) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) =

( )( ) ( )

Vậy: ( )

Đề 23 1 Đặt i ( )

i ( )

Do nên ( ) Do đó i ( ) = i ( )

i ( ) = i

Vì khi thì sin u

2 Ta tìm miền hội tụ theo quy tắc Dalamber của chuỗi lũy thừa:

i | | i ( )( ) ( ) = i = 1 = R

Suy ra khoảng hội tụ là (-1,1)

-Tại x = 1 thì

∑ ( )

( ) là chuỗi đan dấu có số hạng tổng quát ( )

nên chuỗi hội tụ -Tại x = -1 thì ∑ ( ) ( )

( ) = ∑

( ) là chuỗi hội tụ vì số hạng tổng quát ( )

Vậy miền hội tụ của chuỗi là [-1,1] 3 Ta tính: I = ∫( )

= ∫( )

= ∫( )

= ∫( )

= + C =

+ C,

4

- b

√ (

√

√ )

= ( ) ( )

Vì: ( √ ) (

√ ) nên ta đặt √

√

( ) ( )

Ta dự đoán: ( ) ( ) ( )

i

√

√

= 12* | |+

3 Xét chuỗi ∑ ( ) ( ) Đặt ( )( )

Theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta có: i i (( ) )( ( )) ( )

( ) i ( )( )( )

Chuỗi ∑ ( ) ( )

hội tụ 4 Xét các đường | | và

Ta có { ặ

và

Điểm cắt: { | |

[

Vẽ các đường này trên hệ trục tọa độ 0xy Miền S =

{

{

{

Vậy diện tích miền S là: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ( ) d ∫ ( ) d ∫ ( ) d

(đvdt) Đề 25 1 Xét i ( √

√ )

Đặt x = √ √ Khi thì

Nên I = i ( √

√ ) i ( ) i ( )( )( ( ) ( ) )

i ( )( )( ( )( )

) = i ( )

( )( )

2 Xét chuỗi ∑

( )

Đặt X=5x-4; th t c chuỗi ũ thừa ∑

Theo tiêu chuổn Cô si thì: i √| | i √

i

( )

Hoặc r = i i ( ) i ( ) ( )

i )

V y bán kính hội tụ:

+Tại thì chuỗi có dạng: ∑ ( ) Đâ huỗi dấu có số hạng tổng quát nên chuỗi hội tụ theo Leplitz +Tại thì chuỗi có dạng ∑ Chuỗi này hội tụ vì

V y miền hội tụ là:

3 Xem các đường và

Điểm cắt {