Dạy học chủ đề Phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình

31 C ƢƠNG III : MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH VỚI NĂNG LỰC TOÁN HỌC Ở MỨC TRUNG BÌNH QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ P ƢƠNG TRÌN LƢỢNG GIÁC .... Tuy nhiên, thực tế cho thấy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong

Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp

đỡ tôi trong suốt khóa học và quá trình nghiên cứu đề tài

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Hữu Châu - người đã

trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề

tài

Tôi xin chân thành cảm ơn :

- BGH trường THPT Thanh Oai A - thành phố Hà Nội đã tạo điều iện thuận i đ

tôi hoàn thành h học và gi p đỡ tôi trong quá tr nh thực hiện thực nghiệm sư

phạm g p phần hoàn thành uận văn

- ác thầy c trong t Toán - Tin trường TH T TH T Thanh Oai A đã cho tôi

nhiều iến qu áu và u n ng hộ, gi p đỡ trong c ng tác đ tôi hoàn thành h

học và uận văn đ ng thời hạn

- ác ạn trong ớp o học uận và phương pháp ạy học m n Toán h 9 đã

gi p đỡ tôi trong quá tr nh học tập c ng như àm uận văn

uối c ng, tôi in ày tỏ ng iết ơn chân thành đến những người thân trong

gi đ nh đã u n động vi n, gi p đỡ tôi về mọi mặt

ặc đã r t cố gắng song uận văn h ng tránh hỏi những thiếu s t, hạn

chế Tôi r t mong nhận đư c những đ ng g p qu áu c các thầy c giáo, các

nhà ho học và ạn đ ng nghiệp

Nộ n 17 t n 11 n m 2015

T c giả

Nguyễn Thị Uyên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đíc n ên cứu 1

3 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Vấn đề nghiên cứu 2

5 Giả thuyết nghiên cứu 2

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

7 P ƣơn p p n ên cứu 2

7.1 hương pháp nghi n cứu tài liệu 2

7.2 hương pháp điều tra xã hội học 3

7.3 hương pháp thực nghiệm sư phạm 3

7.4 hương pháp thống kê toán học 3

8 Đón óp của luận v n 3

9 Cấu trúc của luận v n 3

C ƢƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 N n lực toán học 4

1.1.1 Khái niệm năng ực 4

1.1.2 Khái niệm năng ực toán học 4

1.1.3 C u trúc c năng ực toán học 4

1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát tri n năng ực toán học…… ……… 11

1.1.5 Các mức độ c năng ực toán học 12

1.2 Học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình 12

1.2.1 Sự khác biệt về năng ực toán học c a các loại học sinh 12

1.2.2 Đặc đi m c a học sinh c năng ực toán học ở mức trung bình 13

1.3 Chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác 20

1.3.1 Lịch sử phát tri n 20

1.3.2 Ch đề phương tr nh ư ng giác trong sách giáo khoa ph thông 21

1.3.2.1 Nội dung phần phương tr nh ư ng giác 21

1.4 Kết luận c ƣơn I 23

C ƢƠNG II: NG IÊN CỨU THỰC TIỄN DẠY HỌC 24

2.1 Địa đ ểm khảo sát 24

2.2 Mục đíc n ên cứu 24

2.3 Khách thể v đố tƣợng nghiên cứu 24

2.4 P ƣơn p p n ên cứu 24

2.5 Kết quả thực hiện 24

2.6 Các thảo luận 30

2.7 Kết luận c ƣơn II 31

C ƢƠNG III : MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH VỚI NĂNG LỰC TOÁN HỌC Ở MỨC TRUNG BÌNH QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ P ƢƠNG TRÌN LƢỢNG GIÁC 33

3.1 P ƣơn ƣớng chung 33

3.1.1 Xây dựng thái độ và sự nhận thức tích cực c a học sinh về việc học tập môn Toán 33

3.1.2 Thu thập và t ng h p kiến thức c a học sinh 33

3.1.3 Phân loại học sinh c năng ực toán học trung bình và tạo tiền đề xu t phát ……… 33

3.2 Một số biện pháp cụ thể 34

3.2.1 Tạo hứng thú, xây dựng niềm tin toán học c các đối tư ng học sinh qua dạy học phần phương tr nh ư ng giác 34

3.2.2 Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức, c hướng phát tri n cho nhóm học sinh với năng ực toán học ở mức trung bình 40

3.2.3 Rèn luyện phương pháp tự học cho học sinh c năng ực toán học ở mức trung bình 50

3.2.4 Đánh giá và theo õi quá tr nh phát tri n c a học sinh với năng ực toán học ở mức trung bình 54

3.3 Một số giáo án dạy học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác cho học sinh có n n lực toán học ở mức trung bình 64

3.4 Kết luận c ƣơn III 86

C ƢƠNG IV: T ỰC NGHIỆM SƢ P ẠM 87

4.1 Mục đíc 87

4.2 Nội dung thực nghiệm 87

4.2.1 Thời gian thực nghiệm 87

4.2.2 Nội dung thực nghiệm 87

4.3 Tổ chức thực nghiệm 87

4 3 1 Đối tư ng thực nghiệm 87

4.3.2 Kế hoạch thực nghiệm 87

4 3 3 ơ sở đ đánh giá thực nghiệm 88

4.3.4 Kết quả thực nghiệm 96

4.4 Kết luận c ƣơn IV 112

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 113

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌN ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 114

TÀI LIỆU THAM KHẢO 115

PHỤ LỤC 117

Trước những yêu cầu về đổi mớ p ươn p p dạy học n ười giáo viên luôn phải sáng tạo trong cách triển khai và xây dựng các hoạt động học tập của học sinh, vận dụng một cách linh hoạt c c p ươn p p dạy học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từn đố tượng học sinh

Toán học cũn n ư c c môn ọc khác góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất lượng toàn diện của trường phổ thông Tuy nhiên, thực tế cho thấy chất lượng dạy và học To n c ưa cao có sự khác biệt về n n lực toán học giữa các học sinh trong cùng một lớp học, giữa các lớp trong cùng một trường học và giữa c c trường học với nhau Việc dạy học cho học sinh vớ n n lực toán học trung bình vẫn c ưa được chú trọn c ưa k ơ dậ được sự ham thích học toán và sự tự tin trong giải toán cho các em

Mặt khác, chủ đề p ươn trìn lượng giác là phần kiến thức rất hay và không

dễ đối với học sinh trung học phổ t ôn ơn nữa thờ lượng dạy học dành cho phần này không nhiều, nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụng vào làm bài tập là

k ó k n k ến học sinh gặp không ít lúng túng và sai sót

Với những lí do trên, tôi chọn đề t l “Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu nhữn đặc đ ểm của học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bìn v k ó k n ặp phải khi học phần p ươn trìn lượng giác; từ đó đề xuất các biện pháp tổ chức dạy học cho học sinh, góp phần thực hiện mục tiêu nâng cao chất

3 Phạm vi nghiên cứu

- Quá trình dạy học chủ đề p ươn trìn lượng giác

- Học s n có n n lực toán học trung bình của khố 11 trường THPT Thanh Oai

A – Hà Nội

4 Vấn đề nghiên cứu

Tổ chức dạy học n ư t ế n o để phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh có

n n lực toán học ở mức trung bình?

