Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 -Trung học cơ sở

Với những lí do trên và trong khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 – Trung học cơ sở” 2..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Chí Thành người Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục _Đại họcQuốc Gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THCS Đền Lừ, Hoàng Mai, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Oanh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV

HS Nxb PBT THCS SGK

Giáo viên Học sinh Nhà xuất bản Phiếu bài tập Trung học cơ sở Sách giáo khoa

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng khai thác bài toán 79 Bảng 3.2: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng vẽ thêm đường phụ 79

DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ

Biểu đồ tần suất 3.1: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp 9A 80 Biểu đồ tần suất 3.2: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp 9C 81 Biểu đồ tần suất 3.3: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp 9A 81 Biểu đồ tần suất 3.4: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp 9C……… 82

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Danh mục các biểu đồ iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Giả thuyết nghiên cứu 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu 2

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Nghiên cứu luận cứ 3

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán 5

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông 5

1.1.2 Chức năng của giải bài tập toán 6

1.2 Kỹ năng 7

1.2.1 Kỹ năng là gì? 7

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng 8

1.2.3 Sự hình thành và phát triển kỹ năng 8

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán 11

1.3.1 Kỹ năng giải toán 11

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán 12

1.3.3 Dạy học phương pháp giải bài tập toán 13

1.4 Chứng minh toán học và dạy học chứng minh 17

1.4.1 Chứng minh 17

1.4.2 Bác bỏ 18

1.4.3 Chứng minh phản chứng 18

1.4.4 Dạy học chứng minh 19

1.4.5 Phân loại chứng minh: 19

1.4.6 Phương pháp tìm tòi chứng minh 19

1.5 Một số kỹ năng giải một bài toán chứng minh hình học 20

1.5.1 Kỹ năng vẽ hình 20

1.5.2 Kỹ năng tìm hướng giải 20

1.5.3 Kỹ năng vẽ thêm hình phụ trong chứng minh 21

1.5.4 Kỹ năng nghiên cứu lời giải bài toán (phát hiện lỗi sai, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa) 21

1.6 Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh 22

1.6.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa 22

1.6.2 Nội dung các dạng toán chứng minh đường tròn 22

1.6.3 Đối tượng học sinh khá giỏi 23

1.6.4 Một phần thực trạng dạy học giải toán chứng minh đường tròn 23

1.7 Một số khó khăn của học sinh khi giải bài toán chứng minh hình học về đường tròn 23

1.8 Một số khó khăn của giáo viên trong dạy học giải toán chứng minh hình

học về đường tròn 24

Kết luận chương 1 24

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 26

2.1 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh đường tròn 26

2.1.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu đề bài 26

2.1.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp chứng minh bài toán 27

2.1.3 Biện pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng giải quyết bài toán 29

2.1.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán 30

2.1.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải 30

2.1.6 Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm hình phụ cho học sinh 32

2.1.7 Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán 36

2.2 Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 48

2.2.1 Một số chú ý khi xây dựng hệ thống bài tập 49

2.2.2 Các bài toán chứng minh sự bằng nhau 50

2.2.3 Các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc của hai đường thẳng 52

2.2.4 Các bài toán chứng minh tính chất của các phần tử và xác định hình dạng của các đa giác đặc biệt 54

2.2.6 Các bài toán chứng minh có kẻ thêm hình phụ 60

2.2.7 Các bài toán tổng hợp 71

Kết luận chương 2 72

CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 Mục đích 74

3.2 Tổ chức thực nghiệm 74

3.2.1 Chọn lớp thực nghiệm 74

3.2.2 Phương pháp thực nghiệm 75

3.2.3 Thời gian thực nghiệm 75

3.3 Nội dung thực nghiệm 75

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 78

3.4.1 Thống kê kết quả kiểm tra 78

3.4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 79

Kết luận chương 3 82

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

PHỤ LỤC 85

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời kỳ cả nước đang tiến nhanh trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triển không ngừng, nhất là đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) là một vấn

