MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, biết rằng AB 6cm AC, 8cm.. AH là đường cao, D E, lần lượt là hình chiếu củ
Trang 11| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
B
A
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, biết rằng AB 6cm AC, 8cm Tính
,
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 12cm AC, 5cm BC, 13cm, đường cao AH Tính AH
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC AH là đường cao, D E, lần lượt là hình chiếu của H trên
,
Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao Các điểm N M, trên các đường
thẳng BD CE, sao cho AMB ANC 900
Chứng minh rằng tam giác AMN cân
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB Gọi F là giao điểm của DE
và BC
Chứng minh rằng: 12 12 12
Bài 6:Cho đoạn thẳng AB 4cm C là điểm di động sao cho BC 3cm Vẽ tam giác AMN
vuông tại A có AC là đường cao Xác định vị trí điểm C để 1 2 1 2
AM AN đạt giá trị lớn nhất
Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A 1200 Tia Ax tạo với tia BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại
M, cắt đường CD tại N
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 4 2
3
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao
Cho biết BH x HC, y
Chứng minh rằng:
2
xy
Hướng dẫn giải
Bài 1:
Tam giác ABC vuông tại A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có:
2 6 2 8 2
BC
BC
10
BC
Trang 2LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 2
A
E D
B
A
D E
C B
A
10
Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền
Ta có: BH BC. AB2
2
.10 6
BH
3, 6
Theo hệ thức liên quan đến đường cao
Ta có: AH BC. AB AC.
.10 6.8
AH
4, 8
Bài 2:
Ta có: AB2 AC2 122 52 169
2 13 2 169
BC
ABC có AB2 AC2 BC2, theo định lý đảo
Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại A
Mà AH là đường cao của tam giác ABC (gt)
Do đó theo hệ thức liên quan đến đường cao,
Ta có: AH BC. AB AC.
.13 12.5
AH
60 ( ) 13
Bài 3:
a) Ta có: AHB AHB( 90 )0
HD là đường cao, theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:
2
.
Tương tự cũng có: AE AC. AH2
Do đó: AD AB. AE AC b) Xét AED và ABC có: EAD (chung)
AB AC (vì AD AB. AE AC. )
Do đó: AED ∽ ABC
Trang 33| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
P
F
E
B A
M
N
C B A
Bài 4:
Xét ABD và ACE có:
BAD (chung); ADB AEC( 90 )0
Do đó ABD ∽ ACE
AMB vuông tại M (gt), ME là đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có:
2
.
Tương tự cũng có: AN2 AD AC. (3)
Từ (1), (2) và (3) có AM2 AN2
AMN cân tại A
Bài 5:
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với
DE, cắt BC tại P Trong tam giác vuông
DPF, có là đường cao nên
Trong đó CD DA (cạnh hình vuông)
DCE DCP (g.c.g) DP DE
Vậy: 12 12 1 2
Nhận xét:
Khi E di động trên cạnh AB , ta luôn luôn có:
Kết quả bài toán được phát biểu cách khác
Chứng minh rằng: 12 12
DE DF không đổi
Bài 6:
Xét AMN vuông tại A AC, là đường cao (gt)
Theo hệ thức liên quan đường cao trong tam giác vuông, ta có:
Trang 4LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 4
H
15°
x N
M
E
B A
Xét ba điểm A B C, , ta có:
1( )
Do vậy: 1 1 1 2 1
Dấu “=” xảy ra C nằm giữa A và B
Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho BC 3cm
thì 1 2 1 2
AM AN lớn nhất
Bài 7:
Vẽ AE AN E, DC và AH DC H, DC
Ta có: DAE DAB (EAN BAx) 150
Xét ABM và ADE có:
AB AD (vì ABCD là hình thoi)
0
( 15 )
Do đó: ABM ADE (c.g.c) AM AE
ADH vuông tại H có:
ADH BAD nên là nửa tam giác đều
ADH có H 900, theo Định lí Py-ta-go ta có:
2
3
AEN có A 90 ,0 AH DN , theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
3
Bài 8:
Trang 55| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
M
B
A
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC
Tam giác vuông tại A, AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông,
Ta có: AH2 BH HC BH ; a (gt); HC b (gt)
Nên AH2 ab AH ab
ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
Nên
AM
Ta có: AH HM nên AH AM
Do đó:
2
ab
2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
BÀI TẬP
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng: Sin
Sin
Bài 10: Với góc nhọn tùy ý Chứng minh rằng:
tg cos
Bài 11: Cho biết 4
sin
5 Tìm cos , tg
Bài 12: Tính:
a)
0
0
sin 46
cotg28 tg62
Bài 13: Tính sin 102 0 sin 202 0 sin 702 0 sin 802 0
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC a AC, b AB, c
Chứng minh rằng:
Bài 15: Chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của
góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy
Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn, có BC a AC, b AB, c
Chứng minh rằng: 2 2 2
2 cos
Bài 17: Cho hai góc , sao cho 900
Chứng minh rằng ( ) sin cos sin cos
Trang 6LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 6
C
B
A
B A
Bài 18: Cho góc nhon xAy Các điểm B C, lần lượt di động trên các tia AB AC, sao cho:
6
AB AC cm Xác định vị trí B C, để diện tích tam giác ABC lớn nhất
Hướng dẫn giải
Bài 9:
sinC AB, sinB AC
Do đó: Sin :
Sin
Bài 10:
Xét ABC vuông tại A C,
a) Ta có AB BC AC, BC
Do đó: sin sinC AB 1
cos = cosc AC 1
BC
b) tg =tgC=AB; cotg cotgC AC
Do đó: tg cotg =AB AC 1
AC AB
c) sin AB, cos AC
cos
d) ABC vuông tại A theo định lí Py-ta-go có: AB2 AC2 BC2
Do đó:
Bài 11:
Ta có: sin2 cos2 1 và 4
sin
5 (gt)
25 25 3
cos
5
Trang 77| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
α
a H
A
C B
A
H
α
c b
a H
A
4
tg
5
Bài 12:
a) 460 440 900 nên sin46 =cos440 0
Do đó: sin 4600 1
cos44 b) 280 620 900 nên cotg280 tg620
Do đó: cotg28 0 tg62 0 0
Bài 13:
Ta có sin10 cos 80 (hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia)
Do đó:
(sin 30 cos 30 ) (sin 40 cos 40 )
Bài 14:
Vẽ AH BC H, BC
Xét HAB có H 900, nên sinB AH
AB
Xét HAC có H 900, nên sinC AH
AC
Do đó: sin
Chứng minh tương tự, ta có:
sin sin
Vậy
Bài 15:
Trang 8LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 8
H
C B
A
Giả sử có tam giác ABC cos AB c BC, a
Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB BC, là
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC
HAB có H 900 nên sinB AH AH ABsinB
AB
Do đó: 1 . 1 sin 1 sin
ABC
Bài 16:
Vẽ đường cao CH của tam giác ABC
HAC vuông tại H, nên cosA AH AH ACcosA
AC HAC vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có: AH2 HC2 AC2
HBC vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có:
(AB AH) HC
Vậy 2 2 2
2 cos
Bài 17:
Xét ABC có B ,C , vì 900 nên BAC là góc tù
Vẽ các đường cao AH BK, của ABC
Ta có: BAK B1 C BAK( là góc ngoài của ABC)
ABK có K 900 nên BK ABsinBAK
Trang 99| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
K
B
A
y
x
C
H
ABC
Mặt khác: HAB có H 900
Nên sin sinABH AH, cos cosABH BH
Và HAC có H 900
Nên sin sinACH AH, cos cosACH HC
Do đó: sin cos sin cos AH HC. AH BH.
.
AH
AB AC
2
ABC S
AH BC
sin( )
sin( )
AB AC
AB AC
Vậy sin( ) sin cos sin cos
Bài 18:
Vẽ CH là đường cao của tam giác ABC
Xét AHC vuông tại H, theo tỉ lệ số lượng giác
của góc nhọn, ta có:
sinHAC CH
AC
sin
ABC
9
sin
2 BAC không đổi
Dấu “=” xảy ra AB AC 3cm
Vậy khi B C, lần lượt trên các tia AB AC, sao cho AB AC 3cm thì diện tích ABC lớn nhất
3 BẢNG LƯỢNG GIÁC
4 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI TẬP
Bài 19: Hãy đơn giản các biểu thức:
Trang 10LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 10
a) sin6 cos6 3 sin2 cos2
b) sin4 cos4 (sin cos )(sin cos )
c) cos2 tg2 cos2
Bài 20: Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn (không dùng bảng số và máy
tính bỏ túi)
a) sin 40 , cos 28 , sin 65 , cos 880 0 0 0
b) tg65 , cotg42 , tg76 , cotg270 0 0 0
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC và b c 2a Chứng minh rằng:
Bài 22: Cho tam giác ABC , vuông tại A Chứng minh rằng:
a) tg
2
b)
2 2 2
2
2
a
b c l
b c (l a là độ dài phân giác của góc A)
Bài 23: Cho tam giác ABC có BC a AC; b AB; c
Chứng minh rằng: sin
2
Bài 24: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau
Chứng minh: cotg cotg 2
3
Bài 25: Chứng minh rằng:
Bài 26: Không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi Tính sin 30 , cos 30 , sin15 , cos150 0 0 0
Hướng dẫn giải
Bài 19:
sin cos 1, tg
cos a) sin6 cos6 3 sin2 cos2
(sin cos ) 3 sin cos (sin cos ) 3 sin cos
1 3 sin cos 3 sin cos 1 b) sin4 cos4 (sin cos )(sin cos )
(sin cos )(sin cos ) (sin cos )
Trang 1111| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
(sin cos ) (sin cos ) 0
c) cos2 tg2 cos2 cos (12 tg )2
2 2
2
sin cos 1
cos
2
2
cos sin
cos
Bài 20:
a) cos 280 sin(900 28 )0 sin 620,
cos 88 sin(90 28 ) sin 2
Ta có: 20 400 620 650
sin 2 sin 40 sin 62 sin 65 (góc tăng, sin tăng)
b) cotg420 tg(900 42 )0 tg480
cotg27 tg(90 27 ) tg63
Ta có: 480 630 650 760
tg48 tg63 tg65 tg76 (góc tăng, tang tăng)
cotg42 cotg27 tg65 tg76
Bài 21:
a) Theo kết quả bài toán 14, ta có:
sin sin 2 sin
2 sin sin sin
b) Ta có: sin h b ; sin h c ; sin h b
Ta lại có: 1 . 1 .
a
c
ah
h
Do đó đẳng thức cuối cùng được viết:
c
h
Bài 22:
a) Trong tam giác vuông ABE, ta có:
Trang 12LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 12
E
D
A
B
C
I D
A
M N
G
P E
B A
tg 2
AB (1) (BE là đường phân giác)
Theo tính chất đường phân giác, ta còn có:
Hay AE AB
AC AB BC hay
bc AE
c a (2)
Từ (1), (2) ta có: tg
2
b) Ta có: 2S ABC b c. và 2S ABC (S ABD S ACD)
.sin 45 sin 45
.sin 45 ( ) asin 45 ( )
Do đó: b c2 2 l a2 sin 45 ( 2 0b c) 2
Ta thấy: cos 45 2 0 sin 45 2 0
sin 45 cos 45 1 sin 45
2 Vậy 2 2 2
2
2
a
b c l
Bài 23:
Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC
Theo tính chát đường phân giác của tam giác ta có:
Vậy BD a
Vẽ BI AD I( AD), suy ra: BI BD
IAB có AIB 900, do đó sinBAI BI
AB
Do đó: sin
2
Bài 24:
BM cắt CN tại G AG, cắt BC tại P,
nên G là trọng tâm của ABC,
Trang 1313| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
K
B
A
1
;
3
GP
AP
Suy ra: AD GE
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
1 3
GBC có BGC 900 (gt); GP là đường
trung tuyến, từ đó có:
1
2 2
GE GP (vì GE EP)
DAB có ADB 900 nên cotgB BD
AD
DAC có ADC 900 nên cotgC DC
AD
cotg cotg
Do đó: cotg cotg 2
3
Bài 25:
Xét ABC cân đỉnh A có AB AC 1,A 2
a) Xét HAC H( 90 )0 và KBC K( 90 )0 có C (chung)
Do đó: HAC ∽ KBC
1
BK KC BC BC (1)
KAB có K 900 nên sinBAK BK
AB
HAC có H 900 nên sinHAC HC, cosHAC AH
Từ (*) ta có: HC BC. KC.1
2
2HC (AC AK).1
Trang 14LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 14
2
1
D
A
B
C
2
Do đó: 2 sin 2 1 cos 2
2
cos 2 1 2 sin
Bài 26:
Xét tam giác ABC vuông tại A có AC 1,BC 2
Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD BC
ABC vuông tại A có 1
2
AC
BC nên là nửa tam giác đều
0
30
ABC
BDC cân tại B BD( BC)
30 ;2 15
ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:
3
AB
Do đó: AD AB BC 3 2
ADC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:
3 4 3 4 1 8 4 3
2
DC
ABC vuông tại A, do đó:
sin 30 sin
2
AC ABC
cos 30 cos
2
AB BAC
BC DAC vuông tại A, do đó:
sin15 sin
AC ADC
cos15 cos
AD ADC
DC
Trang 1515| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
C
B
A
5 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA
GÓC NHỌN, THỰC HÀNH NGOÀI TRỜI
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5cm AC, 12cm Tính sin , cos , tg , cotgB B B B
Bài 28: Cho tam giác DEF có DE 9cm DF, 15cm EF, 12cm Tính sinEDF, tgEDF
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 24cm AC, 5cm Tính sin B
Bài 30: Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ
đến lớn
a) sin 63 , cos 24 , cos 70 , sin 68 , sin 500 0 0 0 0
b) cotg28 , tg35 , tg47 , cotg65 , cotg210 0 0 0 0
Bài 31: Tính:
a) (sin 340 cos 56 )0 2 4 sin 34 cos 560 0
b) (cos 360 sin 36 ).(cos 370 0 sin 38 ).(cos 420 0 sin 48 )0
c) (tg520 cotg43 ).(tg290 0 cotg61 ).(tg130 0 tg24 )0
Bài 32: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC
Chứng minh rằng tg 1tg
3
Bài 33: Cho tam giác ABC có AB c AC, b BC, a Chứng minh rằng:
a) sin
1 sin sin sin
Bài 34: Cho tam giác ABC , các đường cao là AD BE CF, ,
DEF
ABC
S
S
Hướng dẫn giải
Bài 27:
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go có:
2 5 2 12 2
BC
BC
13
12 sin
13
AC
B
BC
5 cos
13
AB B BC
Trang 16LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 16
F
E
D
5cm 24
C B
A
12 tg
5
AC B
AB
5 cotg
12
AB B AC
Bài 28:
2 15 2 225
DF
DEF có DE2 EF2 DF2( 225)
Theo định lí Py-ta-go đảo có tam giác DEF vuông tại E
12 4 sin
15 5
EF EDF
DF
12 4
EF tgEDF
DE
Bài 29:
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí
Py-ta-go có:
7
sin
7
AC B BC
Bài 30:
a) cos 240 cos(900 66 )0
sin 66 ; cos 70 sin(90 70 ) sin 20
Ta có: 200 500 630 660 680
cos 70 sin 50 sin 63 cos 21 sin 68 (góc tăng, sin tăng)
b) cotg280 cotg(900 62 )0
tg62 ; cotg65 cotg(90 25 )
tg25 , cotg21 tg(90 21 ) tg69
Ta có: 250 350 470 620 690
cotg65 tg35 tg47 cotg28 tg21 (góc tăng, tang tăng)
Bài 31:
a) Ta có: 340 560 900 nên sin 340 cos 560
Và có sin2 cos2 1
Do đó: (sin 34 0 cos 56 ) 0 2 4 sin 34 cos 56 0 0
Trang 1717| TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
B
A
I E
D
C B
A
(sin 34 cos 56 ) (sin 34 sin 34 ) 0
b) 420 480 900 nên cos 420 sin 480
cos 42 sin 48 0
Do đó: (cos 36 0 sin 36 )(cos 37 0 0 sin 38 )(cos 42 0 0 sin 48 ) 0 0
c) 290 610 900 nên tg290 cotg610
tg29 cotg61 0
Do đó: (tg52 0 cotg43 )(tg29 0 0 cotg61 )(tg13 0 0 tg24 ) 0 0
Bài 32:
Vẽ đường cao AH của ABC
Do AMC cân đỉnh A (vì AM AC) có AH là đường cao, nên AH là đường trung tuyến
2
Mà BM MC (gt)
Nên BH 3HC
HAB có AHB 900, ta có: tgB AH
BH
HAC có AHC 900, ta có: tgC AH
HC
Suy ra: 1
3
Bài 33:
a) AI là đường phân giác của tam giác ABC
Vẽ BD AI D( AI)
Ta có: BD BI CE, IC
Do đó: BD CE BC a (1)
BDA vuông tại D
Nên BD ABsinBAD
2
A
Tương tự sin
2
A
Trang 18LIÊN HỆ CÁC BỘ TÀI LIỆU WORD ĐỦ CẢ NĂM/ TOÁN THCS VÀ THPT /ĐT,ZALO 0945943199 | 18
F
E
B A
2
A
Từ (1) và (2) ta có: ( )sin sin
Mà b c 2 bc (bất đẳng thức Cosi cho hai số dương)
Ta có: sin
ab
b) sin
bc Tương tự: sin ; sin
Do đó: sin sin sin
1 sin sin sin
Bài 34:
Xét AEB và AEC có EAB (chung)
0
( 90 )
Do đó AEB ∽ AEC
Xét AEF và ABC có: EAF (chung)
Do đó AEF ∽ ABC
Do đó: DEF ABC AEF BDF CDE
ABC AEF BDF CDE
ABC ABC ABC ABC
1 cos A cos B cos C