SKKN phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11

phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11 năm học 2019 phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11 năm học 2019 phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11 năm học 2019

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Có thể nói, hình học 11 là mảng kiến thức học sinh khó tiếp cận nhất trongchương trình Toán phổ thông, bởi nó đòi hỏi học sinh phải tư duy, tưởng tượng Trong những mảng kiến thức ấy, có phép biến hình, đây là chương mở đầu, cũng

là chương mới trong chương trình Sách giáo khoa Hình học mới Chính vì thế,

mà trong quá trình học, nhiều học sinh còn rất mơ hồ về các phép biến hình, không thấy được mối quan hệ giữa các phép biến hình Chính vì thực tế khó

khăn đó của học sinh nên tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “ Phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11”.

II NỘI DUNG

1 Thời gian thực hiện: Từ năm học 2016-2017 đến năm học 2018-2019.

(Năm học 2016- 2017) 36

5(13,9%)

11(30,6%)

16(44,4%)

4(11,1%)

0(0%)

b) Những mặt còn hạn chế:

- Học sinh bị điểm yếu, kém chiếm hơn 44%

- Nhiều học sinh còn chưa quen với việc tóm tắt kiến thức một cách ngắn gọn

- Nhiều học sinh chưa thấy được mối liên quan giữa toán học và đời sống

c) Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chế:

- Nguyên nhân đạt được:

+ Nhiều học sinh thích thú với những phương pháp hay

+ Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa đã có nhiều hoạt động

dành cho học sinh, học sinh đã dần tiếp thu cái mới

+ Sách bài tập có tóm tắt bài học, phân dạng bài tập và đưa ra phươngpháp giải giúp học sinh tự học tập, nghiên cứu, có nhiều bài toán ứng dụng thực

tế giúp học sinh chủ động trong việc học

- Nguyên nhân hạn chế:

+ Một số học sinh chưa chăm, chưa chủ động làm bài tập ở nhà, các emvẫn quen với cách đọc – chép, thụ động tiếp thu những thông tin, kiến thứcgiáo viên truyền đạt trong giờ học một cách máy móc

+ Mức độ nhận thức của học sinh ở lớp mà giáo viên đang dạy khôngđồng đều, trong đó rất nhiều học sinh chưa có phương pháp học tập hiệu quả,các em không biết cách hệ thống kiến thức, chính vì vậy khi chuẩn bị cho kì thihay làm bài kiểm tra các em thường lo lắng và cuối cùng là giải bài tập màkhông biết mình làm đúng hay không?

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Căn cứ thực hiện:

Trên cơ sở Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đó là: Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chú trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức mới Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo

Dựa trên nguyên tắc dạy học và nhận thức của học sinh, việc phân chia hệ thống bài tập đi với lí thuyết giúp các em phát triển về tư duy, ôn tập và hình thành kiến thức mới trong quá trình giải toán Hơn nữa, kỹ năng hệ thống kiến thức là một kĩ năng rất cần thiết không những cần ở bộ môn Toán mà còn cần ở nhiều bộ môn khác

Là giáo viên giảng dạy môn Toán, tôi khẳng định nếu các em học sinh biếtcách hệ thống kiến một cách logic, các em sẽ tự tin hơn trong việc học về các Phép biến hình của chương trình Hình học 11 nói riêng và các môn học khác nói chung

2 Nội dung, giải pháp và cách thực hiện:

a) Nội dung, phương pháp:

- Nội dung:

I Phép tịnh tiến:

1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho véc tơ v a b ;  Phép tịnh tiến theo véc tơ

* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng

hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

Hệ quả:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó

3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Giả sử cho v a b ;  và một điểm M(x;y) Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm

M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là: x y'' a x y b

 



4 Ứng dụng của phép tịnh tiến

Bài toán 1: Tìm quỹ tích của một điểm

Bài toán: Cho hình H, trên hình H có một điểm M Tìm quỹ tích của điểm M khi

trên hình H có một điểm A thay đổi.(Thường điểm A chạy trên một đường tròn

(C ) cho sẵn

Cách giải :

- Dựa vào các tính chất đã biết, ta tìm ra một véc tơ cố định nằm trên hình H ( Với điều kiện: véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).

- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định

- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích

Ví dụ: Cho hai điểm B, C cố định nằm trên (O, R) và một điểm A thay đổi trên

đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Bài toán 2: Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho khoảng cách MA+MB

ngắn nhất(A, B cố định cho trước)

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A, B nằm trái phía với d

Ngoài ra: Có trường hợp là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng song songcách nhau một đoạn cho trước không đổi

Ví dụ: Hai thôn nằm ở hai vị trí A, B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ

sống là hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây một cây cầu bắc quasông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN Tìm vị trí M, N sao cho AM+BN

- Vì: MA+NB=A’N+NB Do đó MA+NB ngắn nhất

Cách 2:

Trường hợp 1: Coi con sông rất hẹp

Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B

nằm ở hai phía khác nhau so với đường

thẳng a Tìm vị trí M trên A để

AM+AN nhỏ nhất Khi đó M là giao

điểm của AB với a

Trường hợp 2: a//b

Nhận xét: a,b cố định =>MN cố định

TMN

(A) =A’ =>A’N = AM

Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B

Cách dựng: Dựng A’=TMN (A) Nối A’ với B cắt b tại N Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu

Bài toán 3: Viết phương trình của đường tròn (C’) qua phép tịnh tiến theo

 ; 

Cách giải :

 Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )

 Bước 2: Thay x, y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến

 Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm

Ví dụ: Trong mặt phẳng (Oxy) cho u   1; 2

a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :

+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0

+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0

b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x2 y2  4x  y 1 0 

c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 2 2 1

a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của

chúng Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có: ' 1 ' 1

Thay x, y vào phương trình các đường ta có:

- Đường thẳng a’: 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0

- Đường thẳng b’: 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là

ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : '

3 Tính chất:

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường

thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

Bài toán 1: Tìm quỹ tích của một điểm.

Bài toán : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi Tìm quỹ tích của

điểm M khi A thay đổi

Giải

- Vẽ hình Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ Nối CH’

- Chứng minh IH=IH’ Thật vậy

Ta có : ˆA = BCHˆ ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C.

* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC

- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành, cho nên BC

đi qua trung điểm I của A’H

- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )

- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’, hay H và H’ đối xứng nhau qua BC

Bài toán 2 Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất.( Khi A, B là hai điểm nằm về một phía của d) |MA+MB| đạt giá trị lớn nhất.( A,B nằm về hai

phía của d ) Cách giải :

 Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

 Bước 2: Nối A’B, đường thẳng này cắt d tại M là điểm cần tìm

 Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất

Ví dụ 1: (Bài 9-tr13- HH11NC)

Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy tìm điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Giải

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy, B’ đối xứng với A qua Ox.

- Nối A’B’ cắt Ox tại B, cắt Oy tại C Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm

Thật vậy: Do A’ đối xứng với A qua Oy, cho nên CA=CA’ (1) Mặt khác: B’ đốixứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) Gọi P là chu vi tam giác ABC thìP=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’(do từ (1) và (2) )

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d Tìm điểm M

trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M Suy ra M chính là điểm cần tìm

- Thật vậy: Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1) Do đó :

MA+MB=MA’+MB=A’B

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’BA B' Dấu bằngchỉ xảy ra khi A’, M’, B thẳng hàng Nghĩa là M trùng với M’

Bài toán 3: Tìm điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng

Bài toán: Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm

B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?

- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M, N

đối xứng nhau qua d thì điều kiện là :  

- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M, N

đối xứng nhau qua d thì điều kiện là :  

Bài toán 4: Cho đường (C) và đường thẳng d Hãy viết phương trình đường

(C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d.

Cách giải:

 Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A, B

 Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A, B qua phép đối xứng trục d

 Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’, B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x Lập phương

trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d

- Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật

cơ sở của (E) đã cho Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên, dễ dàng tìm

được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0), M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 )

N’(4;-1 ) là ảnh của N(3;-2) P’(0;-N’(4;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2)

- Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’)

* Chú ý: Đây là bài toán tương đối khó, chưa gặp trong các đề thi đại học,

nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục Dù đường (C) cho là đường gì đi chăng nữa, ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được

III Phép quay và phép đối xứng tâm:

1 Định nghĩa phép quay:

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’và góc (OM;OM’)=  Được gọi là phép quay tâm O góc quay là 

2 Định lý:

Phép quay là phép dời hình

3 Phép đối xứng tâm:

* Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình, biến mỗi điểm

M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là : OM OM ' 0 

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm

M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì : x y' 2a' 2 b y x

*Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y), điểm M’(x’;y’) vàgóc quay là  :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q (I, ), với I(a; b) Khi đó Q (I, ) biến điểm M (x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi:

sin)(cos)('

b y a

x b y

b y a

x a x

(IVb)

4 Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm:

Bài toán 1: Bài toán quỹ tích điểm

Bài toán: Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) (thuộc H ) Tìm

quỹ tích của điểm N khi M thay đổi

Cách giải :

- Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN

- Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N

Có nghĩa là I là trung điểm của MM’

- Ví A,B cố định, cho nên I cố định Do đó D M I :  M' Nhưng M chạy trên(O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)

- Cách xác định (O’;R) như sau: Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau đó lấy O’làm tâm, quay đường tròn có bán kính R

Bài toán 2: Dựng hình

Ví dụ: ( Bài toán 3-tr17-HH11NC)

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN

Giải

- Giả sử đường thẳng d đã dựng được Do A là trung điểm của MN cho nên N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ) Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vìthế cho nên N là giao của (O’’) với (O’;R’) Từ đó suy ra cách dựng

+/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N Nối NA cắt (O) tại M

- Giới hạn quỹ tích: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’)

Bài toán 3: Tìm ảnh của một hình bằng phép quay và phép đối xứng tâm

- Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất

kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O Theo công thức tọa độ của

Do đó (O’) : x 32y 12  4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I

* Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác như sau:

+/ Lấy một điểm N bất kỳ Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đối xứng với P qua K ( Vẽ hình )

b/ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với

đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạnthẳng

c/ Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, biến một góc thành một góc bằng nó

d/ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

3 Các dạng toán thường gặp

Bài toán 1: Tìm ảnh của một hình qua một phép vị tự

Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b), điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có:

Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 Hãy viết

phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ?

Bài toán 2: Sử dụng phép vị tự để giải bài toán hình học

Để xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã biết qua phép vị tự, hoặc xem M như là giao của của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép vị tự

Ví dụ: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn Dựng hình chữ nhật DEEG

có EF=2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G nằm trên hai cạnh

BG  Từ đó suy ra cách dựng

* Cách dựng :

- Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nằm trên BC

- Nối BF’ cắt AC tại F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G Gọi

D và E là hình chiếu của G và F trên BC Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng

G G D

GF G F  Như vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán