Ứng dụng của tích phân môtivic vào lý thuyết các bất biến Donaldson-Thomas môtivic

G ần đây nhất, N icaise và Payne đư a ra m ột phươ ng pháp trong Hình học tropical để tính “ thể tích” m ôtivic cho các tập nửa đại số, nhờ đó cung cấp m ột chứng m inh tông quát hơn cho

1.1 Tên đề tài: ử n g dụng của tích phân m ôtivic vào lý thuyết các bất biển D onaldson-Thom as

m ôtivic

1.2 M ã số: QG.16.06

1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực hiện đề tài

TT Chức danh, học vị, họ và tên Đơn vị công tác Vai trò thực hiện đề tài

1 TS Lê Quý Thường Trường Đ H KH TN Hà Nội Chủ trì, thành viên thực hiện chính

2 TS Nguyền Phụ Hoàng Lân Trường ĐH KH TN Hà Nội Thư kí, thành viên thực hiện chính3

CN Nguyễn Thị Bích Ngọc Lớp CH Toán 2015-2017,

ĐH Sư phạm H à Nội

Thành viên

1.4 Đ o n vị chủ trì: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

1.5 T h òi gian thực hiện:

1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 01 năm 2016 đến tháng 01 năm 2018

1.5.2 Gia hạn: Không

1.5.3 Thực hiện thực tế: từ tháng 01 năm 2016 đến tháng 01 năm 2018

1.6 N hững thay đổi so vói thuyết minh ban đầu (nếu có):

(Ve m ục tiêu, nội dung, phư ơ ng pháp, kết quả nghiên cứu và to chức thực hiện; Nguyên nhân; Ỷ kiến của Cơ quan quản lý)

1.7 T ổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 300 triệu đồng.

Viết theo cấu trúc m ột bài báo khoa học tổng quan từ 6-15 trang (báo cáo này sẽ được đăng trên tạp chí khoa học ĐHQGHN sau khi đề tài được nghiệm thu), nội dung gồm các phần:

1 Đ ặt vấn đề

Lý thuyết bất biển Donaldson-Thom as là m ột trong những hòn đá tảng của Hình học đại số và Vật

lý toán hiện đại, được hai nhà toán học người Anh Simon D onaldson và Richard Thom as xây dựng năm 1998 (phát triển từ luận án tiến sỹ của Richard Thom as năm 1997) Trong luận án của mình, Thom as đà xét một phiên bản chỉnh hình của bất biến Casson được định nghĩa qua hàm C hem - Sim on chình hình K hông gian moduli các nghiệm của hàm Chem -Sim on chính là các liên kết herrnit Yang-M ills (hay các trạng thái BPS) trong ngôn ngữ của Vật lý lý thuyết Đây là những đối tượng liên hệ chặt chẽ với đối xứng gương, lý thuyết dây, lý thuyết gauge, các bất biến Gromov-

W itten của các đa tạp đại số ba chiều và lý thuyết các cặp ổn định của Pandharipande và Thomas

Năm 2008, Kontsevich và Soibelm an giới thiệu các bất biến Donaldson-Thom as môtivic cho các đa tạp Calabi-Yau không giao hoán ba chiều (xem [8]) Lý thuyết này kế thừa nền tảng lý thuyết của Donaldson-Thom as, trong đó thớ M ilnor “cổ điển” được thay thế bàng thớ M ilnor

m ôtivic của D enef-Loeser ([4]) và đại số Hall dẫn xuất của Toên được thay thế bằng đại số Hall

m ôtivic Ngay từ khi ra đời, lý thuyết của Kontsevich và Soibelm an thu hút sự chú ý đặc biệt của các nhà Hình học đại số, Hình học phức và Vật lý toán Trong m ột thời gian ngắn có hàng trăm bài báo khoa học nghiên cứu những vấn đề cơ bản của lý thuyết này, như điều kiện ôn định trên các đại

số Lie, dữ liệu định hướng, công thức wall-crossing, đại số Hall m ôtivic, không gian mođuli, các quivers, các phép biến đổi cluster, v.v

1

Tuy nhiên, lý thuyết bât biển D onaldson-T hom as m ôtivic của K ontsevich-Soibelm an đã gặp vật cản lớn ngay từ đầu: G iả thuyết đồng nhất tích phân ([8, 4.4]) chưa được chúng m inh! Đ ồng

n h ất tích phân này đóng vai trò then chốt trong lý thuyết bất biến D onaldson-T hom as m ôtivic ờ chồ

nó ảnh hường trực tiếp và quyết định đến sự tồn tại của các bất biến này (xem [8]) N ăm 2015, chúng tôi chứng m inh giả thuyết này trong trư ờng hợp trường nền đóng đại số đặc số không, công trình này được xuất bản trên tạp chí uy tín D uke M athem atical Joum al (xem [11]) Bài toán vẫn còn

m ờ trong trường hợp tổng quát T ầm quan trọng củ a lý thuyết các bất biến D onaldson-T hom as

m ôtivic và G iả thuyết đồng nhất tích phân khiển bài toán trên thu hút sự quan tâm lớn của nhiều nhà toán học ở các trung tâm lớn G ần đây nhất, N icaise và Payne đư a ra m ột phươ ng pháp trong Hình học tropical để tính “ thể tích” m ôtivic cho các tập nửa đại số, nhờ đó cung cấp m ột chứng m inh tông quát hơn cho giả thuyết đồng nhất tích phân đổi với các hàm chính quy trên m ột đa tạp affine

Trong đề tài này, chủng tôi có tham vọng tiếp tục cải thiện phươ ng pháp chứng m inh G iả thuyết đồng nhất tích phân đã giới thiệu năm 2015 để nó trở thành m ột công cụ hiệu quả hơn, nham thu được m ột chứng m inh m ới tổng quát X a hon, chúng tôi m uốn nghiên cứu bài toán về các bất

b iến D onaldson-T hom as m ôtivic của các lược đồ H ilbert của các đa tạp chiều thấp, chăng hạn các đưòiig cong phang xạ ảnh phức Do đó khảo sát đa thức A lexander của các đườ ng cong phang xạ ảnh phức là m ột sự khởi đầu quan trọng

2 M ục tiêu

(a) Chúng tôi chứ ng m inh G iả thuyết đồ n g nhất tích phân trong trư ờng hơp tông quát hơn các nghiên cứu trước đây, cụ thể là, chúng tôi không sử dụng giả thiết trư ờng nền phải đóng đại số Đe đảm bảo tính kể thừa, chúng tôi giới thiệu các bài toán chính, các p h ư ơ n g pháp đã sử dụng trước đây trong m ột bài báo tồng quan Khi đó phư ơ n g pháp mới sẽ xuất hiện m ột cách tự nhiên, theo

d ò n g chảy của lý thuyết tích phân m ôtivic và lý thuyết m ô hình G iả thuyết đồng nhất tích phân

đ ư ợ c chứng m inh trong trường hợp càng tổng quát thì nền tảng lý thuyết bất biến D onaldson-

T hom as m ôtivic càng vững chắc

(b) Chúng tôi m ô tả đa thức A lexander c ủ a các đư ờ ng cong phẳng xạ ảnh phức bằng các công cụ củá Đại số giao hoán và Hình học đại số, n h ư lý thuyết ideal bội, lý thuyết hệ tuyến tính địa phươ ng của một đa tạp đại sổ (xem [1]) T rong các 1Ĩ1Ô tả đó, xuất hiện m ộ t bó đặc trưng cho đ a thức

A lexander - thể hiện được sự phụ thuộc củ a đa thức này vào vị trí củ a các điểm kì dị trong đư ờ ng cong phang xạ ản h phức, từ đó liên hệ đượ c đa thức A lexander với lược đồ H ilbert của đường cong,

đó là lược đồ H ilbert các đường đi qua các điểm kì dị của m ột đ ư ờ n g cong phang xạ ảnh phức

C h úng tôi cũng làm việc trên khái niệm tổ n g quát về đa thức A lexander của m ột số đường co n g

ph ẳn g xạ ảnh phức không nhất thiết rút gọn

3 P hư on g pháp nghiên cứu

(a) Đối với bài toán chứng m inh giả th uyết đồ n g nhất tích phần: P hư ơng pháp của chúng tôi sừ dụng các tính ch ất và đối tượng trong cá c lý thuyết tích phân m ôtivic của D enef-L oeser [4, 5], Sebag-L oeser-N icaise (hình học) [9, 12] và của C luckers-L oeser (số học, logic) [3] M ỗi lý thuyết

có m ột vai trò n h ất địn h thông qua thế m ạn h của chúng cũng như m ối liên quan giữa chúng T rước hết quan sát rằng, đồ n g nhất tích phân đ ư ợ c phát biểu trong ngữ cảnh của các hàm chính quy và các

h àm hình thức, tư ơ ng ứng với lý thuyết của D enef-L oeser và của S ebag-L oeser-N icaise; vì vậy dù

sử dụng phương pháp và lý thuyết nào ta cũ n g phải tìm đượ c m ối liên hệ với các lý thuyết nói trên

C hẳng hạn, bằng lý thuyết tích phân m ôtivic của Sebag-L oeser-N icaise, chúng tôi chứng m inh rằng

đồ n g nhất tích phân cho hàm hình thức tư ơ n g đư ơ ng với sự triệt tiêu của tích phân của m ột dạng vi

p hân trên m ột đa tạp rigid thích hợp N eu tiếp tục sử dụng tích phân m ôtivic của Sebag-L oeser-

N icaise thì chúng tôi sẽ không làm đượ c gì thêm , như ng nếu quan sát đ a tạp rigid vừa nêu và xem

nó như m ột tập con địn h nghĩa đượ c trong lý thuyết tích phân H rushovski-K azhdan ([7]) thì phươ ng

p háp được giới thiệu gần đây của H rushovski-L oeser lại cho phép tính được tích phân này và biết

n ó bằng không T ình hình cũng tương tự như vậy khi ta làm việc với giả thuyết đồng nhất tích phân cho hàm chính quy, khi đó tích phân m ôtivic của C luckers-L oeser cho phép thực hiện các tính toán

2

nhiên sẽ có ích lợi lâu dài cho những nghiên cứu tiếp theo trong lý thuyết thớ M ilnor môtivic.

(b) Đ ối với bài toán nghiên cứu đa thức A lexander của m ột đườna cong phang xạ ảnh phức: Mô tả lược đồ H ilbert các đường cong đại số đi qua tất cả những điểm cho trước trong m ặt phang xạ ảnh phức và có cùng kiểu tôpô với các kì dị cho trước tại mỗi điểm này bằng phương pháp giống như Russell đà làm nhưng cần làm tinh tế hơn do bài toán của chúng tôi còn liên quan đến phiên bản mờ rộng của khái niệm đa thức A lexander Nói rõ hơn, chúng tôi sẽ nghiên cứu số Chem của m ột phân thớ véctơ trên m ột com pact hóa của m ột không gian tuyến tính hóa “điều kiện có các kì dị cho trước” C hăng hạn, “điều kiện có m ột kì dị cusp” dọc theo m ột hướng tiếp xúc cho trước tại một điểm cho trước là tuyến tính - theo nghĩa: m ỗi đường cong trong m ột hệ tuyến tính được sinh bởi hai đư ờ ng cong có kì dị cusp phải là m ột đường cong có kì dị cusp Do đó phân thớ tiếp xúc xạ ảnh hóa sẽ tuyến tính hóa “điều kiện có kì dị cusp” Vì phương pháp có phần trừu tượng, chúng tôi trước m ẳt (trong khuôn khổ đề tài này) sẽ khảo sát các hệ tuyến tính địa phương và các ideal bội của đường cong phang xạ ảnh phức cần nghiên cứu

4 T ổng kết kết quả nghiên cứu

Các kết quả chính chủng tôi đạt đượ c trong quá trình thực hiện Đe tài được trình bảy trong 03 bài báo khoa học sau đây:

(a) Lê Q uý T hường, A short s u n ’ev on the iníegral identity coiýecture and íheories o f m otivic integratỉon, A cta M athem atica V ietnam ica 42 (2017), 289-310.

(b) Lê Q uý T hường, A p r o o f o f the integral identity conjecíure II, Com ptes Rendus de 1'Académie

des Sciences - Series I 355 (2017), no 10, 1041-1045

(c) Lê Q uý T hường, A lexa n d er po lvn o m ia ls o f complex projective plane cuiyes, được chấp nhận

xuất bản trên tạp chí “ B ulletin o f the A ustralian M atheraatical Society”

Nội dung chi tiết của kết quả nghiên cứu:

(A) T ổng quan về các lý thuyết tích phân m ôtivic và Giả thuyết đồng nhất tích phân

Trong L ý thuyết kì dị, phân thớ M ilnor (ra đời năm 1968) là m ột công cụ nghiên cứu vô cùng hiệu quả, gắn liền với tên tuổi của nhà toán học lỗi lạc người M ỹ John M ilnor N hững bất biển nổi tiếng như đơn đạo, hàm zeta của đơn đạo, đa thức A lexander địa phương, số Lefschetz, v v liên quan đén các điểm kì dị đều được nghiên cứu thông qua thớ của phân thớ này - được gọi là thớ M ilnor (cổ điển) T hớ M ilnor là động lực m ạnh m ẽ của Lý thuyết bất biến D onaldson-Thom as cổ điển

N ăm 1995, Lý thuyết tích ph ân m ôtivic ra đời nhờ công của M axim Kontsevich, trong nỗ lực tìm m ột chứ ng m inh trực tiếp cho G iả thuyết của Batyrev về số Betti của hai đa tạp Calabi-Y au tương đư ơ ng song hữu tỉ Sau đó, lý thuyết này đã được xây dựng m ột cách có hệ thống bởi Jan

D enef và Franẹois L oeser [4, 5] trên nền tảng của các phép giải kì dị của các đa tạp đại sổ Năm

1998, bài báo của D enef-L oeser về hàm zeta Igusa m ôtivic của m ột hàm chính q u y / [ 4 ] được xuất

bản B ằng cách xấp xỉ thớ M ilnor c ủ a / theo cấp của m ột phần tử siêu việt t đối với trường nền k đặc

sổ không, nhúng các xấp xì này vào các không gian cung xem như các lược đồ trên &[[/]], trang bị tác động đơn đạo và lấy độ đo m ôtivic của chúng, D enef-Loeser đã xây dựng m ột chuỗi lũy thừa

hình thức Zj{T) - đó chính là hàm zeta Igusa m ôtivic của f Sử dụng m ột phép giải kì dị với tâm là

tập các không điểm của / , họ chứng m inh tính “hữu tỉ” của hàm zeta Igusa m ôtivic Đối với các hàm hữu tỉ theo nghĩa này luôn tồn tại m ột “ giới hạn” , và giới hạn của hàm zeta Igusa m ôtivic của /

được gọi là thớ M ilnor m ôtivic S f của f

Cho X là m ột lược đồ hình thức đặc biệt trên vành định giá R=&[[/]] Teinkin đã chứng minh rằng giải kì dị của X luôn luôn tồn tại Lấy thông tin tổ hợp từ phép giải ki dị này và sử dụng công

thức của D enef-L oeser, vốn xác lập cho các hàm chính quy, Kontsevich-Soibelm an định nghĩa thớ

M ilnor m ôtivic của X (xem [8])

3

G iả th u y ế t (Kontsevich-Soibelm an [8]): Nếu f là m ột chuỗi lũy thừa hình thức trong các đa biến X ,

V và z írên trường đặc số không k sao cho nó bất biến với tác động của nhóm G m với trọng (1 ,-1,0), thì tích phán của Sf trên đa lạp xác định bời y= z= 0 bằng L Pỵ.Sh 0 , trong đó h ì à hạn chế của f trên

đa tạp x= v= 0 và L ìà môtíp Lefschetz.

Chứng m inh giả thuyết này có ý nghĩa quan trọng đối với sự phát triên của Lý thuyết các bât biến D onaldson-Thom as m ôtivic từ khi lý thuyết đó ra đời Cùng với sự phát triển của Vật lý Toán, rất nhiều nghiên cứu sâu sẳc hơn về các bất biến Donaldson-Thom as m ôtivic đã được thực hiện, dựa trên nền tảng của giả thuyết này ngay cả khi giả thuyết chưa được chứng m inh Vì vậy việc sớm khăng định sự vững chắc của nền móng của những nghiên cứu đó là m ột việc làm vô cùng ý nghĩa

Gần đây, bằng cách tổng hợp những điểm chính của Tích phân m ôtivic cho lược đồ hình thức của Sebag-Loeser-N icaise và Tích phân m ôtivic trên quan điểm Lý thuyết m ô hình của

H rushovski-Kazhdan, chúng tôi đã chứng m inh G iả thuyết đồng nhất tích phân trên trường nền đóng đại số đặc số không (xem [11]) Tích phân Sebag-Loeser-N icaise cho phép biểu diễn lại thớ

M ilnor m ôtivic bằng giới hạn của m ột chuồi Poincaré m ôtivic ([15]) Tích phân Hrushovski- Kazhdan [7] cho phép so sánh các hệ số của chuỗi Poincaré m ôtivic với m ột tập hợp định nghĩa được trong phạm trù các trường định giá trên m ột bao đóng đại sổ của Ả'[[/]] Từ đó với các phép biến đổi linh hoạt của tích phân trên các tập định nghĩa được trên trường định giá đóng đại số theo nghĩa Hrushovski-K azhdan, đồng nhất tích phân trong giả thuyết được kéo theo Do nền tảng của phép chứng m inh là tích phân Hrushovski-K azhdan, trường nên đòi hỏi phải đóng đại số, vì vậy theo cách này Giả thuyết đồng nhất tích phân chỉ được chứng minh với trường nền đóng đại số (xem [12])

(B) Chứng m inh Giả thuyết đồng nhất tích phân cho trưòng đặc số không bất kì (xem [13])

Tích phân m ôtivic có m ột quá trình phát triển nhanh chóng, sử dụng nhiều công cụ mới nhất của toán học hiện đại Tích phân m ôtivic cổ điển của D enef-Loeser [4, 5] định nghĩa trong phạm trù các

đa tạp đại số trên trường đặc số không, tích phân của Sebag-Loeser-N icaise [9, 15] định nghĩa trong phạm trù các lược đồ hình thức (kiểu hữu hạn tôpô và đặc biệt) trên vành định giá song đặc trưng (0,0), tích phân Hrushovski-Kazhdan [7] sử dụng lý thuyết mô hình để tổng quát hóa hai loại tích phân nói trên, nhưng chỉ áp dụng cho các đối tượng trên trường nền đặc số không và đóng đại số, tích phân Cluckers-Loeser [3] cũng tổng quát hóa hai tích phân ban đầu nhưng cho trường nền đặc

sổ không bất kì Ngoài ra còn có tích phân m ôtivic theo nghĩa của Hrushovski-Loeser cũng sử dụng nền tảng lý thuyết mô hình theo m ột cách khác Đ ồng nhất tích phân được phát biểu trong ngữ cảnh của hai loại tích phân đầu tiên trong danh sách trên, và ý tưởng tiếp cận lời giải là sừ dụng các lý thuyết tích phân m ôtivic tổng quát hơn, bời vì về m ặt triết học, cần phải có tẩm nhìn từ trên cao mới thấy được các giải pháp cho bài toán gốc

Trong bài báo [13], chúng tôi phát biểu G iả thuyết đồng nhất tích phân bằng Lý thuyết tích phân m ôtivic của D enef-Loeser [4, 5] và sử dụng lý thuyết của Cluckers-Loeser [3] để chứng minh

Lý thuyết tích phân m ôtivic C luckers-Loeser [3] là sự tổng quát hoá đến mức cao nhất quan điếm

của tích phân Denef-Loeser, trong đó không gian cung của m ột k-âa tạp đại số được thay thế bằng

m ột phép gán mồi m ờ rộng đóng đại số K của k với m ột tập hợp là tích của m ột Ả^((t))-đa tạp với

m ột Ấ:-đa tạp và m ột lũy thừa của z , độ đo m ôtivic của tập nửa đại số trong không gian cung được thay thế bằng m ột hàm tử đ ẩ y /Ị đưa mỗi “tập hợp” định nghĩa được (deíĩnable subassignm ent) vào

m ột nhóm abel là m ở rộng của vành G rothendieck các k-âa tạp đại số Chúng tôi trang bị tác động

tự nhiên của nhóm các căn của đơn vị trên m ỗi “tập hợp” định nghĩa được sao cho ảnh của nó qua/Ị

là rrột phần tử của vành G rothendieck đơn đạo (để xét các tác động nhóm chúng tôi chỉ làm việc

v ớ i / l à một hàm hằng) Khi đó thớ M ilnor m ôtivic của m ột hàm chính q u y / theo nghĩa cổ điên của Denef-Loeser có thể được mô tả thông qua các “tập hợp” định nghĩa được “ Tập hợp” định nghĩa được thuận lợi hơn không gian cung vì nó làm việc trên các Ả'((/))-điểm thay vì các Ả^[/]]-điein, tức

là bao toàn nghịch đảo, do đó dề dàng khai thác giả thiết về hàm / trong Giả thuyết đồng nhất tích

4

(C) Mô tả đa thức Alexander của một đường cong phang xạ ảnh phức (xem Ị14Ị)

C húng tôi nhắc lại định nghĩa cổ điên về đa thức A lexander của m ột đường cong phang xạ ảnh phức

c , trong đó đa thức thuần nhất f xác định c là rút gọn (tức là các thành phẩn bất khả quy của nó chi

có bội bàng 1) Định nghĩa này dựa trên tính chất của đa tạp phần bù của đường cong và phủ xyclic

vô hạn trên nó xác định bởi cấu xạ Hurewicz Công thức tính đa thức A lexander dựa trên bó các ideal bội được đưa ra lần đầu bòi Libgober trong trường hợp / b ấ t khả quy, sau đó bởi Loeser-

V aquié (xem 10) cho trường hợp / k h ô n g bất khả quy nhưng rút gọn Trong thực hành, đóng góp của A rtal Bartolo có ý nghĩa quan trọng khi đưa ra một phương pháp tính số chiều của đối đồng

điều của m ặt phang xạ ảnh với bó ideal bội của c bằng m ột phép giải kì dị Không gian đối đồng

điều phức này thực chất liên hệ gần gũi với lược đồ H ilbert các đường cong trên m ặt phang đi qua các điểm cho trước với kiểu kì dị địa phương cho trước

Trong bài báo [14], các đường cong phang xạ ảnh phức không nhất thiết rút gọn được nghiên cứu Khi đó, dựa trên Định lý so sánh của Randell đối với trường hợp đường cong rút gọn,

người ta có thể định nghĩa đa thức A lexander của m ột đường cong phang xạ ảnh phức c xác định

bởi m ột đa thức thuần nhất /'không nhất thiết rút gọn bằng đa thức đặc trưng thứ nhất của ki dị siêu

m ặt tại gốc tọa độ xác định bởi / Chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu về trường hợp tất cả các lũy thừa của thành phần bất khả quy đôi m ột khác nhau c ủ a / nguyên tố cùng nhau Sử dụng mô tả của B udur về hệ tuyến tính địa phương tương ứng với kì dị này (xem [2]) và m ột số kĩ thuật tính toán trong bài báo của Esnault ([6]), chúng tôi chỉ ra công thức tính đa thức Alexander của c thông

q u a bó các ideal bội, tương tự như công thức của Loeser-Vaquié [10] nhưng với số m ũ được tính trong hệ tuyến tính địa phương phức tạp hơn, có sự tham gia của các lũy thừa của các thành phần

bất khả quy của/ Thông tin về lược đồ H ilbert của c ứng với bó ideal bội cũng có thể được nhận ra

từ phương pháp tính toán này

T ài liệu tham khảo:

1 Budur, U nitaiy local systems, m ultìplìer ìdeals, and polynom ial perìodicity o f Hodge numbers, Adv Math 221 (2009), no 1, 217-250.

2 Budur, H odge specírum o f hyperplane arrangem ents, arX iv:0809.3443 (unpublished).

3 Cluckers & Loeser, Consírucíible m otivic /u n ctio n s and m otivỉc integration, Inventiones

M athem aticae 173 (2008), 23-121

4 D enef & Loeser, M otivic Igusa zeta fì'unctions, J Algebraic Geom 7 (1998), 505-537.

5 D enef & Loeser, Germs o f arcs on singular algebraic varieties and m otivic integration,

I ] Lê Quý Thường, Proofs o f the integraỉ identity conjecture over algebraicallv clo sed fìelds,

Duke Math J 164 (2015), no 1, 157-194

5

12 Lè Q uý Thường, A short survev on the iníegraỉ identity coìỳeclure and íheories o f moíivic integration, Acta M athem atica Vietnam ica 42 (2017), 289-310.

13 Lê Q uý Thườn", A p r o o f o f the integral identity conịectuie ỉỉ, Com ptes Rendus de

rA cad ém ie des Sciences - Series I 355 (2017), no 10, 1041-1045

14 Lê Q uý Thường, A lexander polynom ials o f complex projective plane curves, được chấp

nhận xuất bản trên tạp chí “ Bulletin o f the Australian M athem atical Society”

15 N icaise & Sebag, M otivic Serre invariants, ramị/ìcaíion, and the analvtic M ilnor fiber,

Invent M ath 168 (2007), 133-173

5 Đ ánh giá về các kết quả đã đạt đu ọc và kết luận

(a) Đ e tài đã đạt được những m ục tiêu đặt ra: 1) chứng m inh Già thuyết đồng nhất tích phần cho trường hợp trư ờng nền không nhất thiết đóng đại số, và 2) mô tả đa thức A lexander của đường cong phăng xạ ảnh phức Ngoài ra, chúng tôi còn xuất bản m ột bài báo nêu sơ lược về khái niệm bất biến

D onaldson-T hom as môtivic, vai trò then chốt của của Giả thuyết đồng nhất tích phân đối với lý thuyết bất biến Donaldson-Thom as ìnôtivic, và nhấn m ạnh các khía cạnh quan trọng của các lý thuyết tích phân m ôtivic xem như công cụ chính cho việc chứng m inh giả thuyết trên trường nền đóng đại số đặc số không

(b) Ba (03) bài báo thu được đều được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín, thuộc

hệ thống ISI và Scopus (m ột bài SCI, m ột bài SCIE và m ột bài Scopus) Các kết quả trong các bài báo là m ạnh, có vai trò quan trọng trong m ột hướng nghiên cứu sôi động của toán học thế giới; nói riêng, các kết quả đều được phản biện ở các tạp chí đánh giá cao

(c) Các kết quả của Đe tài cũng được trình bày tại các hội nghị, hội thảo trong và ngoài nước

(d) Đ ào tạo được m ột học viên cao học bảo vệ thành công luận văn thạc sỹ với kết quả tốt

K ết lu ậ n : C ác kết quả đã đạt được trong quá trình thực hiện đề tài có chất lượng cao và phù hợp với m ục tiêu, tiến độ được nêu trong bản Thuyết minh đề tài

6 T ó m t ắ t k ế t q u ả (tiếng Việt và tiếng Anh)

(a) C húng tối sử dụng các lý thuyết tích phân m ôtivic để chứng m inh m ột giả thuyết then chốt trong

Lý thuyết các bất biển D onaldson-Thom as m ôtivic - Giả thuyết đồng nhất tích phân Trong bài báo thứ nhất (xem [12]), chúng tôi trình bày tổng quan về sự xuất hiện và vai trò của Giả thuyết đồng nhất tích phân, phương pháp tiếp cận để chứng minh giả thuyết trong trường hợp trường nền đóng đại số đặc số không Chúng tôi cũng phát triển ỷ chứng m inh từ bước thứ nhất dùng tích phân

m ôtivic của Sebag-Loeser-N icaise [9, 15] tới bước thử hai dùng tích phân trên trường định giá đóng đại sổ song đặc trưng (0,0) của Hrushovski-K azhdan [7]

Trong bài báo thứ hai [13], chúng tôi phát triển m ột phương pháp tiếp cận lời giải cho giả thuyết đồng nhất tích phân không sử dụng giả thiết trường nền đóng đại số Từ lý thuyết tích phân

m ôtivic của C luckers-L oeser [3], chủng tôi hạn chế xét m ột trường hợp riêng nhưng làm giàu nó

bằng tác động tự nhiên của nhóm các căn của đơn vị Bằng cách dùng tác động nhóm lên K ((t))d của nhóm K ((í)) với trọng (1 ,-1,0) chúng tôi thu được m ột phép chứng m inh của Giả thuyết đồng nhất

tích phân trên trường nền đặc số không bất kì

Trong bài báo thứ ba [14], chúng tôi xét đa thức A lexander của m ột đường cong phẳng xạ ảnh phức, không nhất thiết rút gọn và không nhất thiết bất khả quy Chúng tôi nghiên cứu các hệ tuyến tính địa phương và bó ideal bội để m ô tả đa thức A lexander trong trường hợp lũy thừa của các thành phần bất khả quy đôi m ột khác nhau nguyên tổ cùng nhau Công việc này có thể dẫn đến việc khảo sát các lược đồ Hilbert các đường cong đi qua các điểm cho trước với kiểu kì dị địa phương cho trước tại mồi điểm

6

noncom m utative Calabi-Yau varieties - the integral identity conjecture In the íĩrst article (cf [12]),

w e e iv e an overview o f how the conjecture arises and which role the conjecture plays in the theory,

we also show how to resolve it in the fram ew ork o f algebraically closed base íìelds o f characteristic zero We develop a m ethod w hose íĩrst step uses Sebag-Loeser-N icaise’s m otivic integration for

fo n n al schem es [9, 15] while the second step concem s H rushovski-K azhdan’s integration in algebraically closed valued ĩields o f equal characteristic zero [7]

In the second article [13], we approach to the conjecture in terms o f C luckers-Loeser’s

m otivic integration [3], which m ay work for any íĩeld o f characteristic zero We only consider the functor /ị for the constant íu n c tio n /b u t enrich it with the natural action o f protìnite group o f roots

oí' unity Using K((t))* -action w ith weight (1 ,-1,0) on K((t)) we obtain a proof o f the integral

identity conjecture for arbitrary fields o f characteristic zero

In the third article [14], we com pute the A lexander polynom ial o f a non-reduced non- irreducible com plex projective plane curve with m utually coprim e orders o f vanishing along its irreducible com ponents in terms o f some m ultiplier ideals This work m ay lead to the study o f the

H ilbert scheme o f a curve passing through some given points in the projective plane w ith a given type o f local singularity at each point

PH À N III SẢN PH ẨM , CÔ NG BỐ VÀ K ÉT QUẢ ĐÀ O TẠO CỦA ĐÈ TÀI

3.1 Kết quả nghiên cứu

tế (có phản biện)

Bài báo khoa học trên tạp chí Scopus, đuợc phản biện đánh giá cao

2 M ột chứng m inh của

giả thuyết đồng nhất

tích phân, II

(A p roof o f the integral

identity conjecture, II)

- Đe xuất m ột phương pháp mới để chứng m inh tính hữu tỷ của các chuỗi có tác động

- Tạo ra bước đột phá trong nghiên cứu lý thuyết DT m ôtivic trên bình diện quổc tế

- Giới thiệu lý thuyết tích phân

m ôtivic với nền toán học Việt Nam

- Công trình đăng trong m ột tạp chí top 20 trong các bảng xếp hạng phổ biến các tạp chí toán lý thuyết uy tín nhất trên thế giới

- Chứng m inh tính hữu tỷ của chuỗi có tác động

- Chứng m inh giả thuyết đồng nhất tích phân với trường nền không nhất thiết đóng đại số, tạo bước đột phá mới

Đa thức A lexander của

đường cong pliăng xạ

- ứ n g dụng các công cụ m ạnh, hiện đại trong hình học đại số và đại số giao hoán

- Công trình đăng trong m ột tạp chí top 100 trong các bảng xếp hạng phổ biến các tạp chí toán lý thuyết uy tín nhất trên thế giới

- Ket nối các nhà toán học cùng chuyên ngành nhưng thuộc các chuyên ngành hẹp khác nhau

- Đê xuât phương pháp tính

đa thức Alexander của đường cong bằng ideal bội

- ứ n g dụng các công cụ mạnh của hình học đại sô

và đại số giao hoán như ideal bội, hệ địa phương

- Bài báo được nhận đăng trên tạp chí ISI (SCIE)

- Ket nối các nhà toán học cùng chuyên ngành nhưng thuộc các chuyên ngành hẹp khác nhau

3.2 H ình thức, cấp độ công bố kết quả

Tình trạng

(Đã in / chấp nhận ỉn / đã nộp đ ơ n / đã được chấp nhận đon hợp lệ / đã được cấp giấy xác nhận SH T T / xác nhận sử dụng sản

Đánh giá chung

(Đạt, không đạt)

1 C ông trình công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ thông ISI/Scopus

1.1 Lê Quý Thường, A short sun>ey on

the iníegral identity conjecture and

theories o f motivic integration, Acta

M athem atica V ietnainica 42 (2017),

289-310

DOI: 10.1007/S40306-016-0197-5

Scopus

1.2 Lê Quý Thường, A p r o o f o f the

integral identity coỉýecture II,

Com ptes Rendus de l'Académ ie des

Sciences - Series I 355 (2017), no 10,

1041-1045

DOI: 10.1016/j crm a.2017.10.005

ISI

1.3 Lê Quý Thường, Alexander

polynom ials o f com pỉex prọịecíive

plane cun>es, Bulletin o f the

Australian M athematical Society

ISI

Cột sàn phàm khoa học công nghệ: Liệt ké các thông tin các sàn phàm K H C N theo thứ tự

<tên tác già, tên công trình, tên tạp chí/nhà xuất bản, số p h á t hành, năm ph á t hành, trang đăng câng trình, mã công trình đăng tạp chí/sách chuvên khảo (DOI), loại tạp chí ISỈ/Scopus>

Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo ) chi đươc chấp nhân nếu

có g h i nhận địa ch i và cảm om tài trợ của Đ H Q G H N theo đúng quv định.

Bản phô tô toàn văn các ấn phẩm này ph ả i đưa vào phụ lục các minh chứng cùa bảo cáo

R iêng sách chuyên khảo cần có bản p h ô tô bìa, trang đầu và trang cuối có ghi thông tin m ã số xuất

3.3 Kết quả đào tạo

Cột công trình công bo ghi như mục III 1.

PH ÀN IV TỎ NG H Ợ P KÉT QUẢ CÁC SẢN PHẨM K H & CN VÀ ĐÀO TẠO CỦA ĐẺ TÀI

đăng ký

Số lượng đã hoàn thành

1 Bài báo công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ thông

ISI/Scopus

2 Sách chuyên khảo được xuât bản hoặc ký hợp đông xuât bản

3 Đăng ký sở hữu trí tuệ

4 Bài báo quốc tể không thuộc hệ thống ISI/Scopus

5 Sô lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của ĐHQGHN,

tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia hoặc báo cáo khoa

học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế

6 Báo cáo khoa học kiên nghị, tư vân chính sách theo đặt hàng

của đơn vị sử dụng

7 Ket quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định

chính sách hoặc cơ sở ứng dụng KH & CN

8 Đào tao/hô trơ đào tao NCS

9

P H À N V T Ì N H H Ì N H s ử D Ụ N G K I N H PHÍ

Kinh phí đuọc duyệt

(triệu đồng)

Kinh phí thực hiện

(triệu đồng)

Ghi chú

2 N guyên, nhiên vật liệu, cây con

3 Thiêt bị, dụng cụ

4 Công tác phí

5 Dịch vụ thuê ngoài

6 Hội nghị, Hội thảo, kiêm tra tiên độ, nghiệm thu 18 18

7 In ân, Văn phòng phâm

m inh dạng m ạnh nhất của Giả thuyết đồng nhất tích phân, m ột ứng dụng khác là đưa ra m ột tiêu chuẩn hiệu quả để hai phần từ bằng nhau trong vành G rothendieck có tác động Ngoài ra, chúng tôi cũng đã tính được đa thức A lexander của m ột đường cong phang xạ ảnh phức tổng quát nhất thông qua các nghiên cứu về kì dị m ặt thuần nhất, sử dụng bó ideal bội và hệ tuyến tính địa phương Hai bài báo tương ứng với các nội dung vừa nêu đã được gửi đãng tới các tạp chí quốc tế có uy tín

Chúng tôi kiến nghị tới các cấp quản lý, nên chăng xem sự tài trợ cho các đề tài là m ột phần thưởng cho những thành tích gần nhất của nhỏm nghiên cứu, đồng thời tăng thời gian thực hiện đề tài và giảm áp lực về số lượng bài báo được xuất bản hoặc chấp nhận đăng nhằm tăng chất lượng nghiên cứu và chất lượng công bố

PH Ầ N VII PH Ụ LỤ C (minh chứng các sàn ph ẩ m nêu ờ Phần III, xem các trang sau)

H à N ội, n g à y 02 th á n g 01 nă m 2 0 1 8

Đoti vị chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài

1 M in h ch ứ n g kết q u ả cô n g bố:

a) L ê Q u y T h u o n g , A sh o rt s u r v e v o n th e in te g r a l id e n tity c o ìỳ e c tu r e a n d th e o r ie s o f m o tiv ic

in te g ra íio n , A c ta M a th e m a tic a V ie tn a m ic a 42 (2 0 1 7 ), 2 8 9 -3 1 0

b) Q u y T h u o n g Lê, A p r o o f o f th e in te g r a l id e n tity c o ìỹ e c íu re II, C o m p te s R e n d u s de

1'A cadém ie des S ciences - S e rie s I 3 5 5 (2 0 1 7 ), no 10, 1 0 4 1 -1 0 4 5

c) L ê Q u y T h u o n g , A le x a n d e r p o ly n o m ia ls o f c o m p le x p r o je c tiv e p ìa n e c u rv e s, đ ư ợ c c h ấ p

n h ậ n x u ất bản trê n tạp chí “ B u lle tin o f th e A u s tra lia n M a th e m a tic a l S o c ie ty ”

2 M in h ch ứ n g k ết q u ả đào tạo:

H ọ c v iên cao học: N g u y ễ n T h ị B íc h N g ọ c

T ên luận văn: "V e c á c id e a ìF ittin g "

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n luận văn: T S N g u y ễ n P h ụ H o à n g L ân

N ă m bảo vệ luận v ăn th ạc s ỹ : 2 0 1 7

Acta M ath Vietnam (2017) 42:2 8 9 -3 1 0

A Short Survey on the Integral Identity Conjecture

and Theories of Motivic Integration

Lê Quy Thuong1,2

Received: 23 June 2016 / Revised: 15 July 2016 / A ccepted: 19 July 2016 /

Published O n lin e: 19 D ecem ber 2016

© Institute o f M athem atics, Vietnam A cadem y o f Science and Technology (VAST) and Springer

Science+Business M edia Singapore 2016

Abstract In Kontsevich-Soibelman’s theory of motivic Donaldson-Thomas invariants for

3-dimensional noncommutative Calabi-Yau varieties, the integral identity conịecture plays

a crucial role as it involves the existence of these invariants A purpose of this note is to show how the conjecture arises Because of the integral identity’s nature, we shall give a quick tour on theories of motivic integration, which lead to a proof of the corỹecture for algebraically closed ground íĩelds of characteristic zero

Keywords Motivic integration • Formal schemes • Rigid varieties • Volume Poincaré

series • Resolution of singularity • Integral identity conjecture • Definable sets

M athematics Subject Classiỉlcation (2010) Primary 03C60 • 14B20 • 14E18 • 14G22 •

32S45 • 11S80

1 Introduction

Historically, Thomas, in his thesis and his paper [31], introduced an invariant for a 3-

dimensional Calabi-Yau maniíold M as a counting invariant of coherent sheaves on M ,

which analogizes the Casson invariant on a real 3-dimensional maniíold This kind of invari- ant was then named after him and his advisor Donaldson According to [16], the moduli

E3 Lê Quy Thuona

leqthuong@ gm ail.com ; qle@ bcam ath.org

1 D epartm ent o f M athem atics, Vietnam National University, 334 N guyen Trai Street, Thanh Xuan

D istrict, Hanoi, Vietnam

' BCAM - Basque C enter for A pplied M athem atics, A lameda de M azarredo 14, E-48009 Bilbao, Basque Country Spain

ỷ ° t

ỳ 1 0

space M of coherent sheaves on M can be locally presented as the critical locus of a holo- morphic Chem-Simons íunctional / By this, a Donaldson-Thomas invariant for M can be described as an integral of the Behrend íunction over the moduli space M In view of [1],

the value of the Behrend íunction is defíned in terms of the Euler characteristic of the Milnor

fíber F f of the Chem-Simons íunctional / , from which the Donaldson-Thomas invari-

ant arises In [17], replacing the Milnor fiber by a so-called motivic Milnor fiber (defíned

by Denef-Loeser [8] using motivic integration) Kontsevich and Soibelman study motivic Donaldson-Thomas invariants for 3-dimensional Calabi-Yau maniíblds The theory of Kont- sevich and Soibelman allows, under appropriate realizations (e.g., a cohomology íunctor),

to obtain refínements of (classical) Donaldson-Thomas invariants The motivic Donaldson- Thomas invariants are also realized physically as “BPS invariants” Among 3-dimensional Calabi-Yau categories, the derived category of coherent sheaves on a compact (or local) 3-dimensional Calabi-Yau manifolds is a Central object

Let us now give a brief review due to [17] and [18] on the direct elements in Kontsevich-

Soibelman’s theory conceming the integral identity conjecture Let c be an ind-constructible triangulated Aoo-category over a íĩeld k For any strict sector V in R 2, we consider a collec- tion of full subcategories Cự of c Then, One can construct the motivic Hall algebra H( C)

as a graded associative algebra admitting for any strict sector V an element A y ẵị] invertible

in a completion H( Cv ) of H( Cy) - More precisely, in terms of a countable decomposition Ob(C) = Ui e I Yi into constructible subsets such that GL(jVj) acts on Yị, respectively, we

where V = V7! u V 2 and the decomposition is taken clockwisely These constructions aĩso

depend on a constructible stability condition on c By deíinition, a stability datum on the algebra H(C) = 0 ỵer / / (C)y consists of a moiphism of abelian groups z : r c , with

r a fre& abeỉ-ian- group endowed wiứi-an integer-valued bilinear form-(*,- •>; and-a-coỉlecũon

a — (ứ(ỵ))ygr\{0) wĩth property that there exists a positive real number c > 0 such that

IIyII < c |Z ( ỵ ) | for any y e r with ứ (ỵ ) ^ 0 In other words, a constructible stability condition on c is what guarantees that the set of stability data on H{C) is the same as that

of group elements in H(C) having the factorization property.

Assume that the íleld k has characteristic zero It is obvious that the group schemes /x„ = Spec(Ả’[r]/(if” — 1)) and the maps ệ € ụLnp h-» ự e ỤLn form a prọjective system, whose limit will be denoted by fi Let Var; ịi be the category of algebraic Ẵ:-varieties X endowed wiứi a /i-action ơ The Grothendieck group K(ị(Va.Tị ịj) is an abelian group gen- erated by symbols [X] = [X, ơ ] for (X , ơ ) in Var* ậ such that [X] = [y] whenever X is /i-equivariantly isomorphic to y , [X] = [7] + [X \ y] for Y Zariski closed in X with ứie yi-action induced from X , and [X X V] — [X X A ị] if V is an Ể?-dimensional affíne fc-space with arbitrary linear /z-action and the action on A ị is trivial Furthermore, KoCVarit Ịi) has

a ring structure with unit induccd by the cartesian product Denote by the localiza- tion ^(V ar^ ^ )[ L -1 ], with L := [Aj[] Let Co be a commutative ring with unit containing

an invertible Symbol L ĩ , which is a square root of L We consider a Co-linear associative

algebra 1Zự_Co generated by Symbols Ểỵ, for Y e r , modulo usual conditions eò = 1 and

^yí^Yi — L - <yi,y2>'?ỵ1+y2- we choose Co to be the ring M ^ ìoc := M ị [{(1 - L ') - 1}ieN]»

then Tir '■= TZr Co *s the motivic quantum torus associated with r (cf [17, Section 6.2]).

Springer

The Integral Identity C onjccture and Motivic Intearation 291

Accordine to Ị 17], in the theory of motivic Donaldson-Thomas invariants for 3-

dimensional Calabi-Yau categories, the map V : H(C) -> l Zr defined by V ( v ) = (u wỴẽy, for V e H{ C) y , plays a cenưal role (cf [17, Theorem 8]) Here, w is the motivic

wcight and (•, •) is the pairing between motivic measures and motivic functions in the sense

of [17] The expected event that the map T> is a homomorphism of r-graded Q-algebras

in fact depends absolutely on the positiveness of the integral identìty conjecture and the

orientation data

Indeed, let us consider the elements VEị and VE, of H(C) given by classes of the mor- phisms pt t-> E\ e Ob(C) and pt E i e Ob(C) By choosing orientation data defined

in [17, Section 5] and using the Calabi-Yau property and the motivic Thom-Sebastiani the-

orem (cf [9, 23] and [20]), Kontsevich-Soibelman’s computation of the images V ì v e ị ), T>{ ve 2), and V ( v E t - VE-,) in the motivic quantum torus ring TZp shows that V(yE\ )T){ ve -,) =

■ l’£;) if the íollovving identity holds in the ring M ỵ :

a ta closed point X in its special íĩber This motivic object lives in and will be studied

in almost all of the note Also, for N e z , the truncated Euler characteristic ( £ , F)<N isdefined to be Y^j<N(—ỉ ý d im ex t'(£ ', F) Finally, ứie elements I ( h( Ej ) ) and I ( h ( E a ))

appear in ửie orientation data, which satisíy the main property of the orientation data on exact triangles Processing all the iníormation conccming the orientation data, it remains thi following identity

J tl(£ E ) S ^ E h Ev (0 ,« ,0 ,0 ) = L ỏ ^ , £ 2 l e x ll ( £ l £ l )®ex,>(E2.£ 2,- ( ° - 0

'-Ai described in Step 3 of the proof of [17, Theorem 8], the potential W e x e 2 is a íorrnal seies f(jc, a, p, >’) in the graded vector space M e x e 2 defined as ứie abelianization of a

seies 5Zn>3 w n/ n in cyclic paths in the quivers Q e { e 2 "'ith the vertices E1 and Ẽ 2 , and

w th d im ex t1 ( £ /, Ej ) edges between Eị and Ej , for i, j e {1, 2} In such a cyclic path, b(th directions Ei —*■ E2 and Ẽ 2 -» E\ have the same number of edges, thus the for- mil series We\ e 2 is i-invariant with respect to the G m jt-action on M-Eị E2 wilh

Wiights wt(*) = wt(y) = 0, w t(a) = —wt(yS) = 1 Identiíying e x t '( £2, E\ ) — e>t] (E\ , Eì ) — Ả ị 2 and ext1 ( E1, E \ ) © ext1 ( Ẽ 2 , Ẽ 2 ) = A^3, for some positive integers dị, d', and d$, the previous íormula is rewritten as follows.

C b n je c tu re (Kontsevich-Soibelman) With the previous notation and hypotheses, the idintity

f d < S f , a = ư ì S n dì,0

hclds in

The identity in this conjecture is known as the integral identity (cf [17, Conjecture 4])

c<njectured by Kontsevich and Soibelman to construct V as a homomorphism of algebras

^ L *

Springer

and to construct motivic Donaldson-Thomas invariants In the present paper, we are going to

re c a ll som e p o in ts o f th e Standard lan g u a g e in ío rm a l g e o m e try fro m w h ic h th e co rỳ ectu re

will be restated in the most precise form (see Conjecture 4.3)

Provided the integral identity corỹecture is true, the map V is a homomorphism of r - graded Q-algebras Consider a certain extension of V to the completion H( Cv ) , for any strict sector V c M2 Then, the collection of elements A y°l = V ( A ^ M ) o f the completed motivic quantum tori 'R.y, for all such strict sectors V, is called the motivic Donaldson- Thomas invariants of the category c By construction, the motivic Donaldson-Thomas

invariants A y0t also satisíy the factorization property since the elements Ayalỉ do (cf [17, Theorem 7])

Because everything behind the integral identity conjecture is motivic integration in the sense of Sebag, Loeser, and Nicaise for formal schemes and rigid varieties (cf [22, 24, 29] and [28], etc.), we shall express in what follows some important points o f this theory On the other hand, it is a fact that Hrushovski-Kazhdan’s motivic integration (cf [13] and [14]) also plays a certain role in completing a proof for the conjecture, we thus devote the last section to mention it in practical aspects

2 Special Formal Schemes and Associated Rigid Varieties

Throughout the present paper, we work over a non-archimedean complete discretely valued

field K of equal characteristics zero, with valuation ring R, with m the maximal ideal of

R , and with residue fíeld k — R / m Let us fíx a uniformizing param eter m in R, i.e., a

generator of the principal ideal m

2.1 Special FormaI Schem es

A topological /?-algebra A is said to be special if A is a Noetherian adic ring such that, if

3 is an ideal of definition of A, the quotient rings A / J n, for n > 1, are íĩnitely generated

over./? By [2]r a tapological 7?ra!gebra A is.special.if and only-if it-is topologically -R isomorphic to a quotient of ứie special /?-a]gebra R {T\ , , r „ } [ [ 5 i, , s m]] An adic /?-aIgebra Ả is topoìogically finìtely generated over R if it is topologically /?-isomorphic to

a quotient algebra of the algebra of restricted po\ver series R { T ị , , Tn} Evidently, ever>'

topologically finitely generated /?-algebra is a special /?-algebra We refer to [2, Lemma

1.1] for a list of essential properties of /?-special algebras

A íormal 7?-scheme X is said to be special if X is a separated Noetherian adic formal scheme and if it is a fínite Union of affine formal schemes o f ứie form Spf(^l) with A

a special /?-algebra A íorm al /?-scheme ỵ is topologicalh o f ýỉnite tỵpe if it is a ílnite union of affine formal schemes of the form Spf(^4) with A topologically finitely generated /?-algebras It is a fact that the category of separated topologically o f fmite type íormal R-

schemes is a full subcategory of ửie category of 7?-special íorm al schemes, and both admit fiber products On the other hand, a special íorrnal 7?-scheme is separated topologically of

íĩnite type over R if it is 7?-adic If X is a special formal /?-scheme, any íormal completion

o f X is a special íormal /?-scheme Furthennore, by [30], special formal i?-schemes are

excellent

A morphism 2) —>• X of special formal /?-schemes is called a morphism of ìocally

fm ite type if locally it is isomorphic to a morphism of the form Spf(13) - * Spf(^l) with Ỉ3 topologically finitely generated over Ả

The Integral Identity Corýecture and Motivic Integration 293

The following are some notation which will be useíul later For X , a Noetherian adic

íormal scheme, we denote by the closed subscheme of X deíĩned by the largest ideal

of deíĩnition of X Note that 3£o is a reduced Noetherian scheme, that the coưespondance

X I—> 3ío is íunctorial, and that the natural closed immersion Xo -* 3tis a homeomorphism

If X is a special íormal /?-scheme, ^ 0 is a separated Ả:-scheine of finite type We shall denote

by the special íĩber X x rIí o f X By deíĩnition, x s is a fonnal Ẳ:-scheme If X is separated

to p o lo sic a lly o f fin ite ty p e th e n 3:* is a sep arated /c-schem e o f fin ite type, and Xo =

(^s)red-2.2 The G eneric F iber o f a Special Form al Schem e

Let X be a special íorrnal /?-scheme Then, one can associate with X a rigid ẢSvariety denoted by X ịị due to [3] or [7], this rigid variety is calleđ the generic fib e r of the formal scheme X The generic íĩber X ì} is separated, but in general, not quasi-compact Further- more, the correspondance X I—> Xq is íunctorial, i.e., it deíĩnes a functor from the category

of special íormal /?-schemes to the category of separated rigid ^-varieties A special formal

/?-scheme ỵ is called generỉcally smooth if its generic fiber is smooth over K.

Because of working only on affine íormal schemes, we shall recall the explicit construc-

tion of generic ííber in this case, following [7] and [28] Assume that X — Spf(_A) with A a special /?-algebra Let 3 be the largest ideal of deíinition o f A For any integer n > 1, we

Ả ® r K t h e m a x i m a l i d e a l i n K c o r r e s p o n d i n g t o X P u t X ' = I n A c Ả T h e n , s p ( x )

is the unique maximal ideal of A containing TU and X ' If z is a locally closed subscheme

of Xred, then sp-1 (Z) is an open rigid subvariety of XrỊ, which is canonically isomorphic to

(3£/z)7J> the generic fiber of the íormal completion of ỵ along z (cf [7, Section 7.1]) In particular, if z is closed, deíĩned by the ideal (gi, , gs) of A , then

s p -1(Z ) = { x e X r ì \ ls,-(jr)l < 1, i = 1 , , s}.

The construction of specialization map can be generalized to any special formal y?-scheme (cf [7])

2.3 R esolution o f S in gu larities o f a Special Form al Schem e

Conrad in [6] introduces the notion of nonĩialization of a special íormal scheme, and Nicaise

in [28] recalls the deíĩnition of iưeducibility in formalism Let X be a special formal R- scheme, and n : X —> X a normalization map (which is a íĩnite morphism of special íormal /?-schemes) Then, X is called irreducible if the underlying topological space |3:| = |(J£)ol

is connected For any special íormal /?-scheme X , we denote by X i, i = 1 r, the (topologically) connected components of ỵ , and by n, the restriction of n to X j Let Xj

Springer

denote the reduced closed subscheme of 3L deíĩned by the kemel of the natural morphism

O x Then, X i, i = 1 , , r, are the iưeducible components o f X In

particu-lar, ứie irreducible components of an affĩne special formal 7?-scheme Spf(y4) coưespond to

the minimal prime ideals of A (see [28, Lemma 2.29]).

Let ỵ be a reguìar special formal /?-scheme, i.e., O x X is regular for any X e X , and £ a closed íormal subscheme of X Recall from [28] that í is a strỉct nonnal crossings divisor

if, for each X in X , there exists a regular system of local parameters U 'o , , x m) in O ỵ x ,

su ch th at, at X, th e ideal d e íĩn in g (£ is lo cally g en erated by n j = o x j ! j f ° r so m e n atu ral N j ,

j = 0 , , 772, and such that the irreducible components of (£ are regular By [28, Lemma- Definition 2.36], if £,• is an iưeducible component of í which is deíĩned locally at X by the ideal (xm‘), then the number mị is constant when X varies on í , We call the natural number

m/ the multiplỉcity o f (£,■ and denote it by /«(<£,) Then, if <£|, , <Br are the irreducible

components of (£, we can write € as a Weil divisor as follows

r

€ = ( £ ,) £ ,

j=i

Let ỵ be a generically smooth, flat special formal /?-scheme By definition, a resolution

o f singularities o f X is a proper morphism of flat special íbrmal /?-schemcs [) : 2) —> jỆ,

such that f) induces an isomorphism on the generic fíbers, 2) is regular wiứi the special fiber 2)í a strict nonTial crossings divisor As seen in the following theorem, in ứie case of characteristic zero, such a resolution of singularities of a generically smooth, flat special formal 7?-scheme does exist

T heorem 2.1 ([30, Theorem 3.4.1] and [28, Proposition 2.43]) Anv generically smoothýlat speciaỉ fo m ia ỉ R-scheme X admits a resoỉution o f sỉnguìarities ]f, in addition, X is affine, one can get the resolution o f singularities hy means o f /o m u il admissible blow-ups.

Let us explain some terminologies in the previous theorem, following [28] Let X be a Noetherian adic fonnal /?-scheme, J an idẹạl of dẹộnitiọn ọf X t ạnd X a cohẹrent idẹạl sheaf on ỵ Then, by definition, the íormal blow-up of X with center I is the morphism of

adic íormal /?-schemes ỉ)' : 3: such that TO<xy is invertible, there exists a unique

m orphism of formal /?-schemes 6 : 2)' —>• 2) such that = f) o 9 Furthermore, the íormal

blow-up í) : 2) -> X commutes with flat base change, with the completion o f X along a

closed subscheme 3 c Xí as well (cf [28, Proposition 2.16])

Assume that X is a special íormal /?-scheme, and I is open with respect to the sr-adic topology, i.e., I contains a power of TU Within this condition, the blow-up í) : 2) —> X with center I is called admissibìe By [28, Corollary 2.17], if : 2) —> ỵ is an admissible blow-

up, 2) is a special formal /ỉ-schem e, and if, in addition, ỵ is /?-flat, so is 2) Furthermore, the

induced morphism of rigid ^-varieties : 2],; —> X ịị is an isomorphism [28, Proposition 2.19]

Here is the definition of dilatation of a flat special formal scheme Let X be such a íòrmal /?-scheme, and I a coherent ideal sheaf on ỵ containing UT Let f) : 3) —»■ X be the admis- sible blow-up with center X Then, if H is the open íormal subscheme of 2) where X O y is

€* Springer

The Integral Identity Corýecture and Motivic Intesration 295

generated by 5T, we call 11 —> X the diìatation of X with center I Like admissible blow-

ups, dilatations commute with ílat base change, with the íormal completion along closed subschemes (cf [28, Propositions 2.21, 2.23]) Furthermore, by [28, Proposition 2.22], if I

is o p en , u is sep arated to p o lo g ically o f íin ite type.

3 Motivic Integration on Formal /?-schemes

3.1 The G reenberg Functor

The main reíerence for this paragraph is [12]; we may see also [29] and [22]

For n > 0, let R n := R / ( m ) n+ị In [12], Greenberg shovved that, for any /?„-scheme

X topologically of finite type, the íunctor Y h-> Hom/ỉn (Y Xk Rn, X) from the category of

Ẳ:-schemes to Ihe category of sets is presented by a Ẩ:-scheme Gr„(X) topologically of ĩinite type such that, for any fc-algebra 4,

Qrn( X) {A) = X ( A ®k Rn).

Let X be a íormal 7?-scheme quasi-compact, separated, topologically of íĩnite type Then,

it can be considered as the inducúve limit o f the /?„-schemes x„ — (X, O ỵ <g)R R„) in the

category of formal /?-schemes The canonical truncation morphisms /?„_!_ 1 —► R n induce

canonical moiphisms of Ả:-schemes

Ớ'I+1 :G r„ + i(X n+1) - > G r „ ( X „ )

for every integer n > 0 This follows that there is a canonical way to associate the íòrmal /?-scheme X with a projective system {Gr„ (X„)}„eN in the category of separated Ấ:-schemes

of fínite type The morphisms 6ỊỊ+l being affine, the prọịective limit Gr(X) of the system

{Gr„ (A'„)},iefij exists in the category of ^-schemes Note that one may write also Gr„ (jỆ) for Gr„(X„) The following lemma is useful for Section 3.2

L em m a 3.1 (Greenberg [12]) The ýunctor Gr respects open and closed immersions and fib e r Products, and it sends affine topologically o f fm ite type fo n n a l R-schemes to ajfme k-schemes.

For a formal /?-scheme X quasi-compact separateđ topologically of ĩinite type, for n e

N, we denote by Jt„ X, or simply 7T„, the canonical projection Gr(jC) —> Grn( X n) By [29], the image n n(Gr(X)) of Gr(X) in G r„(X „) is a constructible subset of Gr„(Xn) If, in addition, X is smooth and of relative dimension d , ửien by [29, Lemma 3.4.2]:

• The morphism 7r„ : Gr(jC) -> G r„(X „) is surjective,

• The canonical prọịection Gr„+m( X n+m) —*■ G r„( X n) is a locally trivial fibration for the Zariski topology with fíber A ị m.

We reíer to [29, Section 4.2] for the definition of piecewise trivial fibration mentioned in the following

Proposition 3.2 (Sebag [29, Lemma 4.3.25]) Let X be a jĩa t separated, quasi-compact, topologically o f fìnite Type Ịormal R-scheme o f relative dimension d There is an integer

c > 1 such íhat, for e e 7L and n e N with n > ce, the projection

jrn+i(G r(£ )) n tt(Gr(X))

is a piecewise trivialýĩbration over TT,, ( G r ^ (£ )) w ừ h fib er K ị, where

Gr{e)(X) = Gr(X) \ rí (3£sing.e))

3.2 L oeser-Sebag’s M otivic Integration

We have mentioned the Grothendieck ring M ỵ from the beginning, but it is not suffícient

in the íramevvork of motivic integration of Sebag, Loeser, and Nicaise M ost preíerably, we

refer the readers to [10] and [25] for a useful relative version of it Let X be an algebraic Ẩc-variety, viewed as acted ưivially by /X, and Varỵ £ the category of X -varieties endowed with good /2-action By definition, a good /x-action on an X-variety Y is a group action

ị i n X Y —> Y for some n e N>0, which is a morphism of X-varieties, such that each

orbit is contained in an affíne Ẵ:-subvariety of Y The Grothendieck group KoCVaiỵ Ịi) is an abelian group generated by the /ì-equivariant isomorphism classes [Y —> X , ơ ] modulo the

also write L for the class [Aị X X -> X, trivial /ì-action], and deíĩne

M ị := A T o íV a r ^ I L - 1] and M ị ]oc := M ị m - V r l }ieĩị].

For the sake of simplicity, we consider an element o f A 4 ỵ as an elem ent of A 4 ỵ ]oc Any morphism of Ấ:-varieties f : X - » Y induces a morphism of groụps f \ : Ạ 4 ỵ - ỷ Ậ 4 y by composition, and a morphism of rings / * : M y -> M ỵ by íĩber product We write simply

J x for (X -> Spec(Ấc))Ị Forgetting the action, we obtain Grothendieck rings, which are denoted by M -X and M-X loc-

The previous deĩinition of Grothendieck rings still makes sense for schemes of fínite type and morphisms between them This is important since in this paper we also need to

work with base X being a Ắ:-scheme of ĩinite type (e.g., the reduction o f a special formaỉ

scheme) By abuse of notation, we shall also denote these Grothendieck rings of schemes

of finite type by M x , M x , loc, M ỵ , and M ỵ ]oc.

Let X be a formal /?-scheme topologically of finite type By defínition, a subset A of Gr(j£) is cylìndricaỉ oỷlevel n > 0 if A = 7T" 1 (C) with c a constructible subset of G r„(^)

Denote by Cj£ the set of cylindrical subsets of G r(jt) o f some level Then, C ỵ is a Boolean

algebra, and it is stable by íĩnite intersection, íinite Union, and by taking complements If A

is cy lin d rical o f som e level, th en n n ( A) is c o n stru c tib le fo r any n > 0 (cf [22]).

Assume in addition that X is flat and of relative dimension d A cylinder A of Gr(X) is called stable o f level n if it is cylindrical of level n, and if for every m > n the morphism

7ĩ m+i (Gr(3£)) —> u m(G r(^)) is a piecewise trivial ĩibration over 1 t ( A) with fiber A ị Note that if X is smooth, every cylinder in G r(.í) is stable w e shall denote by Co X the set of stable cylindrical subsets of Gr(J£) of some level In general, Co X is not a Boolean algebra,

but it is an ideal o f C t

-‘â Springer

The Integra! Identity Corýecture and Motivic Integration 297

P ro p o sitio n 3.3 (Lê [ 19, Proposition 5.1 ]) The re exists a unique additive morphism

such íhat J ấ (A) = [jĩn (/\)]L~ (,!+1 for A a stable cỵìinder oỊleveì n.

Let Á 4 x 0 denote the completion o f j \ 4 x 0 with respect to a ĩilưation F* m-piece of which F' ”Á /í x ũ is the subgroup of -M ì*0 generated by [S]L~' w ithdim (5) —ỉ < — m As similarly

explained in [22]1, one can extend /7 to a unique additive morphism ỊL : C t —> M x 0 with

the property that

f i ( A) = lim J1(A n G r(í,)(30),

e—*oc where the lim it on the right hand side exists in M X0 according to [22, Proposition 3.6.2]

Furthermore, consider a larger class D ỵ containing C ỵ of measurabỉe subsets of Gĩ(3l)

By a measurable subset A of G r(£ ), we mean for every positive real number é there exists

a sequence of cylindrical subsets Aj ( ( ) (i e N) with the symmetric difference A u /4o(e) \

A n A q ( ề) contained in ỊJi> i ) and II/x(v4, (e))II < e for all i in N >0- Then, once again,

fi can be extended to a unique additive morphism /X : -> Ả i Xo SU0*1 that

í L ~adịJL := ịi(a~ ^ («))L ~W.

J a

If all the fibers ữ ~ \ n ) are stable cylinders and ữ takes only a íĩnite number of values on

A, we can use the restriction Jí instead of /z, and the motivic integral then takes values in

In this case, we shall denote the integral by f A L ~adụ

3.3 In tegral o f a D ifferential Form

Let ỵ be a flat quasi-compact separated topologically of finite type generically smooth íormal /?-schem eof relative dimension d, and let ù) be a differential form in Q.dXịR (X) Let JC

be a point o f G r(^ ) \ G r(£ sjno) defíned over some field extension k' of k Let R ' = R<s>kk', and let ự) : Spf(/?') -» £ be the morphism o f fonnal /ỉ-schem es corresponding to X Since

L := (ộP*í2^|yf)/(torsion) is a free ơ tf'-m odule of rank 1, its submodule M generated by

<p*ũứ is either zero or zơ”L for some n 6 N Then, ordnxOyX*) is detìned to be oo or n ,

respectively

Because of a canonical isom oiphism £ìdỵ (J£,j) = Qdỵ^R(X) <S>R K , one can write a dif-

í e r e n t i a l fo iT n Cứ in C l ị ( X ^ ) a s a p r o d u c t a> = UT~n cỏ w it h 05 € £2dX ịR { X ) a n d n € N

T h en , w e se t ordro £(o>) : = o r d ^ C S ) — lĩ T h is d e íĩn itio n is in d ep en d en t o f the ch o ice o f 5

1 In [22], the m easure Ịí is deíined to take values in the rina M k

-y V \

(cf [28]) Let Củ be a differential form in (£,)) By [22, Theorem-Deíinition 4.1.2], the

íunction o rd^ x(cư) is exponentially integrable on G r(£ ) So we can deíĩne

Following [24], by a weak f o n m l Néron model of XtỊ, we mean a smooth íormal R-

scheme 2) topologically o f fmite type such that is an open rigid subspace of xnand the

canonical maps 23(/?) —> X n( K) are bijective for any ílnite unramifíed extension K o f K, where R is the normalization of R in K By [22, Proposition 2.7.3], there exists a formal model X of 3íyỊ whose /?-smooth locus is a weak íormal Néron model of x r Let Cứ be a

gauge form on Xq Since ĩ l d x (£,)) = K , one can write co — Tư~n(ữ with

5 G ^ £1^ (3;) and n € N And we put ord^- := ordnr(5) — n, where this defínition

is independent of the choice of ã) due to [22, Section 4.1] Assume that some open dense íormal subscheme 2) o f X is a weak íormal Néron model of Xrj Then, since 2) is smooth, QíL>r is locally free of rank 1 over ỠỊỊ), i.e., there is an open covering {IX/} of 2) such that

Í 2 m | | j ( i l j ) is free of rank ] Therefore, for every 7, there is an f i in Oịịị (iXị) such that

It implies that the restriction of the íunction ordOT (5 ) to ií, is equal to the íunction o r d ^ ( f i ) which assigns ordnr (/;(<£>)) to a point ọ e Gr(H,) Let / be the global section in ỡ ạ )( ii) such that f — f ị on ílị Then, by glueing ordro ( / , ) ’s altogether, we obtain a function ordm ( f ) : Gr(3t) = Gr(2)) - * z which is equal to ordOT(5) Since a> is a gauge fomi, / induces an invertible íunction on Xq, hence by the maximum principle o r d n j( /) takes only

a fínite number of values (see the proof of Theorem-Definition 4.1.2 o f [22]) Therefore, ordnr ỵ(o>) takes on!y a finite number of values and its íĩbers are stable cylinders In this case, we put

Note that this deíinition does not depend on the choice o f the Néron model (cf [28])

3.4 Motivic Integration on Special FormaI Schemes

Working on special formal schemes, we shall use a sưonger notion than a weak Néron

model ỉt will be called Néron smoothening Let X be a special formal /?-scheme By a Néron smoothening for X , we mean a morphism of special íorrnal /?-schemes 2) -» X , with

2) adic sm o o th o v er R, w h ic h in d u ces an o g en e m b e d d in g 2),J - » 3Ln s a tis íy in g ỵ ) Ạ K ) =

Xr)(K) for any fínite unramifíed extension K of K

P roposition 3.5 (Nicaise [28]) Any genericalìy smooth special fo nnal R-schemes X admils

a Néron smoothening 0) —> X Moreover, we can clioose to be a quasi-compact separated topologically offiniỉe type generically smooth form al R-scheme.

In particular, if in addition X is flat and h : 2ỵ —*■ X is the dilatation with center x s, then

2)7 is a separated topologically of íĩnite type generically smooth íomial /?-scheme (cf [28])

Hence, we can choose a Néron smoothening 2) for ỵ to bc a Néron smoothening for 2)'.

In [28], Nicaise deíines motivic integral on special fonnal /?-schemes in the following

way Let ỵ be a flat generically smooth special íormal /?-scheme, and h : 2) —> ỵ the

sơ < g (íl/) <8 ( Q ^ I * ® )) -1 = ỰÌ)O ịq(Uy)

•ringer

The Integral Identity Ccmjecture and Motivic Integration 299

dilatation with center xs.If cư is a differential form of maximal deeree (resp a gauge form)

on Xq, then one deíìnes

(the integrals on ihe right were already defined in Subsection 3.3) If X is a generically

smooth special íormal 7?-scheme, we denote by 36fílat its maximal flat closed subscheme (obtained by killing CT-torsion), and define

The following proposition gives an equivalent definition of integral on special íormal

/?-schemes X using a Néron smoothening for X.

Proposition 3.6 (Nicaise [28, Propositions 4.7, 4.8]) Let X be a generícallỵ smooth special

f'ontm l R-scheme, and —> X a Néron smoothening for X I f tủ is a differential fo n n o f

maximal degree (resp a gauge form ) on X-rị, then:

(i) The identity J ỵ \íú\ — \a>\ holds in Ả4 ỵ0 (resp in Ấ 4 ỵ 0),

(ii) The image o f f ỵ \ củ \ under the forgetful morphism Á 4 x fì - y M k (resp - M ỵ 0 ->

M k ) only depeiìds on 3Ln, not on X We shall denote it by J ỵ \íủ\.

3.5 Motivic Integration on Smooth Rigid Varieties

Let ĩ be a generically smooth special formal /?-scheme We consider the forgetful morphisms

By Proposition 3.6, if Cử is a differential form in ( X n), then f x ( f x Ịcư|) 6 M k depends only on X,J, not on X (cf [22, Proposition 4.2.1]) One may define motivic integral

on such type of rigid ẢT-varieties as follows

If cư is a gauge form on 3Ln, the image j ỵ ( f x |cư|) in M k depends only on xn,thus we put

(See more in [22, Section 4])

T h e p re v io u s type o f rig id /T -varieties (i.e., th e g eneric fib e r o f special form al R-

schemes) is in fact a particular case of bounded rigid varieties according to Nicaise-Sebag

[26] A rig id Ả ^variety X is bounded if th e re exists a q u a si-co m p act o pen su b sp ace Y o f X such that Y ( K ) = X ( K ) for any íinite unramified extension K of K On a quasi-compact

smooth rigid variety, the motivic integral was already deĩined by Loeser-Sebag [22], and inspired by this, Nicaise-Sebag [26] extend the notion to bounded smooth rigid varieties If

the p rev io u s X is sm ooth, so is Y, and o n e c a n d e íin e

and

â Springer

In g en eral, J ỵ |ứj| lives in M k - H ow ever, if Củ is a g au g e form , then J ỵ |ct)| b e lo n g s to M-k-

The integral is well defmed, due to [26, Proposition 5.9]

For any integer d > 0, let G B SRig^ be the category of gauged bounded smooth rigid /T-varieties of dimension d, in which an object of GBSRig^ is a pair (X , cư) with X a

bo u n d ed sm ooth rig id Ả^-variety o f d im en sio n d and Củ a g au g e form on X A n d a m o rp h ism

h : (X',a>') —*■ (X,CJỦ) in GBSRig^ is a morphism of bounded smooth rigid ^-varieties /ỉ : X ’ —* X such that h*củ — Củ' The Grothendieck group Ẩ^GBSRig^.) is the quotient

of the free abelian group generated by symbols [X, cư] with (X, cư) in O bG B SR ig^ by the

relatio n [X ', Cú'] = [ X, cư] if ( X ' , co') = ( X , cư) in G B S R ig ^ , and

Equipped with this product, the Grothendieck group K (G BSRig^) becomes a ring.

Proposition 3.7 (Lê [19, Proposition 5.3]) There exỉsts a unique homomorphism o f rings

<i> : Ảf(GBSRig^-) —> Á4k such that

lo g ically o f ĩin ite ty p e to g e th e r w ith a gau g e form on its generic fiber W ith the p re v io u s

deíĩnition, we recall a generalization of the volume Poincaré series by Nicaise in the framework of motivic integration for special íormal schemes (see [28])

In general, by [28, Remark 4.10], the volume Poincaré series S( X, Cú\ T ) depends on the choice of m , i.e., on the ẢMìelds K( m) However, if k is an algebraically đ osed íĩeld,

K (m ) is the unique extension of degree ni of Ả’, up to ẢMsomorphism Hence, S( X, Củ\ T)

Q Springer

The Integral Identity Conjecture and Motivic Integration 301

is independent of the choice of Tơ In [19], we endow J ỵ ( ) |w(77ĩ)| with //,,,-action for every

m € N> 0 so that s ( X, co\ T) lives vvell in Ả i ỵ [ỊT]].

By Theorem 2.1, there exists a resolution of singularities of X Fix such a resolution

of singularities f) : 2] —> ỵ Let (Bị, i e J be the iưeducible components of the divisor

Assume that the divisor 2)í is written as Nj<£j. For nonempty

/ c J , we put

Lct Ej = ( £ /)0, i e J, and E/ = P ì/€/ £ j, E°J = Ej \ E j, 0 Ỷ 1 c J Then,

Eị = (Ể /)o for any 0 Ị c J In particular, if X is separated topologically of finite type,

Eị = £ ,, for any i e J

Let u be an affine Zariski open subset of '2)ũ such that u n E°! Ỷ ar>d on í/ n E°,

fo 0 bo = « n i€/ y>ị ‘, with ũ a unit and V/ a local coordinate defining Eị Let m } denote the greatest common divisor of (Nị ) ị e i ■ Deíĩne an unramifíed Galois covering JT] : E°J —> E°J with the Galois group /zm/ given over u n E°J by

u n Ẽ° := {(z, y) e Aị X (ỉ/ n £/°) I zm' = h(j)

Choose a covering of consisting of such open subsets u n E°J The Galois coverings

ư n £ J ov er u D E J can b e th en g lu ed to g e th e r in an o b vious w ay to a covering w h ich has

a natural /zm/-action (obtained by multiplying the z-coordinate with elements of ị im i) The

/zm ;-action in d u c e s a go o d /x-action o v er E°J (cf [8, 10] an d [4]) T hen, the /ì-eq u iv a ria n t

morphism f)0 o ĨII '■ E°J -*• 3£o deíĩnes a class [£ J] in M ỵ .

The following is a generalization of Nicaise [28, Corollary 7.13] to the version with action

Theorem 4.1 Let X b e a genericallx smooth specialýonnal R-scheme o f relative dimension

d Leí 2) —> X be a resolution o f sìnguìaritiea with special f ib e r s2)x — ỵ2ieJ Nị£i- Letcửbe

an X-bounded gaugeform on x n and ỊXị = ord<£ (íử)for ì G J Then, thefoỉlowing identity

and is called motivic volume of X As shown in [27], in fact, S( X, K s) can be deíĩned with-

out the c o n d itio n th at x n a d m its a j£ -b o u n d ed g au g e fo n n (cf [28, P ro p o sitio n -D eíìn itio n

We then put s & r ,, K s) := f x (S(X, K s)) = - limr-»oo J x S(X, co\ T) e M ị and call

it the motivic voỉume of j£i;.

Let Ả' (B SR ig^) be the Grothendieck ring of the category BSRig^ of bounded smooth rigid ^-varieties The following is an analogue of [19, Proposition 5.5] in the action context

Proposition 4.2 The re exisls a unique homomorphism o f groups MV : K (BSRig^-) —»

M ỵ such that

M V([X]) = - lim <ỉ>([X(m),ù)(m)]\Tm,

m> 1 where cư is some gauge form on X In parùcular, i f ỵ is a genericalỉv smooth special Ịonnal R-scheme, we have M V ([£,,]) = S ( X n, K s).

4.2 Motivic Nearby Cycle of a Formal Function

In th is sectio n , w e co n sid e r th e sp ecial c ase R = /:[[?]] w ith k a fíeld o f ch a ra c teristic z e ro

(hence, we can choose m = í) Consider a special íormal /?-scheme X with a non-constant íbrmal function f : X -» Spf(y?) as the structural morphism A resolution of singularities of

X exists due to Theorem 2.1 Using the resolution o f singularities f) : 2) —> X mentioned in

ihe previous seclion, we have the following đeíĩnition (which was originally introduced by Kontsevich-Soibelman [17] and Lê [19])

D eíinition 4.3 The motivic nearby cycle S ị of the formal íunction f : X —> Spf(/?) is the

w h ile b ased on th e reso lu tio n o f sin g u larities o f a sp ecial ío rm a l sch em e ( X, f) w e u se

that formula to deíìne the motivic cycles of f Thereíore, also as in Deneí-Loeser [11], the

deíinition of <Sf does not depend on a particolar resolution of singularities of ỵ

D e fin itio n 4 4 L et X be a c lo sed p o in t o f Xo- T h en , the m o tiv ic M iln o r íĩb e r (Sf X o f a fo rm a l

íu n c tio n f at X is th e m o tiv ic quan tity ({x} in - M

ị1-This deíinition of S f X is compatible with the deíinition of <Sf in the following sense Let

X /x be the formal completion of ỵ at X Let fx : X /x —► Spf(/?) be the foưnal funclion

induced from f : X —> Spf(R) Then, Defínition 4.3 can be applied to fx, and we have the

The Integral Identity Corụecture and Motivic Intesration 303

Corollary 4.5 / / I is a generically smooth special Ịorm al k[[t]]-scheme o f reìative

dimension d, then the identity

hoìds in Mk

-4.3 The Integral Identity C onjecture and G eom etric Part of Proof

A t th is tim e, w e have en o u g h m a te ria ls to State the in teg ral identity co n je c tu re in an exact

way Let k be a fíeld of characteristic zero, and let (x, y, z ) be a system of coordinates of

th e & -vector sp a ce k d = k dl X k dl X k dì in th e ca n o n ica l b asis.

Conjecture 4.6 (Kontsevich-Soibelman [17, Conjecture 4.4]) Let / be in y, z]J

invariant by the natural G m it-action of weight (1, — 1, 0), with / ( 0 , 0, 0) = 0 Let X be the íbrmal completion of A ị along A ị l with structural morphism f x induced by f and 3 the

íormal completion of A^3 at the origin with structural morphism / 3 induced by / (0, 0, z) Then, the following identity

holds in

Let X be as in Corỳecture 4.6 Then, is a generically smooth special formal &[[/]]-

scheme of relativc dimension d — 1, and 3to = A ị ' The generic fíber may be written in

w i t h K — k((t)), val(x) = min, {val ( * ; ) } , a n d v a l is the S t a n d a r d valuation on the íìeld K s

We write ỵ.n = Xo u X \ , vvhere

Xo = {(x, y, z) e x tl I X = 0 ory = 0},

= { (* , y , z) € 3CV I * # 0 a n d v 7 ^ 0}

T h eo rem 4 7 As identiùes in , f Ấdt S f x = L^1<S/ 3 = 0 are equivalení.

P r o o f T h e h o m o g en eity o f f im p lie s th a t p ro v id e d X = 0 o r V = 0, w e have f ( x , y, z ) =

/ ( 0 , 0, z); hence, we may express Xo as a cartesian product Yo X Zo, where

y0 = { ( X , y ) € I val(jc) > 0, v a l(j) > 0, X = 0 ory = o Ị,

Zo = ị z e A dị R.g I val(z) > 0 , / ( 0 , 0 , z) = / Ị

On the other hand, we may write Fo = ^0 1u ^0 •>, with Fo 1 = {* £ Ap- Ấ ,Rig I 0 < val(x) <

0 0} and Y 0 2 = {>’ 6 R I v a l(y ) > ó} It im p lies th at Xo = (Yo 1 X Zo) u (^ 0 2 X Z o ).

^ ([^ c u C ra) X z0(m), í/'* X cư("í)]) = <t>^[yb.2("ĩ>, d' x(m)] ■ <ỉ>([Zo(m), Ct>(m)]).

A simple computation gives 2 Ì>n), d'x(jri)Ỳ\ = L ~dl for any m > 1 Thus,

MVflY0.2 X z 0]) = L - * M V ( [ Z 0])

Moreover, this identity also holds in M ỵ , by Corollary 4.5.

As mentioned in Corỹecture 4.3, 3 is the formal completion of A^3 at the origin with structural morphism / 3 induced by / (0,0, z); hence, it has the reỉative dimension ó?3 — 1

Observe that Zo is exactly the generic tìber 3)]- By Corollary 4.5, M V([Zo]) = L ~dì+ ỉSf-i ,

which induces that MV([Vo 2 X Zol) = L -<Í2_íÍ3+1«.S/ 3 in , hence

L á>5/3 = L ^ - rM V([X0] ) '

in -M Ĩ Finally, by Corollary 4.5, f dị S f x = L á _1MV([.£|)]), which completes the proof

A k

□

5 M otivic Integration o f Hrushovski-Kazhdan

As shown in Theorem 4.6, the conjectural integral identity is equivalent to M V ([X 1 ]) = 0 in

Hovvever, in our approach, the foundation of motivic integration for íonnal schemes is

not suffĩcient to prove the identity M V([X ]]) = 0 Fortunately, we may íìnđ out a solution

in motivic integration of Hrushovski-Kazhdan (cf [13] and [14]) and concrete computations

o f H ru sh o v sk i-L o e se r o f m o tiv ic M iln o r fíb e r (cf [ i 5]) To ap p ly this th e o ry , it is im p o rta n t

to su p p o se th at k is an a lg eb raically c lo sed íĩe ld o f ch a ra c teristic zero, a n d re su lts in g e n e ra l

only hold in M [ Xoc.

5.1 T he T heory A C V F(0, 0) and M easured C ategories

Let ACVFjt((,))(0, 0) denote the theory of algebraically closed valued íĩelds of equal char- acteristic zero that extend &((/)) (cf [13]) The theory has lwo sorts V F and RV, and One

“ỄỊ Springer

The Integral Identity Conjecture and Motivic Intesration 305

imaginary sort r The sort VF admits the language of rings The language of RV consists

o f ab elian g ro u p o p eratio n s •, / , a u n ary p re d ic a te k x fo r a su b g ro u p , and a b inary o p era-

tion + on k = k x u {0} The imaginary sort r is equipped with a uniquely divisible abelian group For an algebraically closed valued fíeld of equal characteristic zero L, we denote

by R i (resp m i) its valuation ring (resp the maximal ideal of Ri ) The basis L-defínable sets of ACVFfc((,))(0, 0) are VF(L) := L, RV(L) := L x / ( 1 + m L), r (L) := L x //? * and

~ỉ(L) := R i / m i A deíĩnable subset of VF” (L) is a íĩnite Boolean combination of set of

th e fo rm s v a l( f \ ) < v al( f ì ) o r /3 = 0, w h e re f i are p o ly n o m ials w ith c o e ffic ien ts in k( ( t ) )

We also have deíinable subsets of R V ''(L), r n(L) and k "(L ) in the same way There are

natural maps between these sets rv : VF —> RV, val : VF -> r , valrv : RV —> r , and res : R i -* k (L ), and also an exact sequence of groups 1 -> k x —> RV v—r r -* 0.

Let F be the category of Ả’((/))-definable sets (or defmable sets, for short) endowed with deíĩnable volume forms, up to r-equivalence One may show that it is graded via the

following subcategories /zrV F[»], n e N An object of /zpVF[n] is a triple (X, / , e) with X

a deíĩnable subset of VF e X R V ^, for some í , £' in N, f : X —> VF” a definable map wiửi fínite fibers and Ê : X -* r a deíĩnable íunction A morphism from (X, / , e) to ( X \ / ' , e')

is a definable essential bijection F ■ X —> X ' such that

Ễ = í ' o f + val(JacF)

away from a proper closed subvariety of X Here, that F : X —*■ X ' is an essential bijection means that there exists a proper closed subvariety Y of X such tíiat F Ịx \y : X \ Y —>

X ' \ F ( Y ) is a bijection (see [13, Section 3.8]).

Let /^rV F bdd be the full subcategory of /xpVF whose objects are bounded deĩinable

sets with bounded deíĩnable forms s If considering e : X —> r as the zero íunction, we

obtain the categories volVF and volVF[n] as well as volVFbdd and volVFbdd[n] In this

case, the nieasure preserving property of a morphism F is characterized by the condition

vaK Iac/7) = 0, outside a proper closed subvariety For the sake of simplicity, we may omit

the Symbol / in the triple (X , f , £) when no coníusion appears.

We also consider the category /ipRV graded by /xrRV[n] for n e N, deíined as follows

An object o f /XfRV[«] is atriple (X , / , e) with X adefm able subsetoíR V ^, for so m e í € N, / : X —y RV" a deílnable map with fínite fíbers, and s : X —y r a definable function A morphism (X, / , e) —> (X ' , / ' , e') in /XfRV[?i] is a deíĩnable bijection F : X —> X ' such

that

8 + Ỵ 2 valrv(//) = e' ° F + o F)

away from a proper closed subvariety (which is called the measure preserving property)

Denote by /ipR ES[n] the full subcategory of /u.rRV[«] such that, for each object (X, / , e),

valrv(Ằ') is a fmite set The category /zpRVbdd is deíĩned as /zpRV with valrv-image of objects bounded below For each object (X, / , £) of one of the previous categories, tak-

ing £ being the zero íunction, we shall name the coưesponding subcategories by volRV,

volRVbdd, and volRES Let RES be a categoi-y deíĩned exactly as volRES except the measure preserving property for morphisms

Denote by aìT[;ỉ] ứie category of pairs ( À , /) with Á a deĩinable subset of r n and / :

A —» r a definable map A morphism ( A ,/ ) -> ( A ' , ư ) of the category is a deíĩnable

b ijectio n k : A —» A ' w hich is liíta b le to a d e fin a b le b ijectio n v a l“ 1A —> v a l~ ' A ' su ch th at

\x\ + l ( x ) = |X(jc)| + í ( Ằ ( x ) )

y V \

Let / i r bdd[«] be the full subcategory of /xT[«] such that, for each object ( A , /) of /Arbdd[«],

there exists a y € r with A c [ỵ, 00)" By defmition, the categories fj.r and yxrbdd are

ửie direct sums © „> 1 /iT Ịn] and © „> 1 Airbdd[«]» respectively The subcategories whose objects are of the form (A , 0) will be written as v o ir and v o ir bdd

5.2 Hrushovski-Loeser’s Morphisms Generalized

L e t c be One o f th e ca te g o rie s in the p rev io u s su b sectio n T h e n , as in [13], w e d e n o te th e

Grothendieck semiring of c by K+ị C) and the associated ring by K (c ) By [13], there is a

natural morphism of

N : tf+ (M rbdd) ® K + {ịirR E S) -> * + (MrVFbdd) constructed as follows Note that two objects admitting a morphism k in / / r bdd[«] deílne

the same element in Ẫ^_|_(//rbdd[77]); hence, Ằ lifts to a morphism in /if V F bdd[n] between their pullbacks Thus, there exists a natural morphism J£ + (/z rbdd[«]) —> /f+ (/iirV F bdd)

mapping the class of (A , /) to the class of (val~’ (A ), /o v al) Also, for each object (X , f , £)

in //pR ES[«], we may consider an étale map l : X k" By this, we have the natural morphism Ẩ +(/ZfRES[n]) -> Ả^+ (yu,rVFbdd) by sending the class of (X, / , e) to the class

of (X X( res /?", prj oe) In particular, if X is Zariski open in k ” , then X X i res R n is simply

res- 1(X)

Theorem 5.1 (Hrushovski-Kazhdan [13]) The morphism N is a suỳection Moreover, it

also induces a surjective morphism N between the associated rings.

By [13, Proposition 10.10], an element of K+(ụ,rR V bdd) may be written as a ĩinite sum

of elements of the form [(X X val~ 1 ( A), / , £)] An argument in the proof o f [ 13, Proposition

10.10] also shows that

[(X X val- 1 (A), / , £)] = [(X, /o , 1)] ® [(A , /)],

■where'/o':’X •->'RV"‘ arrd'/-:'Â •-v T are'Sồme delìrtaWe'fUrtơti’oíiắ

Let \ K (RES) be the quotient of K (RES) modulo the conditions [val~* (a)] = Ịval” 1 (0)]

for a in r = r ( Q ) , and !Ẩ'(RES)[L“ ']ioc the localization of !A'(RES)[L- 1 ] with respect

to the multiplicative íamily generated by 1 — L ', i > 1 Let m , n be in N, m > 1, (A , /) in

^ r bdd[n], and e in r with me € z Set A (m) A n ( l/m Z ) " , A/ e := / -1 (e) and

B y using [15], fo r any A in v o i r bdd, o n e sets S m( A ) : = H yeà (m ) L ~ m|ỵ^(L — 1)” an d

obtains a morphism of rings

s m : K ( v o ì r bdd) (RES)[L- 1 ]]0C

It is clear that a,„ is an extension ofỡ,„ and ơ „ ,(A ,/) = Yieel ®m(A/ e / m) ^ ~

The Integral Idenlity Conjecture and Motivic Intcgration 307

In order to obtain a morphism pm : /^(/LirRES) —►!Ả'(RES)[L 'lioc, it suffices to define

f , 1)]) fo r an o b je c t ( X, f, 1) in ^ r R E S A ssu m e th at / (X ) c Vyj X • • • X Vyn, i.e.,

vaC Ì M x ) ) = Yi for every X in X We set / , 1) := [X ](L -' if m ý 6 Z"

and p m ( X , / , 1) : = 0 oth erw ise.

By Hrushovski-Loeser [15], ker(ỡ,„ (g>/3,„) contains ker(/Vo), with No being N reduced to the volume version (for the structure of K (volVFbdd)) Similarly, we also have that ker(am 0

/3m) contains ker(A0- Thus, we obtain morphisms of rings

ĩim : K (volVFbdd) -*!A :(RES)[L_1]ioc

]-By defmition, ^([X ]) = [X], a([A ]) = x ( A ) (L — 1)” if A is a deíĩnable subset of r " ,

where X is the o-minimal Euler characteristic in the senseof [13, Lemma 9.5] Since ker(a(8>

P) contained in ker(No) (cf [15]), it gives rise to a morphism of rings

K (volVFbdd) —>-!ẪT(RES)[L_1].

The composition of it with the localization morphism !ẪT(RES)[L_1] —>!Ẫ^(RES)[L- 1 ]ioc

is denoted by h The following is stated in [20, Proposition 4.4],

Proposition 5.2 The series Z ' ( X , e) ( T) := 5Zm>i hm([{X, £)])Tm is a rationalýunction

Moreover, we have lim7-_yoo Z ' ( X, e) ( T) =

—/?([X])-As in [15, Section 4.3], we define a series {/m}m>i by setting 1\ =t , t ™m = t „ , n > l.F o r

a k((/))-definable set X over RES, we may assume X c V/ịỊm X • • • X Vịn/ m for some n, m and ij It is endowed with a natural action s of fj.m Now, the k ( ( r ,/ m))-definable mapping

( j f i , , x„) ( * i/r v ( r 'j) x n/rv ( # ) )

sends X to a c o n stru ctib le subset Y o f A £, w h e re Y is endovved w ith a //,,,-actio n induced

from <5 The correspondence X i-*- Y then defines a morphism 0 ' of rings

!Ar(RES)[L- 1 ] -►!^o(Vart ,A) [ L - 1]

(see [13, Lemma 10.7] and [15, Proposition 4.3.1]) Note that \Ko(Vaik ỳ) is the quotient

of K q (Var*) by identifying all the classes [Gm, ơ ] with ơ a /i-action on G m induced by

multiplication by roots of 1 Composing 0 ' with the natural morphism !Ẩo(VarjỊ ^ )[L - 1 ] -» induces a morphism of rings !J? (R ES)[L- 1 ]ioc —> I , which will be denoted by

0 Now, deĩine HLm : = 0 O /ỉm, HLm := © o h m and HL := 0 o h, which are morphisms

of rings As above, we get the identity

in -A^k.loc- Moreover, by [20, Proposition 4.6], the series Z ( X , e ) ( T ) := ]Cm>i HLm([(X, e) ] ) Tm is a rational function, and limr-voo Z( X, e)( T) = —HL([X]).

It is important to recall a comparison result conceming HL and MV, which was proved

in [19, Theorem 6.1] and [20, Theorem 4.8] Let X be a bounded smooth rigid ^ ((/))alg-

variety e n d o w ed w iửi a g au g e fo n n (ú T h e n , w e m ay c o n s id e r ( X , u>) as an o b je c t ( X , a ) o f

the category /xrV Fbdd with a = val o Cử For the sake o f simplicity, an object (X , f , ữ) of /ip V F bdd will be simply written as (X , a ) when / is clear.

T heorem 5.3 With the previous notation and hypotheses, we have loc(<&([X(m),<u(m)])) = L -^ H L ra([X, v a ụ Cứ]) and loc (M V ([Z])) = L - rfHL([X]) in

K l o c where loc denoíes the morphism M ỵ —» |oc

In the present subsection, by using Hmshovski-Kazhdan’s motivic integration, we show ủiat

H L ([X i]) = 0 in M ^ ìoc (Theorem 5.5) Then, combination of Theorem 5.5 with Theorem

4.6 and Theorem 5.3 will prove the following theorem:

Theorem 5.4 Wỉth the previous notation and hypotheses as in Conịecture 4.3, ihe identỉty

/ A- s f x = h d ỉ S f s holds in

Recall that

val(jc) > 0, val(>») > 0, val(z) > 0

* j L0, y 7^0, f ( x , y , z ) = t

We shall consider an altemative definable set

Y * Ị ( N , val(jc) > 0, val(y) > 0, val(z) > 0 Ị

• I • ^ ? - • • ■ ■ X 0 ; J ^ 0 , T V ( - / ( a r ; 3V ? ) ) - r v ( / ) j '

By [20, Theorem 4.8], we have H L ([X i]) = HL([A'*])

T heorem 5.5 For f in Conjecture 4.3, HL([X*]) = 0 in loc

ProoỊ Consider the free action of G := G m jfc((/))aig on A := (VFư' — {0}) X (VF^2 — {0}) X V P*3 given by r ■ (x, y , z) = ( r x , r _1>’, z) for T e G The canonical projec,tion

A -> A / G then induces a surjection p : X* -+ X j, with X* the image o f X* Note that

an element of X* is an orbit o f the form {(rx, r ~ ! v ,z ) I —val(jc) < v a l(ĩ) < val(y)},

which is an annulus analytically isomorphic to B (0, r) — B (0, r') for r, r' € r with r' —

r = val(A-) + val(y), where B ( 0, r) is the non-archimedean closed ball centered at 0 o f

valuative radius r By [19, Lemma 4.1], X* is an object in the category volVFbdd[d3] For

any Ệ e X Ị and any (jc, V, z) 6 ệ, the e lem en t v a l(;t) + v a l( v ) d ep en d s o n ly o n Ệ, n o t

on the representative Hence, the íunction Ằ : X* -> r >0, Ệ val(;t) + val(y) is vvell

deĩined if ( x , y , z) is in ệ Putting X* y := Ã._ I (ỵ) c X*, the composition of Ằ with

p : X* —> X* yields a deíĩnable íunction Ằ : X* —>• r>0 such that XỊ* is the image of

X* Y := A.-1 (ỵ) under p For any ỵ e r >0, every fiber of p \ x * is analytically isomorphic

Xl = ( x , y , z ) e A Ì j >Rig

Springer