ĐỀ TÀI VỀ BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN TUYẾN TÍNH CHỈ SỐ 2

khá thú vị về phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2, đó là tính giải được cũng như công thức nghiệm tường minh cho bài toán giá trị ban đầu của phương trình sai phân suy biế

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI

M ục lục

1 BÁO CÁO TÓM T Ắ T 2

2 A B ST R A C T 5

3 PHẦN CHÍNH CỬA BÁO C Á O 7

3.1 Giới t h i ệ u 7

3.2 Các kết quả chính 8

3.3 Két l u ậ n 11

3.4 Tai liệu tham k h ả o 11

4 PIỈỰ L Ụ C 13

1

1 BÁO CÁO T Ó M TẮT

a Tên đề tài: về bài toán biên nhiều điểm cho phương trìn h phương

trìn h sai phân su y biến tuyến tín h chỉ số 2

M ã số: Q T - 0 9 - 0 4

b Chủ trì đề tài: TS Lẽ Công Lợi

c Các cán bộ tham gia: ThS Vũ Công Bằng

d Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

- M ụ c t i ê u : L ý thuyết định tính v ề phương trình vi phân và phương trình sai phân suy biến dã thu hút sự qủan tâm của nhiều người nghiển cứu lý thuyết và ứng dụng trong thời quan vừa qua, như Gear, Petzold, Campbell, Reinbold Griepentrog, Marz, Kunkel, Mehrmann, Lubich, Hairer, Balla Bo- jarincev, Chistyakov, Dai Bondarenko và Rutkas v.v Từ cuối những năm của thập kỷ 90, một nhóm nghiên cứu về phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân suy biến đã được hình thành tại Khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Dại học Quốc gia, Hà Nội Bước đầu, nhóm này đã nhận dược một số kết quả có ý nghĩa khoa học, đã có khoảng 25 bài báo khoa học của nhóm đã được công bố ở nhiều tạp chí Quốc

tế chuyên ngành có uy tín Cùng với việc đạt được một số kết quả khoa học, bên cạnh đó nhóm nghiên cứu cũng góp phần đào tạo các Cử nhân, Thạc

sỹ, và Tiến sỹ cho Khoa Toán-Cơ-Tin học trong thời gian qua.

Sau khi nhận được rnột số kết quả về phương trình sai phân suy biến tuyến tín.] và phi tuyến cho t rường hợp chỉ số 1, bước đầu chúng tôi đã nhận được những kết quả khá thú vị về phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2, đó là tính giải được cũng như công thức nghiệm tường minh cho bài toán giá trị ban đầu của phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ

số 2 Dể ‘iếp tục phát triển các kết quả về phương trình sai phân suy biến tuyến tím chỉ số 2, đề tài này tập trung vào nghiên cứu bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2.

- N ộ i dung: Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm các phần chính

M ộ t b à i báo kh o a học đã gửi đăng

1 L c Loi On m u ltipoint boundary value problems fo r index-2 linear singular difference equations. 25 pages.

T ìn h hình kinh phí của đề tài

Kinh phí 25 triệu đồng đã chi vào các mục như sail:

b Project’s supervisor: Dr Le Cong Loi

c Project’s members: Vu Cong Bang

cl Objective and content of the project:

This project deals with a careful analysis of index-2 linear singular differ­ ence equations with both constant and varying coefficients cases, multipoint boundary value problems for these equations are considered In paticular, we establish necessary and sufficient conditions for the solvability of multipoint boundary value problems Further, a general solution formula is explicitly constructed.

The main objective of the research are as follows.

1 Proposing necessary and sufficient conditions for the unique solvabil­ ity of multipoint boundary value problems for index-2 linear singular difference equations with both autonomous and non-autonomous cases.

2 Establishing necessary and sufficient conditions for the solvability of multipoint boundary value problems for index-2 linear singular differ­ ence equations with both autonomous and non-autonomous cases.

3 Proposing explicit general solution formulae for both two problems.

4 Presenting some illustrative examples.

e Main results of the project:

Publications:

1 L C Loi, On multipoint boundary value problems for index-2 linear singular difference equations , 25 pages (to submit).

6

3 P H Ầ N C H ÍN H CỦA BÁO CÁO

V Ề BÀI TO ÁN B IÊN NHIỀU DIEM c h o p h ư ơ n g t r ì n h s a i p h ả n

Nhiều kết quả cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính

trong đó A n, Dv € R mxm, (],, e E ,r' và rank A n = r (1 < r < rn — 1) với mọi

n > 0 đã công bố (xem [2-8]) Khái niệm chỉ số của chùm ma trận dã được đưa ra để giải bài toán (3) cho trường hợp ô-tô-nôm cụ thể là tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho bài toán này đã được nghiên cứu tương đối thấu đáo trong nhiều bài báo và tài liệu chuyên khảo (xem [4-6]) Theo sự hiểu biết của chủng tôi, í.hì hài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính có chỉ số lớn hơn 1 ngay cả trong trường hợp hệ

số hằng vẫn chưa được nhắc đến Trong trường hợp các hệ số của (3) biến

thiên, khái niệm chỉ số 1 của (3) cũng đã được: giới thiệu trong [2 8], hơn nữa tính giải dược của bài toán giá trị bail đầu cũng như bài toán toán biên nhiều điểm cho phương trình chỉ số 1 cũng đã dược xét đến trong [2 3, 8) Dặc biệt mới gần đây, khái niệm chỉ số 2 của (3) dã được dưa ra t.rong [7],

và dựa vào khái niệm này, điều kiện giải được và công thức nghiệm tường minh của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2 đã được thiết lập (xem [7]) Chúng t.a biết rằng, nhiều kết quả cho trường hợp chỉ số 1 có thể phát triển cho trường hợp chỉ số 2, tuy nhiên chúng ta sẽ gặp phải nhiều khó khăn (xem [7]).

Mục tiêu và nội dung chính của đề tài là nghiên cứu bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy hiến tuyến tính chỉ số 2 rho cả hai trường hợp các hệ số của phương trình sai phân là hằng và biến thiên Một trong công cụ chính để giải quyết bài toán này là dựa vào khái niệm chỉ số k

của của chùm ma trận {.4, B} và chỉ số 2 của phương trình sai phân suy biến tuyến tính (3) Trong trường hợp các hệ số là hằng, áp dụng các kỹ thuật như trong [4-6], chúng ta có thể giải phương trình sai phân suy biến chỉ số

k bất kỳ rồi thế vào điều kiện biên để tìm ra điồu kiện cần và đủ cho tính giải được cho bài toán biên nhiều điểm, và xây dựng công thức tìm nghiệm tường minh của bài toán Chúng ta cũng biết rằng nhiều kết quả của trường hợp hệ số hằng không thể chuyển ngay sang cho trường hợp hệ số biến thiên được (xem [2, 3, 7, 8]) Vì vậy đối với trường hợp các hệ số biến thiên, hướng liếp cận để giải bài toán biên nhiều điểm phải sử (lụng những kỹ thuật hoàn toàn khác trong trường hợp hệ số hằng Dựa vào kết quả của [7] và phát triển một số kỹ thuật trong [3, 8] chúng tôi nhận được các điều kiện cần và

đủ cho tính giải dược cũng như công thức nghiệm cho bài toán biên nhiều điểm.

3.2 C ác kết quả chính

Do kỹ thuật áp dụng cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số

2 trong trường hợp hệ số biến thiên dựa vào khái niệm chỉ số 2 của phương

8

3 PHẦN CHÍNH CỦA BÁO CẢO 9

trình và các phép chiếu nên các phát biểu, cũng như các cống thức đưa ra đều phụ thuộc vào các phép chiếu này Kết quả quan trọng đạt được trong

đề tài là chúng tôi đã chứng minh được các phát biểu về tính giải được và công thức nghiệm không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu này Còn trong trường hợp hệ số hằng, thì chúng tôi sử dụng một mẹo nhỏ là tách phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số k thành hai phường trình sai phân thường tiến và lùi.

T r ư ờ n g liỢp h ệ s ố h ằ n g

Xét bài toán biên nhiều điểm

trong đó giả thiết chỉ số của cặp ma trận {.4 B } lớn hơn 1 và N là số nguyên dương đủ lớn G iả sử A € c sao cho det(XA-\-B) Ỷ 0; đặt Ầ \ := A,

è \ := (A.4 + B ) ~ l B , ậi — (XA + B )~ [qr và ký hiệu Ầ ỵ , là các ma trận nghịch (lảo suy rộng Drazin của Ầ \ và Ồ\ tương ứng Trong phần này chúng tôi nhận được các kết quả sau:

• Dưa ra công thức nghiệm của (4) phụ thuộc vào các ma trận À \, Ả ị \

Ba, ồ ? , véc tơ ậi = (À.4 + B ) 1 (ị, và hai véc tơ tùy ý Xo và X/V- Tuy nhiên, dựa vào các kết quả trong [4-6] ta có thể khẳng định công thức nghiệm này không phụ thuộc vào À.

• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài toán (4) và (5) giải được duy nhất, các điều kiện này được phát biểu trong không gian R 2w.

