Phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông ban nâng cao

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .... Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục 2005: “Phươn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -

PHẠM QUANG HỪNG

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ ANH VINH

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học

Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công tác

giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá

trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo

PGS.TS Lê Anh Vinh – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo tác

giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và

các em học sinh trường THPT Chuyên Thái Bình, Sở Giáo dục và Đào tạo Thái

Bình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận

văn này

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia

đình và bạn bè đồng nghiệp, cùng các bạn học viên lớp Cao học Toán K9 vì

trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn

thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh

khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu

của các thầy cô giáo và các bạn

Hà Nội, ngày tháng 11 năm 2015

Tác giả

Phạm Quang Hừng

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ iv

MỤC LỤC v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 6

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 8

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 8

1.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán 9

1.2.1 Vị trí, chức năng của bài tập toán trong trường phổ thông 9

1.2.2 Khái niệm kỹ năng giải toán 10

1.2.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 11

1.2.4 Những kỹ năng cần thiết khi giải toán 12

1.2.5 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo quy trình bốn bước của Polya 13

1.3 Vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại trong phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp 15

1.3.1 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 15

1.3.2 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới 16

1.3.3 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 17

1.3.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kỹ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập 18

1.3.5 Một số sai lầm điển hình của học sinh khi giải toán tổ hợp 18

Kết luận Chương 1 23

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 24

2.1 Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kỹ năng nhận dạng bài toán cho học sinh dưới mọi góc độ 24

2.1.1 Thiết kế chuỗi bài tập 25

2.1.2 Tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán 36

2.1.3 Sáng tạo bài toán mới 47

2.1.4 Bài toán gắn liền thực tế 51

2.2 Rèn kỹ năng cơ bản với các dạng toán thường gặp 52

2.2.1 Các bài toán liên quan đến P ; A ; C n nk nk 52

2.2.2 Các bài toán về nhị thức Newton 53

2.2.3 Các bài toán đếm 56

2.3 Những kỹ năng nâng cao 61

2.3.1 Sử dụng nguyên lý bao gồm và loại trừ 61

2.3.2 Kỹ năng đánh số 65

Bài tập luyện tập 66

2.3.3 Đếm bằng hai cách 66

2.3.4 Sử dụng phương pháp truy hồi 70

Bài tập luyện tập 74

Kết luận Chương 2 75

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 76

3.2 Nội dung thực nghiệm 76

3.2.1 Lớp thực nghiệm 76

3.2.2 Tiến hành thực nghiệm 76

3.2.2.1 Các nội dung dạy thực nghiệm 76

3.2.2.2 Phương pháp dạy thực nghiệm 76

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 77

3.3.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm 77

3.3.2 Kết quả của thực nghiệm sư phạm 78

Kết luận Chương 3 79

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

PHỤ LỤC 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong kỷ nguyên thông tin, cùng với xu thế quốc tế hóa, toàn cầu hóa, mỗi người không chỉ là công dân của một quốc gia mà còn có thể là công dân toàn cầu Điều đó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt văn hóa, khoa học kĩ thuật, đời sống

Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục Việc rèn luyện

kỹ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật; liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã

được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (2005): “Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”

Nghị quyết hội nghị trung ương Đảng 8 khóa XI (2013) cũng nhấn mạnh “Tiếp

tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang

tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”

Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn), trong

đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì

sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, … đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện kỹ năng trong dạy học Đại số nói chung

và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh Tác giả Lê Văn Hồng cho rằng: “Kỹ

năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn tác giả

Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác”

[7, tr 46] Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh

các kỹ năng trong dạy học Toán

Trong môn toán ở trường trung học phổ thông, nội dung các bài toán Tổ hợp là một trong những phần khó Với chương trình toán cho học sinh chuyên thì đây là bài tập mang tính phân loại học sinh Bài toán Tổ hợp có thể không đòi hỏi nhiều về kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo trong

mỗi bài toán cụ thể Vì vậy, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán tổ hợp là hết sức quan trọng và cần thiết Vì lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là: “Phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh trung học phổ

thông ban nâng cao”

lý luận và thực tiễn rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong học môn Toán

Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học, các nhà sư phạm đã đưa ra, căn

cứ vào thực trạng dạy học “Tổ hợp” ở một số trường trung học phổ thông trong

giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và

cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán tổ hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

 Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp, phát triển một số

kỹ năng nâng cao cho học sinh trường Chuyên

 Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của người lao động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán tổ hợp trong chương trình toán 11 ở sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11; trong các đề thi Đại học Cao đẳng; đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh; đề thi học sinh giỏi Quốc gia

7 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông theo các phương pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ tạo được kỹ năng giải toán nhanh và chính xác cho người học, hình thành được những kỹ năng nâng cao trong giải toán Tổ hợp

8 Phương pháp chứng minh luận điểm

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về

lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học

 Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán

cho học sinh khi dạy học về chuyên đề Tổ hợp; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

 Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên

môn về phương pháp dạy học môn Toán; phân tích kết quả học tập của

học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy của các giáo viên Ngoài ra còn trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm được khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp mới

 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

Trường THPT Chuyên Thái Bình, kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí các số liệu thu được

9 Những đóng góp của Luận văn

 Giúp nhận thức sâu sắc hơn khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán

 Giúp học sinh nắm vững hai quy tắc chọn, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp, các kiến thức căn bản trong toán Tổ hợp

 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phù hợp với nhận thức và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi, học sinh trường Chuyên

 Đề xuất các biện pháp dạy học bài tập tổ hợp nhằm rèn luyện kỹ năng

1 Cấ t c ận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: ột số phương pháp dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kỹ năng:

Trong thực tiễn lao động sản xuất, học tập, con người luôn luôn phải đối mặt với những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định Muốn giải quyết được công việc, đòi hỏi con người phải sử dụng kinh nghiệm đã có, vận dụng vốn hiểu biết, tìm hiểu những quy luật bản chất đối với nhiệm vụ, biết đề ra một chiến lược thực hiện và thực hiện các biến đổi hợp quy luật Quá trình lao động nghiêm túc, quá trình “thử sai” liên tục đó dần dần con người đã hình thành cho bản thân cách thức (kỹ năng) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19, tr 426]

Theo Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [6, tr 131]

Có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng, nhưng chúng đều có điểm chung là, kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn

Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hay một nhóm hành động nhất định nào đó Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ rệt, nghĩa là luôn gắn chặt với ý thức của chủ thể

Như vậy, kỹ năng là năng lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả đặt ra

Cần phân biệt kỹ năng và phản xạ, thói quen, kiến thức:

 Kỹ năng khác với phản xạ Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường, phản xạ mang tính thụ động Nhưng kỹ năng là phản ứng có tính tích cực, có ý thức, hoàn toàn chủ động

 Kỹ năng khác với thói quen Thói quen hầu hết được hình thành vô thức, khó kiểm soát Trong khi đó kỹ năng được hình thành do ý thức, chủ động rèn luyện, gian khổ mà thành tài

 Kỹ năng cũng khác với kiến thức Kiến thức là hiểu, là biết, nhưng chưa phải là làm, thậm chí không bao giờ làm Vì không tác động vào thực tế khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra thành quả cụ thể cho chủ thể Trong khi đó, kỹ năng lại là hành động, việc làm thành thục dựa trên nền tảng kiến thức ngày càng sâu sắc hơn

Nhiều chuyên gia cho rằng, chỉ kiến thức chưa phải là sức mạnh mà vận dụng kiến thức hay chính kỹ năng mới là sức mạnh

Có nhiều cách phân loại kỹ năng khác nhau Nếu quan sát tổng thể thì có

ba loại: kỹ năng chuyên môn, kỹ năng sống, kỹ năng làm việc Nếu quan sát liên đới chuyên môn thì có: kỹ năng cứng, kỹ năng mềm, kỹ năng hỗn hợp Nếu quan sát tính hữu ích cộng đồng xã hội thì có kỹ năng hữu ích và kỹ năng phản lợi ích

