Các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like trong các bài toán quy hoạch đa mục tiêu không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM ---ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA M

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM

-ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TOÁN QUY

HOẠCH ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

Mã số: CS – 2013 - 37Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình tuấn

Tp Hồ Chí Minh 12 – 2013

M÷C L÷C

M÷C L÷C 1

Ch˜Ïng m ¦u 3

1 L˛ do chÂn · t i 3

2 Mˆc ti¶u v k¸t qu£ nghi¶n c˘u 4

3 Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u 4

4 K¸t c§u cıa · t i 4

Ch˜Ïng 1: MÎt sË cÊng cˆ trong gi£i t½ch Lipschitz ‡a ph˜Ïng khÊng trÏn v c¡c kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai 5

Ch˜Ïng 2: Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ h˜Óng cÙng nh˜ vectÏ v mÎt sË t½nh ch§t cıa chÛng 7

Ch˜Ïng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ c§p hai v c¡c t½nh ch§t cıa chÛng 11

Ch˜Ïng 4: C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai vÓi hi»n t˜Òng envelope-like 15

Ch˜Ïng 5: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai 25

K¸t luªn v h˜Óng nghi¶n c˘u m rÎng · t i 28

T i li»u tham kh£o 29

C¡c b i b¡o khoa hÂc li¶n quan tr¸c ti¸p ¸n · t i nghi¶n c˘u 31

Ch˜Ïng m ¦u

1 L˛ do chÂn · t i.

Trong quy ho¤ch to¡n hÂc, v tÍng qu¡t hÏn trong tËi ˜u h‚a, c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§phai chi¸m mÎt v‡ tr½ quan trÂng, v¼ n‚ cung c§p thÊng tin th¶m quan trong cho c¡ci·u ki»n tËi ˜u c§p mÎt º ¡p ˘ng cho s¸ ph¥n lo¤i ˘ng dˆng th¸c t¸, c¡c b i to¡n tËi ˜u

˜Òc xem x²t, v do ‚ c¡c cÊng cˆ v kˇ thuªt nghi¶n c˘u, ng y c ng tr n¶n ph˘c t¤p hÏn.Tuy nhi¶n chÛng ta c‚ thº nhªn th§y r¬ng, trong a sË c¡c k¸t qu£ nghi¶n c˘u li¶nquan ¢ c‚, nÎi dung ch½nh cıa c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tËi ˜u c§p hai c‚ thº ˜Òc kh¯ng

‡nh mÎt c¡ch t˜Ïng t¸ nh˜ trong k¸t qu£ cÍ iºn l ¤o h m c§p hai cıa c¡c h m mˆc ti¶u(ho°c c¡c h m Lagrange trong c¡c b i to¡n c‚ r ng buÎc) t¤i c¡c iºm c¸c tiºu l khÊng

¥m Kawasaki [17] l nh nghi¶n c˘u ¦u ti¶n cho th§y r¬ng c¡c ¤o h m theo h˜Óng c§phai cıa h m Lagrange c‚ thº ¥m t¤i c¡c iºm c¸c tiºu, n¸u ¤o h m theo h˜Óng cıa h mk¸t hÒp b i h m mˆc ti¶u v c¡c r ng buÎc n¬m tr¶n ph¦n

°c bi»t cıa bi¶n cıa n‚n hÒp ¥m trong t½ch c¡c khÊng gian £nh Æng §y gÂi hi»n t˜Òng

n y l hi»n t˜Òng envelope-like C¡c k¸t qu£ cıa Kawasaki ¢ ˜Òc nhi·u nh nghi¶n c˘u ph¡ttriºn trong [6, 8, 25, 26], luÊn luÊn xem x²t c¡c b i to¡n quy ho¤ch vÊ h˜Óng

thuÎc lÓp C 2 , giËng nh˜ trong [17] Trong quy ho¤ch a muc ti¶u, c¡c k¸t qu£ ¦u ti¶n

