1. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu a. Đối tượng nghiên cứu: là vật rắn biến dạng đàn hồi ở dạng thanh hoặc hệ thanh, tức là vật thể có thể bị thay đổi hình dạng dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài như tải trọng, thay đổi nhiệt độ và chuyển vị lệch của các gối tựa và do chế tạo lắp ráp không chính xác... b. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toàn bộ công trình gồm nhiều cấu kiện riêng lẻ liên kết lại với nhau tạo thành một hệ kết cấu có khả năng chịu được lực. Nghiên cứu phương pháp tính toán của kết cấu đó. So sánh với nội dung nghiên cứu môn Sức bền vật liệu đã học, hai môn học này có cùng nội dung nghiên cứu nhưng đối tượng nghiên cứu có khác nhau, Sức bền vật liệu nghiên cứu về khả năng chịu lực và phương pháp tính toán của từng cấu kiện riêng lẻ. 2. Nhiệm vụ của môn học Nhiệm vụ chủ yếu của môn Cơ học kết cấu là đi xác định nội lực (ứng lực) và chuyển vị trong công trình nhằm xây dựng công trình thỏa mãn: a. Điều kiện về độ bền: Đảm bảo cho công trình không bị phá hoại dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài. b. Điều kiện về độ cứng: Đảm bảo cho công trình không có chuyển vị và biến dạng vượt quá giới hạn cho phép nhằm đảm bảo sự làm việc bình thường của công trình. c. Điều kiện về ổn định: Đảm bảo cho công trình có khả năng bảo toàn vị trí và hình dạng ban đầu của nó dưới dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng. Với yêu cầu về độ bền, cần đi xác định nội lực; với yêu cầu về độ cứng, cần đi xác định chuyển vị; với yêu cầu về ổn định, cần đi xác định lực tới hạn mà kết cấu có thể chịu được. 3. Các bài toán môn học giải quyết a. Bài toán kiểm tra: Ở bài toán này, khi đã có một công trình có sẵn, như vậy ta đã biết trước hình dạng, kích thước cụ thể của các cấu kiện trong công trình và các nguyên nhân tác động bên ngoài. Yêu cầu: kiểm tra, phán đoán công trình theo ba điều kiện trên (độ bền, độ cứng ổn định) có đảm bảo hay không? Và ngoài ra còn kiểm tra công trình thiết kế có tiết kiệm nguyên vật liệu hay không? b. Bài toán thiết kế: Ở bài toán này, cần thiết kế một công trình, ta mới chỉ biết nguyên nhân tác động bên ngoài. Yêu cầu: Xác định hình dạng, kích thước của các cấu kiện trong công trình một cách hợp lý mà vẫn đảm bảo ba điều kiện trên. Để giải quyết bài toán này, thông thường, dựa vào kinh nghiệm hoặc dùng phương pháp thiết kế sơ bộ để giả thiết trước hình dạng, kích thước của các cấu kiện. Sau đó tiến hành giải bài toán kiểm tra như đã nói ở trên. Và trên cơ sở đó người thiết kế điều chỉnh lại giả thiết ban đầu của mình, tức là đi giải bài toán lặp.
Trang 1CHƯƠNG 2 XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢI
TRỌNG BẤT ĐỘNG 2.1 CÁC KHÁI NIỆM
2.1.1 Nội lực
1 Khái niệm: Nội lực là độ biến thiên lực liên kết của các phần tử bên trong cấu
kiện khi cấu kiện chịu tác dụng của ngoại lực và các nguyên nhân khác
* Chú ý: Khái niệm về nội lực và phản lực tại một tiết diện k nào đó của hệ là có thể đồng nhất với nhau nếu quan niệm tiết diện là một liên kết hàn hoặc liên kết tương đương nối hai miếng cứng ở hai bên tiết diện k Vì vậy, sau này ta có thể đồng nhất việc xác định nội lực với việc xác định phản lực trong các liên kết
2 Các thành phần nội lực: Môn Cơ học kết cấu chủ yếu xác định 3 thành phần
nội lực:
- Mômen uốn: Mô men xoay quanh một vị trí nào đó, Ký hiệu M
- Lực cắt: Lực vuông góc trục thanh, Ký hiệu Q
- Lực dọc: Lực dọc trục thanh, Ký hiệu N
3 Quy ước dấu các thành phần nội lực
- Mômen uốn M quy ước xem là dương khi nó làm căng thớ dưới và ngược lại (H.2.1a)
- Lực cắt Q quy ước xem là dương khi nó làm cho phần hệ có lực cắt đó xoay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại (H.2.1b)
- Lực dọc N quy ước xem là dương khi có khuynh hướng gây kéo và ngược lại (H.2.1c)
- Vị trí ngưới đứng quan sát có hướng nhìn từ dưới lên đối với thanh ngang; từ phải sang trái đối với thanh đứng và thanh xiên khi xét dấu nội lực (H.2.1d)
Ví dụ 1: Xét dấu M, Q, N tại tiết diện k Chiều như trong hình (H.2.2) là theo
chiều dương quy ước Nếu chiều mũi tên ngược lại là chiều âm
4 Cách xác định nội lực (phản lực)
a Cách 1 (cách lý thuyết)
Mk < 0 Mk > 0 Qk < 0 Qk > 0
Nk < 0 Nk > 0
Mk
Nk
Mk
Nk
H.2.2
H.2.1d H.2.1c
k
k
Trang 2Nội lực (phản lực) được xác định bằng phương pháp mặt cắt Các bước tiến hành
như sau:
- Bước 1: Thực hiện một mặt cắt qua tiết diện cần xác định nội lực (qua liên kết cần xác định phản lực) Mặt cắt phải chia hệ thành hai phần độc lập Xét cân bằng một phần hệ
- Bước 2: Thay thế tác dụng của phần hệ bị loại bỏ bằng các thành phần nội lực (phản lực) tương ứng Các thành phần này có chiều chưa biết, có thể giả thiết có chiều dương, và chúng cũng là các đại lượng cần tìm
- Bước 3: Thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học cho phần hệ đang xét
- Nội lực (phản lực) phụ thuộc vào liên kết, bao gồm:
+ Nội liên kết là liên kết nối giữa các miếng cứng với nhau (T, K, H)
+ Ngoại liên kết là liên kết nối miếng cứng với trái đất (C)
Toàn hệ: T + 2K + 3H + C thành phần nội lực (phản lực)
Về nguyên tắc: Khi xét cân bằng mỗi miếng cứng ta sẽ thiết lập được 3 phương trình cân bằng tĩnh học Trong hệ có D miếng cứng ta sẽ thiết lập được 3D phương trình cân bằng Như vậy T + 2K + 3H + C sẽ được giải bằng 3D phương trình
Tuy nhiên khi xét cân bằng, chỉ có 3 phương trình độc lập tuyến tính với nhau, các phương trình cân bằng còn lại là phụ thuộc tuyến tính
Do vậy ta sử dụng 3 phương trình để xét cân bằng toàn hệ, chẳng hạn:
+ Dạng I: X = 0; Y = 0; MA = 0 (Trục X không được song song với trục Y) + Dạng II: X = 0; MA = 0; MB = 0 (Trục X không được vuông góc với AB) + Dạng III: MA = 0; MB = 0; MC = 0 (A, B, C không được thẳng hàng)
- Bước 4: Giải hệ phương trình các điều kiện cân bằng sẽ xác định được các thành phần nội lực (phản lực) Nếu kết quả mang dấu dương thì chiều của nội lực (phản lực) đúng chiều đã giả định và ngược lại
Ví dụ 2: Xác định nội lực (M,Q,N) tại điểm K trong hình (H.2.3)
* Nhận xét: Cắt mặt cắt qua k cần xác định nội lực, nếu ta giữ lại phần bên phải khi xét cân bằng hệ trên thì không cần tính toán phản lực tại A
X = 0 Nk = 0
Y = 0 Qk - q.2= 0 Qk = q.2 = 10.2 = 20 kN
Mk = 0 Mk + q.2.1= 0 Mk = - q.2.1 = 10.2.1 = - 20 kN.m
b Cách 2 (cách thực hành)
Bỏ qua bước viết các phương trình cân bằng, xác định ngay được các thành phần nội lực:
+ Mômen uốn tại tiết diện k (Mk): có giá trị được xác định bằng tổng mômen của tải trọng tác dụng lên phần hệ giữ lại lấy đối với trọng tâm tiết diện k
+ Lực cắt tại tiết diện k (Qk): có giá trị được xác định bằng tổng hình chiếu của các tải trọng tác dụng lên phần hệ được giữ lại lên phương vuông góc với tiếp tuyến trục thanh tại tiết diện k (phương của Qk)
+ Lực dọc tại tiết diện k (Nk): có giá trị được xác định bằng tổng hình chiếu của các tải trọng tác dụng lên phần hệ được giữ lại lên phương tiếp tuyến với trục thanh tại tiết diện k (phương của Nk)
H.2.3 Qk
Trang 3- Dấu của các đại lượng trong biểu thức xác định nội lực:
+ Tải trọng gây căng thớ dưới tại tiết diện k sẽ cho Mk mang dấu dương và ngược lại
+ Tải trọng tác dụng làm cho phần hệ xoay thuận chiều kim đồng hồ sẽ cho Qk mang dấu dương và ngược lại
+ Tải trọng gây kéo tại tiết diện k sẽ cho Nk mang dấu dương và ngược lại
Ví dụ 3: Xác định nội lực (M,Q,N) tại điểm K, A trong hình (H.2.3) theo cách thực hành
Qk = q.2 = 10.2 = 20 kN QA = q.4 = 10.4 = 40 kN
Mk = - q.2.1 = - 10.2.1 = - 20 kN.m MA = - q.4.2 = - 10.4.2= - 80 kN.m
2.1.2 Bước nhảy: Là vị trí mà giá trị nhịp có sự gián đoạn do ngoại lực tập trung sinh
ra
1 Ngoại lực là momen tập trung (H.2.4a)
Xét cân bằng:
X = 0 Nktr = Nkph
Y = 0 Qktr = Qkph
Mk = 0 Mkph - Mktr - M = 0 Mkph - Mktr = M Mk = M
Kết luận:
+ Tại vị trí có momen tập trung: Nk, Qk không có bước nhảy; Mk có bước nhảy
Mk = M
+ Qui tắc bút chì: Dùng cái bút chì đi từ trái sang phải, gặp momen tập trung, bút chì xoay theo chiều momen chính là chiều bước nhảy
2 Vị trí có lực tập trung vuông góc trục thanh (H.2.4b)
Tương tự ta cũng xét cân bằng: Nktr = Nkph, Qktr - Qkph = Qk = P, Mkph = Mktr
- Kết luận:
+ Tại điểm có lực tập trung vuông góc trục thanh: Nk, Mk không có bước nhảy;
Qk có bước nhảy Qk = Q
+ Chiều bước nhảy Qk tuân theo qui tắc bút chì
3 Vị trí có lực tập trung dọc trục thanh (H.2.4c)
Tương tự: Nkph - Nktr = Nk = P, Qktr = Qkph, Mkph = Mktr
∆Nk = P
Mk = Mk
Qk = P
H.2.4b H.2.4a
H.2.4c
Trang 4Kết luận:
+ Tại điểm có lực tập trung dọc trục thanh: Qk, Mk không có bước nhảy;
Nk có bước nhảy Nk = P
+ Chiều bước nhảy Nk khôngtuân theo qui tắc bút chì; mà lực P hướng về phía nào thì phía đó có N nhỏ hơn
4 Vị trí có lực tập trung theo phương bất kỳ: Có thể đưa về tổng hai bài toán
(H.2.4d)
2.1.3 Dạng của biểu đồ
- Quan hệ vi phân
n
= = =
Mối liên hệ vi phân cho ta thấy tải
trọng q kém Q & N một bậc về mặt toán
học; kém M hai bậc về mặt toán học
Mặc khác, với một hệ đã cho thì bậc của tải trọng trên mỗi đoạn thanh là hoàn toàn xác định, nghĩa là dạng đường biểu đồ (M), (Q), (N) cũng hoàn toàn xác định
Ví dụ 4: Kiểm tra mối liên hệ giữa nội lực và tải trọng tại tiết diện k, cách gốc A đoạn x (H.2.5a)
VA = VB = 20 (kN)
- Nội lực tại k:
2
k A
x
20 5
k
* đạo hàm Mk: dM k 20 10
x
+ Q k =V A−q x =20 10− x (2)
k
dM
dx
dx
dQ k
−
=
−
=
(chiều hướng xuống)
1 Trường hợp trên đoạn thanh không chịu tải trọng phân bố tác dụng (H.2.5b)
Tức là q = 0 (qn = 0; qt = 0) (Q), (N) là hằng số; (M) có dạng bậc nhất
Như vậy, (Q) & (N) trên đoạn này sẽ song song với đường chuẩn;
(M) sẽ là đoạn đường thẳng vẽ qua hai điểm
Mối quan hệ nội lực ở 2 đầu đoạn thanh: tr ph M ph M tr
l
−
P1 ⊥ trục thanh
P2 trục thanh
=
H.2.5a
H.2.4d
q
q = qn + q
qn ⊥ trục thanh
q trục thanh
Trang 52 Trường hợp trên đoạn thanh chịu tải phân bố đều (H.2.5c)
Tức là q = const ( qn = q.cos ; qt = q.sin ) (Q), (N) có dạng bậc nhất; (M) có dạng bậc hai
Như vậy, (Q) & (N) trên đoạn này sẽ là đoạn đường thẳng được vẽ qua hai điểm; (M) sẽ là đường parabol được vẽ qua ba điểm
2
8
n
m
q l
f = (gọi là tung độ treo); f treo vuông góc với đường chuẩn và theo chiều qn Mối quan hệ giữa mômen và lực cắt tại hai đầu thanh:
3 Trường hợp trên đoạn thanh chịu tải trọng phân bố hình tam giác
Tức là q có dạng bậc nhất (qn = q.cosα; qt = q.sinα) (Q), (N) có dạng bậc hai; (M) có dạng bậc ba
Như vậy, (Q) & (N) trên đoạn này sẽ là đoạn đường parabol được vẽ qua ba điểm; (M) sẽ là đường bậc ba, cho phép vẽ qua ba điểm
-2
16
n
M
q l
f = ; fM treo vuông góc với đường chuẩn và treo theo chiều q
8
n
Q
q l
f = , fQ treo vuông góc với đường chuẩn và có chiều sao cho tại vị trí q = 0, tiếp tuyến với đường biểu đồ song song với đường chuẩn
8
t
N
q l
f = , fN treo vuông góc với đường chuẩn và có chiều sao cho tại vị trí q = 0, tiếp tuyến với đường biểu đồ song song với đường chuẩn
Trang 6
Mối quan hệ giữa mômen và lực cắt tại hai đầu thanh:
- Khi tải phân bố tam giác có đáy bên phải (H.2.5d):
- Khi tải phân bố tam giác có đáy bên trái (H.2.5e):
* Tổng quát:
+ Khi q = 0 k1 = k2 = 0 + Khi q = const k1 = k2 =1
2
k1 = 1
6; k2 = 1
3
k1 = 1
3; k2 = 1
6
* Chú ý:
lcos
qtđ.l qtđ
qtđ = q.cos
q.lcos
+ Khi q dạng tam giác
l
q
l
Trang 7
2.1.4 Biểu đồ nội lực
1 Khái niệm: Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn quy luật biến thiên của nội lực
dọc theo chiều dài cấu kiện
2 Các thành phần của biểu đồ nội lực
- Đường chuẩn: là hệ trục dùng để dựng các tung độ, thường chọn đường chuẩn là
đường trục thanh
- Tung độ: tung độ của biểu đồ nội lực tại một vị trí nào đó là biểu thị cho nội lực tại tiết diện tương ứng, tung độ dựng vuông góc với đường chuẩn
- Đường biểu đồ: là đường nối các tung độ
3 Các quy ước khi vẽ biểu đồ nội lực,
- Biểu đồ momen M: tung độ âm dựng lên trên đường chuẩn Điều này có nghĩa là tung độ dựng về phía thớ căng
- Biểu đồ lực cắt Q, lực dọc N: tung độ dương dựng lên trên đường chuẩn và ngược lại
- Ghi ký hiệu , () vào miền dương (âm) của biểu đồ lực cắt và lực dọc
- Ghi tên và đơn vị trên các biểu đồ đã vẽ được
4 Cách vẽ biểu đồ nội lực
Theo môn Cơ học kết cấu, vẽ biểu đồ nội lực tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần)
- Bước 2: Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng
+ Tiết diện đặc trưng: là những tiết diện chia hệ thành những đoạn thanh thẳng sao cho trên đoạn thanh đó hoặc là không chịu tải trọng hoặc là chỉ chịu tải trọng phân
bố liên tục Vị trí các tiết diện đặc trưng thường là: ở nút (nơi giao nhau các thanh), ở
vị trí lực tập trung, ở hai đầu tải trọng phân bố, tại vị trí các gối tựa
- Bước 3: Vẽ biểu đồ nội lực
Sử dụng các liên hệ vi phân để vẽ
- Bước 4: Kiểm tra lại kết quả
+ Kiểm tra bước nhảy
+ Kiểm tra mối liên hệ vi phân của lực cắt và momen
đường biểu đồ
H.2.3
đường chuẩn Tung
độ