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể Mỗi sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, mỗi thuộc tính bản chất đó tương ứng với những hoạt động, mục đích nhất định Do đó phải biết lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước khi hành động Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức, quá trình hình thành kỹ năng, tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các giả thiết đã cho của bài toán, có những thuộc tính

và những quan hệ nào là bản chất để thực hiện giải quyết bài toán đã cho

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng:

Mọi kỹ năng đều phải dựa trên nền tảng kiến thức, cấu trúc của kỹ năng gồm: hiểu rõ mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu rõ những điều kiện

để triển khai các cách thức đó

Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi và chỉ khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn

và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn lao động sản xuất Cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng Kỹ năng chỉ có thể hình thành và phát triển trong lao động

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng:

Mọi kỹ năng dù hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo, đều phụ thuộc vào khát khao, vào quyết tâm vào năng lực tiếp nhận của chủ thể, phụ thuộc vào cách thức luyện tập, và vào chính mức độ phức tạp hay đơn giản của

kỹ năng đó Dù hình thành nhanh hay chậm thì quá trình hình thành kỹ năng cũng phải trải qua những bước sau đây:

 Hình thành mục đích Chủ thể phải tự trả lời các câu hỏi như: Tại sao tôi phải sở hữu kỹ năng này? Hay: Sở hữu kỹ năng này tôi sẽ có lợi gì?

 Lên kế hoạch để có kỹ năng đó

 Cập nhật kiến thức, lý thuyết liên quan đến kỹ năng đó

 Luyện tập kỹ năng đó

 Ứng dụng kỹ năng đó trong công việc, điều chỉnh nâng cao kỹ năng hoặc thay đổi cho phù hợp

Trong thực tế dạy và học, sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Muốn vậy khi hình thành kỹ năng học tập cho học sinh cần:

 Giúp học sinh biết cách tìm tòi để xác định được yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

 Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

 Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

1.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán

1.2.1 Vị trí, chức năng của bài tập toán trong trường phổ thông:

Theo nhà toán học và sư phạm Mỹ G.Polya: “Trong toán học, nắm vững

bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó

là biết giải toán” [22, tr 82]

Đối với học sinh, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán là một phương tiện hiệu quả và không thể thay thế được trong

việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn

Mỗi bài tập toán được đặt ra vào một thời điểm phù hợp của quá trình dạy học, luôn chứa đựng những chức năng khác nhau Các chức năng đều nhằm thực hiện các mục đích dạy học

 Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

 Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

 Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành phẩm chất của tư duy khoa học

 Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, khả năng tiếp thu kiến thức và khả năng phát triển của học sinh

1.2.2 Khái niệm kỹ năng giải toán:

Trong khi dạy học môn toán trong trường phổ thông, người giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên các mặt sau:

 Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;

 Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác;

 Kỹ năng mô hình hóa những bài toán của thực tế, vận dụng tri thức toán học để giải quyết những bài toán của đời sống

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán bằng các phương pháp suy luận, chứng minh hay tính toán Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán là một nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của dạy học

bộ môn Toán trong trường phổ thông Tùy theo nội dung kiến thức toán học mà

có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.2.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:

Để đạt được các mục đích dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Phải chú trọng rèn luyện, thực hiện các hoạt động tương ứng thì kiến thức mới được củng cố, mở rộng, phát triển Việc rèn luyện kỹ năng toán học nói riêng, kỹ năng hoạt động nói chung là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa “học” với “hành” như lời của Bác Hồ

Dạy học sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ học thuộc lòng các khái niệm, các công thức mà không thực hành việc giải bài tập, không biết vận dụng hay vận dụng thành thạo

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, phát triển tư duy và xây dựng tính cách cho học sinh Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

sẽ giúp người học hiểu sâu sắc kiến thức toán, nắm vững các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ, tập dượt các hoạt động nghiên cứu khoa học, góp phần bồi dưỡng con người Việt Nam

Sự hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh được thực hiện bằng các cách sau:

 Cách thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ, gợi mở giải quyết vấn đề, khám phá vốn tri thức toán học cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần

 Cách thứ hai: Dạy cho học sinh nắm được những dấu hiệu đặc trưng, từ

đó có thể định hướng một số dạng bài toán và các thuật toán tương ứng

 Cách thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức

Rèn luyện kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

 Giúp học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức xuyên suốt chương trình toán phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:

 Giúp học sinh phát triển tư duy:

a Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán;

b Khả năng suy luận phán đoán, tư duy trừu tượng, tưởng tượng không gian;

c Những thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát…;

d Các phẩm chất trí tuệ như: tư duy độc lập, tư duy linh hoạt, sáng tạo

 Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong mỗi giờ học, tăng cường thực hành, thực tế

 Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì, các thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá để tránh các sai lầm có thể gặp

1.2.4 Những kỹ năng cần thiết khi giải toán:

Kỹ năng giải toán của học sinh chia làm ba cấp độ: biết làm, thành thạo và cao nhất là sáng tạo trong giải bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có các nhóm kỹ năng sau:

 Nhóm kỹ năng vận dụng chung;

 Nhóm kỹ năng thực hành;

 Nhóm kỹ năng về tư duy

Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:

 Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ liệu trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải;

 Kỹ năng phân tích;

 Kỹ năng mô hình hóa;

 Kỹ năng tìm kiếm và sử dụng thông tin

1.2.5 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo quy trình bốn bước của Polya:

Theo G.Polya [22, tr 78] muốn giải một bài toán phải lần lượt qua bốn bước:

Bước 1: Hiểu rõ nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

 Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

 Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần)

 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không ?

Bước 2: Xây dựng một chương trình giải

Có thể phải phân tích bài toán đã cho thành những bài toán đơn giản hơn Xét bài toán trong những trường hợp đặc biệt, trong những trường hợp cụ thể, bài toán tương tự hay cũng có thể xem xét bài toán tổng quát Từ đó, có ý tưởng giải và xây dựng được một chương trình giải

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm được

 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

 Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

 Tìm thêm các cách giải khác nếu có thể

 Khai thác kết quả của bài toán

 Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán Trong quá trình tìm lời giải bài toán theo bảng gợi ý của Polya rất có hiệu quả, nó đặt học sinh trước những ý nghĩ tích cực, chẳng hạn như:

 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay bạn đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác?

 Bạn có biết bài toán nào có liên quan không? Có thể dùng định lý hay công thức nào để giải nó?

 Có thể sử dụng kết quả của bài toán khác vào việc giải bài toán này hay không? Có thể đưa ra một bài toán tương tự hoặc một bài toán tổng quát

hơn bài toán đã cho không? Trong giải toán tổ hợp đôi khi việc giải một bài toán tổng quát lại dễ dàng hơn bài toán đã cho hoặc việc giải bài toán trong những trường hợp đặc biệt lại là gợi ý quan trọng trong tìm ra lời giải của bài toán đã cho

Việc kiểm tra lời giải một bài toán là rất quan trọng trong giải toán tổ hợp,

nó giúp ta tránh những sai lầm điển hình như xét thiếu hoặc thừa trường hợp Mặt khác, việc kết thúc một bài toán này lại là sự mở đầu một bài toán khác, điều

đó rất có ích cho rèn luyện học sinh giỏi

Trong quá trình giải bài tập toán, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất

1.3 Vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại trong phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp

1.3.1 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác:

Việc bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của

tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau

Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh

đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những

sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất

Theo Hoàng Chúng ([1, tr 25]), các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng các phương pháp này để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa các kiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ có những phương pháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên

và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương tự, hoặc đi sâu vào những trường hợp đặc biệt có ý nghĩa toán học

1.3.2 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới:

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau

Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan

sát so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự, ) để có thể tự mình

tìm tòi, dự đoán các kết quả, để tìm cách giải một bài toán, chứng minh một định

lý, bồi dưỡng cho học sinh các phương pháp chứng minh toán học như phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp để có thể tự mình tìm tòi, dự đoán được các qui luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn

Khi luyện tập củng cố, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tính ì của tư duy, tránh hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

1.3.3 Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học:

Bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng

tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sáng tác những đề toán, tìm tòi những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ

các bài toán đã giải

Khâu kiểm tra đánh giá phải được xem là khâu quan trọng song song với việc dạy học Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu ngoài việc kiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh

các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

Ngoài ra cần tổ chức các hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ toán học Các hoạt động đó tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập và kích thích hứng thú học tập của học sinh