thuÎc kiºu n y ˜Òc nghi¶n c˘u trong [14, 15] cÙng x²t cho c¡c tr˜Ìng hÒp trÏn ËivÓi quy ho¤ch a mˆc ti¶u khÊng trÏn, Guti²rrez-Jim²nez-Novo [13] ¢ dÚng c¡c ¤o

h m theo h˜Óng c§p hai Dini v parabolic a tr‡ º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p haivÓi hi»n t˜Òng envelope-like HÂ xem x²t c¡c h m kh£ vi Fr²chet m ¤o h m cıan‚ l li¶n tˆc ho°c Ín ‡nh t¤i iºm nghi¶n c˘u Tuy nhi¶n, v¨n c·n nhi·u t¡c gi£ ch˜anhªn ra hi»n t˜Òng envelope-like khi nghi¶n c˘u c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai i·u n yc‚ thº d¨n ¸n mÎt sË sai l¦m khÊng bi¸t HÏn n˙a, trong c¡c b i b¡o n‚i tr¶n, Êi khikhÊng x¡c ‡nh ˜Òc khi n o th¼ hi»n t˜Òng envelop-like x£y ra v khi n o th¼khÊng C¡c quan s¡t tr¶n ¥y l nguÁn c£m h˘ng cho mˆc ½ch nghi¶n c˘u ¦u ti¶ncıa chÛng tÊi trong · t i nghi¶n c˘u n y l l m r„ hi»n t˜Òng envelope-like trong c¡ci·u ki»n tËi ˜u c§p hai

M°t kh¡c, mÎt c¡ch ti¸p cªn ch½nh cho tËi ˜u khÊng trÏn l · xu§t v ¡p dˆng c¡c ¤o h msuy rÎng th½ch hÒp º thay th¸ ¤o h m G¥teaux v Fr²chet cÍ iºn khÊng tÁn t¤i khi thi¸t lªpc¡c i·u ki»n tËi ˜u Nhi·u lo¤i ¤o h m ¢ ˜Òc dÚng, mÈi lo¤i ·u c‚ thuªn lÒi ri¶ng trong mÎt

sË t½nh huËng cˆ thº nh˜ng khÊng thuªn lÒi cho t§t c£ c¡c tr˜Ìng hÒp G¦n ¥y, c¡c ¤o h

m a tr‡ cho h m vectÏ Ïn tr‡ ¢ ˜Òc s˚ dˆng hi»u qu£ º cung c§p c¡c quy tc nh¥n t˚ trongc¡c quy ho¤ch khÊng trÏn, xem [5, 10, 11, 13, 19, 23] (nh˜ng trong [5, 10, 11, 19, 23],hi»n t˜Òng envelope-like khÊng x£y ra) C¡c quan s¡t n y l nguÁn c£m h˘ng ti¸p theocho mˆc ½ch nghi¶n c˘u th˘ hai cıa chÛng tÊi trong · t i nghi¶n c˘u n y l ¡p dˆng ¤o h mtheo h˜Óng c§p hai Hadamard (¢

˜Òc · xu§t trong [19]) cÚng vÓi t½nh ch§t l-Ín ‡nh (¢ ˜Òc nghi¶n c˘u trong [2, 3,

4, 12]) º ¤t ˜Òc c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai mÓi c£i thi»n v m rÎng c¡c k¸t qu£ nghi¶n c˘ug¦n ¥y V¼ gi¡ tr‡ cıa ¤o h m theo h˜Óng c§p hai Hadamard t¤i mÎt iºm th¼ lÓn hÏngi¡ tr‡ cıa c¡c ¤o h m theo h˜Óng c§p hai Dini v parabolic, c¡c i·u ki»n c¦n cıa chÛng tÊim¤nh hÏn c¡c i·u ki»n c¦n trong [13] HÏn n˙a, chÛng tÊi nÓi l‰ng

3

c¡c gi£ thi¸t ch½nh °t ra trong [13]: thay th¸ l¦n l˜Òt t½nh kh£ vi li¶n tˆc v Ín ‡nh b i t½nh kh£ vi ch°t v l-Ín ‡nh.

