Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học nội dung phương trình lượng giác : Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN THU THU HIỀN RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THU THU HIỀN

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI

DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các bảng ii

Danh mục các sơ đồ, biểu đồ iii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Khái niệm tư duy và vai trò của tư duy 4

1.1.1 Khái niệm tư duy 4

1.1.2 Các thao tác tư duy và phân loại tư duy 4

1.1.3 Các giai đoạn của quá trình tư duy 5

1.1.4 Tầm quan trọng của tư duy 5

1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo 6

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo 6

1.2.2 Quá trình sáng tạo 8

1.3 Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo 8

1.3.1 Tư duy sáng tạo 8

1.3.2 Những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 9

1.4 Phương trình lượng giác 11

1.4.1 Vài nét về sự ra đời của lượng giác 11

1.4.2 Vị trí, vai trò nội dung phương trình lượng giác 12

1.4.3 Thực trạng việc dạy và học nội dung phương trình lượng giác ở trường phổ thông 13

1.4.4 Thực trạng việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông 13

1.5 Kết luận chương 1 14

Chương 2: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 15

2.1 Một số kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác 15

2.1.1 Công thức lượng giác 15

2.1.2 Phương trình lượng giác 19

2.1.3 Phương pháp giải phương trình lượng giác 22

2.2 Rèn luyện một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học phương trình lượng giác 23

2.2.1.Rèn luyện tính mền dẻo và tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo thông các bài tập 23

2.2.2 Rèn luyện tính độc đáo thông qua các bài toán lạ 44

2.2.3 Rèn luyện tính nhạy cảm qua hoạt động phát hiện và sửa chữa sai lầm 50

2.2.4.Rèn luyện tính hoàn thiện, tính chi tiết 61

2.3 Kết luận chương 2 64

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.1 Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng thực nghiệm sư phạm 65

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 65

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 65

3.1.3 Đối tượng thực nghiệm 65

3.2 Tổ chức thực nghiệm 67

3.2.1 Kế hoạch thực nghiệm 67

3.2.2 Giáo án thực nghiệm 68

3.3 Kết quả thực nghiệm 83

3.3.1 Bài kiểm tra và kết quả bài kiểm tra của học sinh 83

3.3.2 Đánh giá của các giáo viên dự giờ 97

3.3.3 Ý kiến của học sinh 98

KẾT LUẬN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

PHỤ LỤC 101

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra chất lượng đầu năm môn Toán của lớp

12A0, 12A1, 11A0, 11A1 66

Bảng 3.2 Ma trận đề kiểm tra 45 phút 84

Bảng 3.3 Kết quả làm bài 1 89

Bảng 3.4 Kết quả làm bài 2 91

Bảng 3.5 Kết quả làm bài 3 92

Bảng 3.6 Số học sinh làm đúng mỗi bài trong đề kiểm tra 94

Bảng 3.7 Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm của lớp 12A0, 12A1, 11A0, 11A1 95

Bảng 3.8 Kết quả xếp loại điểm kiểm tra sau khi thực nghiệm 96

Bảng 3.9 Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm 97

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Công tác nghiên cứu khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực để phát triển Trong ngành giáo dục cũng vậy, đã có nhiều đề tài nghiên cứu khoa học giúp cho nền giáo dục nước ta phát triển, chất lượng giáo dục ngày một đi lên Đảng và nhà nước ta cũng rất quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, thấy được phát triển giáo dục và đào tạo là động lực quan trọng thúc đẩy sự phát triển của đất nước, phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu Nền giáo dục nước ta

đã và đang thực hiện cuộc cải cách, đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông Một trong những trọng tâm là đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển tư duy, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm vui trong học tập cho học sinh Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII, 24/12/1996)

về định hướng phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2000, khẳng định : “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học.”

Đất nước ta hiện nay vẫn đang trong thời kì đổi mới và phát triển, thực hiện công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế Do hội nhập quốc tế nên chúng ta đã vận dụng được nhiều thành tựu của khoa học kỹ thuật, tiếp thu tinh hoa của thế giới, tri thức của nhân loại vào thực tiễn đất nước và làm cho nước ta ngày càng phát triển, đời sống của người dân sung túc hơn Các thành tựu, tinh hoa mà nhân loại có được là kết quả của sự sáng tạo Để tiếp cận, hội nhập nền kinh tế tri thức và xã hội tri thức đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh kỹ năng tư duy sáng tạo như một phẩm chất của người hiện đại Do đó việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết Tuy nhiên chưa có công trình nào đi sâu nghiên cứu việc rèn luyện