5 Giả thuyết nghiên cứu

G o v ên x c địn đún n ữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phả đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học thích hợp sẽ kích thích hoạt động học tập, phát triển được n n lực toán học và lòng ham thích học toán của học s n úp c c em vươn lên đạt kết quả cao ơn tron ọc tập

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ các khái niệm: n n lực toán học, các mức độ của n n lực toán học, học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình

- Tìm hiểu đặc đ ểm và nhữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phải khi học phần p ươn trìn lượng giác

- Đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học phần p ươn trìn lượng giác phù hợp với học s n có n n lực toán học ở mức trung bình

- Tiến hành thực nghiệm sư p ạm nhằm đ n tín k ả thi, tính hiện thực và tính hiệu quả của đề tài

7 Phương ph p nghiên cứu

- Nghiên cứu s c o k oa đại số và giả tíc 11 s c o k oa đại số 10 hiện hành và các sách tham khảo có l ên quan đến chủ đề p ươn trìn lượng giác

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học dạy học, lí luận v p ươn pháp dạy học bộ môn toán

- Nghiên cứu tìm hiểu các tài liệu sách báo, tạp chí, công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài

7.2 Phương pháp điều tra xã hội học

- Quan sát tiến trình dạy học t độ học tập của học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm

- Phỏng vấn và phát phiếu hỏ đối với giáo viên tổ toán và những học sinh có

n n lực toán học ở mức trung bình về thực trạng dạy học và nhữn k ó k n gặp phải khi dạy và học chủ đề p ươn trìn lượng giác

- Dự giờ trao đổi kinh nghiệm vớ c c o v ên môn to n trường trung học phổ thông

Sử dụn p ươn p p t ống kê trong xử lí kết quả thực nghiệm sư p ạm đối với học s n có n n lực toán học ở mức trung bình trong dạy học chủ đề p ươn trìn lượng giác

8 Đóng góp của luận văn

- Làm sáng tỏ các khái niệm: n n lực toán học, các mức độ của n n lực toán học; các dấu hiệu của học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình

- Phân tích được đặc đ ểm và nhữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phải khi học phần p ươn trìn lượng giác

- Đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học phần p ươn trìn lượng giác thích hợp nhằm nâng cao hứng thú học tập cho học sin có n n lực toán học ở mức trung bình

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận v n được trìn b tron 4 c ươn :

Chương I : Cơ sở lí luận

Chương II : Nghiên cứu thực tiễn dạy học

Chương III : Một số biện pháp nâng cao hiệu quả học tập của học sinh với

n n lực toán học ở mức trung bình qua dạy học chủ đề p ươn trìn lượng giác

Chương IV : Thực nghiệm sư p ạm

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.1 Khái niệm năng lực

Theo [18, tr 41]: “Năng ực à đặc đi m c a cá nhân th hiện mức độ thông thạo, tức là có th thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đ ”

- N ng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ v do đó

nó gắn liền với tính sáng tạo tuy có khác nhau về mức độ

- N n lực có thể rèn luyện và phát triển được

- Vớ c c c n ân k c n au có n n lực khác nhau

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

Năng ực toán học là tổ hợp các kỹ n n của c n ân đảm bảo thực hiện các

hoạt động toán học Các kỹ n n của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có) Các hoạt động toán học đó l c c

t ao t c đặc trưn (p ân tíc su luận, lập luận, chứn m n …) vớ c c đố tượng, nội dung toán học

Năng ực toán học ph thông là khả n n n ận biết ý n ĩa va trò của kiến

thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư du to n ọc để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đ p ứng nhu cầu đời sống hiện tạ v tươn la một cách linh hoạt; là khả n n p ân tíc su luận, lập luận k qu t óa trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau

1.1.3 Cấu trúc của năng lực toán học

N n lực toán học của mỗ c n ân được tổ hợp bởi 8 thành phần :

 Năng ực tư uy và suy uận: L ên quan đến n n lực đặt ra những câu hỏ đặc

trưn của toán học (“Có k ôn ?” “Bao n êu?” “L m t ế n o…?”) v trả lời cho các loại câu hỏ đó sự hiểu biết và xử lý vấn đề trong phạm vi và giới hạn của toán học

Ví dụ: Sau khi học xon Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

f x ax bxc a  b  ac Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x( ) ¡ ;

Nếu  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a , trừ khi ( )

2

b x

a

Nếu  0 thì f x cùng dấu với hệ số a khi ( ) xx1 hoặc xx2; trái dấu với hệ số a khi x1 x x2 tron đó x x1, 2 x1x2 là hai nghiệm của f x ( )

Câu hỏ 1: Quan s t Định lí, hãy cho biết tron trường hợp nào thì f x luôn ( )giữ nguyên một dấu?

(Học sinh quan sát và thấ có đún một trường hợp thoả mãn là  0)

Câu hỏi 2: Muốn ( )f x luôn nhận dấu dươn với mọi x¡ , cần có đ ều kiện gì?

Tư du v su luận Lập luận

B ểu đạt

Mô hình hoá Đặt v ả qu ết vấn đề

B ểu d ễn

Sử dụn c c kí ệu n ôn n ữ p ép to n

Sử dụn c c p ươn t ện ỗ trợ

(Học s n tư du v su luận: f x luôn nhận dấu dươn tức ( )( ) f x luôn giữ

nguyên mọt dấu hay  0 Với  0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a , với ( )

mọi x¡ , từ đó muốn ( ) 0f x  thì a0 Vậ đ ều kiện cần tìm là 0

 Năng ực lập luận: L ên quan đến n n lực hiểu biết về các cách chứng minh và

lập luận toán học, khả n n đ n một chuỗi các lập luận toán học khác nhau (có hay không thể xảy ra, lý do tạ sao…)

Chẳng hạn , tìm lỗi sai trong lời giải sau:

Thực chất để giải bất p ươn trìn trên cần tìm đ ều kiện x c định là x1

x1x2 x1x3 x1x5 tươn đươn với bất p ươn trình nào thì phả xét ba trường hợp: x1, x 5 và x1

 Năng ực bi u đạt: Khả n n ểu và diễn đạt vấn đề với nội dung toán học bằng

o Với giá trị nào của m thì parabol 2

( ) :P yx 2x m 1 không cắt trục hoành?

o Với giá trị nào của m thì parabol 2

( ) :P yx 2x1 nằm phía trên đường thẳng ( ) :d y m?