2 Mˆc ti¶u v k¸t qu£ nghi¶n c˘u.

ChÛng tÊi xem x²t b i to¡n quy ho¤ch a mˆc ti¶u sau ¥y Cho c¡c h m

f : R

n

→ R

m,

g : Rn → Rp v h : Rn → R r Cho C l n‚n lÁi ‚ng trong R m v K l tªp lÁi trong R p.

B i to¡n d˜Ói s¸ xem x²t cıa chÛng tÊi l

N¸u K = Rn, th¼ r ng buÎc g(x) ∈ −K tr th nh r ng buÎc b§t ¯ng th˘c thÊng th˜Ìng

ChÛng tÊi dÚng c¡c ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ Hadamard v Dini d˜Ói gi£ thi¸t kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay l-Ín ‡nh (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u ı) º

thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai mÓi vÓi t½nh ch§t envelope-like

˜Òc l m r„ hÏn cho b i to¡n quy ho¤ch a mˆc ti¶u khÊng trÏn (P) Cˆ thº,

· t i th¸c hi»n c¡c mˆc ti¶u nghi¶n c˘u sau ¥y.

+ Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ h˜Óng cÙng nh˜ vectÏ v mÎt sË t½nh ch§t cıa chÛng

+ Kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ c§p hai v c¡c t½nh ch§t cıa chÛng

c¡c nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng cıa (P).

+ C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai cho c¡c nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng cıa (P)

C¡c k¸t qu£ cıa · t i ho n thi»n c¡c k¸t qu£ ¢ c‚ trong l¾nh v¸c nghi¶n c˘u c¡c i·u ki»n tËi ˜u trong c¡c b i to¡n quy ho¤ch a mˆc ti¶u khÊng trÏn C¡c k¸t qu£ nghi¶n c˘u n y ¢ ˜Òc t¡c gi£ v GS.TSKH Phan QuËc Kh¡nh, tr˜Ìng ¤i hÂc QuËc t¸, ¤i hÂc QuËc gia Tp HCM cÊng bË tr¶n mÎt t¤p ch½ khoa hÂc quËc t¸ trong h» thËng ISI.

• Ch˜Ïng m ¦u: L˛ do th¸c hi»n · t i, mˆc ti¶u v k¸t qu£ nghi¶n c˘u cıa · t i

khÊng trÏn v c¡c kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai.

sË t½nh ch§t cıa chÛng.

• Ch˜Ïng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ c§p hai v c¡c t½nh ch§t cıa chÛng

• Ch˜Ïng 4: C¡c i·u ki»n c¦n tËi ˜u c§p hai vÓi hi»n t˜Òng envelope-like.

• Ch˜Ïng 5: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai.

Ch˜Ïng 1: MÎt sË cÊng cˆ trong gi£i t½ch Lipschitz ‡a ph˜Ïng khÊng trÏn v c¡c kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai

N v R l¦n l˜Òt l c¡c tªp hÒp c¡c sË t¸ nhi¶n v sË th¸c VÓi khÊng gian ‡nh chu©n

X , X∗l Ëi ng¨u topo cıa of X;

h

.,

i l t½ch Ëi ng¨u. .k l chu©n trong khÊng gian

‡nh chu©n b§t k˝ v d(y, S) l kho£ng c¡ch t¯ iºm y ¸n tªp S B n (x, r) = {y ∈ Rk n :

kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn : kyk = 1}; Sn ∗ = {y ∈ (Rn)∗ : kyk = 1}; L(X, Y ) l k˛ hi»u khÊng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh b‡ ch°n t¯ X v o Y , trong ‚ X v Y l c¡c khÊng gian ‡nh chu©n VÓi n‚n C ⊂ Rn, k˛ hi»u C∗ = {c∗ ∈ (Rn)∗ : hc∗, ci ≥ 0,

∀c ∈ C} l n‚n Ëi c¸c cıa C VÓi A ⊂ Rn, c¡c k˛ hi»u riA, intA, clA, bdA, convA, coneA v LinA l¦n l˜Òt l ph¦n trong t˜Ïng Ëi, ph¦n trong, bao ‚ng, bi¶n, bao lÁi, bao n‚n cıa A v khÊng gian tuy¸n t½nh sinh b i A VÓi t > 0 v r ∈ N, o(tr)

l k˛ hi»u cıa mÎt iºm phˆ thuÎc v o t sao cho o(tr)/tr → 0 khi t → 0+.

ChÛng ta h¢y nhÓ l¤i mÎt sË ‡nh ngh¾a sau ¥y. nh x¤ f : Rn → X, trong ‚ X

l khÊng gian gian ‡nh chu©n, ˜Òc gÂi l kh£ vi ch°t t¤i x ∈ Rnn¸u n‚ c‚¤o h m

Fr²chet f 0

(x) t¤i x v

limy→x,t→0+ suph∈Sn k t (f(y + th) − f(y)) − f (x)hk = 0.

cıa f t¤i x ˜Òc ‡nh ngh¾a b i

∂f(x) = conv{limf0(xk) : xk ∈ Ω, xk → x},

trong ‚ f kh£ vi trong Ω, vÓi Ω l tªp trÚ mªt b i ‡nh l˛ Rademacher MÎt v i t½nh ch§t cÏ b£n cıa Jacobian suy rÎng Clarke ˜Òc li»t k¶ trong m»nh · sau ¥y

M»nh · 1.1 ([7]).Chof :Rn→ Rm l h m Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i x Khi ‚,

(i) ∂f(x) l tªp comp«c lÁi kh¡c rÈng trong L(Rn, Rm);

(ii) ∂f(x) l tªp mÎtiºm n¸u v ch¿ n¸u f l kh£ vi ch°t t¤i x: ∂f(x) = {f0(x)};

(iii) ∂f(x) = {limk→∞vk :vk ∈ ∂f(xk), xk → x}, n‚i c¡ch kh¡c (v¼ ∂f(x) l comp«c),

¡nh x¤ ∂f(.) l n˙a li¶n tˆc tr¶n t¤i x;

(iv) (‡nh l˛ gi¡ tr‡ trung b¼nh Lebourg) n¸u fl Lipschitz ‡a ph˜Ïng

trong mÎt l¥n cªn lÁi U cıa x v a, b ∈U, th¼

f(b) − f(a) ∈ conv(∂f([a, b])(b − a))

v khi m = 1, tÁn t¤i mÎt iºm c ∈ (a, b) sao cho

M ⊂ Rn, x0 ∈ Rnv u ∈ Rn Khi ‚,

(i) IT 2(M, x0, u) ⊂ A2(M, x0, u) ⊂ T 2(M, x0, u) ⊂ clcone[cone(M − x0) − u];

(ii) n¸u u6 T (M, x0), th¼ T2(M, x0, u) =∅.

N¸u, th¶m n˙a, M l lÁi, intM 6=∅ vu ∈ T (M, x 0 ) , th¼ (xem[15, 24, 28])

(iii) intcone(M − x0) =IT (intM, x0);

Ch˜Ïng 2: Kh¡i ni»m h m l -Ín ‡nh vÊ h˜Óng cÙng nh˜ vectÏ v mÎt sË t½nh ch§t cıa chÛng

H m h : Rn → Rm ˜Òc gÂi l Ín ‡nh t¤i x ∈ Rn n¸u tÁn t¤i mÎt l¥n cªn U

cıa x v ϑ > 0 sao cho, vÓi mÂi y ∈ U,

(t˜Ïng ˘ng, ϕu(x, u) = lim supt→0 + t (ϕ(x + tu) − ϕ(x))).

(ii) H m ϕ ˜Òc gÂi l l-Ín ‡nh (t˜Ïng ˘ng, u-Ín ‡nh) t¤i x n¸u tÁn t¤i mÎt l¥n

cªn U cıa x v ϑ > 0 sao cho, vÓi mÂi y ∈ U v u ∈ S n,

|ϕl(y, u)−ϕl(x, u)| ≤ ϑky −xk

(t˜Ïng ˘ng, |ϕu(y, u) − ϕu(x, u)| ≤ ϑky− xk).