• Phát, biểu điều kiện cần và đủ đổ bài toán (4) và (5) giải được (bài toán

và R 9 ở đây q là một số nguyên dương xác định nhỏ hơn 771.

Axi+I = B xị + qu i = 0 , , N - 1, (4)

và

N

(5)

• Dưa ra công thức tìm nghiệm tổng quát tường minh (khi bài toán giải dược) của bài toán (4) và (5).

• Dưa ra công thức nghiệm của (6) phụ thuộc, vào các ma trận Ai, Bj

các ma trận chiếu, các véc tơ (j, và hai véc tơ tùy ý Xo và X \ Tuy nhiên

ở đây không còn giống như trong trường liỢ p hệ số hằng, ta nhận thấy công thức này lại phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu.

• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài t.oán (6) và (7) giải được duy nhất, các điều kiện này được phát biểu trong không gian R 2m.

• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài toán (6) và (7) giải được (bài toán

có vô số nghiệm), các điều kiện này được xét trong các không gian R 2m

và R q. ở đây q l à một số nguyên dương xác định nhỏ hơn ra.

• Dưa ra công thức tìm nghiệm tổng quát tường minh (khi bài toán giải được) của bài toán (6) và (7).

Các phát biểu về tính giải được cũng như tính duy nhất nghiệm, và công thức nghiệm cho bài toán (6) và (7) phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu.

Tuy nhiên, chúng tôi đã chứng minh được rằng các kết quả này không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu, dãy là những khó khăn và cũng là những kết quả chính của đề tài.

Phần cuối của đề tài chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả ]ý thuyết vừa nhận được.

3.3 K ế t luận

Dề tài đã nhận được kết quả về hài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính hệ số hằng với chỉ số bất kỳ và phát triển các kết quả của bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 1 sang trường hợp chỉ số 2, theo chúng tôi các kết quả đạt được ở đây là có ý nghĩa vì sự mở rộng này là không tầm thường Một số bài toán liên quan tới kết quả đạt được của đề tài cần xem xét giải quyết trong thời gian tới là xét bài toán phương trình sai phân suy biến trên tập

số nguyên và bài toán điều khiển tối ưu suy biến rời rạc.

3.4 Tài liệu th a m k h ảo

[1] R P Agarwal, On multipoint boundary value Problems for diserete equations, J Math Anal A p p l, 96 (1983), pp 520-534.

[2] P K Anh, N H Du, and L c Loi, Singular difference equations: an overview, Vietnam J Math., 35 (4) (2007), pp 339-372.

[3] P K Anh and L C Loi, On multipoint boundary-value Problems for linear implicit non-autonomous systems of difference equations, Viet­ nam, J Math., 29 (3) (2001), pp 281-286.

[4] S L Campbell, Singular Systems of Differential Equations , Pitman Ad­ vanced Publishing Program, 1980.

[5] S L Campbell Singular Systems of Differential Equations //, Pitman Advanced Publishing Program, 1982.

[6] L S Campbell and D Meyer, Generalized Inverses of Linear Transfor­ mations, Dover Publications, 1991.

[7] N H Du, L C Loi, T K Duy and V T Viet, On index-2 linear implicit difference equations, 2008, 23 pages, (submited to Linear Algebra Appl.)

[8] L.C Loi, N.H Du and P.K Anh, On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, J Difference Equ A ppl, 8 (12) (2002),

pp 1085-1105.

1 PHỤ LỤ C 13

C Á C BÀ I BẢO VÀ BÁO CÁO HỘI TH Ả O

B ÌA LUẬN VĂN VÀ KHÓ A LUẬN

K e y w o r d s Index M atrix pencil Linear singular difference equations, M ultipoint boundary value problem s.

A M S s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n s 39A 05, 39A 10, 15A06.

q uan titative q u estion s such as th e existence, uniqueness, etc of m ultipoint boundary value problem s (M P B V P s) for (1.1) w ith con sta n t coefficients have not been discussed In the varying coefficients case, th e in d ex -1 concept of Eq (1.1) was also introduced in [2,8] and the solvability of I V P s as well as M P B V P s for index- 1 LSD Es has been considered

in [2 ,3 ,8 ] Later on, th e in d ex-2 n otion of Eq (1.1) has been proposed, and basing on

th is ind ex-2 notion, th e condition o f solvability as well as the solution formula of I V P s for index-2 L SD E (1.1) have been established in [7] As discussed in [7], many valid results for index- 1 case can b e exten d ed to ind ex-2 case, however, th e extension m eets with som e difficulties.

T he m ain goal o f th is paper is stu d yin g M P B V P s for index-2 LSD E (1.1) in both constant and varying coefficients cases T he in d ex-2 of a m atrix pencil and index-2 o f Eq (1.1) turn to b e the k eyston e in th e analysis o f M P B V P s For index-2 LSD Es with constant coefficients, sim ilarly as in [4—6], one can solve Eq (1.1) by m eans of index of a matrix pencil and Drazin inverse It is well known th at many results for constant coefficients

L SD Es can n ot b e d irectly generalized to varying coefficients L SD Es (ref [2 ,3 ,7 ,8]) Thus,

in the varying coefficients case, our approach to LSD Es is based on index-2 notion o f Eq (1.1) and projections We shall develop som e techniques o f index-1 L SD Es in [3,8] for index-2 L SD Es.

LE CONG LG I

T he paper is organized as follows In Section 2 we recall som e definitions and prelimi­ nary results, as well as give som e sim ple results concerning index-2 LSD E (1.1) Necessary and sufficient condit ions for the solvability and a general formula solution o f M P B V P s for index-2 LSD E (1.1) will be established in Section 3 T he paper is accom plished with som e illustrative exam ples in the final Section 4.

2 Pr e l im in a r ie s

We start this section by recalling the Drazin inverse of a matrix and the index notion of

a m atrix pencil, which have been studied in [4,6] Firstly, if M € Rmxm, th e index of M , denoted by in d (M ), is the least non-negative integer v such th at kerM v = kerM ,/+1 It

is worth noting th a t the following theorem plays an im portant role to stu d y autonom ous LSDEs.

T h e o r e m 2.1 [4] Suppose that M € R rnxm, in d ( A /) = v and ra n k A /l' = t Then there, exists a nonsingular matrix S G Rmx™ such that

and th e Drazin inverse is unique.

In w hat follows we consider /1,13 € RTnxm and always assum e th at the matrix pencil

(A, B) to be regular, i.e., there exists a scalar A 6 C such that XA 4- B is nonsingular and let A x := (XA + B ) " M , 5 * := (A/1 + B ) ~ l B, f x := (XA 4- B ) ~ l f for / € R m Observe

th at B \ = I - XAx. hence A \ and B \ com m ute.

T h e o r e m 2.2 [4] Suppose that the matrix pencil ( A, B) is regular and f 6 R™ Then

fo r all a , /3 € C fo r which (o'.4 -f B) " 1 and (/?A 4- Z?)“ 1 exist, the following statements hold

(i) in d (.4 0 ) = ind(y4;i),

(ii) A aA*> = A p A $ ,

(iii) A g B a = A ^ B n and B*>A0 = B%AP,

(iv) A*>fa = A j j f , and B » f „ = B ° f 0

If (.4,23) is regular and dct(A.4 -1- B) ^ 0, then i n d ^ * ) is called the index of the pencil ( A, B) , denoted by in d (.4 ,B ), this m eans th at in d (.4 ,B ) := in d (yl,\) Theorem 2.2 guarantees th a t th e definition o f the index of the matrix pencil does not depend on the chosen value A.

N ext, to stu d y the index-2 LSD E (1.1) w ith variable coefficients, we start with som e basic definitions for non-autonom ous L SD Es (see ¡2 3, 7, 8]) Let Qu be any projection

MULTIPOINT BOUNDARY VAU1-; PROBLEMS 3

onto k('ivtn and T„ £ G L (R m ) for all 77 > 0 such th a t 7r»|j-r r J is an isom orphism from k(T/ln onto kerj4n_ i, here wc p u t 4 - 1 := ,4o- Denote again by Tn th e m atrix induced by

Now we suppose th at the m atrices Gn are singular for all n > 0, i.e., Eq (1.1) is

o f higher index P u t p n := / — QrJ for all n > 0 and 4+ denotes the M oore-Penrose generalized inverse of A n.

L e m m a 2 5 [7] The follovnng relation

(Tn + TnPnA + B nTnQn )iserGn = kerA n ị n 5 „

is valid.

It is worth noting th a t the m atrices (Tn -f TuPnA+ B nTnQn) are nonsingular for all n > 0, consequently, we com e to th e following corollary.

C o r o lla r y 2 6 [7] rankG u = d im (k er.4 n_i n5„), Vn > 0.

L e m m a 2 7 [7] Let Qn, Qn be two projections onto k e r /ln and Tnj Tn € G L (R m)

such that TT1|j^e r ^ , Tn |^er 4 are two isomorphisms between kcrylr, and ker.4n_ i Put

Gn := A n -f B nTnQn, Gn := An + B nTnQn and

s hn := {z e R TO : BnPn^ z € imG'n} % s ,.„ := {z 6 R m : BnPn^ z € imGn}.

