Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phươngtrình vi phân có trễ với bậc nguyên.. Sau đó bài toán đảm bảo chi phí điềukhiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Mai Viết Thuận

TS Nguyễn Hữu Sáu

THÁI NGUYÊN - 2020

Mục lục

1.1 Giải tích phân thứ 61.1.1 Tích phân phân thứ 61.1.2 Đạo hàm phân thứ 71.2 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ 111.3 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phươngtrình vi phân có trễ với bậc nguyên 131.4 Một số bổ đề bổ trợ 18

2.1 Phát biểu bài toán 192.2 Một tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển chomột lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ 212.3 Một ví dụ số minh họa 27

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậcnguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O Chua và L Yang vào năm 1988[6, 7] Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoahọc trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử

lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [7, 18] Năm 2008,trong một nghiên cứu của mình, A Boroomand và M.B Menhaj [3] lần đầutiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputohoặc Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình viphân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phânphân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tínhchất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 18] Do đó hệ phương trìnhmạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàkhoa học Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phânthứ đã được công bố trong những năm gần đây

Từ quan điểm của kỹ thuật, người ta mong muốn thiết kế các hệ thốngđiều khiển không chỉ ổn định tiệm cận mà còn có thể đảm bảo mức hiệu suất

hệ thống phù hợp Năm 1972, hai nhà khoa học Chang và Peng [5] đưa ra vànghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ động lực được mô tảbởi hệ phương trình vi phân thường Sau đó bài toán đảm bảo chi phí điềukhiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên đã nhậnđược sự quan tâm của nhiều nhà khoa học Đối với hệ nơ ron thần kinh vớibậc nguyên, đã có một số kết quả thú vị và sâu sắc được công bố trong nhữngnăm gần đây (xem [10, 11, 12] và các tài liệu tham khảo trong đó) Năm 2019,Thuận và Hướng [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một

lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ.

Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chiphí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ dựa trên cơ

sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây(xem [20]) Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính như sau:Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứnhư tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàmphân thứ Caputo Sau đó, chúng tôi trình bày một định lý Razumikhin cho

hệ phân thứ có trễ Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về bài toánđảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậcnguyên Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ Nội dung chínhcủa chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 14, 15, 17, 21].Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bàitoán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ cótrễ Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết.Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tôi xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa họccủa mình Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã tham giagiảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những ngườibạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thựchiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau.Xin chân thành cảm ơn

Danh mục ký hiệu

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0

kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)> ∈ Rn

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phânthứ, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ, bài toán đảmbảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên.Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứngminh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau Kiến thức sử dụng

ở chương này được tham khảo ở [8, 14, 15, 17, 21]

1.1 Giải tích phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phânthứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệmtích phân lặp thông thường

Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán

tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lý sau

Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi

đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0Itαx cũng làmột hàm khả tích

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville vàđạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực

Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàmtuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữacác hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

Z t a

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắp nơitrên [a, b]

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b]



dt

}.Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạngnhư sau:

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville

Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ RLt

0 Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểudiễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1 ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Z t

t 0

f0(s)ds(t − s)α

.Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville làmột toán tử tuyến tính

Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

RL

t 0 Dαt [λf (t) + µg(t)] = λRLt0 Dtαf (t) + µRLt0 Dtαg(t)trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b]

Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

C

t 0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t),trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn làđạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứCaputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dαtx(t) := Ct0Dtαx1(t), Ct0Dαtx2(t), , Ct0Dαtxd(t)
T Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phânthứ cấp α

Định lý 1.3 ([15]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ Caputo Ct0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, ta có(i) Nếu α 6∈ N thì Ct 0Dαtx(t) biểu diễn dưới dạng sau:

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.Mệnh đề 1.4 ([14]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đâyĐịnh lý 1.5 ([15]) Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b] thì

Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính thụ độngcho một số mạng nơ ron phân thứ

Định lý 1.7 (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0 Giả sử rằng

f (t) là một hàm liên tục Khi đó ta có đẳng thức sau đây

t 0Itαt0Itβf (t)= t0Itβ(t0Itαf (t)) = t0Itα+βf (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0

1.2 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân

phân thứ

Trong mục này chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình

vi phân phân thứ Caputo có trễ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Định nghĩa 1.4 [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

+∞

X

k=0

zkk! = e

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Định nghĩa 1.5 [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi

(1.1)

trong đó α ∈ (0, 1) xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0], Rn), −τ ≤ θ ≤ 0, f :[t0, +∞)×C([t0−τ, t0], Rn) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0, +∞), xt0 = φ ∈ C([t0− τ, t0], Rn)

là điều kiện ban đầu

Định nghĩa 1.6 ([13]) Hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bấtđẳng thức sau đây được thỏa mãn

kx(t)k ≤ [m(x0)Eα(−λ(t − t0)α)]b,

ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitzđịa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0

Nhận xét 1.2 ([13]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệmcận, tức là lim

t−→+∞kx(t)k = 0

Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình viphân phân thứ Caputo có trễ Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứCaputo có trễ, S Liu cùng các cộng sự [13] đã đưa ra một phiên bản mới củaĐịnh lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ Theo như sự hiểu biết của chúngtôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổnđịnh và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứCaputo có trễ

Định lý 1.8 [13] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ (1.1).Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1, a2, a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ Rthỏa mãn

1.3 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp

hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên

Như đã phân tích trong phần mở đầu Bài toán đảm bảo chi phí điều khiểncho các hệ động lực được nghiên cứu đầu tiên bởi hai nhà toán học S.S.L.Chang và T.K.C Peng vào năm 1972 (xem [5]) Trong bài toán này, ngoài việcthiết kế một bộ điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển không những

ổn định mà còn đảm bảo rằng một hàm chi phí toàn phương liên hệ với hệđộng lực đó có giá trị hữu hạn và giá trị đó càng nhỏ càng tốt

Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm







˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,x(0) = x0 ∈ Rn

, u(t) ∈ Rm,

(1.2)

với hàm chi phí toàn phương (hay còn gọi là hàm mục tiêu dạng toàn phương)

lý cực đại Pontriagin, trong [19, 22] đã đưa ra một lời giải cho bài toán này.Khác với bài toán điều khiển tối ưu, bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho

hệ (1.2) là tìm một điều khiển u(t) chấp nhận được nào đó sao cho với điềukhiển này hệ (1.2) là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương(1.3) là không vượt quá một giá trị hữu hạn J∗ nào đó Như vậy, ta có thểphát biểu định nghĩa bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ (1.2) vềmặt toán học như sau:

Định nghĩa 1.7 Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2) và hàm chi phí toànphương (1.3), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n

và một số dương J∗ sao cho hệ đóng







˙x(t) = [A + BK]x(t),x(0) = x0

(1.4)

là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.3) thỏa mãn

J ≤ J∗, thì J∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.2)

và u∗(t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ(1.2)

Bằng cách chọn hàm Lyapunov–Krasovskii V (x(t)) = xT(t)P−1x(t), với

P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương, ta dễ dàng chứng minhđược kết quả sau:

Định lý 1.9 Cho Q ∈ Rn×n, R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác địnhdương Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm (1.2) với hàm chi phí toàn phương

tương ứng (1.3) Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈

Rn×n, một ma trận Y có số chiều thích hợp sao cho bất đẳng thức ma trậntuyến tính sau được thỏa mãn:

A và ma trận B bị "nhiễu" thành A + D1∆(t)E1 và B + D1∆(t)E1, trong đó

D1, E1 là các ma trận cho trước có số chiều thích hợp, ∆(t) là ma trận khôngbiết trước nhưng thỏa mãn điều kiện ∆T(t)∆(t) ≤ I, thì bài toán điều khiểntối ưu cho bài toán trên rất khó giải nhưng bài toán đảm bảo chi phí điều khiểncho bài toán đó đã được hai nhà toán học I.R Petersen và D.C McFarlanegiải quyết không mấy khó khăn (xem [17])

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả về bài toán đảmbảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên Xét

hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ

của hệ Liên kết với hệ (1.5), ta xét hàm chi phí toàn phương sau

Định nghĩa 1.8 Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5)

và hàm chi phí toàn phương (1.6), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược

u∗(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n và một số dương J∗ sao cho với độ trễ d, hệ đóng

là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.6) thỏa mãn

J ≤ J∗, thì J∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5)

và u∗(t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ(1.5)

Trong [21], các tác giả L Yu và J Chu đã đưa ra một điều kiện đủ cho sựtồn tại một điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5) như sau.Định lý 1.10 ([21]) Cho Q ∈ Rn×n, R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xácđịnh dương Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5) với hàmchi phí toàn phương tương ứng (1.6) Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng, xácđịnh dương X, V ∈ Rn×n, một ma trận W ∈ Rm×n và một số dương  sao chobất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:

Bây giờ, ta đưa ra định nghĩa tổng quát về bài toán đảm bảo chi phí điềukhiển cho hệ điều khiển có trễ với bậc nguyên.

(1.8)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển;

h ≥ 0 là hằng số trễ, φ ∈ C := C([−h, 0], Rn) là hàm điều kiện ban đầu

f (t, 0, 0) = 0, t ≥ 0 Liên kết với hệ điều khiển có trễ (1.8), ta xét hàm chi phítoàn phương sau







˙x(t) = f (t, xt, g(x(t))), t ≥ 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

(1.10)

là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.9) thỏa mãn

J ≤ J∗, thì J∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ điều khiển

có trễ (1.8) và u∗(t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điềukhiển cho hệ điều khiển có trễ (1.8)

Vì đạo hàm phân thứ và tích phân thứ có nhiều tính chất khác biệt so vớiđạo hàm và tích phân cổ điển nên việc nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phíđiều khiển cho hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiều thách thức Năm

2019, Thuan và Huong [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiểncho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có trễ biến thiên bằng cách sử