MÎt sË t½nh ch§t cıa h m l-Ín ‡nh ϕ : Rn→ R ˜Òc t‚m tt trong m»nh · sau

M»nh · 2.2

(i) ([2, 4]) H m l-Ín ‡nh l Lipschitz ‡a ph˜Ïng v kh£ vi ch°t

(ii) ([12]) ϕ l l-Ín‡nh t¤i x n¸u v ch¿ n¸uϕ l kh£ vi (Fr²chet) t¤i x v tÁn t¤i

mÎt l¥n cªn U cıa x sao cho ϕ l Lipschitz tr¶n U, v tÁn t¤i ϑ > 0 sao cho

kϕ0 (y) − ϕ0 (x)k ≤ ϑky − xk h¦u h¸t trong U (theo ngh¾aÎo Lebesgue)

(iii) ([12]) C¡c kh¡i ni»ml-Ín ‡nh v u-Ín‡nh l t˜Ïng ˜Ïng; hÏn n˙a l¥n cªn U

v h¬ng sË ϑ ˜Òc ¡p dˆng giËng nhau trong c¡c b§t ¯ng th˘c (2.1) ho°c (2.2).

B i M»nh · 2.2 (iii), trong ph¦n sau ta ch¿ s˚ dˆng ¤o h m theo h˜Óng d˜Ói v

l-Ín ‡nh, c·n ¤o h m theo h˜Óng tr¶n v u-Ín ‡nh ˜Òc nhc ¸n khi c¦n thi¸t.

T½nh ch§t gi¡ tr‡ trung b¼nh sau ¥y cho c¡c h m vectÏ li¶n tˆc s³ c¦n ¸n

M»nh · 2.4 ([3]). Cho h m Φ : Rn → Rm li¶n tˆc tr¶n mÎt tªp m U ⊂ Rn ch˘a o¤n

[a,

7

Φlξ ∗ (γ1, b − a) ≤ hξ∗, Φ(b) − Φ(a)i ≤ Φlξ ∗ (γ2, b − a).

‡nh ngh¾a 2.5 Cho h mΦ : Rn →Rm v = C∗ ∩ S m ∗

(i) ([3]) Gi£ s˚ C ⊂ Rm l n‚n lÁi,‚ng v nhÂn vÓi intC 6= ∅ Φ ˜Òc gÂi l l-Ín

‡nh t¤i x theo ngh¾a cıa Bednar½k-Pastor n¸u tÁn t¤i mÎt l¥n cªn U cıa x v

ϑ > 0 sao cho, vÓi mÂi y∈ U, u∈ Sn, v ξ∗ ∈ ,

|Φlξ ∗ (y, u) − Φlξ ∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk.

(ii) ([12]) Φ˜Òc gÂi l l-Ín ‡nh t¤ix theo ngh¾a cıa Ginchev n¸u, vÓi mÂi ξ∗ ∈

(Rm)∗, h m vÊ h˜Óng Φξ ∗ (.) := hξ∗, Φ(.)i l l-Ín‡nh t¤i x

l Lipschitz tr¶n U, v , vÓi h¦u h¸t y∈ U,

kΦ0 (y) − Φ0 (x)k ≤ ϑky − xk.

(iii) ([3, 12]) N¸u h m Φ : Rn → Rm ll-Ín ‡nh t¤ix theo ngh¾a cıa

Bednar½k-Pastor ho°c Ginchev, th¼ Φ l Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i x v kh£ vi ch°t t¤i x

m vectÏ l t˜Ïng ˜Ïng nhau.

M»nh · 2.7 N¸u Φ : Rn → Rm l l-Ín‡nh t¤i x theo ngh¾a cıa Ginchev, th¼ b§t

¯ng th˘c trong ‡nh ngh¾a v· l-Ín ‡nh cıa Bednar½k-Pastor th‰a m¢n N¸u C

l nhÂn v intC 6=∅, th¼ hai ‡nh ngh¾a tr¶n l t˜Ïng ˜Ïng nhau

Ch˘ng minh T¯ M»nh· 2.6 (i), ta suy ra r¬ng

cıa Ginchev n¸u v ch¿ n¸u tÁn t¤i mÎt l¥n cªn U Φ l l-Ín ‡nh t¤i x theo ngh¾a

cıa x v ϑ > 0 sao cho, vÓi mÂi

y ∈ U, u ∈ Sn, v ξ∗ ∈ Sm∗,

|Φξl∗ (y, u) − Φξl∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk

V¼ th¸, b§t ¯ng th˘c n y th‰a m¢n cho ξ∗∈ ⊂ S m∗ nh˜ y¶u c¦u trong ‡nh ngh¾a cıa Bednar½k-Pastor.

l u 0

(x)ui VÓi mÂi

ngh¾a cıa Bednar½k-Pastor, ta th§y r¬ng

Φe i ∗ (x, u) = Φe i ∗ (x, u) = hei ∗, Φ

j=1 | i,j || ξ i,j ∗ − ξ i,j ∗ | ≥ − − k

trong ‚Pϑ 1 = mM ϑ HÏn n˙a, b i s¸ t˜Ïng ˜Ïng cıa c¡c kh¡i ni»m l-Ín ‡nh v u-Ín

Ginchev vÓi mÂi i = 1, , m Do ‚, h m vectÏ Φ l l-Ín‡nh t¤i x

theo ngh¾a cıa Ginchev.

9

Ch˜Ïng 3: Kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ c§p hai v

c¡c t½nh ch§t cıa chÛng

Ta h¢y nhÓ l¤i giÓi h¤n tr¶n theo ngh¾a cıa Painlev²-Kuratowski cıa ¡nh x¤ a tr‡

Φ : Rn Rm

Sau ¥y, ta quan t¥m ¸n ba lo¤i ¤o h m a tr‡ cıa h m vectÏ Ïn tr‡.

‡nh ngh¾a 3.1 Cho h mh: Rn→ Rm l kh£ vi Fr²chet t¤i x0∈ Rnv u, w∈ Rn.

(i) ([19]) ¤o h m theo h˜Óng c§p hai Hadamard cıa ht¤i x 0theo h˜Óng ul

+

2

L˜u ˛ r¬ng D2ph(x0, u, w) ch½nh l ¤o h m contingent cıa ¡nh x¤ a tr‡ x

7→ h{(x)} t¤i (x0, h(x0) theo h˜Óng (u, w) R„ r ng r¬ng

d2h(x0, u) ⊂ D2h(x0, u), D2ph(x0, u, w) ⊂ D2h(x0, u)

º c‚ mÎt sË mËi li¶n h» gi˙a c¡c ¤o h m tr¶n ta c¦n bÍ · sau ¥y.

BÍ · 3.2 Cho h mh: Rn→ Rml l-Ín‡nh t¤i x0∈ Rn Khi‚, tÁn t¤i ϑ

> 0sao

a, b g¦n x0, tÁn t¤i γ ∈ (a, b) th‰a m¢n

kh(b) − h(a) − h0 (x0)(b − a)k ≤ ϑkb − akkγ − x0k.

Ch˘ng minh B i‡nh l˛ Hahn-Banach, tÁn t¤iξ∗ ∈ S m∗sao cho

kh(b) − h(a) − h0 (x0)(b − a)k = hξ∗, h(b) − h(a) − h0 (x0)(b − a)i.

M»nh · 3.3 N¸u h :Rn →Rm l l-Ín‡nh t¤i x0∈ RnvÓi h0(x0) = 0, th¼, vÓi mÂi

cho, vÓi mÂi

11

u ∈ Rn,

d 2 h(x 0 , u) = D 2 h(x 0 , u).