1.3.4 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kỹ năng giải Toán qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập:

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của kỹ năng giải toán, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề dạy học, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy

móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Việc tìm nhiều lời giải của bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó mở đường cho sự sáng tạo phong phú Ngoài

ra, khi dạy giải bài tập cần đưa ra các bài tập mới, để học sinh tập dượt sáng tạo,

ra các bài tập "không theo mẫu", không đưa được về các loại toán giải bằng cách

áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình để bồi dưỡng tính độc đáo của tư duy sáng tạo

1.3.5 Một số sai lầm điển hình của học sinh khi giải toán tổ hợp

 Học sinh hay nhầm lẫn giữa quy tắc nhân với quy tắc cộng Chẳng hạn, trong bài toán sau:

Bài toán Trong Lớp 10 Toán 1 có 15 bạn nam và 21 bạn nữ Giáo viên

chủ nhiệm cần chọn hai học sinh, một bạn nam và một bạn nữ, đi dự đại hội Đoàn Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Phân tích Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài toán

này là dùng quy tắc cộng cho rằng có 15+21=36 (cách chọn) Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân, tức là có 15.21 315 (cách chọn) (Nếu giáo viên chủ nhiệm chỉ được chọn một học sinh đi dự Đại hội thì ta mới áp dụng quy tắc cộng)

 Khó khăn tiếp theo học sinh gặp phải là: một bài toán không biết khi nào

sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp Khó khăn này sẽ được giải quyết nếu học sinh để ý bản chất của tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ

tự, còn chỉnh hợp thì có thứ tự Ta xét bài toán sau:

Bài toán Một dạ tiệc có 12 nam và 10 nữ đều khiêu vũ giỏi Cần chọn ra

6 người (3 nam và 3 nữ) để ghép thành 3 cặp nhảy Hỏi có bao nhiêu cách ghép?

Lời giải 1 Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là A cách 123

Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là A103 cách

Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là A A123 103 cách

Lời giải 2 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C123 cách

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C cách 103

Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là C C123 103 cách

Lời giải 3 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C cách 123

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C cách 103

Do đó số cách chọn 6 người (3 nam, 3 nữ) là C C cách 123 103

Vì một đôi có hai bạn (1 nam, 1 nữ) nên chọn ra 1 nam (trong 3 nam) và 1 nữ (trong 3 nữ) thì có 3.3 9 cách

Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là 9.C C cách 123 103

Lời giải 4 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C cách 123

Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C cách 103

Do đó số cách chọn 6 người (3 nam, 3 nữ) là C C cách 123 103 Trong 6 người chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi này với nhau (là hoán vị của 3 nam hoặc của 3 nữ)

Vậy số cách chọn thỏa mãn là 3!.C C cách 123 103

Phân tích Quan sát các lời giải trên ta thấy: ở lời giải 1 - rõ ràng là sai vì

bài toán không yêu cầu xếp thứ tự; lời giải 2 - thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi; lời giải 3 - thoạt nhìn thì có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối đã nhầm lẫn việc chọn ra 3 đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ; lời giải 4 -

là lời giải đúng

 Đôi khi, học sinh mắc phải sai lầm “Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp” Xét bài toán sau:

Bài toán Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi trung

bình và 4 câu hỏi khó người ta chọn ra 7 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải

có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

Lời giải 1

Loại 1 Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C cách 207

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi dễ trong 9 câu hỏi có C cách 97

Trường hợp 2 Chọn 7 câu hỏi trung bình có 1 cách

Trường hợp 3 Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có 7

Loại 1 Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có C cách 207

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có 7

Loại 2 Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1 Chọn 7 câu hỏi chỉ có một loại (là một loại dễ hoặc trung bình) thì

có C97 C77 cách

Trường hợp 2 Chọn 7 câu hỏi có đủ 2 loại:

+) Dễ và trung bình (16 câu hỏi dễ và trung bình thì khi chọn ra 7 câu hỏi thì 7 câu hỏi đó hoặc thuộc cả hai loại hoặc chỉ thuộc một loại): 7  7 7

C  C C cách +) Dễ và khó thì có C137 C97 cách

+) Trung bình và khó thì có C117 C77 cách

Vậy có tất cả 7  7 7 7 7 

C  C C C C   đề kiểm tra

Phân tích Trong bài toán việc chọn ra 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu

thì có thể xảy ra trường hợp chỉ chọn một loại câu hỏi (dễ hoặc trung bình)

Trong 3 lời giải được đưa ra cho Bài toán 2 thì chỉ có lời giải 3 là lời giải đúng Lời giải 2 thì xét thiếu trường hợp chọn 7 câu hỏi chỉ thuộc một loại, còn lời giải 1 thì lại xét lặp trường hợp 7 câu hỏi chỉ thuộc một loại

 ột tình huống học sinh hay mắc phải là đếm lặp lại, hoặc đếm thiếu các cách chọn của bài toán Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Bài toán Cho đa giác đều 15 đỉnh Hỏi có bao nhiêu tam giác cân không

đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên?

Lời giải 1 Với mỗi đỉnh Ai của đa giác đều ta có 7 tam giác cân và 1 tam giác đều Vậy số tam giác cân không đều là 15 7 1   90

Lời giải 2 Với mỗi đỉnh Ai của đa giác đều ta có 7 tam giác cân và 1 tam giác đều Vậy số tam giác cân không đều là 15 7 1   90. Nhưng mỗi tam giác

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả

về khái niệm kỹ năng, rèn luyện kỹ năng, kỹ năng giải toán và vai trò của việc rèn kỹ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho người học Nêu ra các bước tiến hành hoạt động dạy học đạt hiệu quả cao trong việc rèn kỹ năng, đồng thời cũng đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán trong nhà Trường phổ thông

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Rèn yện khả năng phân tích bài toán, hình thành kỹ năng nhận dạng bài toán cho học sinh dưới mọi góc độ

Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh, đặc biệt bồi dưỡng

tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau Điều quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo là giải phóng hoạt động tư duy của học sinh bằng cách để các em tự hoạt động, tự khám phá tìm tòi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức Bên cạnh đó tính tích cực được nâng dần theo mức độ từ thấp đến cao: tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo Người thầy cần rèn luyện học trò nâng dần các hoạt động từ dễ đến khó: từ theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mò mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tư duy cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh Khi tự đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình

Vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời suy nghĩ nếu gặp trở ngại Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát

khỏi ảnh hưởng kìm hãm của của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

2.1.1 Thiết kế chuỗi bài tập

Ví dụ 1 Chuỗi bài tập về bài toán chia kẹo của Euler

Quan sát các bài toán sau đây:

Bài toán 1.1 (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thái Bình năm 2013)

Có bao nhiêu cách phân phối 2013 quyển sách Toán giống hệt nhau cho 100 cửa hàng bán sách sao cho mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 1 cuốn sách

Bài toán 1.2 (Đề thi học giỏi Mỹ AIME 1998) Tìm số nghiệm nguyên không

âm, lẻ của phương trình x1x2 x3 x4  98

Bài toán 1.3 (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thái Bình năm 2014)

Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ 1 2 3  

Dễ thấy 1  a1 a2a3a4  2015. Suy ra 1  a1 a2 a3  2014. Số nghiệm nguyên dương của phương trình chính bằng số cặp a a1 ; ; 2 a3, thỏa mãn điều kiện trên Với mỗi nhóm 3 số tự nhiên phân biệt lấy từ 2014 số tự nhiên từ 1 đến 2014, ta chỉ có một cách xắp theo thứ tự tăng dần Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là 3

n M

2018, ta chỉ có một cách xắp theo thứ tự tăng dần Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là C20183

Bài toán tổng quát 2 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4  2015 x13 

Bài giải

1 1 3 1 0

x  x x  Bài toán đã cho trở thành:

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1'   x2 x3 x4 2012

Áp dụng kết quả Bài toán tổng quát 2, suy ra đáp số của bài toán là C20153 .

Bài toán tổng quát 3 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x  x x x  x  x  Bài toán đã cho trở thành:

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1'   x2' x3 x4 2008

Áp dụng kết quả Bài toán tổng quát 2, suy ra đáp số của bài toán là C20113 .

Bài toán tổng quát 4 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

Xét bài toán 5.1: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4 2015. Theo kết quả bài 2 là 3

2018

C

Xét bài toán 5.2 : Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4 2015 x13 

Tương đương với bài toán:

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4 2015 x14 

Theo kết quả Bài tổng quát 3, ta có số nghiệm của phương trình là C20143

Kết luận đáp số của bài toán đã cho là: C20183 C20143

Bài toán tổng quát 5 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x   x x x M x a n MN M n M a

Đáp số CM n n 1 1 CM n   1a 1 n 1.

Bài 6 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

Theo kết quả ở trên ta có T1 C20143

Gọi T 2 là số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4  2015 x2 4 

Theo kết quả ở trên ta có T2 C20133

Gọi T 3 là số nghiệm nguyên không âm của phương trình

x1  x2 x3 x4  2015 x13; x2 4 

Theo kết quả ở tổng quát 4 ta có T3 C20093

Vậy ta có T   T1 T2 T3

Trở lại bài toán đã cho, số nghiệm nguyên không âm của phương trình

Bài 4 (Đề thi chọn học sinh giỏi Thái Bình 2014)

Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ bất phương trình

Ví dụ 2 Chuỗi bài toán lập số tự nhiên chia hết cho 3 gồm có n chữ số

Quan sát các bài toán sau:

Bài toán 2.1 (Đề thi chọn học sinh giỏi toán Rumani, Báo Toán học Tuổi trẻ,

tháng 10/2013) Lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, gồm n chữ số

lấy từ tập hợp X 3; 4; 5; 6 

Bài toán 2.2 (Đề thi học sinh giỏi Việt Nam 2015)

Lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, nhỏ hơn 10n, gồm các chữ số lấy

từ tập hợp X 0; 1; 2; 5 

Giáo viên có thể xây dựng chuỗi bài tập như sau:

Bài 1 Lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, gồm n chữ số lấy từ tập

 Nếu a1  a2 a n1 chia hết cho 3 thì ta chọn a n là 3 hoặc 6, có 2 cách

 Nếu a1 a2 a n1 chia cho 3 dư 1 thì ta chọn a n là 2 hoặc 5, có 2 cách

 Nếu a1 a2 a n1 chia cho 3 dư 2 thì ta chọn a n là 1 hoặc 4, có 2 cách

Tóm lại có 2 cách chọn a n Theo quy tắc nhân, ta lập được 2.6 n-1 số

Bài 2 Lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, gồm n chữ số lấy từ tập

hợp X 3; 4; 5; 6 

Bài giải

Dấu hiệu chia hết cho 3 của một số tự nhiên là tổng các chữ số của số đó chia hết

cho 3 Gọi S n là số các số tự nhiên chia hết cho 3; mỗi số gồm n chữ số lấy từ tập hợp X ={3; 4; 5; 6} Gọi P n là số các số tự nhiên không chia hết cho 3; mỗi số

gồm n chữ số lấy từ tập hợp X ={3; 4; 5; 6} Dễ thấy S 1 =2; S n +P n =4 n

Ta sẽ lập số tự nhiên chia hết cho 3; mỗi số gồm n+1 chữ số lấy từ tập hợp

X = {3; 4; 5; 6}:

 Với n chữ số đầu ta chọn bất kì

 Trường hợp 1: Tổng n chữ số đầu chia hết cho 3, thì ta chọn chữ số cuối

là 3 hoặc 6 Như vậy có hai cách chọn chữ số cuối

 Trường hợp 2: Tổng n chữ số đầu chia cho 3 dư 1, thì ta chọn chữ số cuối

là 5 Như vậy có một cách chọn chữ số cuối

 Trường hợp 3: Tổng n chữ số đầu chia cho 3 dư 2, thì ta chọn chữ số cuối

là 4 Như vậy có một cách chọn chữ số cuối

Vậy S n+1 =2S n +P n =S n +4 n

Từ đây suy ra 4 2.

3

n n