Chuyên đề môn Toán lớp 9: Biến đổi và rút gọn căn thức bậc hai cung cấp cho các em học sinh hệ thống kiến thức lý thuyết và các bài tập vận dụng nhằm khắc sâu kiến thức, hỗ trợ cho việc học.
Trang 1CHUYÊN Đ : BI N Đ I & RÚT G N CĂN TH C B C HAIỀ Ế Ổ Ọ Ứ Ậ
A – LÝ THUY TẾ
I . Bi n đ i đ n gi n bi u th c ch a căn th c b c hai ế ổ ơ ả ể ứ ứ ứ ậ :
Đ a th a s ra ngoài d u căn:ư ừ ố ấ (B ≥ 0)
Đ a th a s vào trong d u căn:ư ừ ố ấ (v i A ≥ 0 và B ≥ 0)ớ
(v i A < 0 và B ≥ 0)ớ
Kh m u c a bi u th c l y ử ẫ ủ ể ứ ấ
Tr c căn th c m u:ụ ứ ở ẫ (A > 0)
(A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)
II . Rút g n bi u th c ch a căn th c b c hai ọ ể ứ ứ ứ ậ :
B ướ c 1: Dùng các phép bi n đ i đ n gi n đ đ a các căn th c b c hai ph c t pế ổ ơ ả ể ư ứ ậ ứ ạ thành căn th c b c hai đ n gi n.ứ ậ ơ ả
B ướ c 2: Th c hi n phép tính theo th t đã bi t.ự ệ ứ ự ế
B – BÀI T PẬ
D NG 1Ạ : Tính giá tr c a bi u th c.ị ủ ể ứ
Bài t p 1: ậ Tính:
Bài t p 2: ậ Tính:
a) A = ;
b) B = ;
c) C =
Bài t p 3: ậ Th c hi n phép tính: B = .ự ệ
Bài t p 4: ậ Th c hi n phép tính: A = .ự ệ
Bài t p 5: ậ Tính giá tr c a bi u th c: M = v i .ị ủ ể ứ ớ
Bài t p 6: ậ Cho , . Tính
Bài t p 7: ậ Cho bi t: .ế
Trang 2Bài t p 8: ậ Cho bi u th c .ể ứ
Tính giá tr c a bi u th c: M = .ị ủ ể ứ
D NG 2Ạ : Rút g n bi u th c.ọ ể ứ
Bài t p 9: ậ Tr c căn th c m u: ụ ứ ở ẫ
Bài t p 10: ậ Rút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 11: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
Bài t p 12: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) ;
b) v i a ≥ 0;ớ
c) v i b ≥ 0.ớ
Bài t p 13: ậ Tr c căn th c m u và rút g n (n u có th ):ụ ứ ở ẫ ọ ế ể
Bài t p 14: ậ Rút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 15: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
Bài t p 16: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
b) B = ;
Bài t p 17: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) A = ;
b) B = ;
c) C =
v i và .ớ
Bài t p 18: ậ Rút g n bi u th c: P = .ọ ể ứ
Bài t p 19: ậ Rút g n bi u th c: Q = v i x > y > 0.ọ ể ứ ớ
Bài t p 20: ậ Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
Trang 3A = v i và b > a > 0.ớ
Bài t p 21: ậ Rút g n bi u th c: B = v i và 0 < a < 1.ọ ể ứ ớ
Bài t p 22: ậ Rút g n bi u th c: M = ọ ể ứ
v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.ớ
Bài t p 23: ậ Rút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 24: ậ Rút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 25: ậ Rút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 26: ậ Rút g n bi u th c: B = .ọ ể ứ
Bài t p 27: ậ Rút g n r i tính giá tr c a bi u th c t i x = 3.ọ ồ ị ủ ể ứ ạ
M =
Bài t p 28: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) A = ;
b) B =
Bài t p 29: ậ Tr c căn th c m u c a các bi u th c sau:ụ ứ ở ẫ ủ ể ứ
a) A = trong đó a, b, c là các s dố ương th a mãn đi u ki n c là trung bình nhân c aỏ ề ệ ủ hai s a và b.ố
b) B = trong đó a, b, c, d là các s dố ương th a mãn đi u ki n ab = cd và a + b ≠ c +ỏ ề ệ d
D NG 3Ạ : Gi i phả ương trình, b t phấ ương trình
Bài t p 30: ậ Gi i phả ương trình:
Bài t p 31: ậ Gi i phả ương trình:
a) ;
b) ;
c) ;
d)
Bài t p 32: ậ Cho A = trong đó x
Trang 4Xác đ nh x đ giá tr c a A là m t s t nhiên.ị ể ị ủ ộ ố ự
Bài t p 33: ậ Tìm các s t nhiên x, y sao cho x > y > 0 th a mãn đi u ki n: ố ự ỏ ề ệ
Bài t p 34: ậ Tìm s t nhiên n nh nh t sao cho .ố ự ỏ ấ
D NG 4Ạ : Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c.ủ ể ứ
Bài t p 35: ậ Tính giá tr l n nh t c a bi u th c: S = , bi t x + y = 8.ị ớ ấ ủ ể ứ ế
D NG 5Ạ : Ch ng minh bi u th c.ứ ể ứ
Bài t p 36: ậ Không dùng máy tính ho c b ng s , so sánh các s sau:ặ ả ố ố
a) và ;
b) và ;
c) và
Bài t p 37: ậ Không dùng máy tính ho c b ng s , ch ng minh r ng: .ặ ả ố ứ ằ
Bài t p 38: ậ Cho a, b, c là các s dố ương. Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) v i a > c, b > c.ớ
b) N u thì b + c ≥ 2a.ế
Bài t p 39: ậ
Cho bi u th c: P = . Ch ng minh r ng: P = ể ứ ứ ằ
Bài t p 40: ậ Ch ng minh r ng: ứ ằ
Bài t p 41: ậ Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) ;
b)
Bài t p 42: ậ Ch ng minh r ng A < B v i:ứ ằ ớ
A = và B =
Bài t p 43: ậ Ch ng minh các h ng đ ng th c:ứ ằ ẳ ứ
a) ;
b)
Bài t p 44: ậ Cho A = .
