Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật – Bài 4: Kỹ thuật quay lui (Backtracking)

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật – Bài 4: Kỹ thuật quay lui (Backtracking) với những kiến thức khái niệm về kỹ thuật quay lui, bài toán 8 con hậu - eight queen problem, bài toán mã đi tuần - knight tour problem, bài toán chiếc ba lô - knapsack problem.

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com

Bài 4 K ỹ thuật quay lui

Backtracking

4.1 Khái ni ệm về kỹ thuật quay lui (6)

4.2 Bài toán 8 con h ậu - Eight Queen Problem (7)

4.3 Bài toán mã đi tuần - Knight Tour Problem (5)

4.4 Bài toán chi ếc ba lô - Knapsack Problem (6)

1 Lecture 11 – Backtracking.htm

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (1/6)

 K ỹ thuật quay lui là quá trình phân tích từ trên xuống trong không gian tìm ki ếm

 Trong trường hợp tổng quát, giả sử lời giải là một

vector:

a = (a[1], a[2], …, a[n])

trong đó, mỗi phần tử a[i] chọn từ tập hữu hạn S[i] (các kh ả năng của a[i]).

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (2/6)

 Ta s ẽ giải quyết bài toán với kích thước k, có dạng:

a = (a[1], a[2], …, a[k])

và c ố gắng mở rộng bằng việc thêm phần tử tiếp theo vào trong vector

 Sau khi thêm ph ần tử, kiểm tra xem có thể thực hiện

ti ếp được không.

 N ếu vẫn có khả năng mở rộng, tiếp tục thực hiện;

N ếu không, xóa phần tử a[k] và làm lại bài toán từ tập S[k].

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (3/6)

G ọi S[1], tập các khả năng của a tại bước đầu tiên

k = k - 1 (*backtrack*)

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (4/6)

Sub Backtrack(a, k)

If a is a solution, get it

Else

k = k +1 compute S[k]

While S[k]<>[] do a[k] = an element in S[k]

S[k] = S[k] – a[k]

Backtrack(a, k) End Sub

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (5/6)

 K ỹ thuật đệ quy có thể được dùng trong kỹ thuật

quay lui (đơn giản trong ứng dụng).

 K ỹ thuật quay lui chắc chắn đúng khi liệt kê các khả

năng có thể.

 Để tăng hiệu quả của kỹ thuật, có thể cắt bớt

không gian tìm ki ếm.

4.1 Khái ni ệm kỹ thuật quay lui (6/6)

Trong ph ần này, giải quyết một số bài toán, có sử dụng

k ỹ thuật quay lui:

 Bài toán 8 h ậu - Eight Queen Problem.

 Bài toán mã đi tuần - Knight Tour Problem.

 Bài toán chi ếc ba lô - Knapsack Problem.

4.2 Eight Queen Problem (1/7)

Bài toán : đặt 8 con hậu trên bàn cờ sao cho không có 2 con

h ậu nằm trên cùng một hàng, cột và hàng ngang.

Một lời giải Không phải lời giải

4.2 Eight Queen Problem (2/7)

Th ực hiện:

• Tr ạng thái: Sắp đặt từ 0 đến 8 con h ậu lên bàn cờ.

• Tr ạng thái khởi tạo: không có con h ậu nào đặt lên bàn cờ.

• Đặt từng con hậu lên bàn cờ.

• Ki ểm tra kết quả: 8 con hậu đã đặt lên bàn cờ, không có con

h ậu nào ăn được nhau.

4.2 Eight Queen Problem (3/7)

M ột vài cách đặt 8 con hậu lên bàn cờ (trong số 92 lời giải)

4.2 Eight Queen Problem (4/7)

 N ếu tại một cột, không đặt được con hậu mới, con hậu ở

c ột (hàng) đó được bỏ ra khỏi bàn cờ và chuyển xuống

c ột (hàng) trước đó.

4.2 Eight Queen Problem (5/7)

 N ếu xét theo cột, tại một cột, tất cả các hàng đã xét, quay tr ở lại bước trước đó (xét cột trước).

 N ếu con hậu không đặt được lên cột i, khi đó

không th ử trên cột i+1, quay lại cột i-1, bỏ con

h ậu đã đi sai.

 V ới cách tiếp cận này, có thể giảm bớt phép thử.

4.2 Eight Queen Problem (6/7)

typedef enum {FALSE, TRUE} bools;

void printMatrix(inta[][N], int n);

int getMarkedCol(inta[][N], intn, int row);

bools feasible(inta[][N], int n, int row, int col);

void N_Queens(inta[][N], int n, int row);

// In ma tran chua cac con hau

void printMatrix(inta[][N], int n) {

int i, j;

for(i=0; i<n; i++) {

for(j=0; j<n; j++)printf("%d ", a[i][j]);

printf("\n"); }printf("\n"); }

// Lay cac cot da danh dau trong hang row

int getMarkedCol(inta[][N], intn, int row) {

int j;

for(j=0; j<n; j++)

if(a[row][j] == TRUE) return j;

printf("Loi: Khong co cot danh dau trong hang

%d.\n", row);

return-1;

4.2 Eight Queen Problem (6/7)

// Kiem tra xem con hau tiep theo co the dat o hang

// row, cot col khong

bools feasible(int a[][N], int n, int row, int col)

markedCol = getMarkedCol (a,n,i);

if(markedCol == col || abs(row-i) ==

abs(col-markedCol))

returnFALSE ;}

returnTRUE;

}

// Bai toan N hau

void N_Queens(inta[][N], int n, int row) {

int j;

if(row < n) {

for(j=0; j<n; ++j)

if(feasible(a, n, row, j)) {a[row][j] = TRUE;

N_Queens (a, n, row+1);a[row][j] = FALSE; }}

else {k++;

printf("Trang thai thu %d\n",k);printMatrix(a, n);

}

4.3 Knight Tour Problem (1/5)

4.3 Knight Tour Problem (2/5)

Bài toán:

 Trên bàn c ờ 8 × 8 có một con mã (cách đi được định nghĩa thông thường)

 B ắt đầu từ một góc của bàn cờ và thăm tất cả các

ô c ờ khác (63 ô cờ còn lại), sao cho mỗi ô cờ chỉ đến 1 lần.

 Bài toán này được gọi là “mã đi tuần”.

4.3 Knight Tour Problem (3/5)

Cách ti ếp cận bài toán:

 Có nhi ều cách tiếp cận để giải bài

toán này.

 M ột trong số đó là cách giải của J.C

Warnsdorff được đưa ra năm 1823

 Theo cách c ủa J.C Warnsdorff, con

mã đi theo theo thứ tự được mã hóa

(quy ước cách đi theo hình vẽ).

 T ừ một vị trí, con mã có thể đi tối đa

đến 8 vị trí khác Tùy theo vị trí trên

bàn c ờ, các vị trí có thể này được mã

hóa theo th ứ tự từ 1 đến 8.

4.3 Knight Tour Problem (4/5)

void printVariant(inta[][M], int n);

void knight(int a[][M], intn, int row, int col, int num);

//dinh nghia cach di cho con ma

knight(a, M, i, j, 2);}

printf("\n");

4.3 Knight Tour Problem (5/5)

void knight(int a[][M], intn, int row, int col, int num)

{

// tim vi tri ke tiep

// vi tri ke tiep co gia nho nhat

// vi tri hien tai la (row,col)

int i;

for(i=0; i<SizeStep; i++)

{

int newrow = row+rowchange[i];

int newcol = col+colchange[i];

if(newrow>=0 && newrow<n && newcol>=0

&& newcol<n && a[newrow][newcol]==0)

{

a[newrow][newcol]=num;

if(num==n*n){

printVariant(a, M);

printf("\nNhan Enter de chon ket qua khac, nhan ESC de thoat!\n");

if(charc=getch()==27) exit(1);

4.4 Knapsack Problem (1/9)

 Bài toán:

 Cho N v ật, mỗi vật có trọng lượng w(i) và giá trị v(i).

 M ột chiếc ba lô có khả năng đựng tối đa (theo trọng

lượng) là K.

 Ch ọn các vật như thế nào để tổng giá trị của chúng là

l ớn nhất và tổng trọng lượng không vượt quá K?

 Ý t ưởng:

 Ta ch ọn các vật có giá trị cao nhất vào ba lô.

 Tuy nhiên, các v ật có trọng lượng khác nhau, do đó cần

ọn một cách cẩn thận!!!

4.4 Knapsack Problem (3/9)

 Xem xét ví d ụ sau với K = 9.

 V ới ví dụ trên, vật 4 có tỷ lệ cao nhất.

 N ếu ta lấy vật 4 này, khi đó, chỉ có thể đưa vật 1 thêm vào

// K: trong luong toi da cua ba lo

// used[]: cac vat co trong ba lo,

// 0: chua lay, 1: da lay

// weight[]: trong luong cua tung vat

// value[]: gia tri cua tung vat

// current[0]: trong luong hien tai

// current[1]: gia tri hien tai

// current[2]: gia tri max

// pack[]: cac vat da lay o trang thai toi uu

int nCalls=0;

void knapSack(intK, bools used[], int item, int

weight[], int value[], bools pack[], int current[], int

n);

void main() {bools used[M];

void knapSack(intK, bools used[], int item, int

weight[], int value[], bools pack[], int current[], int n){ nCalls++; // So loi goi

// Kiem tra da xem xet den vat cuoi

if(item == n){

// Kiem tra lai truong hop da lay vat

if(current[1] > current[2]){

printf("Tong gia tri hien tai: %d\n",current[1]);

// Luu thong tin hien tai

// Khong lay duoc vat nay, tiep tuc thu vat khac.

knapSack(K, used, item+1, weight, value, pack, current, n);

}}

// K: trong luong toi da cua ba lo

// used[]: cac vat co trong ba lo,

// 0: chua lay, 1: da lay

// weight[]: trong luong cua tung vat

// value[]: gia tri cua tung vat

// current[0]: trong luong hien tai

// current[1]: gia tri hien tai

// current[2]: gia tri max

// pack[]: cac vat da lay o trang thai toi uu

int nCalls=0;

void knapSack(intK, intused[], int item, int weight[],

int value[], int pack[], intcurrent[], int n);

void knapSack(intK, intused[], int item, int weight[],

int value[], int pack[], int current[], int n){

nCalls++; // So loi goi

// Kiem tra da xem xet den vat cuoi

if(item == n){

// Kiem tra lai truong hop da lay vat

if(current[1] > current[2]){

printf("Tong gia tri hien tai: %d\n",current[1]);

// Luu thong tin hien tai

4.4 Knapsack Problem (9/9)

for(inti=0;i<n;i++)

if(pack[i]) printf("Vat %d, so lan chon %d

// Thu xem co the lay bao nhieu vat

used[item] = (K - current[0]) / weight[item];

current[0] += used[item] * weight[item];

current[1] += used[item] * value[item];

// Neu khong lay vat do lan nao ca

knapSack(K, used, item+1, weight, value, pack, current, n);

}}