TÓM TẮT LÝ THUYẾT Sử dụng sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta biểu diễn dao động của một vật tại các thời điểm t và 1 t lần lượt tương ứng với các vị trí 2 M
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
3
VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TOÁN THỜI GIAN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Sử dụng sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta biểu diễn dao động của một vật tại các thời điểm t và 1 t lần lượt tương ứng với các vị trí 2 M và 1 M trên đường 2
tròn Khi đó thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí x và 1 x được xác định bằng 2
biểu thức:
0
0
B CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định thời gian để vật đi qua một li độ cho trước từ thời điểm ban đầu
Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x= Acos( t+ 0), A và là các hằng số dương Kể từ thời điểm ban đầu t =0 0 Xác định thời gian để vật đi qua vị trí có li độ x kể từ D
thời điểm ban đầu
Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết dạng toán trên theo các bước sau Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của vật và biểu diễn tương
ứng trên đường tròn bằng điểm M
o nếu biết → 0 0 =xOM
chiều dương của góc là cùng chiều kim đồng hồ
o nếu biết x0 =x t=0 và v0 thì
+ v thì 0 M thuộc nửa trên của đường tròn
+ v thì 0 M thuộc nửa dưới của đường tròn
Bước 2: Xác định vị trí x và biểu diễn tương ứng trên D
đường tròn bằng điểm N
Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí x D
0
0
Với là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x và 0
D
x ; là tần số góc của dao động điều hòa
0
x
0
O
M
x A
+
A
−
0
v
0
v
0
x
0
O
M
x A
+
A
−
D
x N
0
x
O
M
x A
+
A
−
D
x N
x A
+
A
1
M
2
M
( ) +
Trang 2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa qaunh vị trí cân bằng O trên trục Ox với
phương trình 4 cos 2
3
x= t−
cm, t được tính bằng giây Kể từ thời điểm t = , thời điểm vật đi qua vị trí 0 cân bằng lần đầu tiên là
A 0,42 s B 0,14 s C 0,67 s D 0,25 s
Hướng dẫn: Chọn A
Biểu diễn dao động của chất điểm tương ứng trên đường tròn
o t = thì 0 0
3
= − → điểm M thuộc nửa dưới của đường tròn
o x = → điểm N trên đường tròn cb 0
150
1
Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình 4 cos 2
3
x= t
( x tính
bằng cm; t tính bằng s) Kể từ t = , chất điểm đi qua vị trí có li độ 0 x = − cm lần thứ 2011 tại thời điểm 2
A 3015 s B 6030 s C 3016 s D 6031 s
Hướng dẫn: Chọn C
Ta có:
2 3
s
Biễu diễn dao động của vật trên đường tròn:
o t = , ta có 0 0 0 = → điểm 0 M trùng với biên dương
o x = − cm → 2 N1 (chuyển động theo chiều âm) và N2 (chuyển động theo chiều dương) trên đường tròn
x
2 + 4
O
M
N
x
2
− 4
O
2
N
1
N
Trang 3o nhận thấy trong mỗi chu kì, chất điểm đi qua vị trí x = − cm hai lần → ta tách 2011 2.1005 12 = + ; chất điểm mất 1005 chu kì để đi qua vị trí x = − cm 2010 lần, ta chỉ cần tính thêm thời gian để chất 2 điểm này đi qua vị trí x = − cm lần đầu tiên 2
120
Dạng 2: Thời gian để vật đi giữa hai vị trí có li độ cho trước
Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x= Acos( t+ 0), A và là các hằng số dương Tại thời điểm t vật đi qua vị trí có li độ 1 x1, đến thời điểm t2 = + vật đi qua vị trí có t1 t
li độ x Xác định khoảng thời gian t2
Phương pháp giải:
Một cách tương tự, ta cũng có thể giải quyết bài toán trên theo các bước sau:
o Bước 1: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x 1
o Bước 2: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x 2
o Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí hai vị trí x và 1 x 2
0
0
Với là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x và 1 x ; 2 là tần số góc của dao động điều hòa
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = s, khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ 2
1
2
A
2
A
x = + theo chiều dương là
Hướng dẫn: Chọn C
x A
−
M
2
x
A
+
1
x
N
Trang 4Biểu diễn dao động của trên đường tròn
o vật chuyển động theo chiều dương → vị trí có li độ x , 1 x tương ứng với nửa dưới của đường tròn 2