Hãy bi u di n A dể ễ ướ ại d ng t ng c a ba căn th c.ổ ủ ứ
Trang 5Bài t p 45: ậ Ch ng minh h ng đ ng th c sau v i x ≥ 2:ứ ằ ẳ ứ ớ
Bài t p 46: ậ Ch ng minh r ng .ứ ằ
Áp d ng tính .ụ
Bài t p 47: ậ Ch ng minh r ng v i n ứ ằ ớ
Áp d ng tính t ng:ụ ổ
Bài t p 48: ậ Tính giá tr c a bi u th c:ị ủ ể ứ
Bài t p 49: ậ Cho a =
a) Vi t aế 2, a3 dướ ại d ng trong đó m là s t nhiên.ố ự
b*) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dứ ằ ớ ọ ố ương n, s aố n vi t đế ược dướ ại d ng trên
Bài t p 50: ậ Ch ng minh r ng v i m i x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá tr c a bi u th c sauứ ằ ớ ọ ị ủ ể ứ không ph thu c vào giá tr c a các bi n x, y.ụ ộ ị ủ ế
A =
Bài t p 51: ậ Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi m t. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th cộ ứ ằ ị ủ ể ứ
P không ph thu c vào giá tr c a các bi n.ụ ộ ị ủ ế
P =
Bài t p 52: ậ Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c sau không ph thu c vào giá tr c aứ ằ ị ủ ể ứ ụ ộ ị ủ
bi n:ế
a) Q = v i x > 1.ớ
b) R = v i x ≥ 0.ớ
D NG 6Ạ : Các bài toán t ng h p.ổ ợ
Bài t p 53: ậ Cho: M =
a) Tìm các s nguyên a đ m là s nguyên;ố ể ố
b) Ch ng minh r ng v i a = thì M là s nguyên;ứ ằ ớ ố
c) Tìm các s h u t a đ M là s nguyên.ố ữ ỉ ể ố
Bài t p 54: ậ Cho bi u th c: M = .ể ứ
a) Tìm các s nguyên a đ m là s nguyên.ố ể ố
Trang 6b) Tìm các s h u t a đ M là s nguyên.ố ữ ỉ ể ố
Bài t p 55: ậ Cho bi u th c: C = .ể ứ
d) Tìm đi u ki n c a x đ C có nghĩa;ề ệ ủ ể
e) Rút g n bi u th c C;ọ ể ứ
f) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr c a C là m t s nguyên.ị ủ ể ị ủ ộ ố
Bài t p 56: ậ Cho bi u th c: A = .ể ứ
a) Phân tích A thành nhân t ;ử
b) Tính giá tr c a A khi , .ị ủ
Bài t p 57: ậ Cho bi u th c: ể ứ
P = v i x ≥ 0 và x ≠ 9.ớ a) Rút g n P;ọ
b) Tìm các giá tr c a x đ P < .ị ủ ể
c) Tìm các giá tr c a x đ P có giá tr nh nh t.ị ủ ể ị ỏ ấ
Bài t p 58: ậ Cho bi u th c: Q = .ể ứ
a) Tìm các giá tr c a x đ Q có nghĩa;ị ủ ể
b) Rút g n Q;ọ
c) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr c a Q là m t s nguyên.ị ủ ể ị ủ ộ ố
Bài t p 59: ậ Cho bi u th c P = .ể ứ
a) Rút g n P;ọ
b) Tìm giá tr l n nh t c a P.ị ớ ấ ủ
Bài t p 60: ậ Cho bi u th c P = .ể ứ
a) Rút g n P;ọ
b) Tính giá tr c a P v i x = ;ị ủ ớ
c) Tìm giá tr l n nh t c a P.ị ớ ấ ủ
Bài t p 61: ậ Cho P =
Bi t xyz = 4, tính .ế