Tron ba p ươn t ức diễn đạt trên, một p ươn t ức chuyển vấn đề vô nghiệm

của p ươn trìn về bài toán tìm m để tam thức bậc a k ôn đổi dấu; cách thứ a đưa vấn đề vô nghiệm của p ươn trìn về bài toán tìm m để đồ thị

hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành; cách thứ ba đưa về bài toán xét vị trí

tươn đối giữa parabol 2

( ) :P yx 2x1 v đường thẳng ( ) :d y m N ư vậy không những nối thông những kiến thức đã học trước đó m còn k ắc sâu,

hệ thống hoá những kiến thức đã ọc

 Năng ực mô hình hóa: L ên quan đến khả n n to n ọc hóa những vấn đề

thực tế (xây dựng, giải thích, làm việc, phản ánh, phân tích mô hình toán học và kết quả của nó …)

Mô hình toán học là sự mô tả gần đún dưới dạng toán học, một lớp n o đó c c hiện tượng trong thế giớ k c quan P ươn p p mô ìn o to n ọc (nghiên cứu các hiện tượng nhờ mô hình toán học) đưa v ệc khảo sát các hiện tượng, các tình huống trong thực tế về các bài toán phải giải (toán học hoá các tình huống) Mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tế được thể hiện dưới dạng hàm số cho bằng công thức (mô ìn đại số hay mô hình giải tích) và

đồ thị (mô ìn đồ thị hay mô hình hình học)

Ví dụ: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗ n n ười ta lấ đ 30 tấn hàng Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày?

Mô hình toán học của tình huống này là hàm số bậc nhất y500 30 x, với x

là số ngày, y là số tấn hàng còn lại trong kho Nhờ mô hình này, có thể trả lời

dễ dàng: x2 thì y440; x4 thì y380; x10 thì y200

 Năng ực đặt và giải quyết v n đề: L ên quan đến khả n n x c định các vấn đề

và giải quyết chúng theo nhiều cách khác nhau

Với học sinh lớp 10, khi học phần Hình học véctơ ọc s n đã được học bài

toán về tính chất trọng tâm của tam giác ABC, nếu nhìn theo nhữn óc độ khác

nhau sẽ dẫn đến các kết quả đẹp khác, mà ở đó tạo đ ều kiện cho sự phát triển trí tuệ, phát triển n n lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học s n Đồng thời tạo nên những cộn ưởng tích cực cho học sinh, tạo thói quen cho các em trong học tập cũn n ư tron cuộc sống Thói quen tìm tòi, sáng tạo, thích nghi trong hoàn cảnh mới, không thoả mãn khi nhiệm vụ trước mắt được hoàn thành

mà vẫn t ường trực những câu hỏ để mở rộng vấn đề b to n Định lí về trọng tâm tam c: “G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GCuuuruuuruuur 0r”

là một ví dụ

D

CB

” Để đưa ra định lí về trọng tâm của ABCV ở trên thì ta có thể đ

từ c đã b ết bằn c c xem đoạn thẳng là một tam c đặc biệt có ba đỉnh

thẳng hàng chẳng hạn với C l trun đ ểm của AB k đó đ ểm M sẽ là trọng

tâm của tam c đặc biệt đó N ư vậy khi MA MBuuuruuur 0r tức l định lí trên đún tron trường hợp đặc biệt này Bây giờ ta chứng minh cho tam giác bất kì

Đ ều cần chứng minh: G là trọng tâm ABCV tươn đươn vớ đẳng thức:

0

GA GB GCuuuruuuruuur r

- Nếu xem vectơ 0r dưới khía cạnh là tổng của a véctơ đố n au ta có ướng

chứn m n n ư sau:

o Ta biến đổi biểu thức: GA GB GCuuuruuuruuur

thành tổng của a vectơ đối nhau bằng

cách dựa vào tính chất của trọng tâm

o Dựng hình bình hành GBDC ta có M là

trun đ ểm của GD, suy ra G là trung

đ ểm của AD và có GAuuur  GDuuur

o Vậy G là trọng tâm ABCV khi và chỉ khi

GAuuur  GDuuur, mà theo quy tắc hình bình hành ta có: GDuuur GB GCuuuruuur

o Do đó GAuuur GB GCuuuruuur hay GA GB GCuuuruuuruuur 0r

- Nếu ta xem xét vectơ 0r dưới khía cạn l tíc vô ướng của vectơ 0r với mọi

vectơ đều bằng 0 , thì ta có cách chứn m n n ư sau:

o Để chứng minh GA GB GCuuuruuuruuur 0r ta chứng minh rằn tíc vô ướng

của GA GB GCuuuruuuruuur vớ a vectơ k ôn cùn p ươn l GA GBuuur uuur, đều

bằng 0, tức ta chứn m n a đẳng thức sau đâ :

GA GB GC GAuuuruuuruuuruuur0 vµ GA GB GC GBuuuruuuruuuruuur0

o Hoặc để chứng minh GA GB GCuuuruuuruuur 0r ta chứng minh rằng

0

GA GB GCuuuruuuruuur 

- Sau khi chứn m n địn lí t ì tù v o đố tượng học sinh, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt độn cũn cố định lí

Hướng phát tri n: Nếu xem trọng tâm G là một đ ểm đặc biệt nằm trong tam

GA GBuuuruuurGCuuur  r SV GAuuur SV GBuuur SV GCuuur r (*)

Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (*) bằng SVABC Từ đó ta xem xét một kết quả tổn qu t ơn n ư sau: "O l đ ểm bất kì nằm trong tam

c ABC Đặt S1 SVGBC,S2 SVGCA,S3 SVGAB ; ta có:

S OA S OBuuur uuur S OCuuur r N ư vậy từ trường hợp r ên ta đã mở rộn định

lí ra c o trường hợp O l đ ểm bất kì nằm tron tam c v ta đã có tín c ất

tổn qu t ơn

 Năng ực bi u diễn: L ên quan đến khả n n mã óa v ải mã, dịch và phiên

dịch, biểu diễn mố tươn quan ữa c c đố tượng trong các tình huống khác nhau của toán học, lựa chọn và chuyển đổi hình thức biểu diễn dựa theo tình hình và mục đíc

Để minh hoạ cho thành tố n n lực này, có thể xem xét ví dụ sau đâ :

