Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – dương minh hùng

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi... Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx  Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với..  Hàm số đồn

Chương 1: § ➊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi

 Hàm số côsin:

➊ Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng

mỗi số thực x với số thực cosx

 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng

 là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2)

Hình 2

Ta có nên đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo vectơ

.Một số giá trị đặc biệt:

② Hàm số cos

 là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 3)

 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

 là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi

đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 4)

 Bài tập minh họa:

 Ta có: sin 4 cos 3 sin 4 sin 3

xx

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: ycos2x1

 Nếu hàm số chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là

thì hàm số có chu kì là bội chung nhỏ nhất của

 Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì hàm số (c là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T

➋ Dạng 2 Tuần hoàn, chu kỳ

 Ta biến đổi: sin 2 cos 2 1sin 4

 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương  thỏa :

 f x    f x cosx   cos 3x   cosxcos 3x

x

nm

 Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

sin

yx

 Bài tập minh họa:

 cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

 sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x

 Bước 1 : Tìm TXĐ của hàm số

 Bước 2 : Chứng minh là tập đối xứng, nghĩa là

 Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) Có 3 khả năng:

 Chú ý: Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm số lẻ y=cosxlà hàm chẵn

➌ Dạng 3 Tính chẵn, lẻ

 Bài tập minh họa:

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1 y4sin cosx x1 2 y 4 3sin 22 x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau sin  1

 Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn thì

 Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn thì

Giải

Vì 0 x   nên 0 sin x1,do đó sin 1

sin

xx

Câu 15: Tập xác định của hàm số 3 cot2

cos 1

xy

x





 Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là 

Câu 17: Tập xác định của hàm số cos 2

1 sin

xy

{.Các hàm số y sin ,x ycos ,x ycotx đều là hàm số chẵn

|.Các hàm số ysin ,x ycot ,x ytanx đều là hàm số lẻ

}.Các hàm số y sin ,x ycot ,x ytanx đều là hàm số chẵn

~.Các hàm số ysin ,x ycos ,x ycotx đều là hàm số lẻ

Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

cot 4

Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

{ y 1 sinx | y x tanx } ysin5x ~ ycos sinx 2x Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

{ y 2sinx | y2sin 2x } ysinxcosx ~ y 2cosxCâu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên ?

Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

{ y x 2cosx | ysin 2x } ysin2x ~ ycos 2x

Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?

x

Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?

Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T  ?

{ ysinx | y2sinx } ysin 2x ~ y 2 sinx Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì

{.Hàm số ytanxsinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 

|.Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 

}.Hàm số ycotxtanx là hàm số tuần hoàn với chu kì 

~.Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số cot 3

{.Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì .

|.Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 2

}.Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì

2

 .

~.Hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 

Câu 39: Trong bốn hàm số:  1 ycos 2 ; 2x  ysin ; 3x   ytan 2 ; 4x  ycot 4x có mấy hàm số

tuần hoàn với chu kỳ  ?

Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

{ ycosx tuần hoàn với chu kỳ  | ycosx là hàm nghịch biến trên  0;

{ 2 và 2 | 4 2 và 8 } 2 và 4 ~ 4 2 1 và 7 Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y   2 cos2x là

Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ Tìm những giá trị để

hàm số nhận giá trị âm

Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 3 2cos2x lần lượt là

{ ymax 5,ymin 1 | ymax1,ymin  1 } ymax3,ymin 1 ~ ymax5,ymin  1 Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y2 cosxsinx

Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

{ ycotx | ysin 2x } ysinx ~ ycos 2x

Câu 63: Cho đồ thị với x   ;  Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?

O1

{ ycosx | y cosx } ysinx ~ ycos x

Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số ysinx, hãy tìm số nghiệm của phương trình: sin 1

2018

xtrên đoạn 5 ;5

{.Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

|.Hàm số ysinx nghịch biến trên khoảng ;

~.Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 

Câu 68: Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

{.Hàm số y cot x đồng biến trên khoảng  0;

|.Hàm số y sin x đồng biến trên khoảng 3 ;5

}.Hàm số y sin x nghịch biến trên khoảng   ;2 

~.Hàm số y cos x đồng biến trên khoảng ;

Câu 70: Cho hàm số ysinx Khẳng định nào dưới đây sai?

{.Hàm số đã cho là hàm lẻ | Hàm số đã cho có tập giá trị là 1;1

}.Hàm số đã cho đồng biến trên 0; 2 ~ Hàm số đã cho có tập xác định  Câu 71: Cho ba hàm số ys in ;x ycos ;x ytanx Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 0;3

Điều kiện: sinx  1 0 sinx 1 sinx1

2 ,2

+) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi sin 1 0 2 ,

2

x    x  k  k

Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số 1 cos

1 sin

xy

cos 1

xy

x



 là \k k,  Câu 12: Tập xác định của hàm số   1

x





 Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là 

xy

  2

2cos 13

sin 1

xy

2sin 1 0

x

xx

Câu 17: Tập xác định của hàm số cos 2

1 sin

xy

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 cos x0  cosx1 x k2 với k

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

{.Các hàm số y sin ,x ycos ,x ycotx đều là hàm số chẵn

|.Các hàm số ysin ,x ycot ,x ytanx đều là hàm số lẻ

}.Các hàm số y sin ,x ycot ,x ytanx đều là hàm số chẵn

~.Các hàm số ysin ,x ycos ,x ycotx đều là hàm số lẻ

Lời giải Các hàm số ysin ,x ycot ,x ytanx đều là hàm số lẻ

Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

Lời giải

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Nên hàm số ycosx có đồ thị đối xứng qua trục tung

Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Lời giải Hàm số ycosx có tập xác định là  và cos  x cosx x   y cosx là hàm số chẵn

Hàm số y  sin x, ytanx, ycotx là hàm số lẻ

Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

{ y 1 sinx | y x tanx } ysin5x ~ ycos sinx 2x

Lời giảiXét hàm số y f x sin5x có tập xác định D

Vậy hàm số ycos sinx 2x là hàm số chẵn

Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

{ y 2sinx | y2sin 2x } ysinxcosx ~ y 2cosx

Lời giải Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là D là tập đối xứng

Đáp án { f x  2sinx, f   x 2sin  x 2sinx

 là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng

Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

{ y x 2cosx | ysin 2x } ysin2x ~ ycos 2x

Rõ ràng không là tập đối xứng, chẳng hạn nhưng

Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ

Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

Lời giảiHàm số ycosx là hàm số chẵn

Hàm số ytan ;x ycot ;x ysinx là hàm số lẻ

Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?

Lời giảiHàm số y  tan , x y  sin , x y  cot x là các hàm số lẻ

Hàm số ycosx là hàm số chẵn

Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T  ?

{ ysinx | y2sinx } ysin 2x ~ y 2 sinx

Lời giải Xét hàm số ysin 2x ta có:

  sin 2  sin 2 2  sin 2  ,

y x   x  x   x y x  x 

Do đó hàm số ysin 2x tuần hoàn với chu kỳ T 

Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì

  thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho: y x T   y x 

Với x0 ta có tan 2 tan 0

T  là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) 

Vậy hàm số ytan 2x tuần hoàn với chu kì

2

T  

Câu 36: Chọn khẳng định sai?

{.Hàm số y  tan x  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 

|.Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 

}.Hàm số ycotxtanx là hàm số tuần hoàn với chu kì 

~.Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Lời giảiHàm số y  sin x và ycosx tuần hoàn với chu kì 2 

Hàm số ytanx và ycotx tuần hoàn với chu kì 

Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng?

{.Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 

|.Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 2

}.Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì

2



~.Hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 

Lời giải Hàm số ysinx và ycosx tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số ytanx và ycotx tuần hoàn với chu kì 

Câu 39: Trong bốn hàm số:  1 ycos 2 ; 2x  ysin ; 3x   ytan 2 ; 4x  ycot 4x có mấy hàm số

tuần hoàn với chu kỳ  ?

Lời giải Hàm số ycos 2x tuần hoàn với chu kỳ 

Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kỳ 2

Hàm số ytan 2x tuần hoàn với chu kỳ

Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

{ ycosx tuần hoàn với chu kỳ  | ycosx là hàm nghịch biến trên  0;

Vậy hàm số đã cho có chu kì T  

Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số ycotx là

{  | 2 } k , (k) ~ k2 , (k)

Lời giảiDựa vào sách giáo khoa, T  là chu kì tuần hoàn của hàm số ycotx

Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số ytanx là

Theo tính chất của hàm số ytan x

Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số ycosx

Hàm số lượng giác: ycosx có chu kỳ là 2

Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y3cos 2x5 lần lượt là

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y3cos 2x5 lần lượt là –8 và –2

Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 7 2sin

Ta có:  1 cos 3x   1 1 2 cos 3x 1 3    1 y 3

Mà hàm số đã cho liên tục trên D 

Vậy tập giá trị của hàm số là 1;3

Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y3cosx4 là

 đạt được khi cosx    1 x  k2 k

Suy ra maxyminy8

Lời giải

Hàm số ysinx có tập giá trị trong đoạn  1;1

Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số y2sinx là 1

Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là

Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ Tìm những giá trị để

Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 3 2cos2x lần lượt là

{ ymax 5,ymin 1 | ymax1,ymin  1 } ymax3,ymin 1 ~ ymax5,ymin  1

Lời giải

Ta có 0 cos  2x      1 2 2cos2x     0 1 3 2cos2x  3

Vậy ymax 3,ymin 1

Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y2 cosxsinx

Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx  lần lượt là 3 1

Vậy tập giá trị hàm số y5sinx12cosx là 13;13

Câu 60: Hàm số y 4 11cos3x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương?

Lời giải

Ta có:  1 cosx   1 1 cos3x    1 11 11cos3x11   7 4 11cos3x15.Suy ra các giá trị nguyên của hàm số y 4 11cos3x là: S     7; 6; 5; ; 0;1; 2; ;15 

Nên có tất cả 23 giá trị nguyên

Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số y5sin 2x12cos 2x là

Lời giảiCách 1

Ta có: M là giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2 x  12cos 2 x trên  nếu  x0  sao cho y x 0 M và M  y x ,  x 

Suy ra phương trình 5 sin 2x12 cos 2xM phải có nghiệm

2 5 122 2 169 132 13 13

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y5sin 2x12cos 2x bằng 13

Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

{ ycotx | y  sin 2 x } y  sin x ~ y  cos 2 x

Lời giải

Câu 63: Cho đồ thị với x   ;  Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?

  tại 5 điểm phân biệt

Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?

x y

O1

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục Oy nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn, loại hai phương án A và |.

Ta lại có y 3 1 mà cos2(3 ) cos 2  1

3

cho nên ta chọn phương án ~

Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

{.Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

|.Hàm số ysinx nghịch biến trên khoảng ;

Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

{.Hàm số y cot x đồng biến trên khoảng  0;

|.Hàm số y sin x đồng biến trên khoảng 3 ;5

}.Hàm số y sin x nghịch biến trên khoảng   ; 2 

~.Hàm số y cos x đồng biến trên khoảng ;

* Hàm số y cot x nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định

* Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

Câu 70: Cho hàm số ysinx Khẳng định nào dưới đây sai?

{.Hàm số đã cho là hàm lẻ | Hàm số đã cho có tập giá trị là 1;1

}.Hàm số đã cho đồng biến trên 0; 2 ~ Hàm số đã cho có tập xác định 

Câu 71: Cho ba hàm số ys in ;x ycos ;x ytanx Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 0;3



Vậy không có hàm số nào đồng biến trên 0;3

.sinx = –1  x = – 2

 + k2

.tanx = –1  x = –4

 + k

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình sinx là 0

2

s inx

52

26

.cotx = –1  x = –4

 + k

2

Phân dạng bài tập

Ⓑ

Câu 1: Giải phương trình sau 2cosx 2 0

Câu 2: Nghiệm của phương trình cos 3

Ta có cos 1

2

223

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình tanx 1 0 là

Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng 0;3

Câu 5: Tất cả các nghiệm của phương trình tanxcotx là

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot 3

Nghiệm của phương trình đã cho là: x45ok180o, k

Câu 3: Số nghiệm của phương trình cot 1 0

 là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây?

{ 2 cosx  1 0 | 2 sinx  1 0 } 2 cosx  1 0 ~ 2sinx 3 0 Câu 8: Phương trình tanxtan,  thuộc  có nghiệm là

Câu 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot 3

Câu 13: Phương trình sin 2 0

x  k. ~.

2

x k

Câu 31: Nghiệm của phương trình tan 2x  là: 1 0

x  k  k là nghiệm của phương trình nào sau đây

{ 2cosx 3 0 | cos 2x 1 } 2sinx 3 0 ~ 2cosx 3 0

2

x  k k

 là nghiệm của phương trình nào sau đây

{ cos 2x 0 | cos 2x 1 } sinx1 ~ sinx0

Câu 35: Cho phương trình sin 1

2

x , nghiệm của phương trình là:

{

2622

Câu 38: Nghiệm của phương trình sin 2x 1 0 là

2

x k k

 | x k 2  k 

} 2  

2

x k  k

Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

{ tanx 3 0 | 2 cos2xcosx  1 0

b là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu?

Câu 44: Nghiệm của phương trình: sin 4xcos 5x là.0

{

22

2

kx

kx

kx

Vậy T bằng bao nhiêu?

{.Điểm E , điểm D | Điểm C, điểm F

}.Điểm D , điểm C ~ Điểm E , điểm F

Câu 50: Nghiệm của phương trình tanxcotx là

3602



2

2572