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông Trong các đề thi đại học, cao đẳng đều có một ý là giải phương trình lượng giác Để giải tốt phương trình lượng giác, đòi hỏi học sinh phải thuộc công thức, nhận dạng được phương trình lượng giác thường gặp và các phương pháp hay dùng để biến đổi Hơn nữa, việc giải phương trình lượng giác còn tạo được hứng thú học môn Toán, kích thích tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán, qua nhiều dạng bài tập

Chính vì vậy tôi đã nghiên cứu đề tài :“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua nội dung phương trình lượng giác ”

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Kiến thức về Lượng giác (Chương I Đại số và Giải tích lớp 11)

- Giải quyết các mục tiêu cụ thể nêu ở Mục 4

4 Mẫu khảo sát

- Học sinh lớp 11A0, 11A1, 12A0, 12A1 trường Trung học phổ thông Thanh Oai A

5 Câu hỏi nghiên cứu

Làm thế nào để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học phương trình lượng giác ?

6 Giả thuyết khoa học

Vận dụng linh hoạt các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo, kết hợp với nội dung giải phương trình lượng giác, sẽ nâng cao khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

7 Phương pháp chứng minh giả thuyết

- Tiếp cận Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận và phương pháp dạy học môn toán

- Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, tài liệu và các công trình khoa học có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra

- Thực nghiệm

8 Các luận cứ

8.1 Luận cứ lý thuyết

- Khái niệm tư duy

- Vai trò của tư duy

- Tư duy sáng tạo

- Những biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo

8.2 Luận cứ thực tế

- Học sinh tư duy tốt hơn

- Học sinh chụi khó tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán và sáng tạo ra các bài tập mới

- Lấy kết quả kiểm tra khách quan sau giờ dạy của giáo viên

- Kết quả kiểm tra, kết quả thi môn toán cao

- Phiếu điều tra

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm nội dung chính sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho hoc sinh trung học phổ thông qua dạy học nội dung phương trình lượng giác

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Khái niệm tư duy và vai trò của tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan, mà trước đó ta chưa biết (xem [14, tr 106], [13, tr 2])

Tư duy mang bản chất xã hội, được hình thành và triển trong quá trình hoạt động nhận thức tích cực của bản thân con người

Tư duy chỉ xuất hiện khi con người gặp những tình huống “có vấn đề” Để

tư duy, trước hết, con người sử dụng ngôn ngữ Trong quá trình tư duy, con người còn sử dụng những công cụ, phương tiện để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng Tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ, mà trừu xuất khỏi chúng những dấu hiệu cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất, chung cho nhiều sự vật và hiện tượng Chính

vì vậy, tư duy có đặc điểm: tính “có vấn đề”, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát, quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ (xem [14, tr.108-109])

1.1.2 Các thao tác tư duy và phân loại tư duy

( Nội dung mục này tham khảo tài liệu [14])

Các thao tác tư duy cơ bản gồm: phân tích - tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá Thực tế cho thấy, các thao tác trên thường kết hợp, đan chéo nhau trong quá trình tư duy, không nhất thiết theo trình tự trên

và cũng không nhất thiết phải thực hiện đủ các thao tác trên

Theo lịch sử hình thành (chủng loại và cá thể), tư duy được chia thành ba loại: tư duy trực quan hành động, tư duy trực quan hình ảnh, tư duy trừu tượng (tư duy từ ngữ - lôgíc)

Theo hình thức thể hiện và phương thức giải quyết nhiệm vụ, tư duy chia thành ba loại: tư duy thực hành, tư duy hình ảnh cụ thể, tư duy lý luận

1.1.3 Các giai đoạn của quá trình tư duy

(Nội dung mục này tham khảo tài liệu [14])

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức và kinh nghiệm

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết

Giai đoại 5: Giải quyết nhiệm vụ

Sơ đồ 1.1 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy

1.1.4 Tầm quan trọng của tư duy

(Nội dung mục này xem [15, tr 15])

Mục tiêu của bậc học phổ thông là hình thành và phát triển được nền tảng tư duy của con người trong thời đại mới Tại sao cần phát triển tư duy?

