Tài liệu này trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp. Qua đó thầy cô có thể sử dụng để viết đề một cách chủ động. Đặc biệt máy tính Casio có thể giúp chúng ta xác định nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình chứa căn. Điều này giúp ta phân tích được phương trình chứa căn phức tạp thành các phương trình đơn giản hơn để từ đó giải quyết trọn vẹn phương trình ban đầu.
Trang 1I ĐẶT VẤN ĐÊ
Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng như cách giải một vài dạng toán cơ bản của phần này Tuy
nhiên trong SGK Đại số lớp 10, phần phương trình và bất phương trình co chứa dấu căn chỉ là một mục nhỏ trong bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai của chương IV Thời lượng dành cho phần này
lại rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản Trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, trong đề thi THPT quốc gia các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ khó đối với đa số học sinh
Trong thời buổi phát triển của công nghệ hiện nay, máy tính Casio có thể giúp chúng ta xác định nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình chứa căn Điều này giúp ta phân tích được phương trình chứa căn phức tạp thành các phương trình đơn giản hơn để từ đó giải quyết trọn ven phương trình ban đầu
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP”
để giúp học sinh có một phương pháp phân tích một phương trình chứa căn phức tạp về những phương trình đơn giản hơn và từ đó giải được phương trình đó
Trang 2II Nội dung
1 Cơ sở lí luận
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau
2 CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh đã được học
trong chương trình Đại số 10 Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ra ba dạng cơ bản Tuy nhiên, trong thực tế
phương trình và bất phương trình vô ti rất đa dạng và phong phú Trong quá
trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải Đặc biệt, các đề thi THPT quốc gia các em sẽ gặp phương trình và bất phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương
pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti là rất cần thiết nhằm đáp ứng
nhu cầu thực tế hiện nay Một điều rất quan trọng là máy tính Casio hiện nay
có thể tìm được các nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình vô tỉ, đây là cơ sở để ta tìm được nhân tử để nhân lượng liên hợp
3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trang 3Thông thường một phương trình vô tỷ có nghiệm luôn được quy về tích
1 ( ) ( ) 2 n( ) 0
f x f x L f x = và để chế tác một phương trình vô tỷ cũng xuất phát từ
một tích nào đó rồi biến đổi vế trái thành vế phải (VT → VP) như các ví dụ
sau:
• VT = (x− − 3 2x+ 1 3)( x− + 2 2x+ 1)
= 3x2 + 5x− − 7 (2x− 5) 2x+ 1 = VP
⇒ Pt 3x2 + 5x− − 7 (2x− 5) 2x+ 1 = 0
• VT = ( x− − 3 x+ + 3 1)( x+ + 3 5 x+ + 3) 5
= − + 4x 23 6 + x+ + 3 4 x2 − 9 = VP
⇒ Pt − + 4x 23 6 + x+ + 3 4 x2 − 9 = 0
Nhiệm vụ của người giải toán là làm sao biến đổi VP→ VT một cách
chính xác, nhanh chóng Bài giảng này sẽ giúp các bạn làm công việc đó một cách nhanh chóng nhờ việc làm xuất hiện nhân tử chung bằng cách nhân lượng liên hợp và có sự hỗ trợ của máy tính Casio
1 Một số ví dụ minh hoạ
a) Biểu thức liên hợp có sẵn trong đề bài
Ví dụ Gải phương trình 3x+ + 1 2x= x− − 4 5
☼ Phân tích.
Nhận thấy (3x+ − − = 1) (x 4) 2x+ 5 và 3x+ + 1 x− > ∀ ≥ 4 0, x 4 nên ta
biến đổi 3 1 4 2 5
x
+
+ + − để làm xuất hiện nhân tử 2x+5.
Bài giải
Điều kiện x≥ 4
Ta có 3x+ + 1 2x= x− − ⇔ 4 5 ( 3x+ − 1 x− 4) + 2x+ = 5 0
⇔ 2 5 2 5 0
x
x
x
⇔ 2x+ = 5 0 (vì 1 1 0, 4
2 5
x= −
Trang 4Đối chiếu điều kiện ta thấy 2
5
x= − không thoả mãn điều kiện Vậy pt đã cho
vô nghiệm
Bài tập ví dụ
Giải các phương trình sau
1/ 10x+ + 1 3x− = 5 9x+ + 4 2x− 2 2/
9 4x+ − 1 3x− 2 = +x 3.