đề đáng được đề cập, nghiên cứu và bàn luận rất sôi nổi Đặc biệt đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa học trừu tượng song có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy toán ở nhà trường THCS nói riêng

Dạy như thế nào để HS không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách

có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi GV chúng ta luôn đặt ra cho mình

Trong quá trình giảng dạy, việc đánh giá chất lượng năng lực hay khả năng tiếp thu kiến thức của HS chủ yếu là thông qua giải bài tập Thông qua việc giải bài tập, HS có thể củng cố, hoàn thiện, khắc sâu, nâng cao những nội kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng giải toán Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo Dạy giải bài tập toán cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát huy tính tích cực, gây hứng thú học tập cho HS, yêu cầu HS có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có năng lực độc lập suy nghĩ

Đối với HS lớp 9, ngoài việc truyền đạt kiến thức cơ bản theo chương trình đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận HS khá, giỏi Đây là một việc rất cân thiết, phải được tiến hành thường xuyên để tao điều kiện cho các em phát huy được năng lực trí thông minh sáng tạo Từ đó tạo tiền đề cho các em học toán các lớp THPT

Thực tiễn dạy học cho thấy: Môn hình học lớp 9 là môn học khó đối với các em Nội dung hình học trong các bài thi vào THPT, tập trung nhiều vào các bài toán về đường tròn Trong khi HS còn lúng túng trong giải toán

Với những lí do trên và trong khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ tôi chọn

đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho

học sinh khá giỏi lớp 9 – Trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tổng quan các khái niệm về giải toán chứng minh và phân tích chương trình, sách giáo khoa cũng như một phần thực trạng dạy học giải toán chứng minh để xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về đường tròn cho HS, qua đó phát triển năng lực giải toán cho HS

3 Khách thể nghiên cứu

Chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 9 và dạy học giải toán chứng minh hình học cho HS lớp 9 trường THCS Đền Lừ, Hoàng Mai, Hà Nội

4 Đối tượng nghiên cứu

Các kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về chứng minh về đường tròn cho HS

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập phù hợp và có biện pháp dạy học thích hợp thì sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học về nội dung đường tròn cho HS

6 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu giải toán chứng minh về đường tròn theo chương trình sách giáo khoa lớp 9 và tài liệu tham khảo lớp 9 phần hình học

- Thời gian: Học kỳ 1 năm học 2014 – 2015

7 Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu

7.1 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của dạy học giải toán chứng minh

- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển kĩ năng giải toán cho HS

- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng giải toán về đường tròn cho

HS

7.2 Nội dung nghiên cứu

- Các vấn đề lý luận về dạy học giải toán, dạy học chứng minh và dạy học rèn luyện kĩ năng

- Vấn đề về rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về nội dung đường tròn cho HS lớp 9

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn Toán, tâm lý học,lý luận

và phương pháp dạy học môn Toán

- Các sách báo, tạp chí, các bài viết, luận văn liên quan đến đề tài

8.2 Điều tra quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy của GV, việc học của HS ở các lớp 9 của trường THCS Đền Lừ về nội dung đường tròn

- Điều tra HSkhá giỏi lớp 9 của trường THCS Đền Lừ

8.3 Thực nghiệm sư phạm

- Kiểm chứng giả thuyết khoa học và tính khả thi của biện pháp đề xuất

9 Nghiên cứu luận cứ

9.1 Luận cứ lý thuyết

- Khái niệm về kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng, sự hình thành kỹ năng

- Vấn đề rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về đường tròn cho

HS lớp 9

- Các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về đường tròn cho HS lớp 9

9.2 Luận cứ thực tế

Dựa vào việc quan sát việc dạy và học giải toán chứng minh hình học

về nội dung đường tròn cho HS lớp 9 tại trường THCS Đền Lừ

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn trong dạy học giải toán chứng minh về đường tròn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh

về đường tròn cho HS lớp 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông

Theo G Polya: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy ma ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào

đó nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán” [12,tr.82]

