Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh bài tập Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm; nguyên hàm của hàm số hữu tỷ; nguyên hàm đổi biến số; tính chất nguyên hàm và nguyên hàm của hàm ẩn...

 Bài toán 1.Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )(giả sử điều kiện được xác định)

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 4 x34x5 thỏa mãn F(1) 3

6 2263

  

 

32

4

2 1

28

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 9: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số  



11

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Cần nhớ: sin 2x2sin cos ,x x  2  2  2    2

cos 2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

l) Tìm  2

6dcos 3

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 14: Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số f x sin 2x và   

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

C F x cosxtanx 2 1 D F x  cosxtanx 2 1

Suy ra F x  cosxtanx 2 1

Câu 17: Cho F x là một nguyên hàm của   2 

sin 2x cos 2x dx x acos 4x C

b , với a b, là các số nguyên dương,

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số  2

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

F A

15 5

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHÔNG CĂN)

 Bài toán 5 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):

x

x

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x

x

x a x x b x

b x

b x

x x    

14

b x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

4 5

11

x

x

x a x x b x

4 11

12

x

x

x a x x b x

c x

+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại

+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi

Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):

 Bài toán 6 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I x1 sin d x x

12

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

2

d 2 d

x x

DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

 Định lí: Cho  f u( )du F u ( )C và u u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

m n

n

PP n

1( ln ) d

x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

d(tan )

sin d sin 2 dcos d sin 2 d

Suy ra   

6 2

1

.12

2

1

ln 22

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x x I

x x I

C t

x

C x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x x I



(7 1) d(2 1)



d(1 )

2 2002

1

.2001

u

x x

x I

44

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x I

99

x x x

dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Nhóm đổi biến hàm số lượng giác

 Bài toán 11 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm  3

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

cos2018

sin2020

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

2 cos 1 3 cos 2sin d

2 cos 3 cos 1

x x I

ln cos 1 ln cos 12

6

x x

2tan

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

o) Tìm  2

tan

d cos

x t

x t

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

1 2 sin cos 2 sin cos 1

ln 2 ln 24

F x ax bx c là một nguyên hàm của hàm số f x( ) (2 x25x2).ex trên

Giá trị của biểu thức f F (0) bằng

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x x x

x là nghiệm bội bậc hai nên f x  không đổi dấu qua x2

Vậy hàm số yF x  có hai điểm cực trị

Câu 5: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số  2 3

.(

( ) ex 4 )

f x x x Hàm số 2 

F x x có bao nhiêu điểm cực trị?

2 2

2 2

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

f

Câu 9: Cho hàm số f x( ) thỏa f x2( ) 2 ( ) ( ) 5 xf x f x  x4 với f(1) 0, ( ) 0. f x  Hệ số góc tiếp tuyến

k của đồ thị hàm số y f x( ) tại điểm có hoành độ x2 bằng

Câu 13: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos 3  x

A cos 3 dx x3sin 3x C B cos 3 d  sin 3 

3

x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

A cosxsinx3. B cosxsinx3.

C sinxcosx1. D cosxsinx1.

Vậy F x  cosxsinx1

Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn

( ) 3 5sin 

f x x và f(0) 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A f x( ) 3 x5cosx5 B f x( ) 3 x5cosx2

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

C F x( ) cos xtanx 2 1 D F x( ) cosxtanx 2 1

Vậy F x( ) cosxtanx 2 1.

Câu 23: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho ( )  13

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số y(x1)cosx

A (x1)sinxcosx C B (x1)sinxcosx C

C  (x 1)sinxcosx C D  (x 1)sinxcosx C

Lời giải

Chọn B

Khi đó  x1 cos d x xx1 sin xsin dx xx1 sin xcosx C

Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

cos

x

f x

x

A xcotxln cosx C B xtanxln cosx C

C xcotxln cosxC D xtanxln cosx C

Câu 28: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) ln x thỏa mãn điều kiện F(1) 3 Tính giá trị

của biểu thức  (e)  

I u u B  1  5

d12

I u u C  1  5

d16

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm



 2 1d8

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

21

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

.9

.3

.9

Lời giải

30

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

x C

43

x C x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

A C

A B B

A B C

d

x

I f x e x Đặt

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

A F x( )xsinxcosx2019 B F x( ) xcosxsinx2018

C F x( )xsinxcosx2019 D F x( ) sin x x cosx2018

t x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Suy ra: T4J2I= x3ln sinxcosx C

Câu 65: Tìm một nguyên hàm của hàm số  ln 2 

ln 1

x

ln 13

1

13



3 2

1

13

1

13

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

e e

21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.A 27.A 28.A 29.C 30.B

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3 (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN) Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 4 (1 ln ) x  x là

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Theo định lý Viet ta thấy phương trình g x 0 có hai nghiệm x x1; 2 và x1x2  3

Mẫu 1 Cho hàm số f x( ) xác định trên \{1} thỏa  

2 ln(1 ) khi 11

ln(1 ) khi 11

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Câu 76: Cho hàm số f x( ) xác định trên \{2} thỏa f x( ) 2x4 , f(1) 1 và f(3) 2

Giá trị của biểu thức f( 1)  f(4) bằng bao nhiêu?

4 1 khi 2( )

x c có đồ thị như hình vẽ nên a0, suy ra

đồ thị có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x c và đường tiệm cận ngang là ya Từ đồ thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng x1; đường tiệm cận ngang y1

ln( 1) khi 1ln(1 ) khi 1

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

1(1)

0

C C

2 1 khi 0

x x

2 1 khi 0

x x

khi 08



 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Câu 85: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x    f x ex và f 0 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số y x    f x tại giao điểm với trục hoành là

e x f x e x f x 1 e x f x 1 Lây nguyên hàm hai vế ta được:

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

Lời giải

Chọn A

7 cos 4 sin d 3 cos sin d 11 sin cos d