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Sàng lọc liên tưởng

và hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định Chính xác hoá

Hành động tư duy mới

Tư duy có tầm quan trọng đặc biệt Điều đó đã được các bậc hiền triết và các nhà giáo dục từ cổ trí kim, từ đông sang tây xác nhận như: “Tôi tư duy là tôi tồn tại”, “Tư duy tạo nên sự cao cả của con người”, “Tư duy là hạt giống của hành động”, “Tư duy là một tia sáng giữa đêm tối Nhưng chính tia sáng

ấy là tất cả” Ngạn ngữ cổ Hy Lạp: Dạy học không phải là rót kiến thức vào một chiếc thùng rỗng mà là thắp sáng lên những ngọn lửa Ngọn lửa ở đây

chính là năng lực tư duy của người học

Thông qua dạy kiến thức để đạt mục tiêu hình thành và phát triển năng lực tư duy, phát triển trí tuệ của học sinh Thông qua việc dạy và học tư duy chúng ta sẽ tạo được nền móng trí tuệ, cách suy nghĩ để giải quyết vấn đề trong thực tiễn sau này cho mỗi học sinh khi bước vào đời Dạy và học tư duy

là làm cho kỹ năng tư duy logic của con người có hiệu quả hơn, khả năng nhận thức, phê phán, sáng tạo và sâu sắc hơn Nói cách khác, là cho người học có chiếc chìa khoá để mở các cánh cửa của kiến thức, cho họ cái “cần câu” chứ không chỉ là một “con cá” để họ có thể sống và tự học được suốt đời Vì vậy, mục tiêu quan trọng bậc nhất của quá trình dạy và học là giúp học sinh phát triển được tư duy Ở tất cả các cấp học, các môn học, người thầy luôn là cầu nối quan trọng nhất để giúp các em tiếp cận, khám phá và sáng tạo tri thức Để phát triển được tư duy, chúng ta phải đầu tư thời gian cho các chương trình rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy, thường xuyên khuyến khích

và giúp đỡ học sinh thông qua các môn học nhằm nâng cao trình độ và năng lực tư duy phù hợp với tâm sinh lí và lứa tuổi của học sinh ở mỗi cấp học

1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Theo từ điển tiếng Việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần Hay sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị

gò bó phụ thuộc vào cái đã có”

Theo [9, tr 113] ba yếu tố cơ bản của sáng tạo là:

+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency);

+ Tính mền dẻo (Flesibility);

+ Tính hoàn thiện (Elaboration)

 Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:

- Tính da dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, nhanh chóng tìm ra nhiều phương án khác nhau từ đó có thể tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía, chứ không nhìn cái bất biến, phiếm diện, cứng

nhắc Chẳng hạn như cosx có thể hiểu là sin( )

 Tính mền dẻo có các đặc trưng sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương

tự Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, máy móc áp dụng những kiến thức, kỹ năng

đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu tố thay đổi

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

tính sáng tạo được chú ý ngày càng nhiều, vì nó sớm hình thành được tính chủ động và tự lập cho người học

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Muốn giải quyết vấn đề hay bài toán người học phải phát hiện ra “lời giải” để từ tình huống tù mù trở thành chính xác, câu hỏi được trả lời, bài toán được giải xong đó chính là một quá trình sáng tạo (xem [15, tr 19])

Trong quá trình sáng tạo, khuyến khích sáng tạo quan trọng hơn là giải pháp hay kết quả cuối cùng Các bước của quá trình sáng tạo được tổng kết ở năm giai đoạn sau: kích thích, khám phá, lập kế hoạch, hoạt động, tổng kết

(xem [13, tr 14], [15, tr 24]) Những kích thích cho tư duy sáng tạo bắt nguồn từ tính tò mò, hay thắc mắc và thích hỏi Sản phẩm sáng tạo bao gồm các công trình nghệ thuật và các lý thuyết khoa học Sáng tạo cũng là tổng hợp các thái độ và khả năng giúp con người tạo ra các ý nghĩ, ý tưởng hay hình ảnh sáng tạo

1.3 Tƣ duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo

1.3.1 Tư duy sáng tạo

Có nhiều quan điểm về tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị (xem [9, tr 113])

Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của

tư duy được linh hoạt và hiệu quả (xem [13, tr 14])

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo

và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới đươc thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của

ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất Mặc dù có nhiều quan điểm, cách định nghĩa khác nhau về tư duy sáng

tạo nhưng có thể tóm lại điểm chung nhất là tƣ duy sáng tạo tạo ra cái mới, độc đáo của tƣ duy

Các thuộc tính của quá trình tư duy sáng tạo là:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới;

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong những điều kiện quen biết đúng quy cách;

- Nhìn thấy một chức năng mới của đối tượng quen biết;

- Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng đang nghiên cứu;

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn lời giải (xem [9, tr 113]);

- Kỹ năng kết hợp những phương thức, cách giải đã biết thành một phương thức mới;

- Kỹ năng tạo ra một phương thức giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác

Tư duy sáng tạo bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo là:

- Tính mềm dẻo: chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác;

- Tính nhuần nhuyễn: tìm được nhiều giải pháp, xem xét nhiều phương diện;

- Tính độc đáo: tìm kiếm, quyết định phương thức mới;

- Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động;

- Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt

Ngoài ra còn các yếu tố khác: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại

1.3.2 Những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Mục tiêu quan trọng bậc nhất của quá trình dạy và học là nâng cao trình

độ tư duy của người học Trong đó, phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo là rất cần thiết Khi học sinh biết tư duy tốt, có tính sáng tạo sẽ giúp cho học sinh luôn điều chỉnh mình để có trạng thái tâm lý tốt, tỉnh táo để phát hiện và giải quyết những vấn đề phức tạp trong cuộc sống, có khả năng cải tạo xã hội, phê phán những lạc hậu cản trở tiến bộ, và đề xuất những ý tưởng mới giúp xã hội phát triển Chính vì vậy, trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần chú trọng bồi dưỡng và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung

môn học Theo [5, tr 79], việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,

hệ thống hoá trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Theo [9, tr 115] có thể rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh theo các hướng sau:

1 Theo năm thành phần của tư duy sáng tạo (tính mền dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện và tính nhạy cảm vấn đề)

2 Dựa trên các hoạt động trí tuệ: dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương

tự hoá, đặc biệt hoá

3 Tìm nhiều lời giải một bài toán, khai thác, đào sâu kết quả bài toán Như vậy, mỗi giáo viên nên:

* Tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫn, phân tích, tổng hợp

* Tổ chức những tình huống có vấn đề đòi hỏi tranh luận, tạo không khí giao tiếp thuận lợi

Những tình huống đó cần phải phù hợp với trình độ của học sinh Nội dung quá khó hay quá dễ đều không gây được hứng thú Cần dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiến thức, cảm thấy mình mỗi ngày một trưởng thành Để học tập sáng tạo cần tạo tình huống chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất càng nhiều giải pháp càng tốt, càng tối ưu càng tốt

Không khí lớp học căng thẳng, học sinh học trong một trạng thái tâm lý sợ sệt, sợ sai bị mắng, ngồi học không giám nhúc nhích, không giám nêu ý kiến chỉ làm thui chột khả năng sáng tạo Tạo ra một bầu không khí lớp học thoải mái, tôn trọng ý kiến của học sinh, động viên kịp thời sẽ rất tốt để phát huy tính sáng tạo cho học sinh Học sinh sẽ học tập tích cực, chủ động, độc lập

* Tập cho học sinh biết giải bài tập bằng nhiều cách khác nhau

Trên cơ sở vận dụng các kiến thức, phân tích vấn đề, xem xét dưới nhiều góc độ, từ đó tìm ra nhiều cách giải Tạo cho học sinh thói quen không vội vã

bằng lòng với giải pháp đã có, không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc

đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới

* Tập cho học sinh biết vận dụng các thao tác: khái quát hóa, đặc biệt hoá, tương tự hoá

* Tập cho học sinh biết hệ thống hoá kiến thức, phương phá

Sau khi học một chương hay một nội nung, cần yêu cầu học sinh lập bảng thể hiện các kiến thức cơ bản, quan trọng và mối quan hệ giữa chúng, hệ thống lại các phương pháp giải

* Rèn luyện tư duy phê phán

Tư duy sáng tạo không thể tách rời tư duy phê phán Kết hợp tư duy phê phán và tư duy sáng tạo sẽ tạo nên một hệ phương pháp tư duy hữu hiệu Trong dạy học, cần quan tâm đến những sai lầm của học sinh, khuyến khích học sinh nhận xét, tìm ra lỗi và sửa sai trong lời giải của bạn Điều đó sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn, hiểu đúng bản chất, ghi nhớ kỹ và tránh mắc phải

1.4 Phương trình lượng giác

1.4.1 Vài nét về sự ra đời của lượng giác

Như mọi khoa học khác, lượng giác phát sinh từ nhu cầu của đời sống: Ngành hàng hải đòi hỏi phải biết xác định vị trí tàu bè ngoài biển khơi, vị trí của các hành tinh, của các vì sao; cuộc sống xã hội với các hoạt động sản xuất đòi hỏi đo đạc ruộng đất, thiết lập bản đồ Các nhu cầu đó làm cho môn lượng giác phát sinh và phát triển

Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước Các nhà toán học Ấn độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác Các nhà toán học Hy Lạp đã góp phần đáng kể vào việc phát triển

xuất bản năm 1748, đã xây dựng lý thuyết sâu sắc về lượng giác, đã đề cập đến khái niệm radian, nhưng từ “rađian” (gắn với từ “radius” có nghĩa là bán kính) mãi đến năm 1873 mới được dùng chính thức lần đầu tiên ở trường Đại học Belfast, Bắc Ai-len