Vai trò: Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để HS học tốt các môn học khác, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học”[9,tr.5]

Môn toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo

Ý nghĩa:Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn

đề mới, là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu

và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả

tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện HS về nhiều mặt

Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên

1.1.2 Chức năng của giải bài tập toán

Mỗi bài tập toán đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

 Chức năng dạy học;

 Chức năng giáo dục;

 Chức năng phát triển;

 Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

 Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

 Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

 Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho

HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

 Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của HS

1.2 Kỹ năng

1.2.1 Kỹ năng là gì?

Trong tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu tạm thời tách kiến thức và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm

vi nhận thức, thuộc khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”

Theo [1, tr 548]: “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện việc gì”

Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được để đạt được mục đích, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” G Polya đã khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [12, tr.99]

Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên

trong các cách phát biểu về kỹ năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó

là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định Khi nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra Khi nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện các thao tác, trình tự thực hiện các thao tác Vậy ta có thể hiểu

về kỹ năng như sau:

Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có

quả một hành động hay một hoạt động nào đó Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,

nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động và bằng hoạt động

1.2.2 Đặc điểm của kỹnăng

Theo [6, tr 13] thì trong vận dụng ta thường chú ý tới các đặc điểm của kỹ năng:

 Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích đến biết cách thức

đi tới kết quả, rồi đến hiểu các điều kiện để triển khai các cách thức đó

 Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

Vây muốn có kỹ năng về một hành động nào đó thì cần phải:

 Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả,

để thực hiện hành động

 Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

 Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

 Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

1.2.3 Sự hình thành và phát triểnkỹ năng

1.2.3.1 Sự hình thành kỹ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho

đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức

là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Con đường hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ năng, mức độ tích cực, chủ động của học sinh Có hai con đường để hình thành kĩ năng cho

HS đó là:

- Truyền thụ cho HS những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho HS những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ đó, HS sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt

động

- Dạy cho HS nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được

đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho HS khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành:

- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đính nhất định

Sự hình thành kỹ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:

- Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng Vì thế, tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành kỹ năng

- Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể

1.2.3.2 Sự phát triển kỹ năng

Rõ ràng kỹ năng được phát triển qua việc thực hành Để thông thạo một

kỹ năng đòi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định Trong quá trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình đã học được

1.2.4 Phân biệt kỹ năng với năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động đó

Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra

Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng toán học cho HS, cụ thể là kỹ năng giải toán về đường tròn cho HS, hình thức thấp hơn năng lực toán học

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán

1.3.1 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …)

Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học

Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động

Sựtrừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho HS những kỹ năng trên những bình diện khác nhau

Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức

độ thông hiểu tri thức Toán học Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụng được để làm toán

Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các môn học khác: Kỹ năng trên bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi hỏi người GV dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học

bộ môn

Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán

“Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo

những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành” (Đề Các)

Việc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước:

 Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động

 Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu

 Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó nhằm đạt được mục đích đề ra

Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho HS, khó có thể phân chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên Chẳng hạn, khi thực hiện hành động giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần thiết Điều đó chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt không thể tách rời của hành động học Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV

sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của HS Cũng như các kỹ năng khác, kỹ năng giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện Để kỹ năng giải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HS phải thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như quy trình thực hiện

Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng cùng một lúc Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp

Tùy theo từng nội dung kiến thức mà GV có những yêu cầu rèn luyện

kỹ năng tương ứng cho HS

1.3.3 Dạy học phương phỏp giải bài tập toỏn

Trong mụn Toỏn ở trường phổ thụng cú nhiều bài toỏn chưa cú hoặc khụng cú thuật giải và cũng khụng cú một thuật giải tổng quỏt nào để giải tất

cả cỏc bài toỏn Chỳng ta chỉ cú thể thụng qua việc dạy hoc giải một số bài toỏn cụ thể mà dần dần truyền thụ cho HS cỏch thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tỡm tũi lời giải cho mỗi bài toỏn

Dạy học giải bài tập toỏn khụng cú nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toỏn Biết lời giải của bài toỏn khụng quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toỏn Để làm tăng hứng thỳ học tập của HS, phỏt triển tư duy,

GV phải hỡnh thành chung cho HS một quy trỡnh chung, phương phỏp tỡm lời giải cho một bài toỏn

Giỏo viờn cần rốn luyện cho học sinh giải toỏn theo qui trỡnh bốn bước của G Polya rồi từ đú hỡnh thành kỹ năng giải toỏn theo quy trỡnh này

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát,…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện

- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Vớ dụ minh họa:

Cho nửa đường trũn tõm O cú đường kớnh AB (đường kớnh của một đường trũn chia đường trũn đú thành hai nửa đường trũn).Gọi Ax, By là cỏc tia vuụng gúc với AB (Ax, By và nửa đường trũn thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường trũn (M khỏc A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn, nú cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng:

a) = 900

b) CD = AC + BD

c) Tớch AC.BD khụng đổi khi điểm M di chuyển trờn nửa đường trũn

Bước 1: Tỡm hiểu nội dung bài toỏn

Giả thiết của bài toỏn gồm:

 Ax, By ^ AB

 Ax, By, nửa (O) cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB

 M là tiếp điểm của CD và nửa (O)

CA, CM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại C

DB, DM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại D c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

Sơ đồ chứng minh

AC.BD không đổi

 CM.MD không đổi (do AC = CM; BD = MD)

 CM.MD = OM2 = AB/2

Hình 1.1

COD vuông tại O (chứng minh ở câu a); OM ^ CD (gt)

Bước 3: Trình bày lời giải

a) = 900

Có: Ax và CD là hai tiếp tuyến của (O; AB/2)

CD  Ax = {C}

O = O (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Có: By và CD là hai tiếp tuyến của (O; AB/2)

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

Ta có: COD vuông tại O (chứng minh câu a); OM ^ CD (gt)

Vậy tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB (đpcm)

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+ Đặc biệt hóa: Xét vị trí M là trung điểm của cung AB

+ Tương tự: Nhận xét OC để suy ra OD

+ Lật ngược:

Nếu M trùng với A, trùng với B thì điều gì sẽ xảy ra?

Nếu Ax, By và nửa (O) không thuộc cùng một phía AB thì bài toán còn đúng không?

+ Khái quát hóa: Cho đường tròn (O), đường kính AB d1, d2 là tiếp tuyến tại

A và B d là tiếp tuyến bất kì của đường tròn tại M, cắt d1 và d2 tại C và D Chứng minh:

Chứng minh mệnh đề C phải nêu rõ:

 C là kết luận logic của các tiên đề;

 Các tiền đề trên phải đúng

Thông thường để chứng minh mệnh đề C ta xuất phát từ một mệnh đề

đã được thừa nhận hoặc chứng minh tính đúng đắn (định nghĩa, tiên đề, định

lý đã biết,…) dùng một dãy các suy luận để chứng minh các mệnh đề trung gian, sau đó mới chứng minh mệnh đề C Khi đó, phép chứng minh một mệnh

đề là một dãy các mệnh đề (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, giả thiết, kết luận logic của một số mệnh đề đứng trước mệnh đề đó…)

Ví dụ:Chứng minh rằng:Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Chứng minh:

Gọi BA, CA theo thứ tự là các tiếp

tuyến tại B, tại C của đường tròn

(O)

Tiền đề:

a) AB ^ OB, AC ^ OC (tính

chất của tiếp tuyến)

b) AOBvà AOC vuông

c) Hai tam giác AOB và AOC vuông có OB = OC, OA là cạnh chung d) AOB = AOC

Sơ đồ bác bỏ P:

P  R  Q1 …  Q

 (P là mệnh đề cần bác bỏ, R là mệnh đề đúng hoặc giả thiết)

 Q sai nên P  R sai, mà R đúng Do đó, P sai

Đặc biệt, nếu mệnh đề cần bác bỏ có dạng x, F (x) thì ta chỉ cần đưa ra một giá trị  của x sao cho P () sai (đưa ra phản ví dụ)

1.4.3 Chứng minh phản chứng

Chứng minh mệnh đề Q bằng phản chứng là tìm cách bác bỏ

Hình 1.2

Đặc biệt, nếu xuất phát từ rút ra kết luận logic sai mà kết luận sai này

là phủ đinh của giả thiết (sai là do trái với giả thiết) thì trong trường hợp này phép chứng minh bằng phản chứng gọi là phép chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho

1.4.4 Dạy học chứng minh

Ở cấp độ khoa học Toán học:Chứng minh là một phép suy luận để thiết lập

sự đúng hay sai của một khẳng đinh (phán đoán, mệnh để, định lý)

Ở cấp độ giảng dạy ở trung học:Chứng minh là dùng lập luận để suy từ giả

thiết ra kết luận Đặc trưng cơ bản của chứng minh:

 Chứng minh là dãy các mệnh đề nối với nhau theo vai trò của từng mệnh đề

 Mỗi mệnh đề được tạo ra bằng việc thay thế mệnh đề cũ bằng mệnh đề mới “với quy tắc thay thế là một mệnh đề chuẩn”

Bên cạnh quy tắc thay thế là các quy tắc suy diễn logic, tham gia với vai trò

là một thành phần của chứng minh

1.4.5 Phân loại chứng minh:

 Chứng minh trực tiếp: Xuất phát từ các điều kiện vào suy ra mệnh đề

cần chứng minh thông qua các quy tắc thay thế và quy tắc suy diễn

 Chứng minh gián tiếp: Chứng minh phản chứng, chứng minh loại dần,

chứng minh quy nạp

1.4.6 Phương pháp tìm tòi chứng minh

Chứng minh là hoạt động phức tạp Khó khăn của HS thường là không biết bắt đầu từ đâu, không biết phải dùng những điều kiện vào nào để bắt đầu,

do đó việc tìm mệnh đề xuất phát cho chứng minh giữ vai trò quan trọng

Có hai phương pháp cơ bản, đặc thù của hoạt động tìm tòi chứng minh:

Phương pháp phân tích đi lên:

 Cần chứng minh T, ta cần chứng minh T1

 Muốn có T1, ta cần chứng minh T2

 Muốn có Tn-1, ta cần chứng minh Tn

 Từ đó, trình bày lại bài chứng minh: Tn  Tn-1 …  T2  T1

 T

Phương pháp phân tích đi xuống:

 Xuất phát từ điều cần chứng minh T  T1  T2  … Tn-1 

Tn

 Nếu Tn sai thì kết luận T sai (dùng để bác bỏ dự đoán)

 Nếu Tn đúng thì chưa kết luận được, ta tiến hành kiểm tra tính đúng sai của dãy Tn  Tn-1 … T2  T1  T (dùng để tìm mệnh đề xuất phát)

Bên cạnh đó, còn có một số kỹ thuật khác cho phép tìm hướng bắt đầu cho hoạt động chứng minh:

Nhận biết: Tập nhìn một đối tượng dưới nhiều dáng vẻ khác nhau Bắt

đầu bằng việc huy động các kiến thức (nhận biết các yếu tố quen thuộc, mối liên hệ giữa các yếu tố có trong đề toán), sau đó tổ chức kiến thức lại (sắp xếp các kiến thức lại theo hướng có lợi cho chứng minh)

Quy lạ về quen: Quy yêu cầu chứng minh về các yêu cầu tương tự Thực hiện các phép thử, dự đoán, tìm lời giải trên một vài trường hợp cụ thể

1.5 Một số kỹ năng giải một bài toán chứng minh hình học

1.5.1 Kỹ năng vẽ hình

Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn cho HS một cách cẩn thận HS phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, vẽ cẩn thận, đẹp

1.5.2 Kỹ năng tìm hướng giải

Sau khi vẽ xong hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã thể hiện đầy đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (hướng dẫn HS chú ý kí hiệu theo quy ước) Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có để HS định hướng được việc giải bài toán (GV dẫn dắt HS bằng hệ thống câu hỏi)

Trong các phương pháp thực hiện trong chương trình THCS, giải bài toán hình học bằng phương phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất Nếu GV kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng HS tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn

1.5.3 Kỹ năng vẽ thêm hình phụ trong chứng minh

Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Thậm chí, có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải của bài toán

Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ khi giải các bài toán hình học Tùy từng bài toán cụ thể, chúng

ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để có thể đưa đến những cách giải hay và độc đáo Song công việc sáng tạo này không thể tùy tiện Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết

1.5.4 Kỹ năng nghiên cứu lời giải bài toán (phát hiện lỗi sai, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa)

Ngoài việc giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của HS để mở rộng, khai thác thêm bài toán là cần thiết, đặc biệt là công tác bồi dưỡng HS giỏi Mặt khác, từ kinh nghiệm giải quyết một bài toán, ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy sâu cho HS

Trong phạm vi nghiên cứu, luận văn đi sâu vào việc rèn luyện cho HS

kỹ năng phân tích bài toán bằng phương pháp đặc biệt hóa

1.6 Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh

1.6.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa

Chương trình SGK Toán lớp 9 phần hình học gồm:

 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (4 tiết) Tỉ số lượng giác của góc nhọn (4 tiết).Hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông (sử dụng tỉ số lượng giác) (4 tiết) Ứng dụng thực tế các tỉ số của góc nhọn (2 tiết)

 Đường tròn (16 tiết): định nghĩa, sự xác định, tính chất đối xứng (2 tiết) Đường kính và dây của đường tròn (2 tiết) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (1 tiết)Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (1 tiết) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (1 tiết) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (2 tiết) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (2 tiết) Vị trí tương đối của hai đường tròn (3 tiết) Ôn tập chương (3 tiết)

 Góc với đường tròn (20 tiết): Góc ở tâm Số đo cung Liên hệ giữa cung

và dây cung Góc nội tiếp Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Góc

có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Cung chứa góc Cách giải các bài toán quỹ tích Tứ giác nội tiếp một đường tròn Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp một đa giác đều Độ dài đường tròn, diện tích hình tròn

 Hình trụ, hình nón, hình cầu (9 tiết):hình khai triển của hình trụ, hình nón Diện tích và thể tích tích các hình trên

Phần kiến thức sử dụng nhiều trong luận văn là phần đường tròn (16 tiết) Với

số tiết theo phân phối chương trình thì các tiết luyện tập không thể rèn kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho HS một cách hiệu quả Vì thế, HS được rèn luyện thêm vào các tiết luyện tập vào buổi chiều

1.6.2 Nội dung các dạng toán chứng minh đường tròn

Trong quá trình dạy học ở THCS và quá trình nghiên cứu SGK, các loại sách tham khảo, tác giả phân chia các dạng toán minh về đường tròn ở bậc THCS như sau:

Dạng 1: Chứng minh sự bằng nhau

Dạng 2: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc của hai đường thẳng

Dạng 3: Chứng minh tính chất của các phần tử và xác định hình dạng của các đa giác đặc biệt

Dạng 4: Chứng minh các hệ thức

1.6.3 Đối tượng học sinh khá giỏi

 Đối tượng HS trong bài luận văn đề cập tới là HS khá giỏi

 Tiêu chí để đánh giá HS khá giỏi dựa vào kết quả tổng kết môn Toán của năm trước từ 7,0 trở lên

 Một tiêu chí nữa để đánh giá học sinh khá giỏi là những học sinh trong quá trình học là: nhận thức bài nhanh, có nhiều phát biểu xây dựng bài trên lớp, ý thức trong giờ tốt, luôn cố gắng làm theo và làm tốt yêu cầu của GV

1.6.4 Một phần thực trạng dạy học giải toán chứng minh đường tròn

Một phần GV chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học giải toán Còn nhiều GV chưa cho HS thực sự làm toán mà chủ yếu giải toán cho

HS và chú ý đến số lượng hơn chất lượng.Trong quá trình dạy học giải toán,

GV ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận Thông thường GV thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho HS đến đó, một số GV còn coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động,

GV chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho HS có được phương pháp, kỹ năng, khắc sâu kiến thức của giờ lý thuyết

1.7 Một số khó khăn của học sinh khi giải bài toán chứng minh hình học

để hỗ trợ trong việc chứng minh, đôi khi vẽ hình HS vẽ vào trường hợp đặc biệt dẫn đến ngộ nhận làm cho hướng chứng minh sai lầm

Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn Khi đã vẽ xong hình thì việc tìm

ra hướng giải là khó khăn nhất Thực tế cho thấy HS thường bị mắc ở khâu này Nguyên nhân là do các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài Việc huy động những kiến thức đã học để chứng minh còn hạn chế Khả năng phân tích, tổng hợp của HS còn chưa tốt Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì

HS vẫn còn khó khăn khi giải

Việc trình bày lời giải của HS còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ chặt chẽ

1.8 Một số khó khăn của giáo viên trong dạy học giải toán chứng minh hình họcvề đường tròn

Khi trao đổi với GV tổ toán của trường, và GV toán ở một số trường trong Quận tại buổi tập huấn chuyên môn, chúng tôi rút ra một số khó khăn cơ bản của GV trong dạy học giải toán chứng minh về đường tròn cho HS lớp 9 như sau:

Số tiết hình phân phối chương trình ít, nội dung kiến thức nhiều Thời gian HS được luyện tập ít

HS lười suy nghĩ, khả năng suy luận hình học còn hạn chế

Nội dung bài tập trong sách giáo khoa chưa cô đọng, thiếu nhiều bài tập tổng hợp như kiến thức thi vào lớp 10

Dạy theo đúng quy trình bốn bước mất nhiều thời gian

Kết luận chương 1 Trong dạy học Toán cần gắn liền dạy kỹ năng, trong các nội dạy học thì nội dung rèn luyện kỹ năng có vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyết một số bài tập, nhất là bài tập hình học

Chương này trình bày các khái niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán, chứng minh, dạy học chứng minh và một số dạng bài chứng minh về đường tròn cho HS lớp 9

Trong các đề thi vào lớp 10, nội dung hình học vào phần về đường tròn, trong khi nội dung các bài tập trong sách giáo khoa còn vụn vặt Vì vậy yêu cầu đưa ra với luận văn này là đưa ra các kỹ năng cụ thể cần có để giải các bài toán chứng minh về đường tròn và đưa ra hệ thống bài tập để ôn luyện cho

HS

Nhiệm vụ của mỗi GV dạy Toán ở trường phổ thông là phải luôn có ý thức suy nghĩ, tìm tòi các biện pháp thích hợp để rèn luyện cho HS kỹ năng giải các bài tập toán, cụ thể là các bài toán chứng minh hình học Từ đó tạo niềm say mê, hứng thú trong học tập cho HS

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỨNG

MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9

2.1 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh đường tròn

Trong quá trình dạy học, quá trình ôn luyện thi vào 10, kết hợp các biện pháp đã nêu ở phần cơ sở lí luận, tôi rút ra một số biện pháp rèn kỹ năng chứng minh về đường tròn cho HS lớp 9

2.1.1 Biện pháp 1:Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu đề bài

Vẽ hình chính xác là một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học Đối với HS lớp 9 rèn luyện cách vẽ hình cũng là rất quan trọng Do vậy người thầy cần khai thác tốt giờ luyện tập để HS biết sử dụng dụng cụ vẽ thói quen: muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm chắc

đề bài, bài cho gì và yêu cầu gì, nghĩa là phải phân biệt được rõ ràng giả thiết

và kết luận Khi vẽ, nên xem xét vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình

vẽ chính xác đơn giản hơn và những gì giả thiết đã cho cần phải thể hiện kí hiệu quy ước trên hình vẽ

Ví dụ:Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA = R√2 Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông

b) Gọi H là trung điểm của dây MN, chứng minh rằng ba điểm A, H, O thẳng hàng

Hướng dẫn HS vẽ hình:

 Ta vẽ gì trước? Dùng dụng cụ

nào để vẽ (HS dễ dàng vẽ

được đường tròn (O; R))

 Tiếp theo cần vẽ gì? (Vẽ điểm

Từ M kẻ Mx ^ OM, từ N kẻ Ny ^ NO  Điểm A là giao điểm của Ny và Mx

 ta được hình vuông AMON có OM = ON = R và OA = R√2 Và ta cũng được AM, AN là hai tiếp tuyến cần vẽ của (O; R)

Vẽ điểm H như thế nào dễ hơn? (H là giao điểm của hai đường chéo

AO và MN của hình vuông AMON)

2.1.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp chứng minh bài toán

Sau khi vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đầy

đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước) Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có HS sẽ định hướng được việc giải bài toán

Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình THCS, giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên (phương pháp dùng lập luận

để đi từ điều cần chứng minh dẫn tới điều đã cho trong một bài toán)là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ

và hiệu quả nhất Từ đó, giúp HS hệ thống và nhớ được các kiến thức liên

Hình 2.1

việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng

Ví dụ 1:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By ở D a) Chứng minh = 1V; Từ đó suy ra CE.ED = R 2

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng

2.1.3 Biện pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng giải quyết bài toán

Để hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải cho từng câu của bài toán đi từ kết luận đến giả thiết, GV nêu hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS

Trong ví dụ 1 ở trên, GV có thể hướng dẫn HS bằng hệ thống các câu hỏi sau

a) Chứng minh COD = 1V; Từ đó suy ra CE.ED = R2

- Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và có liên hệ với CE, ED?

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD với OE là đường cao, ta có điều gì?

- Chứng minh COD = 1 ta chứng minh điều gì?

- Góc C , D liên hệ với các góc nào?

- Tổng hai góc DCA và BDC là bao nhiêu? Vì sao?

- Vận dụng yếu tố nào của đề bài để tìm C , D ?

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng

- Hai tam giác chứng minh đồng dạng là tam giác gì?

- Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng phải có thêm điều kiện gì?

- Vậy phải chứng minh B = D bằng cách nào?

2.1.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán

Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS, với mỗi bài tập nên cho HS tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho HS nhiều cách giải Trên cơ sở đó HS tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra cách giải tương tự và khái quát ra đường lối chung

Cần cho HS phân tích cái hay của từng cách và có thể trong từng trường hợp cụ thể nên áp dụng cách nào để đơn giản nhất và có thể áp dụng

để giải các câu liên quan vì một bài toán hình không chỉ có một câu mà còn có các câu khác liên quan

Việc tìm ra nhiều lời giải cho một bài toán là một vấn đề không đơn giản đòi hỏi HS phải có năng lực tư duy logic, kiến thức tổng hợp Không phải bài toán nào cũng có thể tìm ra nhiều lời giải Mà thông qua các bài toán nhiều lời giải nhằm khắc sâu kiên thức cho HS từ đó HS biết vận dụng kiến thức thành thạo để có thể giải quyết các bài toán khác

Trong ví dụ 1 trên, câu a ngoài cách phân tích như trên có thể cho HS chứng minh cách khác như sau:

Cách 2:

Vì CA, CE là hai tiếp tuyến của nửa (O) nên tia OC là tia phân giác của AOE

Tương tự OD là tia phân giác của EOB

Có AOE, EOB là hai góc kề bù nên OC ^ OD tại O hay COD = 1V

 CE ED = OE2 (hệ thức về đường cao trong tam giác vuông)

Hay CE ED = R2

Cách 3:

Ta có: AOC = COE (do CA, CE là hai tiếp tuyến)

BOD = DOE (do DB, DE là hai tiếp tuyến)

Suy ra: AOC + BOD = COE + DOE