Then, there hold the following relations

c,„ = G„(Pn + T~lTuQn), Vn > 0, (2.2)kerỡn n SUn+i = (P„ + T~lT„Qn)(kcrG„ n 5i.n+i), Vn > 0 (2.3)

Remark th at th e identity (2.3) ensures th at th e following definition does n ot depend on the choice of the projections onto kcrAn and the isom orphism s betw een k er/i7l and k e r /in -1 For definiteness, we p ut 1 := Go.

D e f in itio n 2 8 [7] T he LSD.E ( 1 1 ) is said to be of index- 2 if th e following conditions

(i) dim.(kerj4n_ i n su)= m — s, I < s < m —1,

(ii) k e r ỡ „ _ i n 5 x ,„ = {0}

hold for all n > 0

From Corollary 2.6, we g et th at raiikGn docs not depend on th e choice of th e projec­ tions onto keryln and the isom orphism s betw een ker^4n and kerAn_ i , hence we can suppose

th at rankc?n = 5, 1 < 6* < in - 1 Here, Q i n denotes a projection onto kerGn and let

T'] n b e a nonsingular operator with the restriction T\ nlke r r is an isom orphism between kerGn and kerGn_ i We also d en ote again by T] n the m atrix induced by th e operator

T ltn

LE CONG LOI

L e m m a 2 9 [7 The m atrix G ]J} G u -f BnPu_ \ T\ nQ\,n is nonsingular if and only if

is a projection from R m onto kcrG n_ i (dong S\,n.

From now on* we p u t P \ u := I — Q iin and Pi „ := / - Q \%n.

L e m m a 2.10 [7] Suppose that the LSDE (1.1) is of mdex-2 a n d Gi,n := Gn + B riP n - \ T \ uQ \ n Then there hold the follouring relations

Let Qn , Q n b e tw o p rojection s onto ker.4n and Tny Tu € G L (R m) such that 3nri|j<er4 ,

n lker4 arc two isom orPhism s betw een ker-4n and kcr/4n_ j Suppose th a t th e LSDE (1.1) is of in d ex-2, we d en ote Q\ u and Q l n by projections onto kerGn along Si fn+i and onto kerGn along S i,n+ ii respectively W e also introduce operators T \tU T\,n € G L(Rm ) whose restriction 7VnlkerC- (resp ^ i,n |^ er^ ) is an isom orphism betw een kerG„ and kerGn_ i (resp kerG„ and kerG n_ i ) P u t G liTI := Gu + B nP n -iT itnQ i%n. A sim ilar result

of the relation (2.2) can b e established for index-2 LSDEs, namely, we obtain the following lemm a.

L e m m a 2.11 Let the L S D E (1.1) be o f index-2 Then the identity

kerGn_ ] n S\Jt = {()}.

Moreover, if G \M is nonsingular then

(2.4) (2.5)

MU LTIPOIN T BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Furt her, since jTn_?,7:;,_iQ „ _i = Qn-.iT~}1f „ - \Q n- i , we get,

(P n+ Tn 'T nQn+Tn lQ „ - \ Pn ~ i f ;i,nQ1>n+ T ,i ^ (P n_iH'7n7,_!iTn_ iQ n- i) T itnQx,n“ Q i,n)

= p „ + f - 1rng n+ f - 1Qn_1pn_1T1,nQi,n+ T ^ (p n_1+ f - J 1rn_i Qn_1)r 1,n(3i,„-Qi,„.

— Ql,nZn = —QljiPin ~ jt ( ^ n - 1 + ^ r, _ \ ^ n - 1 Q n - 1) ^1 , n Q l ,n + < 2 l n Q l ,n *

O n th e oth er hand, using Eq (2.2) once more we find th a t Q i,n = (P n + l ^ 1Tn Q n)Q i%n

C om bining th e last equation w ith Eq (2.14) we have

{Pn + T -'T n Q n - Q i,n) f £ ( P n- i + T ~ l}Tn_1Q n_ J )T ,,nQ i - 0 (2.21) From Eqs (2 1 7 )-(2 2 1 ), it follows th a t

We su p p o se th at A € C such th a t det(A>4 + Z?) ^ 0 M u ltip ly Eq (3.1) by (A 4 + S )“ 1

from th e left to obtain

A\Xi+ 1 = Bxxi + ft, z = 0, jV — 1,

MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS

w here qt := (AA + B ) lql for all i = Q,N — 1 According to T h eo rem 2.1 th e re exists a nonsingular m atrix T G R mxrn such th a t

r ' M> = ( o “ ) ' T - ' B , T [ ' - aXC (3.3)

w here C G Rrx r is nonsingular w ith r := rank/4^ and U G js n ilp o ten t of

th e order v. L etting x x= Ty, and fi = T ~ l qx,th en we can re w rite Eq (3.1) as

w'here y\l \ G R r , y\2\ G R m - r Note th a t when v = 1 then U = 0 and in this case we easily obtain solutions of th e above difference equation T he problem of solving(3.1) (3.2) is n o t difficult, hence, it is om itted here due to lack of space In th is paper

we consider th e case v > 2, i.e., U 0 However, it is easy to see t h a t these resu lts are still valid for th e case v —1 Since U has only the eigenvalue 0, it yields th a t / — XU is nonsingular Besides, noting th a t C is a nonsingular m atrix, we find th a t all solutions of

Eq (3.1) are given by

Notice th a t th e form ula (3.4) has also been established in [4] F u rth e r, applying

T heorem 2.2 we see th a t th e solution form ula (3.4) is in d ep en d en t of th e chosen value A

Remark 3.1 An im p o rta n t special case is when A is nonsingular To s tu d y M P B V P (3.1),(3.2), instead of (3.4), we usually use th e following solution form ula

w here G R m is an a rb itra ry vector These results were discussed in th e theory of

b o u n d ary value problem s for o rdinary difference equations, we refer th e reader to [l] for

m ore details T he purpose of this p ap er is to stu d y th e M P B V P (3.1), (3.2) in th e case,

w here A and B are both singular Clearly, (3.4) is a generalization of th e above formulae

in R em ark 3.1

Let (i = 0, N ) be th e fundam ental solution o f Eq (3 1 ), i.e.,

A X i+ i = B X i , i = 0 N - 1.

In w hat follows, we shall deal with the (m x 2m ) m atrix ( D i , ^ ) with colum ns of Dj and

D 2 and the (2m x 2m ) m atrix

i = 0 , , N In particular, we have Xq = 0 and x*v = 0, hence,

.4 ?A xx 0 + ( B ? A xf ( J - A ° A x) x N - 0 (3.7) and

( A ° B x f A ? A xx 0 + ( / - A ? A x)xN = 0 (3.8) From Eq (3.3) and the facts th a t

a D _ t ( C - 1 0 \ ! b d _ t ( ( I - ^ C ) d 0 \ !

MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS

N ext, applying form ulae (3.9), (3.10) and p u ttin g (y£n .y(02) )T := T -1xo, ( y $ ,y {y )l :=

T _1xn w ith y^1', y'^ € Rr , wc can reduce th e equalities (3.7), (3.8) to

w here £ G R Tn“ r a n d rjG Kr arc arb itra ry vectors, or xq €kcr(Ax A \) and xjv G kcr(I

-A X-A\), hence ( x ^ x^ ) 7 G ker/? T his means th a t the inclusion

ker(D i,Z >2) C k e rR

m ust be tru e, and consequently, (3.5) holds

Conversely, let (3.5) be valid T hen for each qxG Rm {i = 0, Ar - 1) ajid 7 G Rm a

solution of th e M P B V P (3.1), (3.2) is determ ined by (3.4) and

D jxo + D2 x n = 7* •Let qt - 0 for all i = 0 , , TV — 1 and 7 = 0, then xo and xpj satisfy th e following equality

DiXq 4- D2XN = 0

Therefore, we have (x^.xj^ ) 1 G ker(D i, D 2) = kerR. Now (3.4) ensures th a t th e homoge­neous M PB V P (3.1), (3.2) has only a trivial solution

According to th e form ula (3.4), any solution of (3.1) can be expressed as (3.6) where

C € rdie constant vectors T his solution satisfies the b o undary condition (3.2) if and only if

D , i + Z>2( = 7*

which means th a t (£,T,i,l )f = (jD]1 Z?2-)*f 7 *- Thus the unique solution of (3.1), (3.2) has

It is easy to see th a t d im (k cr/2 ) = m Denote p := d i m ( k e r ( D i ,D2)). We now consider a case, when (3.5) does not hold, i.e., p > m and the problem (3.1), (3.2) has either no solution or an infinite num ber of solutions Let q := d im (k e r(D i, D2)T). We denote by {u’f}™] and {u’iJJLj certain bases of kerR and k e r ( D i ,<D2)7\ respectively Let W G Rqxm be a row m atrix whose rows are vectors Wi (2 = l,g ) Using th e fact

th a t k e rR C k e r ( D i , D2), we can extend {w?}£Li to a basis of kev(Di, D2). Letv? G Rm be th e first and th e second groups of com ponents of i.e., w® — (u® , t;t° )7 , (z = 1 ,p) We construct the colum n m atrices := X ^ U + (i = 0,7V), where