“Tìm a số a b, sao cho biểu thức .2

1

a x b y

Một p ươn p p rất mạn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

là sử dụng công cụ đạo hàm Tuy nhiên việc áp dụn p ươn p p đó v o b toán này là không dễ, bởi vì còn phải biện luận về p ươn trìn y'0 (đâ lại

là một p ươn trìn có c ứa tham số) N ưn nếu biết biểu diễn b to n đã c o

a x b

x x

rất nhiều Bởi vì, lúc này chỉ cần tìm a b, sao cho các biệt số của các tam thức 2

3x ax 3 b và 2x2 ax b 2 đều bằng 0

Ví dụ 2: “Tìm đ ểm cố định của họ đường cong ymx22mx1” T ực chất của b to n n l tìm đ ểm A x y 0; 0 sao cho y0 mx022mx01 với mọi m

 Năng ực sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ, phép toán:

Dạy học toán, xét về mặt n o đó l dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện c c p ươn pháp trong

c c lĩn vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo nhữn k u n ướng sau:

o Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên;

o Mở rộng các khả n n b ểu diễn của nó;

o Loại bỏ sự đa n ĩa của ngôn ngữ tự nhiên

Hệ thống các kí hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn ngữ kí hiệu Trong dạy học môn to n t ường sử dụn đan xen ba dạng ngôn ngữ: Các

kí hiệu toán học, các thuật ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên Chẳng hạn, trong địn n ĩa: “P ươn trìn bậc a đối với một hàm số lượn c l p ươn trình có dạng at2   bt c 0 tron đó , ,a b c là các hằng số a0 và t là một trong các hàm số lượn c.” (SGK Đại số và Giả tíc 11 ban cơ bản, tr.31), có sự xuất hiện của thuật ngữ, kí hiệu và ngôn ngữ tự nhiên

N n lực tư du to n ọc v n n lực sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ, phép toán

có liên quan chặt chẽ với nhau, nắm vữn được ngôn ngữ và các kí hiệu toán học cũn có n ĩa nắm vữn được c c đặc trưn của tư du to n ọc

Ví dụ mện đề “có một số nguyên nhỏ ơn 0” có t ể được viết bằng kí hiệu n ư sau: “ n ¥ :n0”

Hoặc phát biểu thành lời mện đề : “ x ¡ :x 1 x” sẽ l “mọi số thực nhân

vớ 1 đều bằn c ín nó”

Hoặc lập mện đề phủ định của mện đề sau v xét tín đún sa của nó:

a) P: “ x ¡ :x x 1”

b) Q: “ x ¤ :x2 2”

 Năng ực sử dụng phương tiện hỗ tr : Đ ều n l ên quan đến việc biết và có

khả n n sử dụng nhiều loạ p ươn t ện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó

N n lực toán học phổ t ôn k ôn đồng nhất với khả n n t ếp nhận nội dung của c ươn trìn to n tron n trường phổ thông truyền thốn m đ ều cần nhấn mạn đó l k ến thức toán học được học, vận dụng và phát triển n ư t ế nào

để t n cường khả n n p ân tíc su luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được những tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện

1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán học

- Yếu tố tự nhiên – sinh học: N n lực toán của học s n được di truyền từ cha mẹ

mà chúng ta hay gọi là năng hiếu toán Di truyền tạo ra nhữn đ ều kiện ban

đầu để học sinh có triển vọng phát triển n n lực toán tốt Tu n ên đ ều đó c ỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự hình thành và phát triển n n lực toán sau này

- Yếu tố m i trường xã hội và giáo dục: Mô trường góp phần tạo nên độn cơ

mục đíc p ươn t ện n động của c n ân tron đó o dục đón va trò chủ đạo

- Yếu tố nội dung c a toán học: Chính trong bản thân môn toán học với nội dung

có đặc tính trừu tượn lo c đã óp p ần hình thành và phát triển c c n n lực toán học cho học sinh Việc học tập toán một cách có hệ thốn p ươn p p phù hợp l đ ều kiện quan trọn để học sinh phát triển n n lực toán một cách bền vững

- Yếu tố hoạt động c a học sinh: Hoạt động của học s n đón va trò qu ết định

trực tiếp đến sự hình thành và phát triển n n lực toán Muốn hình thành và phát triển n n lực toán, học sinh cần phả được trực tiếp thao tác, hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê, cộng với ý chí, nghị lực

và sự k ên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần chiếm lĩn c c tr t ức toán học

1.1.5 Các mức độ của năng lực toán học

Đ n n n lực Toán học có thể chia ra làm 3 cấp độ tươn ứng 6 mức độ :

1.2.1 Sự khác biệt về năng lực toán học của các loại học sinh

Dựa trên các thông tin thu thập được về từng học sinh, giáo viên có thể phân loại học s n t n c c n óm đố tượng:

- Học s n có n n lực toán học khá giỏi: có khả n n n ận thức nhanh, có kiến thức, kỹ n n tư du vượt trộ ơn ẳn so với những học sinh khác; có khả n n

tự học cao Học s n có n n lực toán học k tươn ứng vớ n n lực ở mức độ

3 và mức độ 4 Học s n có n n lực toán học giỏ tươn ứng vớ n n lực ở mức độ 5 và mức độ 6

- Học s n có n n lực toán học trung bình: Có khả n n n ận thức được những kiến thức, kỹ n n cơ bản của môn to n; n ưn c ưa p t u được khả n n sáng tạo n n lực của bản thân với những yêu cầu cao về kiến thức, kỹ n n ; có khả n n tự học Học s n có n n lực toán học trun bìn tươn ứng vớ n n lực ở mức độ 1 và mức độ 2

- Học s n có n n lực toán học yếu kém: Là những học s n c ưa đủ khả n n hoàn thành những yêu cầu có tính mắt xích của c c a đoạn trung gian trong quá trình học tập môn toán Biểu hiện là sức học yếu kém và kết quả học tập

t ườn xu ên k ôn đạt chuẩn tối thiểu Về bản chất, học sinh yếu kém c ưa đủ khả n n o n t n độc lập toàn bộ c c n động học tập trong quy trìn lĩn

Cụm T i

tạo

• Mức 1: Nắm được các khái n ệm cơ bản và các tính toán quen t uộc

• Mức 2: ểu được các quy trình quen t uộc và p ươn pháp quen

hội khái niệm khoa học v do đó c ƣa nắm đƣợc bản chất khái niệm khoa học của môn toán Học s n có n n lực toán học yếu kém có khả n n n ận thức tƣ duy chậm; có nhiều “lỗ hổn ” về kiến thức và kỹ n n cơ bản của môn học; khó

k n để hoàn thành nhiệm vụ môn học; n n lực tự học còn nhiều hạn chế

- Có c ép b n ƣn cẩu thả c ƣa k oa ọc c ƣa có c ọn lọc

- Khả n n ôn lu ện, tự học thấp do c ƣa có p ƣơn p p ọc và tự học tốt

1.2.2.3 Về tâm trạng

- Trong lớp học trầm, nếu có phát biểu thì hấp tấp c ƣa c ín x c oặc c ƣa đủ

ý, giáo viên cần chính xác hoá

- T ƣờng không tự tin khi học và khi làm bài

- Có ý thức trong học tập tu n ên độn cơ ọc tập c ƣa rõ r n dễ bị t a đổi

1.2.2.4 Về kết quả học tập

- Tiếp thu bài không nhanh, chỉ giả đƣợc các bài toán quen thuộc

- Đ ểm số các bài kiểm tra ( miệng, 15 phút, 1 tiết, học kì, kiểm tra chất lƣợng, ) không cao

Đặc điểm tư duy phê phán của các nhóm đối tượng học sinh trung học phổ thông trong học toán

Mỗ c n ân bìn t ườn đều có tiềm n n tư du p ê p n n ất định Sự khác nhau giữa các cá nhân chỉ là sự khác biệt về mức độ của các tiềm n n đó “Tư du p ê p n l k ểu tư du tron đó c ủ thể tư duy dựa trên bằng chứng, kinh nghiệm, niềm tin suy xét, cân nhắc đ n v l ên ệ mọi khía cạnh của các nguồn thông tin nhằm giải quyết vấn đề t ên đo n n ững khả n n p t tr ển và mở rộng vấn đề”, theo [17, tr 9]

Một số biểu hiện đặc trưn của n n lực tư du p ê p n tron toán học của học sinh trung học phổ thông, theo [17, tr 9]:

2 Có khả đặt ra những câu hỏi nhằm tìm kiếm thông tin, tìm kiếm

p ươn ướng giải quyết vấn đề;

3 Biết liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm; tiếp cận, suy xét vấn đề

từ nhiều p ươn d ện khác nhau; tìm mối quan hệ logic giữa các

dữ liệu; sử dụng các suy luận lo c c c kĩ n n tư du để đưa ra

c c p ươn n ải quyết vấn đề; lỗ lực để dự kiến các tình huống có thể xả ra đối vớ c c p ươn n n độn trước khi chọn p ươn n n o; có k ả n n đ n tín hợp lí, tính tố ưu của c c c c đặt vấn đề và giải quyết vấn đề;

4 Luôn sẵn sàng xem xét, tham khảo các ý kiến khác nhau; có thái

độ hoài nghi tích cực và sẵn sàng tham gia tranh luận để tìm ra ý tưởng và cách giải quyết hợp lí nhất;

5 Có khả n n lập luận đưa ra c c p n đo n v c c qu ết định; có

khả n n rút ra dự đo n a kết luận từ một hoặc nhiều chi tiết;

có khả n n tìm k ếm các cách tiếp cận k c t ường cho các vấn

đề phức tạp;

6 Có khả n n tự xem xét đ n để nhận ra những thiếu sót, những sai lầm tron c c đặt vấn đề và giải quyết vấn đề Đồng thời có khả n n sửa chữa những sai lầm, bổ sung những thiếu sót;

Khả năng

phản ánh

7 Có khả n n đặt và giải quyết các vấn đề phức tạp; có khả n n trừu tượng hoá, khái quát hoá

Những biểu hiện trên k ôn đứng riêng tách rờ m đan xen v lồng vào nhau trong mối quan hệ mật thiết Cả ba n óm đố tượng học sinh: Học s n có n n lực toán học ở mức yếu, ở mức trung bình và ở mức khá giỏ đều có những biểu hiện của tư du p ê p n Tuy nhiên, biểu hiện của tư du p ê p n ở c c n óm đối tượng học sinh có nhiều đ ểm khác biệt Thể hiện n ư sau, theo [17, tr 10, 11, 21]:

Học sinh có năng

lực toán học ở mức

yếu

Học sinh có năng lực toán học ở mức trung bình

Học sinh có năng lực toán học ở mức khá, giỏi

loại những thông tin

nào thuộc về giả

thiết, những thông

Đối với các vấn đề cơ bản, tiêu chuẩn, học

s n đã có k ả n n sắp xếp, phân loại bước đầu các thông tin thu thập được từ vấn đề cần giải quyết

Trong các vấn đề không tiêu chuẩn, học

s n đã b ết gạt bỏ những dấu hiệu bên

n o để tìm hiểu bản chất của vấn đề Tuy

Có khả n n so s n sắp xếp, phân loại các thông tin thu thập được từ các vấn đề cần giải quyết; nhìn

ra những sự giống nhau và tươn đồng không hiện rõ

ở bề mặt đồng thời tìm thấy nét khác biệt trong sự tươn đồng Từ đó n ìn thấy bản chất của vấn đề, không bị lầm lẫn bởi các dấu hiệu bề ngoài Học

s n đã b ết tổ chức lại các

tin nào thuộc về kết

luận Tuy nhiên, khi

thông tin, các dữ liệu một cách gắn kết hợp lí nhằm giải quyết vấn đề n ƣn

c ƣa c ú ý tới việc mô tả vấn đề theo những cách thức mới lạ c ƣa quan tâm đến mối liên hệ của vấn đề với thực tiễn và với các vấn đề khác;

Ví dụ 1: Giáo viên đƣa ra câu ỏi: Hãy viết giả thiết và kết luận của bài

to n sau: “C o tứ diện vuôn ABCD đỉnh A Chứng minh rằng hình chiếu của A trên mặt phẳng mp(BCD) là trực tâm của tam c BCD” Sau đây

là câu trả lời của học sinh:

a/ Ở n óm đố tƣợng học sinh yếu: 15/72 HS chiếm 20,8% số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ n ƣ sau: “G ả thiết: Cho tứ diện vuông ABCD đỉnh A Kết luận: Hình chiếu của A trên mặt phẳng mp(BCD) là trực tâm của tam c BCD”; 57/72 học sinh chiếm 79,2% số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ n ƣ sau: “G ả thiết: Cho tứ diện vuông ABCD đỉnh A H là hình chiếu của A trên mặt phẳng mp(BCD) Kết luận:

H là trực tâm của tam c BCD”

b/ Ở n óm đố tƣợng học sinh trung bình: 18/180 học sinh chiếm 10% số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ n ƣ sau: “G ả thiết: Cho tứ diện vuôn ABCD đỉnh A H là hình chiếu của A trên mặt phẳng mp(BCD) Kết luận: H là trực tâm của tam giác BCD”; 162/180 học sinh chiếm 90%

số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ n ƣ sau: “G ả thiết: Cho tứ diện vuôn ABCD đỉnh A, SH (BCD) Kết luận: H là trực tâm của tam giác BCD”

c/ Ở n óm đố tƣợng học sinh khá giỏi: 108/108 học sinh chiếm 100% học sinh trong nhóm này có câu trả lờ n ƣ sau: “G ả thiết: AB AC AD đô

c ưa b ết xây dựng hệ thống câu hỏi có tính chiến lược nhằm tìm kiếm thông tin, tìm kiếm p ươn ướng giải quyết vấn đề;

Học sinh biết xây dựng và lựa chọn hệ thống câu hỏi hợp lí, có tính chiến lược nhằm tìm kiếm thông tin, tìm kiếm p ươn ướng giải quyết vấn đề;

Biết liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm; cân nhắc, suy xét vấn đề một cách toàn diện quan tâm đến cả nhữn trường hợp suy biến đặc biệt;

Ví dụ 2: Giáo viên đưa ra câu ỏ : C o 2 đường thẳng a, b cùng vuông góc

vớ đường thẳng c Hãy xét vị trí tươn đối giữa 2 đường thẳng a, b và vẽ hình minh hoạ Sau đâ l c c câu trả lời của học sinh:

a/ Ở n óm đố tượng học sinh yếu: 72/72 học sinh chiếm 100% số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ : a đường thẳng a, b là song song hoặc cắt nhau với hình vẽ minh hoạ n ư sau:

b/ Ở n óm đố tượng học sinh trung bình: 180/180 học sinh chiếm 100%

số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ : a đường thẳng a, b có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau với hình vẽ minh hoạ n ư sau:

c/ Ở n óm đố tượng học sinh khá giỏi: 26/108 học sinh chiếm 16,7% số

HS trong nhóm này có câu trả lờ : a đường thẳng a, b có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau; 82/108 học sinh chiếm 83,3% số học sinh trong nhóm này có câu trả lờ : a đường thẳng a, b có thể chéo nhau, cắt nhau, song song, hoặc trùng nhau với hình vẽ minh hoạ n ư sau:

n ưn c ỉ dừng ở mức độ đưa ra n ận địn c n ân m c ưa

có sự giả t íc c ưa biết bảo vệ quan đ ểm của mình;

Luôn sẵn sàng xem xét, tham khảo các ý kiến các khác nhau, sẵn sàng tham gia tranh luận để tìm ra ý tưởng và cách giải quyết vấn đề Tu n ên t độ hoài nghi tích cực c ưa xuất hiện t ường trực trong học sinh, học sinh

t ường chỉ dừng ở việc tìm ra cách giải quyết vấn

c

a b

b

a c

a

b

c c

a b

b

a c

b

a c

a

b

c c

a b

b a c

đề c ưa quan tâm tới việc tìm ra thêm nhiều cách giải quyết, tìm ra cách giải quyết tố ưu v ợp lí nhất; Biết đưa ra n ững dự

Học sinh thực hiện hoạt độn n dưới

sự gợi ý của giáo viên;

Có khả n n tự xem xét,

đ n để nhận ra những thiếu sót, những sai lầm tron c c đặt vấn đề và giải quyết vấn đề Tuy nhiên, học s n c ưa l m tốt việc sửa chữa những sai lầm, bổ sung những thiếu sót đặc biệt trong khâu lập luận;

Học s n đã b ết trừu tượng hoá, khái quát hoá vấn đề tu n ên t ường mới ở mức khái quát hoá ngoại diên, khả n n k quát hoá nội hàm còn hạn chế

Ví dụ 3: Sau khi giả b to n “C o tứ diện vuôn ABCD đỉnh A Chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD là hình chiếu của A trên mp(BCD)” Giáo viên đưa ra câu ỏi:

- Hãy khái quát hoá kết quả trên tron trường hợp tứ diện ABCD có các

cặp cạn đối vuông góc;

- Hãy khái quát hoá kết quả trên tron trường hợp tứ diện ABCD có

DA ABC

Sau đâ l c c câu trả lời của học sinh:

a/ Ở n óm đố tượng học sinh yếu và trung bình: không có câu trả lời b/ Ở n óm đố tượng học sinh khá giỏi: 20/108 học sinh chiếm 18,5% số học sinh thuộc nhóm này không có câu trả lời; 79/108 học sinh chiếm 73,1% số học sinh thuộc nhóm này có câu trả lờ n ư sau: “Tron tứ diện ABCD có các cặp cạn đối vuông góc, trực tâm mạt đ đồng thời là hình chiếu của đỉnh lên đ ” k ôn có câu trả lờ tron trường hợp tứ diện ABCD có DA(ABC); chỉ có 9/108 học sinh chiếm 8,4% số học sinh thuộc nhóm này có câu trả lờ n ư sau: “Tron tứ diện ABCD có các cặp cạn đối vuông góc, trực tâm mặt đ đồng thời là hình chiếu của đỉnh lên mặt đ ” “Tron tứ diện ABCD có DA(ABC), gọ K, H là trực tâm các tam giác ABC, DAC thì H là hình chiếu của K trên (DBC)”

1.3.1 Lịch sử phát triển

Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (từ tiếng Hy Lạp trigōnon n ĩa l

"tam giác" + metron "đo lường") Nó là một nhánh toán học dùn để tìm hiểu về

hình tam giác và sự liên hệ giữa cạnh của hình tam c v óc độ của nó Lượng giác chỉ ra hàm số lượng giác Hàm số lượng giác diễn tả các mối liên kết và có thể

áp dụn được để học những hiện tượng có chu kỳ n ư són âm N n to n n được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trước côn n u ên Ban đầu nó là nhánh của toán hình

K A

D

B C

H A

D

B

C

H H

C B D

A

học v được dùng chủ yếu để nghiên cứu t ên v n Lượn c cũn l nền móng cho ngành nghệ thuật ứng dụng trong trắc địa

N uồn ốc của lượn c được tìm t ấ tron c c nền v n m n của

n ườ A Cập, Babylon v nền v n m n lưu vực sôn Ấn cổ đạ từ trên 3000 n m trước C c n to n ọc Ấn Độ cổ đạ l n ữn n ườ t ên p on tron v ệc sử dụn tín to n c c ẩn số đạ số để sử dụn tron c c tín to n t ên v n bằn lượn giác Lagadha l n to n ọc du n ất m n na n ườ ta b ết đã sử dụn ìn