Ch˘ng minh Ch¿ c¦n kiºm tra bao h m th˘c sau l ı:

D2h(x0, u) ⊂ d2h(x0, u) vÓin

Cho y ∈D2h(x0 , u), ngh¾a l , tÁn t¤i tk → 0 +

ch˘ng minh D 2 h(x 0 , u, w) b‡ ch°n Cho y ∈ D 2 h(x 0 , u, w) Khi ‚, y k,˜Òc‡nh ngh¾a

12

b i (3.1) vÓi (tk, wk) → (0+, w), hÎi tˆ ¸n y B¬ng lªp luªn nh˜ trong ph¦n (i),

ta c‚ (3.3) v , chuyºn n‚ qua giÓi h¤n, ta ˜Òc ky − h0(x0)wk ≤ 2ϑkuk2, t˘c l ,

M»nh · 3.4 (i), (ii) c£i thi»n M»nh · 2 of [13] Ph¦n (iii) cıa M»nh · 3.4 m rÎng

BÍ · 3 cıa [13] M»nh · sau ¥y c£i thi»n M»nh · 3 (ii) cıa [13].

M»nh · 3.5 N¸u h m h: Rn→ Rm l kh£ vi ch°t t¤i x0∈Rn, th¼, vÓi mÂi u, w ∈Rn,

£o l¤i, n¸u ta c‚ yˆ ∈ d 2 h(x 0 , u), th¼ t k → 0+ tÁn t¤i sao cho yˆ k → yˆ, trong ‚ yˆ k

˜Òc ‡nh ngh¾a ph¦n ¦u cıa ph²p ch˘ng minh VÓi

D2h(x0, u) = d2h(x0, u) = D2ph(x0, u, w) V½ dˆ sau ¥y cho th§y r¬ng i·u ki»n h0(x0) = 0 trong M»nh · 3.3 l thi¸t

M»nh · 3.3, 3.5 v H» qu£ 3.6.

V½ dˆ 3.1 (a) Cho h m h : R2 → Rx¡c ‡nh b ih(x1, x2) = 12 x21+ x2, x0 = (0, 0), u

13

h0(x0) 6= 0 C¡c ph²p t½nh tr¸c ti¸p cho th§y

d2h(x0, u) = {1} 6= D2h(x0, u) = R, D2ph(x0, u, w) = {1 + w2} = h0(x0)w + d2h(x0, u).

1

(b) Cho u = 1, x 0 = 0, w ∈ R, v h(x) = x2sin x n¸u x 6= 0, h(0) = 0 Khi ‚, h 0 (x 0 ) = 0, nh˜ng

h khÊng kh£ vi ch°t (v do‚, khÊng l-Ín‡nh) t¤i x 0 Tuy nhi¶n,

d2h(x0, u) = D2h(x0, u) = D2ph(x0, u, w) = [−2, 2].

14

Ch˜Ïng 4: C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai vÓi hi»n t˜Òng envelope-like

VÓi b i to¡n (P), ta k˛ hi»u G = g−1(−K) v H = h−1(0) Khi ‚, tªp ch§p nhªn

˜Òc l

M = G ∩ H = {x ∈ Rn : g(x) ∈ −K, h(x) = 0}

cªn U cıa x0 sao cho, vÓi mÂi x ∈ U ∩ M,

f(x) − f(x0) 6∈ −intC.

x0 ∈ M ˜Òc gÂi l nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng c§p hai cıa (P) n¸u tÁn t¤i

γ > 0 v mÎt l¥n cªn U cıa x0 sao cho, vÓi mÂi x∈ U ∩ M \ {x0},

(f(x) + C) ∩ Bm(f(x0), γkx − x0k2) = ∅.

L˜u ˛ r¬ng nghi»m chn chn l nghi»m Pareto v v¼ th¸ cÙng l nghi»m y¸u.

Do ‚, i·u ki»n c¦n cho nghi»m y¸u cÙng l i·u ki»n c¦n cho c¡c nghi»m c·n l¤i,

v i·u ki»n ı cho nghi»m ch°t cÙng l i·u ki»n ı cho c¡c nghi»m c·n l¤i.

6= 0 Tuy nhi¶n, (DMSR 0 ) (t˘c l , (DMSR u ) vÓi u = 0 ) th¼ t˜Ïng

˜Ïng vÓi (MSR) HÏn n˙a, khi S l lÁi ‚ng, v h l kh£ vi li¶n tˆc t¤i x 0 , i·u ki»n (MSR) l h» qu£ cıa i·u ki»n ch½nh quy Mangasarian-Fromovitz:

(MF) h0 (x0)Rn− cone(S − h(x0)) = Rp.

¦u ti¶n ta thi¸t lªp i·u ki»n c¦n c§p hai cho (P) trong c¡c khÊng gian gËc.

‡nh l˛ 4.2 Gi£ s˚ c¡c ph¦n trong cıaC v K l kh¡c rÈng v x

0 l nghi»m y¸u‡a

(i) Chof, g v h l kh£ vi Fr²chet t¤i x0 Khi ‚, (f, g, h)0 (x0)u 6∈ −int[C×K(g(x0))]×

{0}, mi¹n l i·u ki»n(DMSRu)cıa h Ëi vÓi S = {0} vÓi u 6= 0 th‰a

v ∈ B n (u, ρ) , ta c‚

t ∈ (0, ρ) v

(ii) Cho f, gv h l kh£ vi ch°t t¤i x0 N¸u (f, g, h)0(x0)u

∈ −[C ×clK(g(xn, 0)) \int(C × K(g(x0)))] × {0}, th¼ vÓi mÂi (y0, z0, w0) ∈ D2(f, g, h)(x0, u) v w ∈ R d˜Ói

i·u ki»n (DMSR u ) cıa h Ëi vÓi S = {0} ta c‚

(f, g, h)0 (x0)w + (y0, z0, w0) 6∈ −intcone[C + f0 (x0)u] × IT 2(−K, g(x0), g0 (x0)u) × {0}

(iii) Cho f l l-Ín ‡nh t¤i x0 (v intK khÊng c¦n kh¡c rÈng) Khi ‚, f0(x0)w 6∈

−intcone[C + f0 (x0)u] vÓi mÂi w ∈ T 00 (M, x0, u)

vÓiu ∈ R n kh¡c khÊng,

(f, g, h)0 (x0)u ∈ −int[C × K(g(x0))] × {0} Khi ‚,

B i gi£ thi¸t d˜Ói ch½nh quy metric cıa h, tÁn t¤i µ > 0, ρ > 0 sao cho, vÓi mÂi

t ∈ (0, ρ) v v ∈ Bn(u, ρ), d(x0 + tv, H) ≤ µkh(x0 + tv)k Do ‚, vÓi k lÓn, tÁn t¤i yk

∈ H sao cho kx0 + tku−ykk ≤ µkh(x0 + tku)k+ o(tk), v v¼ th¸ (x0 + tku−yk)/tk → 0.

suy ra r¬ng

(f(x0 + tkuk) − f(x0))/tk → f0 (x0)u ∈ −intC,

v do ‚, vÓi k lÓn, f(x0+ tkuk)− f(x0) ∈−intC, v mÎt c¡ch t˜Ïng t¸

(g(x0 + tkuk) − g(x0))/tk → g0 (x0)u ∈ −intK(g(x0)),

v g(x0 + tkuk) ∈ −K vÓi k lÓn ¥y l i·u m¥u thu¨n.

(ii) Lªp luªn ph£n ch˘ng, gi£ s˚ u ∈ RnvÓi

(f, g, h)0 (x0)u ∈ −[C×clK(g(x0))\ int(C × K(g(x0)))] × {0},

(y0, z0, w0) ∈ D2(f, g, h)(x0, u) v w ∈ Rn, ta c‚

(f, g, h)0 (x0)w + (y0, z0, w0) ∈ −intcone[C + f0 (x0)u] × IT 2(−K, g(x0), g0 (x0)u) × {0}.

TÁn t¤i tk → 0+ v uk → u sao cho

f(x0 + tkuk + 12tk2w) − f(x0) − tkf 0 (x0)u f(x0 + tkuk) − f(x0) − tkf0 (x0)u

∈

+ conv(∂f([a, b]))w → y0+f0 (x0)w (4.1)

16

B¬ng lªp luªn t˜Ïng t¸, ta ¤t ˜Òc

g(x0 + tkuk + 12tk2w) − g(x0) − tkg0 (x0)u 0 ,

→ z0 + g(x0)w

tk2/2h(x0 + tkuk + 12 tk2w) − h(x0) − tkh0 (x0)u 0