BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO CHỊU TẢI PHỨC TẠP

a B ài toán ổn định của vỏ tròn xoay: Bài toán ổn định của vỏ đàn hồi tròn xoay đã được nghiên cứu, tuy nhiên với vỏ đàn - dẻo đang còn ít được quan tâm.. Trong bài báo, tác giả dựa trê

DẠỈ n ọ c QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

* * *

BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO

HÀ NỘI - 2003

A BÁO CÁO KẾT QUẢ THƯC HIỆN ĐE t à i

3 Cán bộ tham gia: GS TSKH ĐÀO HUY BÍCH, trường ĐHKHTN

4 M ục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Trong thực tế người ta thấy rằng nhiều kết cấu bị mất khả năng làm việc không phải do không đủ độ bền mà do bị mất ổn định mạc dù thời gian làm việc của chúng chưa nhiều Do vậy nghiên cứu vấn đề ổn định của các kết cấu thành mỏng được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.

Đặc biệt các vấn đề ổn định của bản và vỏ mỏng đàn - dẻo chịu tải phức tạp còn có ít công trình nghiên cứu Do vậy đề tài này nhằm giải quyết các bài toán sau đây:

* Ôn định đàn dẻo của vỏ tròn xoay.

* Ôn định của mảnh vỏ trụ tròn theo lý thuyết quá trình đàn dẻo.

* Ôn định đàn dẻo của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với các điểu kiện biên động học khác nhau.

* Các tính toán bằng số cho một số bài toán ổn định.

* Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

* ứng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động.

5 Các kết quả đạt được.

a) B ài toán ổn định của vỏ tròn xoay: Bài toán ổn định của vỏ đàn hồi

tròn xoay đã được nghiên cứu, tuy nhiên với vỏ đàn - dẻo đang còn ít được quan tâm Vì vậy trong cỏng trình này tác giả đã sử dụng lý thiiyết quá trình đàn - dẻo dể thiết lập các hệ thức cơ bản cho bài toán ổn định vỏ tròn xoay

1

đàn - dẻo chịu tải phức tạp Đã khảo sát bài toán ổn định của bản tròn và vỏ cầu Từ biểu thức của lực tới hạn có thể nhận lại kết quả của Timoshenco và Hutchinson cho vỏ đàn hồi Phương pháp đề xuất phù hợp, khoa học và có độ tin cậy cao.

b) Vê' vấn đ ề ổn định của mảnh vỏ trụ tròn đàn - dẻo.

Trong bài báo, tác giả dựa trên tiêu chuẩn rẽ nhánh trạng thái cân bằng

và phương pháp Bubnop - Galerkin đã nghiên cứu hai vấn đề sau đây:

* Thiết lập hệ phương trình ổn định của mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu nén dọc theo đường sinh, giải bài toán, đưa ra hệ thức chung của lực tới hạn đồng thời phân tích chi tiết các trường hợp riêng cho phép nhận được kết quả cụ thể hơn.

* Giải bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt bằng phương pháp Bubnop - Galerkin, dẫn ra được hệ phương trình đại số của Am Từ đó nghiên cứu lực tới hạn ở các gần đúng thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

c) Về sự ổn định của mảnh vỏ trụ đàn dẻo chịu tải phức tạp với liên kết biên tựa bản lề và liên kết biên ngàn.

* Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.

* Giải bài toán bằng phương pháp Bubnov - Galerkin.

* Xây dựng hệ thức tìm lực tới hạn cho mảnh trụ dài.

d) Phương pháp s ố cho bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt:

Trong công trình này tác giả đã sử dụng công cụ máy tính để tính toán bằng số cho một số dạng kết cấu cụ thể là mảnh vỏ trụ thép 30XTCA Đã nhận được các bảng số liệu tính toán, từ đó đưa ra những nhận xét Kết quả khá phù hợp với tính chất cơ học của kết cấu.

e) Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

* Khảo sát xem trường hợp nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.

* Trường hợp nào không có nghiệm đúng và cách tìm nghiệm gần đúng.

f ) ứng dụng phương trình Var der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất

ổn định khí động.

* Sử dụng phương pháp tựa cân bằng điều hoà để nghiên cứu tính chất

nghiệm của phương trình.

* Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức.

* Điều kiên mất ổn định khí động.

2

Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trẽn các bài báo và báo cáo khoa học sau:

Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích, ứng dụng phương trình Van der pol

để nghiên cứu hiện tượng mất ổn đinh khí động Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ v n , Hà Nội, 12-2002.

2 Đào Văn Dũng, v ề bài toán ổn đinh của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá trình đàn - dẻo Tuyển tập các công trình Hội nshị Cơ học toàii quốc lần thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.

3 Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích Cách tìm nghiệm của phương trình Matchie Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.

panels subjected to complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal of science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions.

(Tạp chí cơ học đã nhận đăng vào số 1 năm 2004).

revolution Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

* Năm 2003:

6 Tình hình kinh phí hai năm 2002 và 2003:

* Nám 2002:

6.000.000đ l.OOO.OOOđ 800.000đ

+ Bồi dưỡng chuyên môn và xemina khoa học

+ Chạy chương trình trên máy tính

+ In ấn tài liệu, đánh máy và các chi phí khác

Tổng cộng: 8.000.000đ

+ Hội thảo và xemina khoa học

+ Chế bản điện tử, chạy chương trình

+ Các chi phí khác

2.400.000đ 1.600.000đ l.OOO.OOOđ

T ổ n g c ộ n g : 1 5 0 0 0 0 0 0 đ

3

7 Nhận xét và đánh giá kết quả thực hiện đề tài.

* Đã hoàn thành tốt mức dự kiến và các mục tiêu của đề tài, vượt chì riêu

về số bào báo và báo cáo khoa học: 3 bài báo đăng ở tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc tháng 12 năm 2002; 1 bài đăng ở tạp chí khoa học ĐHQG năm 2003; 1 bài đã đăng Tạp chí Cơ học tập 25, số 1, năm 2003; 2 bài gửi đăng Tạp chí Cơ học năm 2004.

* Các vấn đề nghiên cứu cập nhật và cần thiết.

* Đề tài không những góp phần về lý luận khoa học mà còn có ý nghĩa trong ứng dụng thực tiễn.

* Đề tài góp phần thúc đẩy chuyên môn của cán bộ cũng như góp phần đào tạo cao học, NCS thông qua các xemina khoa học định kỳ và thường xuyên Điều này góp phần phát triển đội ngũ cán bộ cũng như ngành Cơ học của Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

* Đã hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp.

* Đang hướng dẫn 2 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp theo hướng đề tài.

* Nhóm đề tài kiến nghị được tiếp tục nghiên cứu theo phương hướng này.

PGS TS Đào Ván Dủn.'■g

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

PHÓ HIỀU TRƯỚNG

SCIENTIFIC PROJECT Branch Mathematics - Mechanics

1 Title: STATIC AN D DYNAMIC P R O B L E M S IN ELASTO PLASTIC

M EDIA SU BJEC TED TO CO M PLEX LOADING P R O C E S S E S

2 Code: QT - 02 - 02

3 Key implementors: Dao Van Dung

Dao Huy Bich

4 Duration: From 2002 to 2003

5 Main results:

In this project, our staff have studied the following topics.

1 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Application o f Van der pol equation for solving aerodynamic instability problems Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2 Dao Van Dung On die stability problems of cylindrical panels in the theory of elastoplastic processes Proceedings of the seventh National Congress On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Solutions and propeties of solution

o f Matchie equation Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

4 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal of science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

5 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem o f the thin round cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions Accepted to publication in the Vietnam Journal of Mechanics, 2004.

6 Dao Huy Bich On the elastoplastic stability problem of shells of revolution Vietnam Journal o f Mech, NCST, Vol 25, N2 I, 2003

the Seventh National Congress on Mechanics Hanoi, December 2002 and 1 research paper published in VNU Journal of Science Math-Phys TXIX, N23, 2003; 1 research paper published in Vietnam Journal o f Mech, Vol 25, N21, 2003; 1 research paper accepted to publication in the V Journal o f mech 2004.

5

B NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐE t à i

I Lòi mở đầu:

Vấn đề tĩnh và động lực học của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

có một nội dung rất quan trọng đó là việc nghiên cứu sự ổn định của các kết cấu đàn dẻo khi chịu tác động của quá trình tải phức tạp.

Để giải quyết bài toán đặt ra cần phải xây dựng các phương trình ổn định, đưa ra lời giải, tìm các biểu thức xác định lực tới hạn Sau đó tính toán bằng số cho một số dạng kết cấu.

Nội dung thứ hai cũng cần được quan tâm là xây dựng những phương pháp giải cho các hệ phi tuyến, chỉ ra những tính chất nghiệm, những tương tác giữa yếu tố phi tuyến và điều kiện mất ổn định khí động.

Do vậy đề tài có ý nghĩa khoa học và thời sự cũng như góp phần vào việc phát triển cơ học vật rắn biến dạng và đào tạo đội ngũ cơ học.

ũ Nội dung chính.

1 Vấn đ ề ổn định của vỏ tròn xoay đàn - dẻo.

Bài toán Ổn định đàn hồi cúa vỏ tròn xoay đã được giải quyết, tuy nhiên bài toán ổn định theo lý thuyết quá trình đàn dẻo còn ít được quan tâm Đề tài nhằm thiết lập các hệ thức cơ bản của bài toán ổn định đàn dẻo của vỏ tròn xoav chịu quá trình tải phức tạp Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định Khảo sát bài toán ổn định của vỏ cầu và bản tròn, nhận được biểu thức của lực tới hạn cho các trường hợp sau:

* Bản tròn đàn - dẻo chịu tải đối xứng.

* Vỏ cầu đàn - dẻo chịu tải phân bố đều.

* So sánh các kết quả tìm được với các kết quả đã biết trước đây.

2 Bài toán ổn định đàn - dẻo của mảnh vỏ trụ.

Xét mảnh trụ tròn tựa bản lể hoặc ngàm theo các cạnh, mặt trung bình có bán kính bằng R, bề dày h Vạt liệu không nén được, không xét đến sự cất tải Giả sử kết cấu chịu các lực Pjj = p,j(t) Vấn đề là cần phải xác đinh giá trị tới hạn t* và tương ứng là các lực tới hạn Pij* = Pjj(t*) Đề tài đã xây dựng được biểu thức tìm lực tới hạ II ch'j các trường hợp sau:

6

* Mảnh trụ chịu nén dọc đường sinh.

* Mảnh trụ chịu tác dụng của lực trượt.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương, tựa bản lể tại bôn cạnh.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương có hai canh tựa bản lề còn hai canh kia chịu ngàm.

* Tính toán bằng sô' với những quy luật tải phức tạp khác nhau.

* Các kết quả phản ánh đúng ý nghĩa cơ học khi kết cấu làm việc.

3 Bài toán Ổn định của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp.

Xét vỏ trụ tròn dài 1, bán kính R và bề dầy h, chịu nén theo hai phương bởi các lực p = p(t), q = q(t) Bài toán là cần tìm các tải tới hạn p* = p(t‘), q* = q(t*) ở đây sử dụng tiêu chuẩn tựa tĩnh để xét sự ổn đinh của vỏ trụ Đã tìm được lực tới hạn bằng phương pháp Bubnov-Galerkin cho các trường hợp sau:

* Tính toán bằng số đối với vỏ bằng thép 30XrCA với các quy luật đặt tải bậc 2, bậc 3.

4 Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie

Trong kỹ thuật có nhiều bài toán dao động của cơ hệ một bậc tự do dẫn đến việc khảo sát phương trình Matchie:

ỷ - ( c o 2 - u)y = 0

trong đó co2 không đổi, u = u(t)

Đề tài đã xét các trường hợp sau:

* Khi nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.

* Khi phương trình Matchie không có nghiệm đúng thì đã chỉ ra cách tìm nghiệm gần đúng của nó.

* Đã khảo sát được tính chất nghiệm phụ thuộc vào các tham số của

phương trình và điều kiộn đầu.

7

5 ứ ng dụng phương trình Van der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất

ổn định khí động.

Nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động dẫn tới nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình Van der pol với hệ số phụ thuộc vào tần số của lực kích động và có giá trị hữu hạn, do đó không áp dụng được phương pháp tham

số bé Để tài đã áp dụng phương pháp tựa cân bàng điều hoà để giải bài toán Vấn đề đặt ra là khi áp dụng phương pháp đó có cần đưa vào những giả thiết nào đối với các hệ số.

+ Bài báo đã đưa ra được những điều kiện cho phép bỏ qua các đại lượng điều hoà bậc cao.

+ Phát hiện một sô' tính chất phù hợp với kết quả thực nghiệm, góp phần giải thích về phương diện lý thuyết đối với các hiện tượng đó.

+ Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức trong phương trình Van der Pol và điều kiện mất ổn định khí động đã được khảo sát trong bài.

III Kết luận.

Đề tài QT - 02 - 02 đã thực hiện đúng với bản đăng ký nghiên cứu và đã hoàn thành tốt Các kết quả đạt được là mới và có ý nghĩa khoa học Đây là những vấn đề thời sự được trong nước và ngoài nước quan tâm Đề tài góp phần phát triển chuyên môn cũng như đào tạo sinh viên, cao học, nghiên cứu sinh Đã góp phần hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nehiêp và đang hướng dẫn 2 sinh viên theo hướng nghiên cứu này.

IV Các kết quả.

1 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Application of Van der pol equation for solving aerodynamic instability problems Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2 Dao Van Dung On the stability problems of cylindrical panels in the theory of elastoplastic processes Proceedings of the seventh National Congress On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Solutions and propeties o f solution

of Matchie equation Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

8

4 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal o f science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

5 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the thin round cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions Accepted to publication in the Vietnam Journal of Mechanics, 2004.

6 Dao Huy Bich On the elastoplastic stability problem o f shells of revolution Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

9

c PHỤ LỤC

10

Đ ại học Quác gia Hà iVộj

T ó m feắt Dựa trin tiêu crulán rê nhánh trạng thái càn binq và phuơnq pnáọ

3uònoo - Gaitriãn, báo cáo ngnie'n cưu nán đ ì á t điruĩ cùa mánh vó trti đàn - iio

làm òdnq vát liêu khónq nén đuơe, chiu nén dọc ứìeo iuànq sữúi node chiu lực iru ợ t

3 ã záy dung đutre àiétẩ thúc tim tái tài 'nạn. Vỡĩ két cáu là đàn hài node đàn dio

nhá, từ két qua náy có th ỉ nilận itạ tác truớnq hạp đã òiét irướe đây.

1 3 à ỉ :o á n án định

Xét một mánh rò trụ ĩròn tựa bàu lề theo các cạnh, mạt trung bìnn của aó

có bán kính bàng R , bè dầy là k Vật liệu là k iòn g nén được và không xét dến sự cắt tải Chọn hệ tọa độ trụ sao cảo trục r hướng dọc đường sinh, trục y = R8\

:heo aưcmg vòng tròn, :rục 2 theo hướng pháp tuyến cùa mành võ, ờ dây 91 ià

3-óc òm ờ tâm Gọi a, b là chiêu dài và chiêu rộng của mánh vò tưcmg ứng theo :rục O x và O y Già sừ kết cấu chịu tác dụng của các lực a?oài pij ĩhay đổi tùy

ý theo một ;ham số tài í nào đấy Vấn đè đặt ra là xác định giá trị :ới han í và

"tnmg ứng là các ì ực tói ỉxạn p-j sao ciio khi •nrọrt auá các giá :rị nàỵ thi kết cáu

bị mát ổn dịnh.

Sau đây giải bài toán đá nêu trong h.ai tnrờng hạn

2 M ả n h v ò tr ụ cìũ u n én d oc đ ư ờ n g sin h

Già thiết rin g man j trụ bị nén dọc đưcm? sinii bời iực phân bó đêu với caróm?

dộ bàng P(t) Tại thời điếm nào đấy tồn tại rrạng ihái ứng suát ọảằng trong két

~ p (^ )j Gyy = 0 , &zy = &z z = &'jz = Q zz = Qĩ

T ừ đây sa y ra các thành phần cùa tenxor tốc độ biến dạng tvxm g ứng được

xác định :heo lý tiiuyết quá crìnii dàa dẻo Í2Ị là

Tỉiay hệ thức này vào (2.5) tim được phương trình, xác dinh p, aghiệm riêng cùa

pnirơng trinii này là

T hay ôm và ỈỌ vào (2.4) và từ điều kiện không :ầm thương của nghiệm tứ c là

A r= 0, nhận được hệ thức xác dịnh lực :ới hạn của màniĩ trụ

Sau đây Qgiiiên cứu chi tiết hệ thức (2.9).

Trường hợp 1: Nếu mành trụ vuông (tức là a = á) và m = n = 1 tìù (2.9)

B ây giờ ta tìm g iá trị ahò Tì hất của t" Trước àết ta :ín i

Vậy giá trị niiò nhất của là

Tĩr đây tìm được biếu thức xác đinh lực p tới kạn

(2.13)

(2.14)

Nếu kết cấu là đàn dẻo niiò tức là iV = — , o' = d ịĩ- i) từ (2.14) nhận được kết

-tiquà trong [lị.

Thay (2.16) Tào hệ thúc của i“ dẫn rign

Sừ dụng biểu thức (2.6) của ữ ị, 01, /?3, 0 S và s trong (2.16), từ dây tìm đtrợc

D l dàng tháy ràng, aéu sử dụng già thiết 3 ^ - 1 as 2 thì (2.17) trờ thành àệ

K é t auả này trùng với àệ thức trong [l|

3 Mành vỏ trạ chịu tác dung của lưc trượt

Giả thiết mành trụ ciiỊii tác dụng bời lực tnrơt phân bố đêu với ctròng độ

r (í), kìù đó trạng tiiái tn iớ c tới hạn là

Phư ơng -rùm ổn đính dàn - dẻo của m ành trụ được mô tả như san 3Ị

d 4Sia d*Sru d*5vi 18r 3*510 9 1 di*v _ , ,

a l( = )

4

1 - ^ 3( = )Mí t )

í ^ 4

i à J

( t v + * ( ) I t ) ” ( * )Bây giờ sứ dụng phương pháp Bu'onop - Galerkin đói với phương trình (3.4) ta được

] j \ ~ d ĩ r ~ CLz d x 2d y - ~ ~ w ~ HJ n d z d y ' I ^ N R Ĩ Ĩ 1 ) T 9 y

-0 ó

Thay các biểu thức của 5w và ÌỌ vào hệ thức aày, thực hiện các phép đạo Hàm

riêng v à lấy tícà Dàân, vớ i CÌLÚ ý rằng

Bây già ký hiệu.

khỉ đó kệ (3.3) dược viết dưới dạng

f m n A mn -i- f r J 2 1 2 (,-2 _ m ‘ ) ( p - a- ) Ai j ~ 0 ^ - 10)

Đ iy là hệ vò hạn các phưcmg trình, đại số tuyến tính, đối với Amn, giải hệ aày rắt

phức tạp do vậy sau dây xét m ột vài gằn đứng.

X ý hiệu c = T , i h i đó ta được danz khác để tìm lực tới hạn là

Đây- là kết quả dã có trong [lị đối vớ i bản tnrợt

Nếu theo lý thuyết đàn dẻo nhò thì (3.12) dẫn đến hệ :hửc của (lỊ.

Do các hệ số A n , -^33 không dông thời bần? không dẫn đến định íiiúrc hệ

3ố của nó bàng không ta được

4 X ết luận

Trong báo cáo này tác giả đã giải quyết dược hai~váa đè eMail sau đaya) Đã xây dựng hệ pỉnrơng trình, mô t i an rtịnh của minh trạ chịu nén dọc đường 3ink, biểu diễn, được nghiệm của pỉurorng trình, đong thời phàn tích chi tiết các trường hợp cho phép tìm lực tới hạn của kết cấu

b) Đ ối r ó i bài toán mAnh trụ chịu lục trượt bằng phtrcmg pháp Babnop -

Gaierkm, đã dẫn ra dược hệ phương trình đại số đối với Amn Từ đó nghiên cứa lực tá i hạn ẻr các gần đúng thứ nhất, thứ hai Tà thứ ba

Công trình dược hoàn thành v ó i sự tài tro' của Chương trình nghiên cứu Car bàn về Khoa học tự nhiên

T à i lĩệ u t h a m k ilâ o

[lị Volmir A s ổn đùìA của các hệ biến dartạ Muxcơva, 1963

[2| Đ ào Huy B íc ìl Lý thuyét quá ừinn đàn áio N h ì x u ít bán £)ại học Qaóc ỊÍi Hà Nội, Hà Nội

1999.

[3j Đ à o V ỉ a Đ ũng Sái toán ch định ngoái giới hạn dàn hòi theo iý thuyết quả trinh biỉn dạng đàn

[4| Don o Brush, Bo o Alm roth SuddiruỊ o/ ban, pỉata and ihtilt Me Graw-Hill book

company, 1975.

PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TOÁN

Đào Văn Dũng

Đ ại học Q uốc g ia H à N ộ i

Phần này trình bày các kết quả tính toán bằng số cho bài toán mảnh vỏ trụ bán kính R chịu tác dụng của lực tnrợt Khi đó ta có hộ thức xác định lực tới hạn ở gần đúng thứ nhất là ([2]).

Hệ thức (2) là phi tuyến đối vói s, do vậy ta giải bằng phương pháp lặp

ở bước lặp thứ nhất lấy Et(s) = E0(s) = 3G khi đó ta có:

c 4i 4 7C4(1 + c 2) 2

9Í—Ỵ t t 4C1 + c 2 ) 2

I h J

(3)

Nếu S[ < Ss (giới hạn đàn hồi) thì vòng lặp kết thúc ta nhận được giá trị tới

Nếu s, > e, thì ta tiếp tục thực hiện các bước lặp tiếp theo bằng công thức lặp sau đây:

Lực tới hạn ở bước lặp thứ n là

^cr(n) = =

(4)

(5)

Bây giờ tính toán cụ thè cho mánh vó là loại thép 30XTCA (xem bang sò

Quá trình tính toán thường dừng ở vòng lăp thứ 4 đối với bài toán — thav

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Quốc gia Hà Nội, 1999.

trình đàn - dẻo Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ

v n , Hà Nội, 1 2 - 2 0 0 2

3

A. K ết q uả lực tới hạn khi R/h thay đổi

I K ết q u ả lục tới hạn khi 3b/h thay đổi

Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ hoc toàn quốc lần thứ vn

Hà Nội, 12 - 2002

CÁCH TÌM NGHIỆM VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

Tóm t ắ t : Trong kỹ thuậr nhiều bài toán dao động của lìé một bậc tự do dán đến việc klião sát phương trình Matchie Trường hợp nào phương trình Maìchie có nghiệm dũng Tnrớiig

hợp nào không có Iighiệm dùng VCI cách lìm nghiệm gàn ching Tính chất nghiệm phụ rliuóc

vào các tham s ố cùa phương trình và điéu kiện (láu ra sao dó là Iiliữìig vấn đ ế dược kháo sát trong bài toán này.

1 Trường hợp phương trình Matchie có nghiệm đúng [1]

Để xét xem trường hợp nào phương trình M atchie có nahiệm đúng, ta nghiên cứu mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình :

ở đây : ũ) 2 - tham số không đổi, u = u (t), V = v ( t)

G iả sử m ối quan hệ giữa các nghiệm z và y có dạng :

(1.3)

(1.4) (1.5)

(1.7)

Như vậy a là nghiệm riẻng cùa phương trình (1.1) khi thay co - X.

Như vậy : nếu y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1), a là nghiệm riêng của

phương trình (1.1) khi thay co = X, t h ì :

z = ỷ - y í - I

v a

là nghiệm của phương trình (1.9) hoặc (1.10)

Để làm ví dụ, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) khi chọn u = 2 a r = const Khi đó ta tìm được :

N ghiệm (1.15) ổn định hay không ổn định chi phụ thuộc vào điểu kiện đấu:

- Đ iều kiện đầu dẫn tới c , = 0 thì nshiệm ổn định v ì : z 0 khi t -> 00

- Đ iều kiện đầu dẫn tới c ^ 0 thì nshiệm khổng ổn định v ì : z -> oo khi t -> co

• Việc chọn u = u(t) ớ bước thứ nhất là tuv V , sao cho tìm được nahiệm đúng tổng quát của phương trình ( 1.1)

2 Trường hợp phuơng trình Matchie không có nghỉệin đúng

Trong phương trình (1.1) nếu chọn :

N shiêm gần đúng của phương trình (2.4) được tìm theo phương pháp tựa cân bằng điều

hòa [2] M uốn tìm gần đúng thứ nhất ta cho X dưới dấu tích phân bầng biểu thức códạng:

X = B + c sin((3t + (p + y )

trong đó : B c , V|/ - hằng số thực xác định trong quá trình giải

Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

(2.6)

(2.7)

7

(2.10) (2.11) (2.12)

Để nghiệm B, c của hệ phương trình (2.10), (2.11) là hằng số thực, ta chọn :

Biểu thức (2.17) là gần đúng thứ nhất cùa phương trình (2.3) khi bình phươna ty sò siữ a

hệ số hai điều hoà nhỏ hơn đơn v ị :

Đặt (2.14) vào (2.18) ta được:

c 2

4(4[32+ B 2) <

c2 2(c: +8(32 +2co: ) <

Vì phưcmg trình (2.1) là tuyến lính, phương trình (2.20) và (2.22) cho hai nghiệm cùa c

và B nẽn từ nghiệm (2.25) có thể ap dụng phương pháp chổng chất nghiệm để dược

nghiệm gần đúng tổng quát của phương trình (2.1)

trong đó : Dj, D2 - h ằng sô' tích phân.

Các đại lượng trong (2.26) xác định như sau : (p xác định theo (2.5), (ị) xác định theo(2.7), V|/ xác định theo (2.16), c xác định theo (2.20), B xác đinh theo (2.22)

Biểu thức (2.26) goi là gần đúng thứ nhất cùa phương trình (2.1) Cấu trúc của nghiệmgần đúng tổng quát (2.26) giống như cấu trúc cùa nghiệm đúng tổng quát (1.15)

Nghiệm (2.26) ổn định hay không ổn định phụ thuộc vào điều kiện đầu :

- Đ iều kiện đầu dẫn tới D2 = 0 thì nghiệm ổn định v ì : y —» 0 khi t - » 0 0

Đ iều kiện đầu dẫn tới D, * 0 thì nghiệm khỏng ổn định v ì : V —> 00 khi t —> coNhư vậy :

• Đ ể tìm nghiệm theo phương pháp tựa cân bằng điểu hoà [2], không cần đặt điều kiện gì lên các hệ số cúa phươns trình xuất phát, nhất là khỏng cần giả thiết tham số bé

• Đ ể xác định B, c, Vị/ áp đặt (2.8) không cứng nhắc, có thể linh hoạt lựa chọn sao c h o tìm đư ợc B, c , Vị/ là n h ữ n g hằng số thực

3 Phương trình đưa được về dạng phương trình (2.1)

Phương trình (3.3) có d ạn a tươna tự như phương trình (2.1) khi co2 - v: > 0

Dựa vào (3.2) (2.6) ta có thể viết lại biểu thức nghiệm cùa phương trình như sau :

trong đ ó B, c tính theo (2.21), (2.23) n h ư n g với o r được thay bằng co2 - V2

Nghiêm (3.4) ổn đ ịn h không phụ thuộc vào điểu kiện đáu khi B < V

Cõng trình h oàn thành với sự tài trợ của H ội đ ổ n g Khoa học Tự nhiên

(3.4)

£

Tài liệu tham khảo

[1] G L LAMBER Element o f soliton theory A Wiley - Interscience Publication John Wiley and

sons New York - Chichester - Brisbane - Toronto, 1980

[2] ĐÀO HUY BÍCH, NGUYÊN ĐẶNG BÍCH, ứng dụng plncơiig trình Van der Pol d ể ngliién cini hién

tượng mất ổn định khí động Tuyển tập các cồng trình Hội nghị Cơ hoc toàn quốc lần thứ v n Hà Nội

12-2002

Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ vn

1 Vài nét về hiện tượng mất ổn định khí động

ờ đây : Sh - hằng số Struhal, ns - tần số tách xoáy,

D - kích thuớc tiết diện ngang, u - vặn tốc gió

Các kết quả nghiên cứu [1] cho thấy rằng khi vận tốc aió tăng thì tần số tách xoáy cũng tăng cho đến khi tần sô' tách xoáy bầng tần số dao động riêng cùa kết cấu thì xẩy ra cộng hường, kết cấu lắc lư theo phươna cắt ngang luồne gió với bién độ lớn và xẩy ra mất ổn định khí động Lúc này liên hệ (1.1) không còn đúng nữa, tần số ns không tăng mà duy trì bang tần sô dao động riêng cùa kết câu, mặc dù vận tốc 2ÍÓ vãn tăng M iền tán sô tách xoáy duy trì bảng tần sô dao động riêng của kẽt cấu gọi là miền cô két tần số tách xoáy, tại đó biên độ tăng và giảm đột n g ộ t theo kiêu cộng hưởng Như vậy kích động xoáy xẩy ra trong m iền cố kết tần số

1.2 M ấ t ổn định G alloping

G allo p in g th ư ờ n g x ẩ y ra với các k ế t c ấ u d ạ n g lãng trụ nh ư c ộ t d iệ n , tháp ãn g ten , th áp vò tuvến tru y ể n h ìn h đỏi với cọt trụ c ó tie t d iện n e a n g tròn thì g a llo p in g xảy ra khi m ặ t đón gió xù xì như đường dây tải điện hoặc cột điện tròn có bám tuyết Khác với kết cấu trụ trò n , k ế t cấu lăn g trụ c ó vị trí tá c h x o á y có d in h , nên k h i góc tới cù a lu ô n g g ió th ay

đ ổi, h ợ p lực c ủ a lực k h í đ ộ n g c ó th ể đ ổ i c h iề u làm c ô n g trìn h d ao đ ộ n g th eo p h ư ơ n g c ã t ngang luồng gió với biên độ ngàv m ột tăng cho dến khi cõng trình bị sụp đỏ N hư vậy góc tới củ a luồng gió dối với m ặt đón gió là yếu tô ảnh hướng trực tiếp đối VỚI lực nâng cùa k ết cấu dạng lăng trụ K ết quả n ah iên cứu [2] cho thấy G alloping xẩy ra khi tần số tách x oáy vượt quá m ột giá trị xác định g ọ i là tần số tới hạn, tần số tới hạn có thể Icm hơn tầ n s ố d a o đ ộ n g riê n g c ủ a kết câu

1.3 M ô hình nghiên cứii hiện tượng m ất ổn định kh í động

Có nhiều m ô hình nghiên cứu hiện tượng m ất ổn định khí độna, m ột trong nhữno mò hình đó là m ô hình phi tuyến V an der Pol Trong trường hợp nay phương trinh chuven

Trong m ô hình này y,, y2, CL và £ là hàm của k, giá trị của những hàm này lấy theo kết quả nghiên cứu thực nghiệm

1.4 Phương p h á p giải

Đã có m ột sô' phương pháp giải phương trình (1.2)

a) N ếu trong m iền cố k ết tần số tách xoáy co a co,, nếv xẩy ra trường hợp y2 = 0, C|_ = 0 thì có thể giải phưcmg trình (1.2) bầng cách áp dụng giả t h i ế t : gía trị trung bình cùa năng lượng hao tán sau một chu kỳ bãng không [1]

I

ớ đây thực tế xem như y thay đổi theo quy luật điều hoà

b) Ta cũng có thể giải phương trình (1.2) bằng cách áp dụng phương pháp Krưlov-

B ogoliubov nhưng trong phương pháp này phải có sử dụng giả thiết tham sô' bé.c) G iải ph ư ơn g trìn h (1 2 ) cũ n g được thực h iệ n bằng phương pháp cân b àn g đ iều h o à [4] N hưng với phương pháp này có cần giả thiết nào ràng buộc đối với các hệ số không ? Đ ây là vấn đề cần xem xét thảo luận

2 Mô hình nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động

Để nghiên cứu hiện tượng m ất ổn định k h í động ta dùng mô hinh phi tuyến Van der Pol :

Thay (2.4) và (2.5) vào phương trình (2.2) ta được :

Nếu k „ k2 là phức liên hợp thì c , , c , chọn là phức liên hợp

3 Tìm nghiệm riêng bằng phương pháp gần đúng

Nghiệm riêng của phương trình (2.1) có thể tìm được từ biểu thức (2.9) khi cho c =c,=0

X = — ỉ— Ị^ie "k|1 j e k|tx 3d t - A.2e ‘ kjt | e k2' x 3d t] + A 0 cos(ị3t + ©0) (2.11)

ờ đây ApCp, - hằng số xác định trong quá trình giải

Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

Các đại lượng trong (2.19) được xác định như sau :

(p0 xác đ inh theo (2.10); A,,q>, xác định theo (2.20), (2.21) : A, (ị> xác dịnh theo(2.18), (2.16).

Biểu thức (2.19) được gọi là gần đúng thứ nhất Tính gần đúng ớ đây thể hiện ờ chỏ đã

áp đặt hệ thức (2.17), áp đật này đồng nghĩa với việc bỏ qua sỏ' hạng thứ hai trong (2 1 9 ) khi xem A,3 nhỏ hơn A,

Vì vậy áp đ ặt (2.17) chấp nhận được k h i :

A,Bất đẳng thức này là điều kiện đặt lên các hệ số cùa phương trình (2.20), (2.1)

3.3 Gần đúng th ứ hai

M uốn tìm g ần đ ú n g th ứ h a i, tro n g (2 1 1 ) th ay X dưới dấu tích p h ân b ằn g b iểu thức có dạng gần đúng thứ nhất

X = A , cos(pt + cp2) + A23 cos3(pt + cp2 +cpr ), (2.23)

ở đây A , , (p,, A 23, cp23 - h ằn s số xác định trong quá trình giải

Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

X = A , cos(pt + <p2) + A 23 cos[3(pt + <p,) + 3(p23 ] + - — A ị A ,3cos[5(ị3t + cp, + ộ 5) + 3<p, 3 ] +