Lượng giác gắn với nhiều môn học, nhiều lĩnh vực trong cuộc sống Nhiều hiện tượng tuần hoàn đơn giản trong thực tế được mô tả bởi những hàm

số lượng giác: chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời, chuyển động của guồng nước quay, chuyển động của quả lắc đồng hồ, sự tạo thành và lan truyền âm thanh, sự biến thiên của cường độ dòng điện xoay chiều Hiện tượng tuần hoàn đơn giản nhất là giao động điều hoà được mô tả bởi hàm số

sin( )

y A    x B , trong đó A, B, , là những hằng số; A và  khác 0

Đồ thị của nó là một đường hình sin

1.4.2 Vị trí, vai trò nội dung phương trình lượng giác

Lượng giác là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Ở cấp Trung học cơ sở các em biết đến giá trị lượng giác của góc từ 00 đến 900 Lên lớp 10, giá trị lượng giác được mở rộng với các góc từ

00 đến 1800 Cuối lớp 10 và đầu lớp 11, các em chỉ học các vấn đề liên quan đến lượng giác trong sách Đại số và Giải tích 11 Không những thế, các em còn phải sử dụng kiến thức về lượng giác lồng ghép trong nội dung đạo hàm, tích phân Đặc biệt, trong các kì thi đại học, cao đẳng đều có giải phương trình lượng giác Phương trình lượng giác được trình bày trong chương I, Đại

số và Giải tích 11

Trong chương trình hiện hành chỉ đưa ra các phương trình lượng giác sau: + Phương trình cơ bản;

+ Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác;

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ( xem [8, tr 52])

1.4.3 Thực trạng việc dạy và học nội dung phương trình lượng giác ở trường phổ thông

Mặc dù, phương trình lượng giác được giảng dạy trong hai bài : §2 và §3 chương I (xem [3, tr 18-36], [4, tr 19-40]); thời lượng khoảng 12, 13 tiết (xem [12, tr 10]); nhưng để học được nội dung này thì giáo viên đã phải dạy

và học sinh cũng phải học khoảng 25-30 công thức trước đó Do lượng công thức nhiều nên việc ghi nhớ được công thức cũng cần phải có thời gian Các công thức lượng giác được đưa vào các bài học thuộc chương VI – chương cuối cùng của sách đại số lớp 10, học vào thời điểm cuối năm học, nên việc rèn luyện và học công thức không được nhiều Hơn nữa, sau thời gian nghỉ hè thì rất nhiều em đã quên công thức Đó là một khó khăn lớn đối với giáo viên

để dạy nội dung phương trình lượng giác Trước khi học giải phương trình lượng giác lớp 11, hầu hết giáo viên phải nhắc lại công thức, phải mất một khoảng thời gian rèn luyện để giúp học sinh nhớ công thức Để học tốt nội dung phương trình lượng giác, đòi hỏi học sinh phải thuộc công thức Qua một số năm trực tiếp giảng dạy, tôi thấy, nhiều học sinh rất thuộc công thức nhưng còn rất lúng túng, thấy khó trong giải phương trình lượng giác; một số khác thì luôn giữ trong cặp sách bảng các công thức lượng giác và khi làm bài mang ra xem phải dùng công thức nào Các em thường không biết phải biến đổi như thế nào, càng gặp khó khăn hơn với các bài toán có điều kiện và đối chiếu nghiệm Để hướng dẫn học sinh dễ hiểu, giúp học sinh giải thành thạo phương trình lượng giác, tạo được hứng thú yêu thích môn Toán qua học giải phương trình lượng giác không phải giáo viên nào cũng làm được

1.4.4 Thực trạng việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

Thực tiễn của các nhà trường hiện nay vẫn còn tình trạng quá tải về kiến thức do cấu trúc của chương trình vẫn còn nặng Vẫn có xu hướng thiên về trình bày kiến thức mà nhẹ về hướng dẫn học tập cho học sinh Vẫn có tình trạng giáo viên chỉ lo “chạy” cho hết bài, cho kịp tiết học được quy định nên

khác nhau cho phù hợp Các phương pháp dạy học truyền thống vẫn được sử dụng nhiều Mặc dầu công nghệ thông tin đã phát triển cũng hỗ trợ tốt cho giáo viên trong giảng dạy nhưng chưa được sử dụng thường xuyên do nhiều yếu tố (cơ sở vật chất chưa đủ, trình độ tin học của giáo viên còn hạn chế ) Giáo viên với vai trò cung cấp kiến thức, học sinh nghe thụ động, các hoạt động diễn ra trong lớp học vẫn mang tính một chiều Giáo viên hạn chế trong việc áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh càng ít, mà năng lực sáng tạo lại rất cần trong xã hội hiện đại

1.6 Kết luận chương 1

Dựa trên cơ sở lý kuận và thực tiễn đã trình bày ở trên, tôi nhận thấy:

- Dạy học phương trình lượng giác có thể lôi cuốn, thu hút giáo viên và học sinh, có thể rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Giáo viên cần chú trọng cách dạy, cách tổ chức giờ học, cách truyền đạt để học sinh nắm được vấn đề một cách chủ động, tích cực, sáng tạo Các phương pháp dạy học như phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, phương pháp dạy học tự học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2.1 Một số kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác

2.1.1 Công thức lượng giác

(Một số công thức trong mục này xem [1, tr 141-152])

c Hai góc đối nhau –x và x

d Hai góc hơn kém nhau :  x và x

e Hai góc hơn kém nhau

sin( - )x y sin cos - cos sinx y x y

sin( + )x y sin cos + cos sinx y x y

tan + tantan( )

2.1.1.4 Công thức nhân đôi, nhân ba

1- tan

x x

3t an - tantan 3

2

1 os2sin

2

1 os2tan

1 os2

c x

c x

c x x

c x x

3 os +cos3os

43sin -sin3sin

2.1.1.8 Công thức biến đổi tổng thành tích

22

3

32

22

2.1.2 Phương trình lượng giác

(xem nội dung mục này trong [3, tr 19-36], [4, tr 19-39])

2.1.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản

a Phương trình sinx = a

- Có nghiệm khi a 1

- Vô nghiệm khi a 1

- Nếu phương trình có nghiệm ta có

- Vô nghiệm khi a 1

- Nếu phương trình có nghiệm ta có

tan = a arctana <arctana<

4cot -1 -

2.1.2.2 Phương trình lượng giác thường gặp

a Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1: at + b = 0 (a ≠ 0), t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: chia hai vế cho a đưa về phương trình cơ bản

Dạng 2: at 2

+ bt + c = 0 (a ≠ 0), t là một trong các hàm số lượng giác

b Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Dạng: asinx + bcosx = c ( với a.b ≠ 0)

c Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx

Dạng: asin 2

x +bsinxcosx +ccos 2 x = d

Cách giải

Cách 1 Nhận xét sinx = 0 (hoặc cosx = 0) không thoả mãn Chia hai vế cho

sin2x (hoặc cos 2 x) ta được phương trình bậc hai đối với cotx (hoặc tanx) như

Cách 2 Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x là

.

d Phương trình dạng đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng1 a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx+ cosx (điều kiện:

2

12) sin cos

2

t

Ta được phương trình bậc hai ẩn t

Dạng2 a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx - cosx (điều kiện:

Ta được phương trình bậc hai ẩn t

2.1.3 Phương pháp giải phương trình lượng giác

2.1.3.1 Biến đổi lượng giác

Vận dụng các công thức lượng giác, biến đổi đưa phương trình về dạng cơ

bản, dạng thường gặp

2.1.3.2 Biến đổi đại số

Quy đồng mẫu số, nhóm nhân tử đưa về phương trình tích

2.1.3.3 Đánh giá

2.2 Rèn luyện một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học phương trình lượng giác

Chúng ta có thể rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bằng cách chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo như: tính mền dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm và tính hoàn thiện Rèn luyện tư duy sáng tạo cần được thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Trong quá trình dạy nội dung phương trình lượng giác, mỗi

ví dụ được nêu trong luận văn sẽ góp phần rèn luyện tư duy cho học sinh, có tác dụng nhất định trong việc bồi dưỡng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo Mặc dù có nét đặc trưng riêng, các yếu tố của tư duy sáng tạo không tách rời nhau Chúng có tác động qua lại, hỗ trợ, bổ xung cho nhau, trong đó tính độc đáo được coi là quan trọng nhất trong biểu đạt sáng tạo, tính nhạy cảm đi liền với cơ chế xuất hiện sáng tạo, tính mền dẻo và nhuần nhuyễn là cơ sở để có thể đạt được tính độc đáo, nhạy cảm và hoàn thiện Do đó, việc phân chia các bài tập để rèn luyện các yếu tố có tính tương đối

2.2.1 Rèn luyện tính mền dẻo và tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo thông các bài tập

Tính nhuần nhuyễn (tính thành thục) là khả năng sử dụng các thao tác tư duy, các kiến thức, thông tin một cách dễ dàng

Tính mền dẻo là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của tri thức, thay đổi quan niệm, góc nhìn, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại Tính mền dẻo thể hiện ở tính đa dạng trong phương án giải quyết vấn đề theo nhiều cách tiếp cận, xem xét sự vật theo nhiều góc độ (xem [10, tr 11])

Có thể thấy rằng hai yếu tố này có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Tính mền dẻo là điều kiện để phát huy tính nhuần nhuyễn và khi có sự nhuần

nhuyễn lại tác động trở lại làm cho các hoạt động trí tuệ trở nên nhanh nhạy

hơn Hai yếu tố này thường đi liền với nhau trong quá trình giải bài tập

a Mền dẻo và nhuần nhuyễn trong việc xác định và sử dụng đúng công thức

Giáo viên thiết kế các hoạt động nhằm giúp học sinh linh hoạt nhận ra và

sử dụng đúng công thức, để có thể giải được các phương trình lượng giác

Ví dụ Xác định các công thức liên quan và tìm hướng giải của các phương

trình sau:

1 sinxsin 2xsin3x 1 cosxcos2 x

2 cos 2 sin -cos2 1sin 1

Học sinh đứng tai chỗ nêu lên các công thức liên quan và hướng giải

Giáo viên bổ xung những công thức mà học sinh chưa nhận ra, đồng thời dẫn

dắt để tìm ra các hướng giải có thể được

* Phương trình 1: sinxsin 2xsin3x 1 cosxcos2 x

Các công thức liên quan là: nhân đôi, nhân ba, tổng thành tích, sin2x+cos2x =1

Hướng giải 1 Dùng công thức nhân đôi, nhân ba ta được

2

Hướng giải 2 Dùng công thức biến đổi tổng thành tích ta sẽ phải ghép:

sinx với sin2x hoặc sinx với sin3x hoặc sin2x với sin3x Nếu ghép

3sin sin 2 2sin cos

2sin 2 cosx xsin 2x2cos xcosx

sin 2 (2cosx x 1) cos (2cosx x 1)

Hướng giải 3 có sinx và cosx, sin2x và cos2x nên nghĩ tới công thức

sin - cos 2 sin( )

  như vậy phương trình

(**) đưa được về phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin ,

2

x

cos 2

x

Ta có cosx= 0 không thỏa mãn phương trình Chia hai vế cho cos3 x ta được

3 2

Như vậy hướng giải 3 phức tạp hơn

* Phương trình 2: cos 2 sin -cos2 1sin 1

x x x x

Các công thức liên quan là: nhân đôi, hạ bậc, tích thành tổng, sin2x +cos2x

=1, vế trái đưa được về tam thức bậc hai đối với sinx

Hướng giải 1 Dùng công thức nhân đôi và biến đổi vế trái về tam thức bậc

hai đối với sinx ta được phương trình bậc ba một ẩn như sau:

Dễ thấy đây là phương trình bậc ba đối với ẩn sinx, có nghiệm

sinx -1 giải được

Hướng giải 2 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng và hạ bậc thì phương trình trở thành

sin 3xsinx - cos 2 - sinx x

* Phương trình 3: sin3xcos3 - sinx xcosx 2 cos 2 x

Các công thức liên quan là: nhân đôi, tổng thành tích, nhân ba, công thức

sin - cos 2 sin( )

3sin - 4sin 4cos 3cos - sin cos 2 cos - sin

2sin - 2cos - 4sin 4cos 2 cos - sin

sin3 - sinx xcos3xcosx 2 cos 2x

2cos 2 sinx x2cos 2 cosx x 2 cos 2x

 2 cos 2 (sin x x  cos ) x  cos 2 x giải được

Hướng giải 3 Có sin3x và cos3x, sinx và cosx nên nghĩ đến công thức

sin - cos 2 sin( )

4

x x x

Khi đó phương trình tương đương với

2 sin(3 ) 2 sin( ) 2 cos 2

3 sin 4xcosx 3 sinx(cos 2 - sin 2 )(cos 2x x xsin 2 )x

3 sin 4x cosx 3 sinx cos 4 x

Tới đây có các hướng giải sau:

Hướng giải 1 Áp dụng công thức nhân đôi

sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x thì vế trái có nhân tử cosx, vế phải có thể biến đổi toàn về sinx, nhưng không giải quyết được bài toán

Hướng giải 2 Nhóm 3 và dùng công thức biến đổi tổng thành tích ta được phương trình

3(sin 4 x  sin ) x  cos 4 x  cos x

Hướng giải 3 Phương trình có xuất hiện dạng bậc nhất đối với sinx và cosx

nên biến đổi

* Nhận xét: Thông qua bốn bài tập được nêu lên trong ví dụ, học sinh được

luyện tập khả năng tìm ra nhiều giải pháp dựa trên việc tìm ra nhiều công thức

có thể áp dụng để giải được bài toán Đồng thời, học sinh cũng được rèn luyện tính linh hoạt trong các hoạt động phân tích, tổng hợp

b Mền dẻo và nhuần nhuyễn trong việc tách số

Ví dụ 1 Giải phương trình: 4cos 2 3cos(2 ) 12cos - 4sin

Phương trình đã cho tương đương với

Để biến đổi tiếp ta thường làm theo hai hướng sau:

Hướng 1 Nhóm 6sin cosx x và 4sinx ta được

8cos2x-12cosx 4 2sin (3cosx x 2) 0,

nhưng tam thức 2

8cos x-12cosx4(ẩn cosx) lại có nghiệm vô tỷ chứ không

có nghiệm cos 2

3

x nên không thể nhóm nhân tử được

Hướng 2 Nhóm 6sin cosx x và 12cosx ta được

2

2

8cos 4 4sin - 6cos (sin 2) 0

8sin 4sin 4 - 6cos (sin 2) 0

sinh trả lời 12cosx và 4sinx

Khi đó ta được phương trình

8cos2x 4 6sin cos - 4(3cosx x xsin )x 0

Với phương trình này nhiều em sẽ dừng lại, không nhìn ra hướng biến đổi tiếp Giáo viên hướng dẫn: có cos2x, 6sinxcosx ta nghĩ đến hằng đẳng thức

nào? Do đó tách số - 4 = -5+1 và sử dụng công thức 1= sin2x + cos2x

Vậy, phương trình đã cho đưa được về phương trình

Dễ thấy phương trình (2) có 32 + 12 < 52 nên phương trình (2) vô nghiệm Khi

đó phương trình (1) tương đương với

22

thức Góc x và 5x chẳng liên quan đến công thức nào đã biết

Giáo viên gợi ý: có sin và sin, như vậy, có thể nghĩ đến biến đổi tổng thành tích Do đó tách số 2 thành 1 + 1 và chuyển vế Ta có

sinx + sin5x = - sin5x 2sin3xcos2x = - sin5x

Vế trái dễ thấy áp dụng công thức nhân đôi, nhân ba đưa về sinx còn vế phải

thì phải biến đổi như thế nào? Có 2 + 3 = 5 nên nghĩ đến tách số 5 hoặc cần xuất hiện góc ở vế phải nên tách 5 = 4 + 1

Cách 1 sinx + sin5x = - sinx 2sin3xcos2x = - sin5x

2sinx(3 – 4sin2 x )cos2x = -sin(4x +x )

2sin (1+2cos2 )cos2 = - sin4 cos - cos4 sinx x x x x x x



Nhận thấy x= 3x -2x, 5x = 3x +2x và dùng công thức cộng ta được

sin = -2sin5 sin(3 -2 ) = -2sin(3 +2 )

sin3 cos2 - cos3 sin2 = -2sin3 cos2 + 2cos3 sin2

3cos2 sin 3 - cos3 sin 2 (*)

phương trình đối với tanx như sau:

3cos 2 sin 3 - cos3 sin 2

tan 00

* Nhận xét: Qua ví dụ 1, ví dụ 2, khi giải theo hướng quen thuộc, học sinh

gặp phải khó khăn không thể giải được tiếp, học sinh phải điều chỉnh hướng suy nghĩ để tìm được hướng giải tức là đã có sự chuyển hoá trong tư duy Học sinh được rèn luyện năng lực gạt bỏ sự khô cứng, không rập khuôn khi áp dụng kiến thức vào hoàn cảnh mới

Ví dụ 3 Giải phương trình: cos5 cos3

3(cos5 - cos3 ) 2cos3 -3sin 4 sin cos3

-12sin cos cos 2 4cos 3cos

vô nghiệm Phương trình

ban đầu có các nghiệm là

3cos3 cos 2 - 3sin 3 sin 2 5cos3

3cos 2 (4cos 3cos ) - 6sin 3 sin cos 5(4cos 3cos )

* Nhận xét: Qua ví dụ 3 học sinh được rèn luyện khả năng tìm nhiều giải

pháp, xem xét những mối quan hệ dưới nhiều khía cạnh khác nhau, và rèn luyện khả năng tương tự hoá

c Mền dẻo và nhuần nhuyễn trong xác định mối quan hệ giữa các góc

kiện t  2. Phương trình đưa được về phương trình bậc 3 đối với ẩn t và

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

- Dễ dàng nhận thấy công thức cộng, tuy nhiên, áp dụng công thức cộng dẫn

đến phương trình 2cos 2 - 2 3 sin 2 5 1cos - 3sin

2

8cos x cosx 6 - 4 3 sin cosx x 3 sinx 0

nhóm được nhân tửkhó giải

- Nếu dùng công thức cộng không thể giải được, cũng có thể nghĩ đến tách số

2 và dùng công thức biến đổi tổng thành tích nhưng cũng khó

- Tìm mối liên hệ giữa hai góc ta có 9 ,