3/ 2 4 6 2 4 2 2
4
x
x
−
2
3x− − 2 x+ = 1 2x − −x 3
b Làm xuất hiện biểu thức liên hợp khi biết 1 nghiệm
Ví dụ Giải phương trình 3x+ − 1 6 − +x 3x2 − 14x− = 8 0 (Khối B – 2010)
☼ Phân tích.
- Nhận thấy x= 5 là một nghiệm của phương trình đã cho
- Khi x= 5 thì 3x+ = 1 3.5 1 4 + = ⇒ 3x+ − = 1 4 0
và 6 − =x 6 5 1 − = ⇒ 6 − − =x 1 0
- Từ phân tích này ta viết lại phương trình thành
( 3x+ − + − 1 4) (1 6 −x)+ 3x2 − 14x− = 5 0 để đưa pt về dạng có nhân tử 5
x−
Bài giải
Điều kiện 1 6
( 3x+ − + − 1 4) (1 6 −x) + 3x2 − 14x− = 5 0
⇔ 3 15 5 ( 5 3) ( 1) 0
⇔ ( 5) 3 1 3 1 0
3
Vây phương trình đã cho có tập nghiệm S = { }5
Trang 5Bài tập ví dụ
Giải các phương trình sau
1/ 2x− + 1 x2 − 3x+ = 1 0 2/ 3 2( + x− = 1) 2x+ x+ 6 3/ x2 + 12 5 3 + = x+ x2 + 5 4/ 3x+ − 1 6 − +x 3x2 − 14x− = 8 0 5/ 5x− + 1 3 9 − =x 2x2 + 3x− 1 6/ 4 x+ + 1 2 2x+ ≤ 3 (x− 1) (x2 − 2)
7/ (x+ 2) ( x2 + 4x+ + + 7 1) (x x2 + + = 3 1) 0
c Làm xuất hiện biểu thức liên hợp khi biết 2 nghiệm
Ví dụ Giải phương trình 2x2 − + +x 3 x2 − =x 21x− 17
☼ Phân tích.
Ta đoán được phương trình đã cho có hai nghiệm x= 1;x= 2( có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi) Do vậy phương trình này có nhân tử
(x− 1) (x− = 2) x2 − 3x+ 2 khi ta sử dụng lượng liên hợp để giải nó Điều ta quan tâm là cách tách – nhóm các đại lượng của phương trình
Giả sử ta nhóm 2 ( ) ( )
thay
1; 2
x= x= vào các đẳng thức 2 ( )
1 1
(a x b2 + 2) − 21x− 17 0 = ta tìm được 1 1 1
Do đó, ta có lời giải sau
Bài giải
Điều kiện 17
21
x≥ Phương trình đã cho tương đương với
( 2x2 − + − − +x 3 x 1) (3x− − 1 21x− 17)+x2 − 3x+ = 2 0
Trang 6⇔ 2 2 2
2
⇔ ( 2 )
2
− + + +
⇔ x2 − 3x+ = 2 0 ⇔ 1
2
x x
=
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { }1;2
● Nhận xét
Từ hai ví dụ trên ta thấy sự hữu ích của việc biết trước được một vài
nghiệm của phương trình vô tỷ Ngoài ra, trong giảng dạy ta cũng có thể chế tác các phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp nhân tử từ phương trình
dạng (ax b A x+ ) ( ) 0 = hoặc (ax2 +bx c A x+ ) ( ) 0 = , tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta chọn độ phức tạp trong đánh giá của biểu thứcA x( )
Bài tập ví dụ
Giải các phương trình sau
1/ 2x2 − + −x 3 21x− 17 +x2 − =x 0; (x= 1;x= 2)
2/ 2x2 − 4x− + 9 5x+ + 6 7x+ 11 0 = ; (x= − 1;x= 2)
1 2
2
7
x x
hoặc dùng cách tìm liên hợp 2 1 2
2
+
4/ x4 − + +x2 4 x4 + 20x+ = 4 7x ; (x= 1;x= 2).
⇔ ( x4 − + −x2 4 2x) (+ x4 + 20x+ − 4 5x) = 0
2 Kĩ thuật truy ngược dấu
Để giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp, thông thường
ta biến
Trang 7đổi phương trình về dạng (ax b A x+ ) ( ) 0 = hoặc (ax2 +bx c A x+ ) ( ) 0 = , trong
đó A x( ) 0; > ∀ ∈x D hoặc A x( ) 0; < ∀ ∈x D Tuy nhiên trong nhiều bài toán để chứng minh A x( ) 0; > ∀ ∈x Dchúng ta phải kết hợp với các phương pháp đánh giá phức tạp để giải quyết trọn vẹn nó, nguyên nhân là sau khi thực hiện phép biến đổi liên hợp đại lượng A x( ) chứa các biểu thức có dấu ngược nhau
Từ đó ta nảy sinh ý tưởng truy ngược dấu các biểu thức trong đại lượng ( )
A x để đưa chúng về cùng dấu và làm cho đại lượng A x( ) này hiễn nhiên dương (hoặc hiễn nhiên âm) với mọi x thuộc tập xác định
Ví dụ Giải phương trình 2x2 − 5x− = 1 x− + 2 4 −x
☼ Phân tích.
• Trước hết ta nhận định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 3 Nếu ta nhân lượng liên hợp một cách thông thường thì dấu trước các biểu thức trong các nhóm liên hợp là ngược nhau với x∈ [2;4], Từ đó có thể dẫn đến việc phải kết hợp với phương pháp đánh giá để giải quyết trọn vẹn phương trình này Xuất phát từ vấn đề đó, ta đi tìm cách nhóm các biểu thức sao cho sau khi nhân thêm lượng liên hợp phương trình sẽ có dạng (x− 3) ( ) 0A x = , mà A x( ) 0, > ∀ ∈x [2;4].
• Ta nhận thấy: 1 4 ( 3)
x x
x
−
+ − và 1 0, [ ]2;4
khi đó 1 2 (x 3)
x
x
− −
+ − và 1 0, [ ]2;4
+ − , từ đó truy
vấn ngược lại dấu của phép biến đổi này bằng cách biến đổi thành
2.( 3)
2 1
x
− − lúc này ta đã đảm bảo được
[ ]
2
2 1
x
x x
Bài giải
Điều kiện 2 ≤ ≤x 4 Phương trình đã cho tương đương với
Trang 82 (x 3) 0
x
Do 1 2 2 0, [ ]2;4
x
−
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
● Nhận xét
(+) Cách giải thông thường là biến đổi phương trình về dạng
, sau đó thực hiện đánh giá
đối với
phương trình 1 1 2 1 0
(+) Ta thay thế cách nhóm 1 − x− 2 bằng cách nhóm x− 2( x− − 2 1)
sau đó đưa
phương trình về dạng( 3) 1 2 2 0
x
( )
x
−
3 Xử lí phương trình sau khi nhân lượng liên hợp
Ở mục 2 chúng ta sử dụng phương pháp truy ngược dấu biểu thức liên hợp đẻ xử lí
phương trình sau khi nhân thêm lượng liên hợp Tuy nhiên trong một số dạng toán phương pháp này chưa thể giải quyết được triệt để Ở mục này chúng ta cùng tìm hiểu thêm một số hướng xử lí khác
Ví dụ Giải phương trình 2 1
2
x
☼ Phân tích trong quy trình giải toán.
Bước 1 Điều kiện 1
x x
≥
− ≤ <
Trang 9Bước 2 Ta tìm được nhân tử (x 2 − − x 1) Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
1
x
− −
2
1
x
− −
Bước 3: Trường hợp 2 1 5
1 0
2
Bước 4: Trường hợp 1 2 ( )
x
Hướng xử lý 1 (Sử dụng phương trình hệ quả)
x
(*) cho a phương trình hệ quả
2
2 2
1
1
− −
− −
Với điều kiện 1
x x
≥
− ≤ <
thì
3 2 1 0
x − x+ + x − =x vô nghiệm , suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Hướng xử lý 2 (Sử dụng đánh giá trực tiếp trên phương trình)
+) Nếu x≥ 1 , phương trình (*) tương đương với
( 1) 1 ( 1) 0
Với x≥ ⇒ 1 VT(a) > 0, tức (a) vô nghiệm
+)Nếu − ≤ < 1 x 0 , phương trình (*) tương đương với
Trang 10( ) ( 2 3 ) ( ) 2( )
1
−
Với − ≤ < ⇒ 1 x 0 VT(b) >0, tức là phương trình (b) vô nghiệm
Từ đó suy ra phương trinh (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 5
2
4 Hiệu quả của ĐT, SKKN
Trong quá trình dạy học sinh lớp 10 và ôn tập cho học sinh lớp 12 phần này, đa số học sinh đã có được kĩ năng giải mảng bài tập về phần này tốt hơn, biết nhận dạng cũng như biết cách đưa một phương trình hay bất phương trình
vô tỉ về dạng quen thuộc đã biết cách giải Cụ thể,
Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu