Bài giảng Hình học 12 - Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian (Tiết 2) giúp học sinh hệ thống, củng cố lại kiến thức về lý thuyết để vận dụng giải các bài tập. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo!
Trang 1BÀI D Y:Ạ
§3 PH ƯƠ NG TRÌNH Đ ƯỜ NG TH NG Ẳ TRONG KHÔNG GIAN
(TI T 37) Ế
Trang 3NH C L I M T S KI N TH C Ắ Ạ Ộ Ố Ế Ứ
Vect ,có giá song song ơ
ho c trùng v i đặ ớ ường th ng ẳ
được g i là VTCP c a ọ ủ
đường th ng ẳ
0
ur r
∆
∆
0 1
0 2
x=x +a t y=y +a t
2 2
1 2 (a + a 0)
1 2
( 0)
a a
− = −
1)Vect ch phơ ỉ ương c a đủ ường
th ng ẳ ∆
x
o
∆
y
M
1
u ur
r
u
∆
Đường th ng :ẳ 0 0
1 2
( ; ) ( ; )
Qua M x y VTCP u a ar
a) Pt tham s c a có d ng:ố ủ ∆ ạ
2.Pt tham s , pt chính t c c a ố ắ ủ
đường th ng ∆ ẳ
b) Pt chính t c c a có d ng:ắ ủ ∆ ạ
Trang 4O y
z
∆
u r
x
a r
M
Trang 5I. PHƯƠNG TRÌNH THAM S C A ĐỐ Ủ ƯỜNG TH NG:Ẳ
y
z
x
M0 0
M
a r
CM:
Ta có: M M x x y y z zuuuuuur0 ( − 0; − 0; − 0)
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +
= +
= +
0
M � � ∆ M Muuuuuur cùng phương với a r
0 1
0 2
0 3
( )
= +
= +
1. Đ nh lý: ị
Trong không gian Oxyz cho
đ ườ ng th ng đi qua ẳ M(x0 ;y0;z0)
nh n làm vect ch ậ ơ ỉ
ph ươ ng. Đi u ki n c n và đ đ ề ệ ầ ủ ể
đi m ể M(x; y; z) n m trên là có ằ
m t s th c ộ ố ự t sao cho:
∆
∆
1 2 3
( ; ; )
=
ra a a a
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
− =
− =
�
− =
0
M M ta=
� uuuuuur r
Trang 6I. PHƯƠNG TRÌNH THAM S C A ĐỐ Ủ ƯỜNG TH NGẲ
trong đó t là tham số
Định nghĩa:
Ph ươ ng trình tham s c a đ ố ủ ườ ng th ng đi qua đi m ẳ ể
M(x0 ;y0 ; z0 ) và có vect ch ph ơ ỉ ươ ng là ph ươ ng
trình có d ng: ạ
∆
1 2 3
( ; ; )
=
r
a a a a
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
Chú ý:
Nếu đều khác 0 ta còn viết pt của
đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau:
= =
1, ,2 3
a a a
∆
Trang 7Đường thẳng : ∆ 0 0 0
1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )
qua M x y z VTCP a a a ar
0 0 0
= =
x x y y z z
Pt chính tắc của :∆
1 2 3
( a a a 0)
Ví d 1:ụ Trong không gian Oxyz .Vi t ế
pt tham s , pt chính t c c a đố ắ ủ ường
th ng đi qua đi m M(1;2;3) và có ẳ ể
vect ch phơ ∆ ỉ ương
(2;3; 4)
ur −
Giải:
Pt tham số của :∆
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
= +
∆
Pt chính tắc của :
x − = y + = z −
−
1 2
2 3
3 4
= +
= − +
= −
Pt tham s c a đố ủ ường
th ng là:ẳ ∆
Trang 8Ví d 2:ụ Trong không gian Oxyz cho hai đi m ể A(1; -2; 3) và
B(3; 1; 1).Vi t phế ương trình tham s c a đố ủ ường th ng AB.ẳ
Đường th ng AB có VTCP là ẳ uuurAB = (2;3; 2)−
Pt tham s c a đố ủ ường th ng AB là:ẳ
1 2
2 3
3 2
= +
= − +
= −
Đường thẳng : 0 0 0
1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )
qua M x y z VTCP a a a ar
∆
Pt tham số của :
0 1
0 2
0 3
( )
= +
= +
= +
x x a t
y y a t t R
z z a t
∆
A
B
Trang 9Đường thẳng d có VTCP : u uurd ( 1; 3; 2) − − −