10 LE CONG LOl

U := V := (ifn+i, • • ,1$) G R™ *^ "'K To represent solutions of the

M P V B P (3.1), (3.2) we introduce a linear o p e ra to r C acting in R w|( ^ + i) t defined by

= 0

TV

D enote Tx := JZ C\X\ = D\Ua+ DoVa. Since U and V are colum n m atrices whose colum ns

i=0are u?, t»,0 and ( u ^ t / f 7 )r G fcer(i?i, JD2) (i = 711 + l^p)» it gives th a t DiZY -f D^V = 0, which im m ediately follows Fx = 0 T h u s, we o b tain Cx = 0, which m eans th a t

{ ((< M )T, , ($jva)T)T : a £ Rp~m } C k e r£ Conversely, assum e th a t x = ( x q - x ^ y 6 kor£, i.e,

f Ax{+\ = B x u i = 0, N - 1,

N

£ C to = 0.

1=0Due to th e form ula (3.4), x, = + X t(2^( (7 = 0,7V), w here vectors € R m satisfy

th e relatio n = 0, hence we have ( ( T - ( T)r G k e r ( D j, D?). Since ,v1 £r )T (k = 1 ,p) is th e b asis of ker(£>i, />2), th ere exists a sequence {aa- }7a!_ j such th a t (£r , CtT)[ =

¿ ockiuf , v f )T, hence £ = £ a n d C = £ T hus,

O bserving th a t (w*7* » ^ 7 )7 ^ k e r/i, i.e., A%Axu{l = 0 and ( / - A x A\)v® = 0 for all

k = 1 , , m, we find = 0 and x j2^v% = 0 for all k = 1, m , i = 0,JV T hus,

MULTIPOINT BOUNDARY VALUK PROBLEMS 11

T aking a := (o m+1, , a p)T € W'~"\ wc get x, - X ^ U a + x f V a (r = 0 ,:JV), i.e.,

x, = <i>,« for all ? = 0, N where a € T hus, we obtain x £ { ((«I'd«)7 , , {$ncl)j ) 7 :

a G I ' ' - " 1}, i.e.,

k cr£ C { ( ( V i ) T, • • •, ( * N o ) T) r : a €

T h e o r e m 3.4 Let the matrix pencil (A,B) be regular and in d (A , B) > 2 Then, the problem (3.1), (3/2) is solvable if and only if

Proof T he problem (3.1), (3.2) is solvable if and only if (qq \ € im £ , i.e.,

th ere exists x = ( x Q , , x £ ) r 6 RTni7V+1) satisfying £ x = (q \ _ , g jv -ji 1T )T• E quiv­alently, there exist vectors € R m such th a t x, = X\ 1 * £ + A^2^ + ^ (i = 0, ;V) and

Finally, th an k s to Lem m a 3.3 and th e form ula (3.4), to show t h a t (3.12) is a general solution form ula of th e problem (3.1), (3.2) wc only need to prove th a t Xi is given by

x, = + X ^ C + (i = 0, N) w ith UTX Ty = (Dl,D2)+7\ is a p a rtic u la r solution

of th e above m entioned problem T hus, Theorem 3.4 is proved □Theorem 3.9 and T heorem 3.13 ensure th e following corollary

C o r o lla r y 3 5 (F rodholm a lte rn a tiv e ) Suppose that the matrix pencil (A B ) is regular,

in d (i4 ,B ) > 2 and let p := d im ( k e r ( D j, D2) ) Then

1 / Either p = m and the M P B V P (3.1) (3.2) is uniquely solvable for any data ft(? = 0, TV — 1 ) and 7 ;

2 / Or p > rn and the M P B V P (3.1) (3.2) is solvable if and only if the condition

(3.11) is valid.

Moreover, there holds the solution formula (3.12)

3.2 V a r y in g c o e ffic ie n ts c a se In th is subsection, wc shall deal w ith th e M P B V P s for

th e non-autonom ous LSDEs as follows

[6] L S Campbell and D Meyer, Generalized Inverses of Linear Transfor­ mations , Dover Publications, 1991.

[7] N H Du, L C Loi, T K Duy and V T Viet On index-2 linear implicit difference equations, 2008, 23 pages, (submited to Linear Algebra Appl.)

[8] L.C Loi, N.H Du, and P.K Anh, On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, / Difference Eqn Appl., 8 (12) (2002),

pp 1085-1105.

4 P H Ụ LỤC

C Á C B À I B Á O VÀ B Á O C Á O H Ộ I T H Ả O

B Ì A L U Ậ N V Ă N VÀ K H Ó A L U Ậ N

K e y w o r d s Index M atrix pencil Linear singular difference equations, M ultipoint boundary value problems.

A M S s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n s 39A 05, 39A10, 15A06.

l In t r o d u c t io n

In recent years, there has b een considerable interest in stu d yin g linear singular difference equations (L S D E s) of the form

A n ^ n-f l = B n X n -f- (fn , 71 > 0, (1.1) where A n , B n € R mxm, qn £ R m are given and rankA„ = r ( 1 < r < m — 1) for all n > 0 (see [2-8] and references th erein) T he index notion of a m atrix pencil was introduced to investigate Eq (1.1) w ith con sta n t coefficients Further, the solvability of initial value problem s (IV P s) has been stu d ied th orou gh ly [4-6] However, as far as we know the quan titative questions such as th e existen ce, uniqueness, etc o f m ultipoint boundary value problem s (M P B V P s) for (1.1) w ith con stan t coefficients have not been discussed In the varying coefficients case, th e in d e x -1 concept of Eq (1.1) was also introduced in [2,8] and th e solvability of IV P s as well as M P B V P s for index- 1 LSDEs has been considered iri [2 ,3 ,8 ] Later on, the ind ex-2 notion o f Eq (1.1) has been proposed, and basing on this ind ex-2 notion, the condition o f solvability as well as th e solution formula of IV P s for index-2 L SD E (1.1) have b een established in [7] As discussed in [7], many valid results for index- 1 case can b e exten ded to index-2 case, however, the extension m eets with som e difficulties.

T he m ain goal o f this paper is stu d y in g M P B V P s for index-2 LSD E (1.1) in both constant and varying coefficients cases T he index-2 of a m atrix pencil and index-2 of Eq (1.1) turn to be th e keystone in th e analysis of M P B V P s For index-2 LSDEs w ith constant coefficients, sim ilarly as in [4—6], on e can solve Eq (1.1) by m eans of index of a m atrix pencil and D razin inverse It is well known th a t many results for constant coefficients

L SD Es ca n n o t b e directly generalized to varying coefficients LSD Es (ref [2 ,3 ,7 ,8]) T hus,

in the varying coefficients case, our approach to LSDEs is based on index-2 notion of Eq (1.1) and p rojections We shall develop som e techniques o f in d ex-1 LSDEs in [3,8] for index-2 L SD E s.

2 LK CONG LOl

T h e p ap er is organized as follows In Section 2 we recall some definitions and prelim i­

n ary results, as well as give some sim ple results concerning index-2 LSDE (1.1) N ecessary and sufficient conditions for the solvability and a general form ula solution of M P B V P s for index-2 LSDE (1.1) will be established in Section 3 T he paper is accom plished w ith som e illustrative exam ples in the final Section 4

2 Pr e l im in a r ie s

We start, this section by recalling the Drazin inverse of a m atrix and th e index notion of

a m atrix pencil, which have been studied in [4,6] Firstly, if M € Rm xm , th e index of M , denoted by in d(M), is th e least non-negative integer v such th a t kerM u = k e rM ,,+ 1 I t

is w orth noting th a t the following theorem plays an im portant role to s tu d y autonom ous LSDEs

T h e o r e m 2 1 [4] Suppose that M € RrnXTn, in d (A /) = v and ran k A /"= t Then there, exists a nonsingular matrix S € R mXT7' such that

and th e D razin inverse is unique

In w hat follows we consider /1, B 6 Rmx™ and always assum e th a t the m atrix pencil ( A B) to be regular, i.e., there exists a scalar A € C such th a t A A + B is nonsingular and let A x := (\A + B)~l A> Bx ■= (A.4 + B)~l B, f x := (AA 4- B)~l f for / € R m O bserve

th a t Bx = 1 - XAx* hence Ax and Bx commute

T h e o r e m 2 2 [4] Suppose that the matrix pencil (A B ) is regular and f 6 R™ Then

fo r all m, (3 £ C fo r which (atA + B) ' 1 and (¡3A *f B)" 1 exist, the following statements hold

(i) in d (A Q) =Jnd(Afl),

(ii) AaA% = ApAp ,

(iii) A ° B a = Ap Bp and B ° A a = B$Ag,

(iv) Af>fa = A p f p and B ° f a = B ° f p

If ( A , B ) is regular and dct(A,4 + B) ^ 0, th en iii(i(A^) is called th e index of the pencil ( A , B ) ydenoted by \ nd(AyB), this m eans th a t ind(u4, B) :=ind(>4>) T heorem 2.2 guarantees th a t the definition of the index of th e m atrix pencil does n o t depend on th e chosen value A

Next, to stu d y th e index-2 LSDE (1.1) w ith variable coefficients, we s ta r t w ith some basic definitions for non-autonom ous LSDEs (see [2.3, 7 8]) Let Qn be any projection