ọc v lượn c tron tín to n t ên v n ọc tron cuốn s c của ôn Vedanga Jyotisha p ần lớn c c côn trìn của ôn đã bị t êu ủ k Ấn Độ bị n ườ nước

n o xâm lược

Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bản tín c c m lượng

c được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus (180-125 TCN), n ườ đã lập bản tín độ dài các cung tròn và chiều dài của dâ cun tươn ứn Sau đó Ptomely tiếp tục phát triển công trình, suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất kỳ độ chính xác cần thiết nào Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền

Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta (thế

kỷ 4-5) địn n ĩa m s n t eo nửa góc và nửa dâ cun Đến thế kỷ 10 n ười Ả Rập đã dùn cả 6 m lượn c cơ bản vớ độ c ín x c đến 8 chữ số thập phân

Một số nhà toán học cho rằn lượng giác nguyên thủ được n ĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học Nó cũn rất quan trọng trong đo đạc

N na c ún được dùn để đo k oảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh Rộn ơn nữa, chúng được áp dụng vào nhiều lĩn vực khác: quang học, phân tích thị trường tài chính,

đ ện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học k í tượng học, hả dươn ọc…

1.3.2 Chủ đề phương trình lượng giác trong sách giáo khoa phổ thông

1.3.2.1 Nội dung phần phương tr nh ư ng giác

Nộ dun lượn c được trình bày trong sách giáo khoa phổ t ôn n ư sau :

Lớp 9 : Hệ thức ư ng trong tam giác vuông (C ươn I – Phần hình học)

- Một số hệ thức về cạn v đường cao trong tam giác vuông

- Tỉ số lượng giác của góc nhọn

- Bản lượng giác

- Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

- Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn Thực hành ngoài trời

Lớp 10 : G c và cung ư ng giác (C ươn VI – Đại số 10)

1.3.2.2 Mục tiêu dạy học ch đề phương tr nh ư ng giác

Mục tiêu dạy học chủ đề p ươn trìn lượng giác theo [5, tr.158-159] n ư sau : Sau khi học, học sinh có thể:

Về kiến thức:

- Hiểu khái niệm hàm số lượng giác của một biến số thực

- Biết được c c p ươn trìn lượn c cơ bản sinxm, cosxm , tanxm, cotxm và công thức nghiệm

- Biết dạng và cách giả c c p ươn trìn bậc nhất, bậc a đối với một hàm số lượng giác và sina x b cosxc

Về kỹ năng:

- X c địn được tập x c định; tập giá trị; tính chất chẵn lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoản đồng biến, nghịch biến của các hàm số ysin , x ycosx , tan

y x, ycotx

- Vẽ được đồ thị của các hàm số ysin , x y cosx, ytanx, ycotx

- Giải thành thạo p ươn trìn lượn c cơ bản Biết sử dụng máy tính bỏ túi

để tìm nghiệm gần đún của p ươn trìn lượn c cơ bản

- Giả được p ươn trìn t uộc các dạn p ươn trình bậc nhất, bậc a đối với một hàm số lượng giác và sina x b cosxc

Về tư uy, thái độ:

- Rèn luyện tính cẩn thận, sự chính xác, tính kiên trì nhẫn nại

- Rèn luyện tư du so s n p ân tíc tổng hợp, khái quát hóa,

- Phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập

- Rèn khả n n cảm nhận c đẹp thông qua việc trình bày lời giải của bài toán

Tron c ươn I tô đã làm sáng tỏ một số vấn đề về cơ sở lí luận về n n lực toán học cơ sở lí luận về chủ đề p ươn trìn lượn c v đặc biệt nêu được sự khác biệt về n n lực toán học của các loại học sinh v c c đặc đ ểm của học với

n n lực toán học ở mức trung bình

- Học s n có n n lực toán học ở mức trung bình có khả n n n ận thức được các khái niệm cơ bản và các tính toán quen thuộc của môn toán, tuy nhiên khi gặp những vấn đề không tiêu chuẩn học s n t ường gặp k ó k n v k ả

n n n ìn n ận vấn đề còn thiếu tính toàn diện

- Học s n có n n lực toán học ở mức trung bình có khả n n tự học, tuy

n ên c ưa có p ươn p p ọc và tự học tốt

- Khả n n tự xem xét đ n của học s n có n n lực toán học ở mức trung bình còn hạn chế, phải thực hiện hoạt độn n dưới sự ướng dẫn của giáo viên

CHƯƠNG II: NGHIÊN CỨU THỰC TIỄN DẠY HỌC

- Trường THPT Thanh Oai A – Thanh Oai – Hà Nội

- G o v ên trường THPT Thanh Oai A

2.3.2 Đối tượng nghiên cứu

- Thực trạng dạy và học chủ đề p ươn trìn lượng giác ở trường THPT

- Quá trình dạy học chủ đề p ươn trìn lượng giác cho học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình

- Tiến hành sử dụng phiếu hỏi với 58 học s n có n n lực toán học ở mức trung bình ở các lớp 11A6 (15 em), 11A7 (14 em), 113 (17 em), lớp 11B (12 em) n m ọc 2014-2015 Mẫu p ếu đ ều tra được tô t ết kế trìn b ở

p ụ lục 1 tron luận v n n

- Sử dụng bài kiểm tra 30 phút về giả p ươn trìn lượng giác đối với 58 học

s n có n n lực toán học ở mức trung bình trên

- Phỏng vấn trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với một số o v ên trường THPT Thanh Oai A

2.5.1 Kết quả khảo sát học sinh

Bảng 1 Trong giờ học, hi giáo vi n đư r câu hỏi, ài tập em thường:

1 Học thuộc các công thức lƣợng giác 50/58 86,2%

2 Nhớ đƣợc công thức nghiệm của p ƣơn

Bảng 4 Khi học thuộc các công thức ư ng giác, em thường gặp h hăn g ?