suy ra có VTCP ∆
/ /d
∆ u uur uur∆ = ud ( 1; 3; 2) − − −
1
3 3
2 2
= − −
= −
= −
Pt tham s c a đố ủ ường th ng là:ẳ ∆
M
∆
d
d
u uur
Ví dụ 3:
1
2 3
3 2
= −
= − −
= − Giải:
Trong không gian Oxyz. Vi t phế ương trình tham s c a ố ủ
đường th ng qua M( 1;3;2) và song song v i đẳ ớ ường
th ng d có phẳ ương trình:
∆
Trang 10VD4: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có phương
trình tham số: 3 2
1 2
= −
= +
= −
∆
Hãy tìm tọa độ một điểm M trên và một vectơ chỉ phương
của
∆
∆
Chú ý:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có pt tham số: ∆
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
= +
∆ Với mỗi điểm M tùy ý thuộc thì M x a t y a t z a t ( 0 + 1 ; 0 + 2 ; 0 + 3 )
Đường thẳng đi qua M(3;1;2) và một VTCP của là∆ ∆ uuur∆ = − −( 2;1; 1)
Trang 11P
n uur
a) Ta có: mp(P) có VTPT
Vì nên có VTCP∆ ⊥ ( )P ∆
Pt tham s c a đố ủ ường th ng là ẳ
2 4 3
= +
= − +
= +
∆
(2;4;1)
p
u uur uur∆ = n
Gi iả
Ví d 5:ụ
Trong không gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0.và đi m A(1; 2; ể 3)
a.Vi t pt tham s c a đế ố ủ ường th ng đi qua A và vuông góc v i ẳ ớ mp(P)
b.Tìm t a đ hình chi u H c a A lên mp(P).ọ ộ ế ủ
∆
P)
P
n uur
∆
A
G i H (1+2t;2+4t;3+t) là hình chi u c a A lên (P).ọ ế ủ
Ta có H � � ( ) P
2
21 6
7
t = − t = −
H −
H
2(1+2t) + 4(2+4t) + 3+t + 9 = 0
b)
Trang 12Gọi H(3-2t;1+t;2-t) là hình chiếu của A lên .∆
AH u∆ = uuur uur
3 2 1 2
y t
z t
= −
= +
= −
VD6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;1)và đường
thẳng có phương trình tham số: ∆
Tìm tọa độ hình hình chiếu H của A lên ∆
Giải
( 2;1; 1)
u uur∆ − −
, có VTCP∆
(1 2 ; 2 ;1 )
AH − t − + t − t
uuur
Ta có:
A
H
∆
u uur∆
Vì H là hình chi u c a A lên nên: ế ủ ∆
2(1 2 ) 1( 2 ) 1(1 ) 0t t t
− − + − + − − =
AH ⊥ u∆
uuur uur
4 11 7 ( ; ; )
3 6 6
H
5 6
�
Trang 13C ng c :ủ ố
Pt tham số của :
0 1
0 2
0 3
( )
= +
= +
= +
x x a t
y y a t t R
z z a t
∆
Đường thẳng : 0 0 0
1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )
qua M x y z VTCP a a a ar
∆
1)
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có pt tham số: ∆
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
= +
∆ Với mỗi điểm M tùy ý thuộc thì M x a t y a t z a t ( 0 + 1 ; 0 + 2 ; 0 + 3 )
2)
(v i )ớ a a a1 .2 3 0
= =
Pt chính t c ắ
c a :ủ
∆
Trang 141)Trong không gian Oxyz cho đường th ng d đi qua M(3;2;2) và ẳ
có VTCP pt tham s c a đa r (2;3;3) ố ủ ường th ng d là:ẳ
3 2
2 3
2 3
= +
= +
= − +
3 2
2 3
2 3
= − +
= +
= − +
C
A
3 2
2 3
2 3
= +
= − +
= − +
D
2 3
3 2
3 2
= +
= +
= −
B Bài t p tr c nghi m:ậ ắ ệ
Trang 152)Trong không gian Oxyz cho đường th ng d đi qua M(3;4;2) và ẳ vuông góc v i mp(Q):3x4yz+2=0 .Phớ ương trình tham s c a ố ủ
đường th ng d là:ẳ
B A
3 3
4 4 2
= +
= −
= − −
3 3
4 4 2
= +
= −
= − +
3 3
4 4 2
= −
= −
= − −
3 3
4 4
1 2
= +
= − +
= − −
