TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong chuyển động cơ của một vật, quãng đường đi được giữa hai vị trí được hiểu là độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.. Do đó, trong dao động cơ khi: o vật chuyển động
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
4
BÀI TOÁN QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong chuyển động cơ của một vật, quãng đường đi được giữa hai vị trí được hiểu là độ dài quỹ đạo chuyển động của vật Do đó, trong dao động cơ khi:
o vật chuyển động giữa hai vị trí có li độ x1 và x2 theo một chiều thì quãng đường đi được của vật tương ứng S= x1−x2
o vật chuyển động giữa hai vị trí có li độ x1 và x2 mà có đổi chiều chuyển động thì quãng đường đi được của vật S x1−x2 , chúng ta cần phân tích kĩ hơn để xác định đúng quãng đường
B CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian cho trước
Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x= Acos( t+ 0), A và là các hằng số dương Xác định quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian = −t t2 t1
Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết dạng toán trên theo các bước sau
Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của vật và biểu diễn tương ứng trên đường tròn bằng điểm M
o nếu biết → 0 0 =xOM
chiều dương của góc là cùng chiều kim đồng hồ
o nếu biết x0 =x t=0 và v0 thì
+ v thì M thuộc nửa trên của đường tròn 0
+ v thì M thuộc nửa dưới của đường tròn 0
Bước 2: Xác định vị trí x D và biểu diễn tương ứng trên đường tròn bằng điểm N
Bước 3: Xác định quãng đường vật đi được dựa vào hình vẽ
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình
4 cos 2
3
x t
cm, t được tính bằng giây Kể từ thời điểm t = , đến thời điểm 0
2 3
t = s quãng đường mà chất điểm đi được là
A 2 cm B 14 cm C 6 cm D 10 cm
0
x
0
O
M
x A
+
A
−
0
v
0
v
0
x
0
O
M
x A
+
A
−
D
x N
0
x
O
M
x A
+
A
−
D
x N
S
HDedu - Page 1
Trang 2 Hướng dẫn: Chọn D
Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn
o tại t = , 0 x =0 2cm và v , tương ứng với điểm M trên đường tròn 0
3
t = s, x = − cm, chất điểm đi qua vị trí biên âm 4
→ Quãng đường chuyển động của chất điểm S = + =2 8 10cm
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình
4 cos 2
2
x t
cm, t được tính bằng giây Kể từ thời điểm t = , đến thời điểm 0
1 2
t = s quãng đường mà vật đi được là
A 2 cm B 8 cm C 6 cm D 10 cm
Hướng dẫn: Chọn B
Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn
o t = , 0 x =0 0cm và v , tương ứng với điểm M trên đường tròn 0
2
t = s, x = cm, 0 v , tương ứng với điểm N trên đường tròn 0
→ Quãng đường chuyển động của chất điểm S = + = cm 4 4 8
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=10 cos( t+ 0)cm, t được tính bằng giây Kể
từ thời điểm t = , quãng đường mà vật đi được trong 0 = s là t 1
A 5 cm B 20 cm C 7,5 cm D 10 cm
Hướng dẫn: Chọn B
M
2 + 4
−
x
4 +
O
M
N
4
−
x
4 +
O
HDedu - Page 2
Trang 3Biễu diễn dao động của vật trên đường tròn
o t = , 0 x=x0 được biễu diễn tương ứng bằng điểm M trên đường tròn
o
2
T t
= = =
→ được biễu diễn tương ứng bằng điểm M trên đường tròn
→ Từ hình vẽ, ta có quãng đường vật đi được tương ứng là S =2A=2 10( )=20cm
Chú ý: Với khoảng thời gian
2
T t
= , không phụ thuộc vào trạng thái dao động ban đầu của vật, quãng đường vật đi được luôn là
2
2
T
Dạng 2: Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được
Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x= Acos( t+ 0), A và là các hằng số dương Xác định quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian
2 1
2
T
= −
Phương pháp giải:
Với cùng một khoảng thời gian cho trước
2
T t
o vật đi được quãng đường lớn nhất khi nó di chuyển giữa hai vị trí x1 và x2 đối xứng nhau qua vị trí
cân bằng O như hình vẽ (x1= −x2)
Quãng đường lớn nhất mà vật đi được:
max
t
o Vật đi được quãng đường nhỏ nhất khi nó di chuyển từ vị trí x1 đến biên, đổi chiều chuyển động và
đi qua vị trí x2 =x1 như hình vẽ
x A
+
A
−
1
x
2
x
M
M
x
max
S
1
A
+
A
−
HDedu - Page 3
Trang 4Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được:
t
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T =2s và biên độ A = cm Quãng đường lớn nhất mà 2 vật này đi được trong khoảng thời gian 1
6
t
= s là
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
o
( )
2
T
= = = rad/s
= = =
rad → S max 2 sinA 2 2.2sin 6.2 2
Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với chu kì T = s và biên độ 6 A = cm Quãng 4 đường lớn nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian = s là t 7
Hướng dẫn: Chọn D
Ta biết rằng quãng đường mà vật đi được trong mỗi chu nửa chu kì luôn là 2 A
Ta có:
o 7 2.3 1= + → quãng đường mà vật này đi được trong 7 s là lớn nhất khi quãng đường trong 1 s cuối
là lớn nhất
o 2 2.4( ) 2 4 sin( ) 20
6
max
cm
Ví dụ 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình 10 cos 2
3
x= t−
tính bằng s Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong 7
6 s là
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o
( )
1 2
T
= + = + s
o
6
min min 4 T 4.10 5 45
S = A S+ = + = cm
A
−
x A
+
min
S
1
x
2
x
HDedu - Page 4
Trang 5 Ví dụ 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A =10 cm và chu kì T = s 1 Thời gian nhỏ nhất để chất điểm này đi được quãng đường S = cm là 2
A 0,032 s B 0,572 s C 0,921 s D 0,043 s
Hướng dẫn: Chọn A
Thời gian là nhỏ nhất ứng với trường hợp quãng đường đi được là lớn nhất
Ta có:
2
max
t
S A
→
0 sin 180 2
max
→ 0arcsin 10arcsin 2 0, 032
max S T
t
A
Dạng 3: Tốc độ trung bình của vật dao động điều hòa
Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x= Acos( t+ 0) Xác định tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian = −t t2 t1
Phương pháp giải:
Tốc độ trung bình của vật được xác định bằng biểu thức:
tb
S v t
=
Trong đó S là quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t được xác định ở Dạng 1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (Quốc gia – 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian
ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x= đến vị trí A
2
A
x = − , chất điểm có tốc độ trung bình là
A 6A
9 2
A
3 2
A
4A
T
Hướng dẫn: Chọn B
Biễu diễn dao động của chất điểm trên đường tròn
o x= → điểm A M1 trên đường tròn
o
2
A
x = − → điểm M2 và M 2 trên đường tròn
min
= thì = min =M OM1 2 =1200→
0
120
T
o S=1,5A
2 3
tb
A
v
T
x
1
M A
−
1
2A
−
2
3
2
M
2
M
S
HDedu - Page 5
Trang 6 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa khi qua vị trí cân bằng thì có tốc độ v max Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì là
A 2v max
max
v
max
v
4
max
v
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
( )
2
max tb
v
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x=10 cos( t+ 0)cm, t được tính bằng
giây Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong khoảng thời gian =t 0,5s là
A 28,3 cm/s B 32,4 cm/s C 20,0 cm/s D 17,9 cm/s
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
o v tb =( )v tb max → S =S max
o
( ) ( )
.0, 5
2 sin 2 10 sin
28, 3
0, 5
max tbmax
t A
S v
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T Quãng đường mà vật này đi được trong
khoảng thời gian
2
T t
= là
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o
2
2
T
Câu 2: Tốc độ trung bình của vật dao động điều hòa trong một chu kì là v tb Khi vật này đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm thì vận tốc của nó là
A 2v tb
2v tb
2
tb
v
2
tb
v
Hướng dẫn: Chọn D
Ta có:
o
2
tb max
v
v= −v = −
Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Quãng đường mà vật đi được giữa hai lần liên tiếp vật
đổi chiều chuyển động là
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o vật đổi chiều chuyển động tại biên → quãng đường mà vật đi được giữa hai biên là 2A
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều dương, để đến được vị trí biên thì vật đi thêm quãng đường ngắn nhất là
Hướng dẫn: Chọn A
Để vật đến được biên gần nhất thì vật đi thêm quãng đường S= A
HDedu - Page 6
Trang 7Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình 10 cos
2
x= t+
đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1
3
t
= s là
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
T t
60
=
o S= =A 10 cm
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Quãng đường mà vật đi được kể từ vị trí gia tốc cực đại
đến vị trí gia tốc đổi chiều gần nhất là
A
2
A
Hướng dẫn: Chọn D
Ta có:
o gia tốc của vật cực đại tại vị trí biên âm
o gia tốc đổi chiều tại vị trí cân bằng → quãng đường đi được giữa hai vị trí này là S= A
Câu 7: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo có chiều dài L với chu kì T Tốc độ trung bình của vật
trong một chu kì được xác định bởi biểu thức
A L
2L
L
L
T
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o v tb S 2L
Câu 8: Vật M chuyển động đều với tốc độ góc trên quỹ đạo tròn, bán kính R Gọi M là hình chiếu của M lên một đường kính của quỹ đạo Quãng đường mà M đi được trong khoảng thời gian 2
= là
Hướng dẫn: Chọn D
Quãng đường mà M đi được là S=4R
Câu 9: (BXD – 2019) Vật M chuyển động đều với tốc độ góc trên quỹ đạo tròn, bán kính R Gọi M
là hình chiếu của M lên một đường kính của quỹ đạo Quãng đường mà M đi được trong khoảng thời gian
2
= là
Hướng dẫn: Chọn D
Quãng đường mà M đi được là S=4R
Câu 10: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T Biết trong khoảng thời gian t =nT vật
đi được quãng đường nhỏ nhất là A Giá trị n bằng
1
1
6
Hướng dẫn: Chọn C
Thời gian để vật đi được quãng đường ngắn nhất bằng A là
3
T t
=
II Bài tập vận dụng
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x=5cos( )t cm, t được tính bằng giây Kết
luận nào sau đây là đúng?
A Quãng đường chất điểm đi được trong 0,5 s luôn là 5 cm
HDedu - Page 7
Trang 8B Quãng đường lớn nhất mà chất điểm đi được trong 0,5 s là 5 cm
C Tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì là 5 cm/s
D Tốc độ cực đại của chất điểm là 5 cm/s
Hướng dẫn: Chọn C
Ta có:
o = rad/s và A = cm → 5 v max =A=5 cm/s
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc 10 cos 2
2
v= t+
cm/s, t được tính bằng
giây Kết luận nào sau đây là đúng?
A Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 1 s là 25 cm
B Kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t =0, 5s vật đi được quãng đường 10 cm
C Vật đổi chiều chuyển động lần đầu tiên sau 1 s kể từ thời điểm ban đầu
D Tốc độ cực đại của vật là 202cm/s
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o x=5 cos 2( t)cm; T =1s
2
T
t = = s → S=2A=2 5( )=10cm
Câu 3: (BXD – 2019) Quan sát dao động của một vật trên đoạn thẳng MN =20cm thì thấy khi đi qua M hoặc N thì vật đổi chiều chuyển động và khoảng thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí này là 0,1 s Tốc
độ trung bình của vật trong một chu kì là
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
10
MN
2
T t
= = s → T =0, 2s
( )
4 10 4
200
0, 2
tb
A v
T
Câu 4: (BXD – 2019) Quan sát dao động của một vật trên đoạn thẳng MN =20cm thì thấy khi đi qua M hoặc N thì vật đổi chiều chuyển động và khoảng thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí này là 1 s Tốc độ trung bình của vật khi vật di chuyển từ M đến trung điểm O của đoạn MN ngay sau đó là
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
10
MN
2
T t
= = s → T = s 2
o O là vị trí cân bằng của dao động và M là vị trí biên → ( )
( )
10
20
0, 25 0, 25 2
tb
A v
T
Câu 5: Một vật dao động với phương trình 4 cos 2
2
x= t−
cm; t tính bằng s Quãng đường mà vật
này đi được kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t =0, 75s là
Hướng dẫn: Chọn A
Biễu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn:
o t = vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương 0
o t =0, 75s vật đi đến biên âm
HDedu - Page 8
Trang 9→ Tổng quãng đường mà vật đi được sẽ là S =3A=3 4( )=12cm
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại v max =10 cm/s Tốc độ trung bình của vật trong nửa chu kì là
Hướng dẫn: Chọn C
Ta có:
20 0,5
max tb
v A v
T
Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x=20 cos( t+ 0)cm, t được tính
bằng giây Biết rằng sau khoảng thời gian 4
3
t
= s quãng đường mà vật đi được là 50 cm Giá trị của có 0 thể là
2
2
4
+
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
o
( )
2
3 3
t
= + = s, quãng đường mà vật đi được trong 1 s luôn là 2A =40cm → quãng đường mà vật
đi được trong 1
T t
2
A S = = cm → đi hết khoảng thời gian 1 s vật phải đến vị trí biên
→ ban đầu vật phải ở biên → 0=0 hoặc 0 =
Câu 8: (BXD – 2019) Quan sát dao động điều hòa của một chất điểm thì thấy rằng quãng đường mà chất
điểm này đi được giữa 3 lần liên tiếp gia tốc đổi chiều là 20 cm Nếu ban đầu chất điểm ở vị trí biên dương, quãng đường mà chất điểm này đi được khi nó đi qua vị trí cân bằng lần đầu là
Hướng dẫn: Chọn D
Ta có:
o gia tốc đổi chiều khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng → quãng đường mà chất điểm này đi được giữa 3 lần liên tiếp đi qua vị trí cân bằng là S =4A=20cm → A = cm 5
→ Quãng đường mà chất điểm đi từ biên dương đến vị trí cân bằng là A = cm 5
Câu 9: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A = cm và chu kì 4 T = s Khoảng 2 thời gian nhỏ nhất để chất điểm này đi được quãng S = cm là 3
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o = t tmin → S =S max
o min 0 arcsin 20 arcsin 3 0, 245
max S T
t
A
Câu 10: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với chu kì T = , biết quãng đường mà vật đi được 1 trong một chu kì là 16 cm Khoảng thời gian lớn nhất để vật đi được quãng đường S = cm là 1
Hướng dẫn: Chọn D
Ta có:
o S T =4A=16 cm → A = cm 4
o = t t max → S=Smin
max
S T
t
A
HDedu - Page 9
Trang 10Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x=4 cos( )t cm, t được tính bằng
giây Quãng đường lớn nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian 13
3
t
= s là
Hướng dẫn: Chọn C
Ta có:
o
( )
2
T
2 6
T T
max
T
S=S + S = A+ A =
Câu 12: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian
4
T t
= tỉ
số giữa quãng đường lớn nhất và quãng đường nhỏ nhất mà chất điểm có thể đi được là
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o
min
2
2
2
max
→ min
2
2, 41 2
2 1 2
max
S
−
Câu 13: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian
6
T t
= tỉ
số giữa quãng đường lớn nhất và quãng đường nhỏ nhất mà chất điểm có thể đi được là
Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
o
min
3
2 1
2
max
=
→ min
1
3, 73 3
2 1 2
max
S
−
Câu 14: Một vật dao động đều hòa trên quỹ đạo dài 12 cm Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng
đường 6 cm là 0,2 s Thời gian dài nhất để vật đi được quãng đường 6 cm là
Hướng dẫn: Chọn A
Ta có:
6
L
o Smin = = cm → A 6 0, 2
6
T t
= = s → T =1, 2s
max
S T
A
Câu 15: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = s Biết rằng quãng đường 1
mà vật này đi được tương ứng khi pha dao động của vật thay đổi từ 0 đến 2
3
là 15 cm Quãng đường mà
vật đi được trong khoảng thời gian 1
3
t
= s ngay sau đó là
HDedu - Page 10