Bảng 6 Khi học ch đề phương tr nh ư ng giác, em th y đây à một ch đề:

Bảng 8 Nếu trong tiết học, giáo vi n đư r ví ụ h y ài toán về i n hệ c

ư ng giác với thực tiễn cuộc sống, em sẽ cảm th y:

Câu 1: Giả p ƣơn trìn 2cos2xcosx0

Câu 2: Giả p ƣơn trìn sin 2x 3 cos 2x 3

Câu 3: Giả p ươn trìn

2

cos sin 24cos

x

 Dụng sư phạm:

- Kiểm tra kiến thức cơ bản về phần p ươn trìn lượng giác;

- Đ n v ệc nhớ các công thức lượng giác và vận dụng vào biến đổi

Tuy nhiên, trong số đó có 3/58 ọc sinh, chiếm 5%

không giả được p ươn trìn cos 1

2

x do không nhớ được bảng giá trị lượn c c c cun đặc biệt hoặc nhớ nhầm công thức nghiệm p ươn trìn cosxcos ; có 8/58 học sinh, chiếm 14% không nhớ được trường hợp đặc

biệt cos 0

2

x   x  k

- Đa p ần các em (50/58 học sinh, chiếm 86%) nhận ra được p ươn trìn

tron câu 2 l p ươn trìn đưa về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos2x ,

n ưn c ỉ có 32/58 học sinh, chiếm 55% là biến đổ được

cos  2x  cos 2x, còn lại là không biết cách biến đổi hoặc biến đổi sai thành cos 2xcos 2x Trong số 32 em n cũn c ỉ có 23/58 học sinh, chiếm 40% là nhớ được cách giải và giả được p ươn trìn

- Câu 3 rất ít học s n l m được (2 học sinh, chiếm 7%) Có 8 học sinh, chiếm

14% biến đổi và giả ra được

em lúng túng không biết áp dụng công thức nào, một vài em nhớ công thức

n ưn p dụng sai, chẳng hạn n ư b ến đổi sai

1 cos 2 cos

2.5.2 Kết quả khảo sát giáo viên

1 Cô giáo Nguyễn Thị Hường (c thâm ni n 10 năm):

Câu hỏi : “T ưa cô theo kinh nghiệm giảng dạy của mình, cô thấy học s n t ường gặp những thuận lợ v k ó k n ì k ọc về p ươn trìn lượng giác?”

Trả lời : “Tôi nhận thấy học s n t ường có những khó k n n ư sau:

- Khó học thuộc các công thức lượng giác;

- Học sinh có thể dùn m tín để tra giá trị lượng giác của một góc nên

t ường không nhớ c c trường hợp đặc biệt, chẳng hạn n ư sinx0; sinx 1;

- Khả n n n ận ra nhân tử c un để đưa về p ươn trình tích kém;

- Lúng túng vớ p ươn trìn bậc cao hoặc p ươn trìn xuất hiện tang hoặc cotang;

- Đối vớ p ươn trìn lượn c có đ ều kiện k ó k n tron v ệc kiểm tra nghiệm thoả mãn đ ều kiện; kĩ n n b ểu diễn nghiệm trên đườn tròn lượng giác kém;

- Khó liên hệ lượng giác với thực tiễn.”

2 Cô giáo Trần Thu Thu Hiền (t trưởng t Toán-Tin) :

Câu hỏi : “T ưa cô t eo k n n ệm giảng dạy của mình, cô thấy học s n t ường gặp những thuận lợ v k ó k n ì k ọc về p ươn trìn lượn c?”

Trả lời :

“K ó k n tron dạ ọc lượn c l ở c ỗ côn t ức lượn c n ều t ờ lượn c o v ệc rèn lu ện b tập để n ớ côn t ức t eo p ân p ố c ươn trìn rất

n ớ một loạt côn t ức rồ c ọn côn t ức n o để b ến đổ lạ l một vấn đề lớn Do

đó c c em n t ườn bị tụt ậu v dần dần có cảm c sợ lượn giác.”

3 Cô giáo Phạm Thị Duyên (c thâm ni n 4 năm):

Câu hỏi : “T ưa cô tron qu trìn ảng dạy của mình, cô thấy vớ đố tượng học

s n có n n lực toán học ở mức trung bình t ường gặp những thuận lợi và khó

- Số tiết học để học sinh luyện tập ít;

- Đa p ần học sinh ở mức độ trung bình không biết x c địn óc trên đường tròn lượng giác, ví dụ dùn đườn tròn lượng giác biểu diễn góc  thoả mãn

3sin

- K ó k n tron v ệc nhận dạng và cách giải của p ƣơn trìn nên t ƣờng giải một c c m móc k ôn có địn ƣớng;

- Phần p ƣơn trìn lƣợng giác là phần khó vớ đố tƣợng học s n có n n lực toán học ở mức trung bình.”

t ƣờng:

- Không tự tin vào bản thân, khó k n tron v ệc tự đ n lời giải của mình

- C ƣa b ết cách tự học, có ý thức làm bài tập n ƣn t ƣờng làm bài tập một cách máy móc và chỉ làm những bài tập giáo viên giao, một số muốn làm bài tập n ƣn k ôn l m đƣợc do không hiểu bài và các em thấy chán nản

- Không cảm thấy hứng thú khi học phần lƣợng giác, một phần do giáo viên

c ƣa c ỉ đƣợc cho các em những ứng dụng của lƣợng giác trong thực tiễn cuộc sống

- C ƣa b ết cách nhớ các công thức lƣợn c đặc biệt hay lẫn lộn giữa các công thức

- Lúng túng khi áp dụng các công thức lƣợn c để thực hiện các phép biến

đổ lƣợng giác

- Không biết biểu diễn giá trị lƣợng giác của một cung trên ĐTLG

- Không biết cách kết hợp nghiệm vớ đ ều kiện trong PTLG có đ ều kiện

- Gặp k ó k n k ả p ƣơn trìn lƣợng giác, cụ thể k ó k n ở việc: Nhớ công thức nghiệm của p ƣơn trìn n ận dạn p ƣơn trìn v p ƣơn pháp giải, lựa chọn đƣợc công thức biến đổ lƣợng giác phù hợp

Ví dụ, giả p ƣơn trìn cos 2 2cos 2sin2

2

x

x x k ó k n đầu tiên học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phải là nhận dạn p ƣơn

trìn Tron p ƣơn trìn c ứa cos2 , cosx x lại cả sin2

2

x

Với những em nhận ra đƣợc đâ l p ƣơn trìn đƣa về p ƣơn trìn bậc a đối với cos x,

t ì k ó k n t ếp theo là lựa chọn công thức biến đổ lƣợng giác phù hợp Ta

có cos 2x có ba ƣớng biến đổi:cos 2xcos2xsin2x, cos 2x2cos2x1

và cos 2x 1 2sin2x Do địn ƣớn đƣa về p ƣơn trìn bậc a đối với

cos x nên phải chọn biến đổi cos 2x2cos2x1 K đó 2

sin2

Sai lầm t ƣờng gặp: tan 3 x  1 2 3x 1 arctan 2k

Tron c ƣơn II tô đã nêu đƣợc cách thức p ƣơn p p ọc đồng thời nêu đƣợc những thuận lợ v k ó k n của đố tƣợng học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình khi học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác C c em t ƣờng :

- Không hứn t ú vì c ƣa t ấ đƣợc ý n ĩa của việc học lƣợng giác;

- Chán nản, thiếu tự tin vì bài tập khó và hay làm sai;

p ƣơn p p tự học và xây dựn c c đ n t eo dõ qu trìn p t tr ển của đối tƣợng học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình