Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và hằng đẳng thức

Chuyên đề hệ thống lý thuyết kiến thức về căn bậc hai và hằng đẳng thức giúp các em củng cố kiến thức để giải các bài toán vận dụng. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.

Trang 1

CHUYÊN Đ 1: CĂN B C HAI & H NG Đ NG TH C Ề Ậ Ằ Ẳ Ứ (Bu i 1)ổ

A – LÝ THUY TẾ

I . Căn b c hai ậ :

1 CĂN B C HAI Ậ c a s th c a là s x sao cho xủ ố ự ố 2 = a

S th c a dố ự ương: có đúng hai căn b c hai là s đ i nhau: s dậ ố ố ố ương kí hi u là vàệ

s âm kí hi u là .ố ệ

S 0: có đúng 1 căn b c hai là chính s 0, ta vi t ố ậ ố ế

S th c a âm: không có căn b c hai, khi đó ta nói bi u th c không có nghĩa hayố ự ậ ể ứ không xác đ nh.ị

2 CĂN BÂC HAI S H C Ố Ọ c a s th c a là s ủ ố ự ố không âm x mà x2 = a

V i a ≥ 0, ta có:ớ

S x là căn b c hai s h c c a a thì x = ố ậ ố ọ ủ

và

3 V i a, b là các s dớ ố ương, ta có:

a) N u a < b thì ế

b) N u thì a < b.ế

B – BÀI T PẬ

D NG 1Ạ : Phân bi t ệ căn b c hai ậ và căn b c hai s h c ậ ố ọ :

Bài t p 1: ậ Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Căn b c hai c a 0,81 là 0,9;ậ ủ

b) Căn b c hai c a 0,81 là 0,09;ậ ủ

c) Căn b c hai c a 0,81 là 0,9 và –0,9;ậ ủ

d) e) Bài t p 2: ậ Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) S 3 không có căn b c hai.ố ậ

b) Căn b c hai c a 3 là ậ ủ

c) Căn b c hai c a 3 là và ậ ủ

d) Căn b c hai s h c c a 3 là ậ ố ọ ủ e) Căn b c hai s h c c a 3 là và ậ ố ọ ủ Bài t p 3: ậ Tìm các căn b c hai s h c c a các s sau r i suy ra căn b c hai c a chúng:ậ ố ọ ủ ố ồ ậ ủ 16; 25; 144; 0,09; 225; ; 121; 10 000; 0,01

D NG 2Ạ : Ch ng minh căn m t s là s vô t ứ ộ ố ố ỉ

Trang 2

Bài t p 3: ậ Ch ng minh là s vô t ứ ố ỉ

Gi i ả :

Ch ng minh b ng phứ ằ ương pháp ph n ch ng:ả ứ

Gi s là s h u t ả ử ố ữ ỉ

Nh v y có th bi u di n dư ậ ể ể ễ ướ ại d ng phân s t i gi n , t c là .ố ố ả ứ

Suy ra hay 5n2 = m2 (1)

Đ ng th c này ch ng t mẳ ứ ứ ỏ 2 5, mà 5 là s nguyên t nên m 5.ố ố

Đ t m = 5k (k ), ta có mặ 2 = 25k2 (2)

T (1) và (2) suy ra 5nừ 2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3)

T (3) ta l i có nừ ạ 2 5 mà 5 là s nguyên t nên n 5.ố ố

m và n cùng chia h t cho 5 nên phân s không t i gi n, trái v i gi thi t.ế ố ố ả ớ ả ế

V y không ph i là s h u t , do đó là s vô t ậ ả ố ữ ỉ ố ỉ

Bài t p 4: ậ Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) là s vô tố ỉ

b) là s vô tố ỉ

c) là s vô tố ỉ d) là s vô tố ỉ

D NG 3Ạ : Gi i phả ương trình, b t phấ ương trình ch a căn:ứ

Bài t p 5: ậ Gi i phả ương trình:

Chú ý phương trình d ng: ạ

L u ý ư : N u x < 0 ế phương trình vô nghi mệ

a)

b)

c)

d) e) f) Bài t p 6: ậ Tìm x không âm, bi t:ế

D NG 4Ạ : So sánh các s có căn:ố

Bài t p 7: ậ So sánh hai s :ố

Trang 3

a) v i 7ớ

b) v i 12ớ

c) v i ớ d) v i 2ớ Bài t p 9: ậ So sánh hai s :ố

Bài t p 10: ậ So sánh các s :ố

H ướ ng d n và đáp s ẫ ố:

Bài t p 1: ậ Câu c) d) đúng

Bài t p 2: ậ Câu c) d) đúng

Bài t p 4: ậ a) b) Ch ng minh tứ ương t bài 3ự

c) Gi s là m t s h u t Đ t (x ), ta có:ả ử ộ ố ữ ỉ ặ

Vì x là s h u t nên xố ữ ỉ 2 – 4 là s h u t , do đó là s h u t ố ữ ỉ ố ữ ỉ

Nh v y là s h u t , đi u này vô lý. V y là s vô t ư ậ ố ữ ỉ ề ậ ố ỉ

d) Gi s = m (m là s h u t ) thì = mả ử ố ữ ỉ 2 – 1 nên là s h u t , vô lý.ố ữ ỉ

a)

V y …ậ

b)

V y …ậ

c)

V y …ậ

d)

Do –1 < 0 nên phương trình vô nghi mệ

a) và

Có: ;

Trang 4

b) và

Có: ;

Do 180 > 150 nên > hay >

c) và 15

Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: và 5

d) v i 2ớ

Có: ;

Nên

b)

M t khác: (1,5)ặ 2 = 2,25;

Suy ra: 1,5 > , do đó:

Trang 5

CHUYÊN Đ 1: CĂN B C HAI & H NG Đ NG TH C Ề Ậ Ằ Ẳ Ứ (Bu i 02,03,04)ổ

A – LÝ THUY TẾ

II . Căn th c b c hai và h ng đ ng th c ứ ậ ằ ẳ ứ :

Đi u ki n xác đ nh c a là A ≥ 0ề ệ ị ủ

(t c là đ căn th c có nghĩa thì đi u ki n là bi u th c A ph i l n h n ho c b ng 0)ứ ể ứ ề ệ ể ứ ả ớ ơ ặ ằ

V i m i ớ ọ s th c ố ự a, ta có:

V i A là ớ bi u th c ể ứ , ta có h ng đ ng th c:ằ ẳ ứ

A n u A ≥ 0ế

A n u A < 0ế

B SUNG:Ổ

1

2

B – BÀI T PẬ

D NG 1Ạ : Tìm giá tr c a x đ bi u th c ch a căn có nghĩa:ị ủ ể ể ứ ứ

Bài t p 1: ậ Tìm các giá tr c a x đ m i bi u th c sau có nghĩa:ị ủ ể ỗ ể ứ

Bài t p 3: ậ Tìm đi u ki n xác đ nh c a các bi u th c:ề ệ ị ủ ể ứ

Trang 6

D NG 2Ạ : Tính, rút g n bi u th c:ọ ể ứ

Bài t p 6: ậ Tính:

Bài t p 7: ậ Rút g n các bi u th c:ọ ể ứ

a)

a) v i a ≥ 0ớ

b) v i a b t kìớ ấ

c) v i a b t kìớ ấ

d) v i 1 ≤ a ≤ 2ớ

Bài t p 9: ậ Cho bi u th c: A = ể ứ

a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a bi u th c A.ề ệ ị ủ ể ứ

b) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ

Bài t p 10: ậ Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ứ ử

a) x2 – 11;

Bài t p 11: ậ Rút g n các phân th c sau:ọ ứ

c) C =

Bài t p 12: ậ Cho x < 0, hãy rút g n bi u th c: P = ọ ể ứ

D NG 3Ạ : S d ng h ng đ ng th c đ gi i phử ụ ằ ẳ ứ ể ả ương trình, b t phấ ương trình: Bài t p 13: ậ Gi i phả ương trình:

a)

b)

Trang 7

b)

Bài t p 15: ậ Tìm các giá tr c a x sao cho: ị ủ

Bài t p 16: ậ Tìm các giá tr c a x sao cho: ị ủ

Bài t p 17: ậ Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c:ố ỏ ẳ ứ

a) Rút g n bi u th c Aọ ể ứ

b) Tìm các giá tr c a x đ A = 1.ị ủ ể

a) Rút g n A.ọ

b) Tính giá tr c a A v i x = .ị ủ ớ

Bài t p 20: ậ Cho bi u th c: B = ể ứ

a) Rút g n B.ọ

b) Tìm x đ B = –9ể

Bài t p 21: ậ Tìm x bi t r ng: ế ằ

Bài t p 22: ậ Gi i các phả ương trình:

c)

Bài t p 23: ậ Gi i các phả ương trình:

a)

b)

Trang 8

D NG 4Ạ : Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c ch a căn:ủ ể ứ ứ

Bài t p 24: ậ Tìm GTNN c a bi u th c: A = ủ ể ứ

Bài t p 25: ậ Tìm GTNN c a các bi u th c sau:ủ ể ứ

a) A =

b) B =

Bài t p 26: ậ a) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: A = ị ớ ấ ủ ể ứ

b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: B = ị ỏ ấ ủ ể ứ

c) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: C = ị ỏ ấ ủ ể ứ

H ướ ng d n và đáp s ẫ ố:

D NG 1Ạ : Tìm giá tr c a x đ bi u th c ch a căn có nghĩa:ị ủ ể ể ứ ứ

a) Đ A có nghĩa . Suy ra:ể

V y A có nghĩa khi ho c .ậ ặ

b) Ta có: v i m i x. ớ ọ

V y B có nghĩa v i m i x.ậ ớ ọ

c) Đ C có nghĩa ể . Suy ra:

V y C có nghĩa khi 0 < x < 2.ậ

d) Đ D có nghĩa ể

Trang 9

, không có giá tr nào c a x th a mãn đi u ki n này. V y không có giá tr nào c a ị ủ ỏ ề ệ ậ ị ủ

x đ D có nghĩa.ể

a) có nghĩa . Suy ra:

V y v i x ≤ 1 ho c x ≥ 2 thì có nghĩa.ậ ớ ặ

b) v i m i x.ớ ọ

V y bi u th c đã cho có nghĩa v i m i x.ậ ể ứ ớ ọ

c) Bi u th c đã cho có nghĩa khi và ch khi:ể ứ ỉ

V y C có nghĩa khi –3 ≤ x < 5.ậ

d) Bi u th c đã cho có nghĩa khi và ch khi: ể ứ ỉ

Đáp s : x < 2 ho c x > 3.ố ặ

a) Đi u ki n xác đ nh c a A là: ề ệ ị ủ

b) Đi u ki n xác đ nh c a B là: ề ệ ị ủ

Gi i (1) ta đả ược:

Gi i (2) ta có: ả

Gi i (3) ta đả ược: (L y k t qu bài 3a)ấ ế ả

K t h p v i và x > 0, ta đế ợ ớ ược x > là đi u ki n xác đ nh c a B.ề ệ ị ủ

Chú ý: S sai l m n u cho r ng (2) ẽ ầ ế ằ , khi đó s đi đ n đáp s sai là:ẽ ế ố

Trang 10

a)

b) ho c ặ

c) –(2x – 1)2 ≥ 0 2x – 1 = 0 x =

d) (x – 1)(x + 2) > 0 x > 1 ho c x < –2ặ

a)

b)

c) (x – 3)(5 – x) ≥ 0 3 ≤ x ≤ 5

d) M i x.ọ

e)

f) Gi i 2x + 1 > 0 đả ược x >

Gi i xả 2 ≤ 16 được –4 ≤ x ≤ 4

Gi i xả 2 – 8x + 14 ≥ 0 được:

K t lu n: ế ậ

D NG 2Ạ : Tính, rút g n bi u th c:ọ ể ứ

Bài t p 6: ậ Tính:

a)

b)

Trang 11

d)

a) (vì a ≥ 0)

b)

N u a ≥ 0 thì ế

N u a < 0 thì ế

c)

N u a < –3 thì |a + 3| + |a – 3| = –a – 3 – a + 3 = –2aế

N u –3 ≤ a ≤ 3 thì |a + 3| + |a – 3| = a + 3 – a + 3 = 6ế

N u a > 3 thì |a + 3| + |a – 3| = a + 3 + a – 3 = 2a.ế

d)

V i 1 ≤ a ≤ 2 thì > 0, còn ≤ 0, ta có:ớ

Bài t p 9: ậ a) Bi n đ i bi u th c đế ổ ể ứ ược: A =

Đi u ki n xác đ nh c a A là: ề ệ ị ủ

b) N u x ≥ 2 thì A = ế

N u 1 ≤ x < 2 thì A = ế Bài t p 10: ậ Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ứ ử

a) x2 – 11 =

b)

Trang 12

d)

=

Bài t p 11: ậ Rút g n các phân th c sau:ọ ứ

a) ĐK: a ≠ 4

A = , a ≠ 4

b) B =

c) ĐK: |c| ≠ 1

C =

N u c < –1 thì ế

N u –1 < c ≤ 0 thì ế

N u c > 0 và c ≠ 1 thì ế

Bài t p 12: ậ P =

Do x < 0 nên 5x – 1 < 0, do đó P =

L i do x < 0 nên 7x – 1 < 0. V y P = 1 – 7x.ạ ậ

D NG 3Ạ : S d ng h ng đ ng th c đ gi i phử ụ ằ ẳ ứ ể ả ương trình, b t phấ ương trình: Bài t p 13: ậ Gi i phả ương trình:

a)

V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình là: S = {–0,5; 3,5}

b)

Trang 13

V i x < 1 thì x – 1 < 0 và x – 3 < 0, ta có phớ ương trình:

1 – x + 3 – x = 1 2x = 3 x = 1,5 không th a mãn đi u ki n x < 1.ỏ ề ệ

V i 1 ≤ x ≤ 3 thì x – 1 > 0 và x – 3 < 0, ta có phớ ương trình:

x – 1 + 3 – x = 1 0x = –1, phương trình vô nghi m.ệ

V i x > 3 thì x – 1 > 0 và x – 3 > 0, ta có phớ ương trình:

x – 1 + x – 3 = 1 2x = 5 x = 2,5 không th a mãn đi u ki n x > 3.ỏ ề ệ

V y phậ ương trình đã cho vô nghi m, hay t p nghi m c a phệ ậ ệ ủ ương trình là S =

a) Phương trình được vi t v d ng: ế ề ạ

Xét ba trường h p: x < 1; 1 ≤ x ≤ 2; x > 2.ợ

Đáp s : x = 0; x = 3.ố

b) Phương trình được vi t v d ng: ế ề ạ

Vì (x – 3)2 ≥ 0 v i m i x nên:ớ ọ

≥ 1 + 3 = 4

M t khác 4 – (x – 3)ặ 2 ≤ 4 v i m i x. Vì v y phớ ọ ậ ương trình đã cho có nghi m khi vàệ

ch khi v trái và v ph i cùng b ng 4. Đi u này x y ra khi và ch khi:ỉ ế ế ả ằ ề ả ỉ

(x – 3)2 = 0 x – 3 = 0 x = 3

Bài t p 15: ậ Đi u ki n xác đ nh c a là x ≥ –1.ề ệ ị ủ

V i đi u ki n trên thì x + 3 > 0 nên (1) tớ ề ệ ương đương v i: ớ

(3)

B t phấ ương trình (3) đúng v i m i x, vì:ớ ọ

Trang 14

V y các giá tr ph i tìm c a x là x ≥ –1.ậ ị ả ủ

Bài t p 16: ậ

a) Đ t (1)ặ

Ta có: a ≤ a2 a2 – a ≥ 0 a(a – 1) ≥ 0 (2)

K t h p (1) v i (2) ta đế ợ ớ ược a = 0 ho c a ≥ 1.ặ

V i a = 0 ta đớ ược . V i a ≥ 1 ta đớ ược x ≥ 2 ho c x ≤ –2.ặ

Đáp s : ; x ≥ 2; x ≤ –2.ố

b) Gi i b t phả ấ ương trình: |x – 3| > x – 6,ta được nghi m là m i x.ệ ọ

Bài t p 17: ậ Đi u ki n x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3.ề ệ

Đ ng th c đã cho đẳ ứ ược bi n đ i thành:ế ổ

Suy ra:

Bài t p 18:ậ

a) A = |x – 3| – |x + 3| =

b) Gi i –2x = 1 v i đi u ki n –3 ≤ x ≤ 3, ta đả ớ ề ệ ược x =

Bài t p 19: ậ

a) A = 4x – |3x – 2| =

b) V i x = thì A = 7x – 2 = ớ

Bài t p 20: ậ

Trang 15

b) Xét hai trường h p:ợ

được x = –2 (th a mãn)ỏ

và được x = –1,5 (lo i).ạ

Bài t p 21: ậ

x – 5 ≤ 2x – 1 ≤ 5 – x –4 ≤ x ≤ 2

Bài t p 22: ậ

a) Áp d ng ụ

. Đáp s : xố 1 = 0; x2 = –1 b) Áp d ngụ

. Đáp s : x = 3.ố c)

c) V y S = {±2; ±}ậ

Bài t p 23: ậ

a)

V trái T ≥ , d u “=” x y ra ế ấ ả (x – 2)2 = 0 x = 2

b)

V trái T ≤ ,ế d u “=” x y ra , đi u này không x y ra. V y phấ ả ề ả ậ ương trình đã cho vô nghi m.ệ

c)

V trái T ≥ ;ế

V ph i P ≤ ;ế ả

D u “=” x y ra ấ ả 3x – 1 = 0 x =

Trang 16

D NG 4Ạ : Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c ch a căn:ủ ể ứ ứ

Bài t p 24: ậ Ta có: A

Cách 1:

N u x < –1 thì A = –x – 1 – x + 1 = –2x > 2. (1)ế

N u –1 ≤ x ≤ 1 thì A = x +1 – x + 1 = 2 (2)ế

N u x > 1 thì A = x + 1 + x – 1 = 2x > 2 (3)ế

T (1), (2) và (3) suy ra Min A = 2 ừ –1 ≤ x ≤ 1

Cách 2:

Áp d ng b t đ ng th c |A| + |B| ≥ |A + B|.ụ ấ ẳ ứ

D u đ ng th c x y ra khi và ch khi AB ≥ 0.ấ ẳ ứ ả ỉ

A =

V y min A = 2 ậ (x + 1)(1 – x) ≥ 0 –1 ≤ x ≤ 1

Bài t p 25: ậ

a) A = |2x – 1| + |3 – 2x|

Gi i tả ương t bài 24, ta đự ược min A = 2 khi

b) B = |3 – 7x| + |3 + 7x|

Gi i tả ương t bài 24, ta đự ược min B = 6 khi

Bài t p 26: ậ

Trang 17

V y Max A = 1 (khi và ch khi x = )ậ ỉ

b) B = (d u “=” x y ra ấ ả 2x2 – x – 1 = 0

(2x + 1)(x – 1) = 0

x = 1; x = –)

V y min B = 3 (khi và ch khi x = 1 ho c x = ậ ỉ ặ –)

c) C = |5x – 2| + |5x| = |2 – 5x| + |5x|

C ≥ |2 – 5x + 5x| = |2| = 2 (d u “=” x y ra ấ ả (2 – 5x).5x ≥0

ho c ặ

0 ≤ x ≤ )

V y min C = 2 (khi và ch khi ậ ỉ 0 ≤ x ≤ )

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	460,25 KB