sin x sin x
2 0, 5
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = s, khoảng thời gian ngắn để vật đi từ vị trí có li độ 6
1
2
A
x = đến vị trí có li độ 2 3
2
A
x = + là
Hướng dẫn: Chọn C
Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn
o = t tmin→ x , 1 x tương ứng với nửa dưới của đường tròn 2
30
6 0, 5
360 360
t T
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x= Acos( )t Kể từ thời điểm ban đầu t =0, thời gian để chất điểm đi qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu là
x A
−
M
1
2A
−
A
+
3
2 A
+
N
x A
−
M
1
2A
2 A
+
N
Trang 5A 2
2
3
=
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T Thời gian ngắn nhất để vật đi giữa hai vị trí biên là
2
T
3
T
2
T
Câu 3: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Cứ sau mỗi khoảng thời gian liên tiếp bằng
nhau
4
T
t
= vật lại đi qua vị trí có li độ
A x= A B
2
A
2
2
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ
1
2
A
x = + đến vị trí có li độ 2
2
A
2
T
3
T
6
T
Câu 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận tốc cực đại đến
vị trí vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai là
A 3
4
T
2
T
3
T
6
T
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận
tốc cực đại đến vị trí gia tốc cực đại lần đầu tiên là
A 3
4
T
2
T
3
T
6
T
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa
hai vị trí có li độ 3
2
A 3
4
T
2
T
3
T
6
T
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Trong một chu kì, khoảng thời gian lớn nhất
để vật đi giữa hai vị trí
2
A
A 3
4
T
2
T
3
T
6
T
Câu 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa vị
trí có li độ cực đại đến vị trí gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại lần đầu tiên là
A 3
4
T
2
T
3
T
3
T
Câu 10: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A Tại thời điểm t vật đi qua vị trí 1 1 3
2
theo chiều âm, đến thời điểm 2 1
4
T
t = + vật đi qua vị trí có li độ t
A 2
2
A
2
A
2
2
II Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ 8cos
6
cm, t được tính bằng giây
Trang 6A 0,5 s B 1
1
2
3 s
Câu 2: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ 10 cos
3
cm, t được tính bằng giây Vật đi qua vị trí biên lần đầu tiên tại thời điểm
A 0,5 s B 1
1
2
3 s
Câu 3: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ 10 cos
3
cm, t được tính bằng giây Vật đi qua vị trí có tốc độ cực tiểu lần thứ hai vào thời điểm
A 7
1
1
2
3 s
Câu 4: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc 4 cos
3
cm/s,
t được tính bằng giây Vật đổi chiều chuyển động lần đầu tiên vào thời điểm
A 7
13
1
2
3 s
Câu 5: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình cos 2
6
cm, t được tính bằng giây và A là hằng số dương Kể từ thời điểm ban đầu, vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai vào thời điểm
A 7
5
1
3
4 s
Câu 6: Một vật dao động điều hòa có chu kì T Nếu chọn mốc thời gian t =0 lúc vật qua vị trí 0
2
A
x = theo chiều dương thì trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật có giá trị cực đại ở thời điểm
A 11
12
T
12
T
4
T
8
T
Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình 10 cos 2
3
bằng giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc cực đại lần đầu tiên vào thời điểm
A 7
2
1
3
4 s
Câu 8: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc 10 cos 2
3
cm, t được tính bằng giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x =2,5cm theo chiều dương lần đầu tiên vào thời điểm
Câu 9: Một vật dao động điều hòa theo phương trình 10 cos 10 2
3
cm Thời điểm đầu tiên (sau thời điểm t =0) vật lặp lại vị trí ban đầu là
A 0,5 s B 2
17
1
15 s
Câu 10: Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
1
2
2
A
2
A
Trang 7A 7
24
T
t
12
T t
3
T t
12
T t
=
Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng với biên độ A Một điểm M
nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật Tại thời điểm t thì vật xa M nhất,
sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là t vật gần M nhất Tốc độ cực đại của vật dao động là
A. A
t
2 A
t
A t
A t
Câu 12: Một vật dao động điều hòa, có phương trình li độ 8cos 2
3
cm ( t tính bằng s) Kể từ thời điểm t =0, thời điểm vật qua vị trí có li độ x = −4 3 cm theo chiều âm lần thứ 2019 là
A 2016,5 s B 2018,6 s C 1008,75 s D 1008,25 s
Câu 13: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T =1s, biên độ A =4cm, pha ban đầu là 5
6
Tính từ lúc 0
t = , vật có tọa độ x = −2 cm lần thứ 2019 vào thời điểm
A 1502,275 s B 1503,125 s C 1503,375 s D 1009,25 s
Câu 14: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa theo phương trình 4 cos
3
cm ( t tính bằng s)
Kể từ t =0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2cm lần thứ 2019 tại thời điểm
A 3016,5 s B 6030,5 s C 2018,33 s D 6031,5 s
Câu 15: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình 10 cos 5
3
(x tính bằng cm và t tính bằng giây) Trong 4,2 giây đầu tiên từ thời điểm t =0, số lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −5cm là
A 20 lần B 10 lần C 21 lần D 11 lần
Câu 16: Một vật dao động điều hòa với tần số góc và biên độ A Trong một chu kì thời gian để li độ của
vật nhỏ có độ lớn không nhỏ hơn 2
2 A là
A
2
T
3
T
4
T
6
T
Câu 17: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x=2 cos(t−)cm, t được tính bằng
giây Lấy 2 Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc 10 a =10cm/s2 lần thứ 2019 vào thời điểm
A 6075
6055
675
605
3 s
Câu 18: Một vật dao động điều hòa với tần số góc và biên độ A Trong một chu kì thời gian để vận tốc
của vật không nhỏ hơn
2
A
là
A
2
T
3
T
4
T
3
T
Câu 19: Một vật dao động điều hòa với tần số góc và biên độ A Trong một chu kì thời gian để gia tốc
của vật nhỏ có độ lớn không nhỏ hơn 3 2
2 A là
A
2
T
3
T
4
T
6
T
Câu 20: Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng Trên đoạn thẳng đó có năm điểm theo
đúng thứ tự M , N, O , P và Q với O là vị trí cân bằng Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M
, N, O , P và (tốc độ tại M và Q bằng 0) Chu kì bằng
Trang 8Câu 21: (BXD – 2019) Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng Trên đoạn thẳng đó có
ba điểm theo đúng thứ tự M , O và N với O là vị trí cân bằng và M , N là vị trí mà chất điểm đổi chiều
chuyển động Ban đầu chất điểm ở vị trí M , sau khoảng thời gian t nhỏ nhất vật đi qua trung điểm của đoạn OM Sau khoảng thời gian bao lâu nữa thì vật đi qua trung điểm đoạn ONlần đầu tiên
2
t
3
t
Câu 22: Một chất điểm dao động điều hoà có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là t =1 2, 2s và
2 2,9
t = s Tính từ thời điểm ban đầu (t = s) đến thời điểm 0 0 t chất điểm đã đi qua vị trí cân bằng 2
A 6 lần B 5 lần C 4 lần D 3 lần
Câu 23: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình 4 cos 5
6
cm; (trong đó x tính bằng
cm còn t tính bằng giây) Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t =0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x =3
cm
Câu 24: Một vật dao động điều hòa với phương trình 4 cos 3
6
cm, t được tính bằng giây Kể từ 0
t = , lần thứ 2020 vật cách vị trí cân bằng một đoạn 2 cm là
A 12115
36
t = s B t =412, 6s C t =336,5s D 12115
316
Câu 25: Một vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm Biết rằng trong một chu kỳ dao động, khoảng thời gian
độ lớn vận tốc không vượt quá 10 cm/s là
3
T
Lấy 2 = Tần số góc dao động của vật là 10
A 2 2 rad/s B 4 rad/s C 2,5 rad/s D 2 rad/s
Câu 26: (Quốc gia – 2013) Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x= Acos 4( t) (t tính bằng
s) Tính từ t = ; khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại 0
là
A 0,083 s B 0,104 s C 0,167 s D 0,125 s
Câu 27: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình cos 2
3
giây Kể từ thời điểm ban đầu, thời điểm vật đi qua vị trí có vận tốc 2
3
x
lần thứ 2020 là
A 2019
2021
2019
15 s
Câu 28: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên đoạn thẳng AB Trên AB có 7 điểm theo thứ tự A, M , N ,
O , P, Q , B (O là vị trí cân bằng) Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm A, M , N , O , P, Q ,
B, Q , P Tốc độ của vật khi qua N là 10 cm/s Biên độ dao động bằng
A 2 cm B 2 3 cm C 4 3 cm D 6 cm
