Nghiên cứu biến đổi WAVELET và ứng dụng biến đổi WAVELET để triệt nhiễu

MỎ ĐẦUBiên đôi Fourier trong một thời gian dài là một côn g cụ phân tích cơ bàn trong các lĩnh vực khác nhau như hệ thống tuyến tính, quang học, lý thuyết xác suất, vật lý lượng tử, ante

M Ụ C L Ụ C

Trang

Lời cam (loan 1

Mục lụ c 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tất 4

Danh mục các hình v ẽ 5

M ơ Đ À U 7

Chương 1 - TÍN HIỆU V À BIÉN ĐỔI TÍN H IỆ U 10

1.1 TÍN HIỆU 10

1.2 BI ẺN ĐÔI TÍN HIỆU 1 1 1.3 BIÊN ĐỎI TRỰC GIAO 12

1.4 KHUNG TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ 16

1.5 PHẢN TÍCH THÒI GIAN - TÂN s ỏ 20

Chương 2 - N G U Y ÊN LÝ CỬA BIÊN ĐỐI W A V EL E T 27

2.1 GIỚI THIỆU 27

2.2 BIÊN ĐÒI WAVELET LIÊN TỤC 35

2.3 BIẺN ĐỎI WAVELET THAM s ổ RỜI RẠC 36

Chương 3 - LỌC SÒ NHIÈU N H ỊP 40

3.1 LỌC S ỏ 40

3.1.1 Khái n iệ m 40

3.1.2 Các loại bộ lọc s ố 42

3.2 LỌC SỐ NHIÊU NHỊP 45

3.2.1 Khái n iệ m 45

3.2.2 Bộ lọc phân chia 46

3.2.3 Bộ lọc nội s u y 55

3.2.4 Bộ lọc biến đổi nhịp lấv mẫu với hệ so M/L không n m iy ẻ n 61

Chương 4 - PHÂN TÍCH ĐA PHẢN GIAI VÀ WAVELET 68

4.1 GIỚI THIỆU 68

4.2 DPVVT VÀ MRA 70

4.3 NGUYÊN LÝ CỦA MRA 77

4.4 CÁC Bộ LỌC KHÔI PHỤC HOÀN HAO 87

4.5 BỒ LỌC ĐỒNG NHÁT THAM s ố VÀ WAVELET TRỰC CHUẢN 94

4.6 THI ÉT KÉ BỘ LỌC CHO WAVELET TRỰC CHU ÁN 99

4.7 Bỏ LỌC SONG TRựC GIAO 101

4.8 XẢY DỰNG WAVELET 103

Chương 5 - ỨNG DỤNG WAVELET ĐẾ K l í ử NHIẺƯ VÀ MÒ P H Ò N G 106

5.1 NGUYÊN LÝ 106

5.2 BIÊN ĐÓI WAVELET CUA MỘT TÍN HIỆU c ỏ NHIÊU 107

5.3 ĐỘNG Lực THÚC ĐÁY VIỆC ĐỊNH NGƯỔNG 108

5.4 LẦY NGƯỠNG CÚNG VÀ LẢY NGƯỠNG MÈM 1 10 5.5 CHỌN GIẢ TRỊ NGƯỠNG I 1 1 5.6 PHƯƠNG PHÁP CHON c ơ s ơ 1 15 5.7 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỌN NGƯỞNG 1 16 5.7.1 Chọn ngirỡng dùng nguyên lý “ước lượng rủi ro không thiên vị của Stein" (SU R E ): 116

5.7.2 Chọn ngưỡng dùng nguyên lý “minimax”: 117

5.7.3 Chọn ngưởng vạn năng: 117

5.8 CAN NHIÊU BĂNG HẸP 1 17 5.9 THỰC HIỆN MỎ PHÒNG 1 18 5.10 KÉT QUÀ MỎ PHÒNG 120

KẾT L U Ậ N 124

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 126

D A N H M Ụ C C Á C K Ý H I Ệ U , C Á C C H Ữ V I Ế T T Ấ T

AD : Biên đòi tín hiệu tươnc tự sang sô

BLZR : Tỷ số lỗi bit

CWT : Biến đôi w avelet liên tục

DA : Biến đồi tín hiệu số sang tương tự

D ỈT : Biến đồi Fourier rời rạc

DPWT : Biến đổi w avelet tham số rời rạc

DWT : Biến đồi w avelet rời rạc

FIR : Bộ lọc số có đáp ứn2 xung chiều dài hữu hạn

11R : Bộ lọc số có đáp írnự xung chiêu dài vô hạn

1DFT : Biến đồi Fourier rời rạc ngược

MR A : Phân tích đa phân giài

PR : Khôi phục hoàn hào

Q.V1F : Bộ lọc đối xứng gương cẩu phương

SNR : Tỷ số tin hiệu trên nhiễu

ST FT : Biến đổi Fourier thời gian ngấn

Hình 1.1: Hình chiếu cùa một v e c t ơ 15

Hình 1.2: Lấy cừa s ổ 21

Hình 1.3: Cứa sô phô cùa: (a) một hình sin; (h) hai hình sin 22

Hình 2.1: So sánh qiữa biến đổi STFT và biến đổi W a v e let 28

Hình 2.2: Một sô loại wavelet và bièn đổi Fourier cùa chúníỉ 3 ]

Hình 2.3: Wavelet Haar và wavelet con cùa n ó 32

Hình 2.4: Thực hiện biến đổi wavelet bằng băng l ọ c 33

Hình 2.5: Một sơ đồ thực hiện biến đôi wavelet nhanh 33

Hình 3.1: Sơ đỏ khối cùa một hệ thống lọc s ô 40

Hình 3.2: Sư đô khỏi cùa bộ lọ c 41

Hình 3.3: Bộ phân chia 45

Hình 3.4: Bộ nội s u y 46

Hình 3.5: B ộ phân chia 46

Kinh 3.6: Sơ đồ phàn c h ia 47

Hình 3.7: Phổ cùa tín hiệu x (n ) 48

Hình 3.8: Cộng phổ tín hiệu Y ị 2(eiw) 50

Hình 3.9: Bộ lọc phân chia 51

Hình 3.10: c ấ u trúc tương đương của bộ lọc phàn c h ia 52

I lình 3.11: Ví dụ về bộ lọc phân c h i a 55

Hình 3.12: Bộ nội suy trong miền z 56

í Lình 3.13: Phố của tín hiệu x (n ) 57

Hình 3.14: Phổ tín hiệu Y f2( Ó 57

Hình 3.15: Bộ lọc nội s u y 58

Hình 3.16: c ấ u trúc tương đirơns của bộ lọc nội s u y 59

Hình 3.17: Phò tin hiệu Y t2ii(^w) 61

Hình 3 19: Bộ lọc biến đồi nhịp lấy mẫu hệ sổ M /L 65

ỉ linh 3.20: Bộ lọc biến dôi nhịp tươnơ đ ư ơ n s 66

IIình 4.1: Sơ đỏ phân tích da phân g ià i 68

Hình 4.2: Khôi phục từ các thành phần bănỉi c o n 69

Hình 4.3: Tầng dầu tiên của phân tích M R A 71

Hình 4.4: Tang thứ m của phân tích M R A 73

Hình 4.5: Co giàn hàm s ( t ) 77

Kinh 4.6: Hàm cơ sờ trực c h u ẩ n 78

Hình 4.7: Phổ cùa các kh ôns gian c o n 79

Minh 4.8: Phân tích MR A 84

1 linh 4.9: Phân tích - tòng hợp đơn tàng đẻ khôi phục hoàn h a o 85

Hình 4 1 1: Bộ lọc girơns cầu phương 93

P-1 Hình 4.12: Khỏi phục <Ị)(t) từ <Ị)(t) = 2]T g(/)(Ị)(2t - / ) 94

/=() I ỉ ình 4 ] 3: Bộ lọc song trực giao P R 101

Hinh 3.18: Bộ biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M / L 62

Kinh 5.1: (a) - Tín hiệu dừng và nhiễu trẩnu; (b) - Biến đồi w avelet H aar 108 Hình 5.2: Các hệ so w avelet sau khi lấy ngưỡng với ngường À = 1 và khôi phục băng biến đồi wavelet Haar ngược 109

Hình 5.3: Lẩy ngưỡng (a) Lây ngưỡng cứng (b) Lấy ngưỡng mềm; (c) Lấy ngưỡng trung gian 11 1 Hình 5.5: Giao diện w a v e m en u 120

Hình 5.6: Giao diện cùa menu SWT De-noising 1-L) 121

Hình 5.7: Giao diện của menu SWT De-noising 2 - D 121

Hình 5.8: Một số tin hiệu trước và sau khi triệt nhiễu 122

Ifình 5.9: Giao cliện cùa chương trình mô p h ò n g 123

MỎ ĐẦU

Biên đôi Fourier trong một thời gian dài là một côn g cụ phân tích cơ bàn trong các lĩnh vực khác nhau như hệ thống tuyến tính, quang học, lý thuyết xác suất, vật lý lượng tử, anten và phân tích tín hiệu V iệc áp dụng kỷ thuật sô dã làm thay đỏi và phát trièn biến đòi Fourier áp dụng cho tín hiệu và

hộ thòng rời rạc N h ừ n s tiến bộ troné công nghệ phần cứng cùníi sự phát triển cua các thuật toán tính toán tốc độ cao cho biến đổi Fourier đã mờ rộng phạm

vi ứng dụng cho côn g cụ toán học này.

Một trong những lĩnh vực phát triển nhanh nhờ những tiến bộ này là xử

lý sò tín hiệu Với cô n g nghệ ngày nay, ta có thể tính toán biến đồi Fourier cua tin hiệu rời rạc, thời gian thực, cụ thê là tín hiệu tiếng nói và hình ánh số,

xử lý kòt quà tron« lĩnh vực biên đôi ròi thực hiện biến đôi ngirợc lại trong thời íỉian thực Các giái pháp tính toán cho việc thực hiện các phần cứng khác nhau cùa biên đôi Fourier đều dã có Hầu hết các giải pháp này đều phô biến

và miễn phí.

Bien đoi Kmner, vơi một dai rộng các ưng dụng cua no, cùng ỵiònỉỉ như ràt nhiều các cô n g cụ toán học khác, đều có hạn chế V í dụ bièn đôi này không thè áp dụng cho tín hiệu không dừng (non-stationary) Những tín hiệu này có các đặc tính khác nhau tại các thời điểm và không gian khác nhau Mặc dù phiên bàn thay đổi của biến đổi này, gọi là biến đồi Fourier thời gian ngắn (STFT), cỏ thể giải quyết được một số vấn đề cùa tín hiệu không dừng nhung không giải quyết được tất cà các vấn đề đặt ra Biến đôi Fourier thời íiian nsẩn được sử dụng trong xử lý tín hiệu tiến" nói nhưng rất hiêm khi, thậm chí là không bao giờ, có thể sử dụng đê xử lý hình ành.

Bien đổi wavelet, được phát triển độc lập theo một hướng khác, đã dân dẩn thay thổ bien đổi Founer tron" một số ứnc dụng xứ lý tín hiệu thièt yêu.

7

-X ứ lý tín hiệu đa phân giải dùng tronii ánh máy tính, mã hoá băng con phát trien cho nén tiêng nói và hình ành, sử dụng biến đôi w avelet để triệt nhiễu và

sự mơ rỏns dãy w avelet phát triển trong toán học ứng dụng được xem là các cách nhìn khác nhau cùa một lý thuyết duy nhất Biến đổi w avelet áp dụng cho cà tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Biến đổi này cung cấp một kỳ thuật chun” được áp dụng cho nhiều nhiệm vụ khác nhau trong xử lý tín hiệu.

Biên dôi w avelet được áp dụng thành công đổi vói các tín hiệu không

d im2 trong việc phân tích, xừ lý và cung câp một sự thay thế cho biến đổi Fourier thời gian nsẩn N gược lại với STFT, thứ sử dựng một cửa sổ phân lích duy nhất, bièn đôi wavelet sử duns' cửa sò ngắn tại tần số cao và cưa sổ dài tại tàn số thấp Sự linh hoạt này được đưa ra theo tinh thần gọi là “hang số

Q" hay hãn LỊ số liên quan đến phân tích băng tàn Đối với m ột sô ứng dụng, nựười ta mong muôn đạt được biến đôi wavelet như là sự phân tích tín hiệu ra thành tập hợp các hàm cơ bản, các hàm nay gọi là các wavelet Các hàm cơ han này đạt được từ hàm wavelet gốc bang các phép dãn (dilation) và co (tý lệ) cũng như phép dịch Sự tăng lên nhanh chóng của các ứng dụng của biên dối wavelet trong các lình vực khác nhau cùa xử lý tín hiệu thể hiện tính hiệu quá cùa công cụ toán học này trong phân tích và tông hợp tín hiệu.

Mục đích của đề tài này là nghiên cứu nguyên lý của biến đôi wavelet nhảm ứng dụng biến đổi w avelet trong xừ lý tín hiệu, cụ thê là ứng dụng biên dối w avelet để triệt nhiễu cho tín hiệu Ngoài ra, đề tài này còn phải mỏ phòng việc áp dụng biến đồi wavelet để triệt nhiễu cho tín hiệu trên máy tính bànỉi một phần mềm tính toán rất mạnh là MATLAB.

Vì thời gian và trình độ có hạn nên luận văn chưa thể đề cập và giải quyết được hết các vấn đề một cách hoàn chình Hơn nữa có thê nói đây là một lĩnh vực nshiên cứu khá mới nên chác chan luận vãn này sẽ không tránh khói nhũng hạn chế và thiếu sót Kính mong các thay cô giáo và các đồng

nỉỉhiệp cho nhiều ý kiên đóng góp sửa chữa đê kèt quả của đè tài được hoàn thiện hơn.

9

ra làm hai loại:

- Tín hiẹu tươne tự: là loại tín hiệu mà hàm của tín hiệu là liên tục.

- Tín hiệu lượne từ hoá: là loại tín hiệu mà hàm cùa tín hiệu là rời rạc Neu biến độc lập của sự biểu điền toán học cùa một tín hiệu lả rời rạc thi tín hiệu đó eọi là tín hiệu rời rạc Rời rạc ờ đây được hiêu là rời rạc theo biến số Nòu dựa vào biên độ thì chúng ta có thẻ phân tín hiệu rời rạc ra làm hai loại:

Tín hiệu lấy mẫu: Neu hàm cùa tín hiệu rời rạc là liên tục (không dược lượng tử hoá) thì tín hiệu dó được gọi là tín hiệu lây mau.

- Tín hiệu số: Neu hàm cùa tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu số Như thế tín hiệu số là tín hiệu dã được rời rạc hoá cả

về biến số và biên độ.

Tín hiệu rời rạc được kv hiệu là s(nTs) trong đỏ Ts là chu kỳ lấy mẫu Nếu ta chuẩn hoá biến số độc lập nT, bới chu kỳ lấy mầu Ts thì tín hiệu rời rạc s(nTs) sau khi đã chuân hoá trờ thành s(n).

Đ è biêu diễn một tín hiệu s(n) ta có các cách sau:

- Biểu diễn dưới dạng toán học:

C H Ư O N G 1

Cặp biến đối Fourier cùa một tín hiệu liên tục là:

—00

s(t) = J L T S(<.,)eJMtdco (1.2)

Biến đỏi Pourier thuận phân tích s(t) ra các thành phân hình sin có tan

số 0), biên độ Re[S(co)] và pha Are[S(co)] Biến đòi Pourier ngược tông hợp

sít) từ các hàm cơ sờ é'", có biên độ phức S(co) Một cách khác để nhìn (1.1)

là hàm trọng S(co) là “tổng” các e)">' mà s(t) chứa Do đó tươníĩ quan chéo cùa s(t) với e'-iml sè bao S(co).

Việc sử dụ ne các hàm cơ sờ dơn íiiản nhìn chung sẽ làm đơn giàn hoá việc biòn đỏi và tính toán Nhưng dù sao thì khối lượng tính toán cũng chì là một trona sò các nhân tò trong việc chọn loại hình biến đổi Các nhân tố khác

là tính chất của biến đôi và và khá năng thích hợp cùa biến đổi đối với một ừng dụng nhất định.

Có nhiều lý do đẻ biến đỏi hoặc phàn tích một tín hiệu, nhưng tựu trung lại ta cỏ thè nêu ra hai mục đích cơ bàn sau:

- Làm bộc lộ nhừng dặc tính quan trọng cùa tín hiệu mà rất khó hoặc

kh ôn s thê nhận biết trong miên ban đầu.

- Làm đơn giàn hoá các vấn dè kv thuật phức tạp đê dề giai quyết.

Ví (lụ xét biến đổi Laplace là sự tòng quát hoá biến đôi Fourier, nó biểu diễn một hàm x(t) dưới dạng tổng liên tục cùa các hàm c ơ sở es< Do đó:

x ( t ) = 7 X ( s > stds (1.3)

— c o Trong đó X(s) là biến đồi Laplace cùa x(t) vả s là đại lượng phức được gọi là tần số phức Khi dỏ ta có các phép toán học tương đương sau: tích phân hoặc vi phàn trong miền t sẽ tương đương với việc nhân X (s) với 1/s hoặc s trong miền Laplace Do đó biến đổi Laplace cùa một phương trình vi-tích phân tuyến tính sẽ cho ta một phương trình đại số Kết quà quan trọng này là

cơ sở cùa việc phân tích hệ thống tuyến tính bàng biến đổi Laplace.

1.3 B IẾ N ĐỎI T R Ụ C GIAO

Tập hợp các vectơ {Xj}, i = l , 2 , ,n gọi là trực giao nếu tích vô hướng:

Do đó việc phân tích một vectơ ra các thành phẩn vectơ cơ sờ trực chuẩn sẽ trờ nôn đơn ưiàn hơn Gọi {Xj} là tập hợp các vectơ trực chuàn bao một không íiian n chiều thì mọi vectơ g dạng nxl thuộc không sian đó đều có thê được biêu diễn dưới dạng tò hợp tuyến tính của các vectơ Xi như sau:

n

1=1 Nếu {X,} k h ò n g trự c c h u ẩ n thì g v ần c ó thể đ ư ợ c b i ể u d iễ n n h ư tồ h ợ p

tuyển tí nh c u a {X,} n h ư n g c ác hệ số c ủ a X, k h ô n g c ò n đ ơ n g i ả n là tích vò

h ư ớ n g <g, Xj> Gọi c á c h ệ s ố n ày là hị, h; , h n thi:

' h , l h.

Đ ẻ tính các hệ số thì ta phải tính X 'g.

Trong mã hoá ảnh, việc biến đồi một ảnh ra các thành phẩn trực giao cua nó là việc chia ánh dó ra thành các thành phần không đồn g dạng Do tính dộc lạp cua nó nên v iệc lấy ra một sô thành phân trực siao tử ánh biên đôi sè

13

-không anh hưởng đến thành phần khác Đặc tính trực giao quan trọng này dược tông quát hoá bời định lý hình chiếu Gọi { X j } , i = l , 2, n là tập hợp các vectơ trực íziao bao không gian n chièu sao cho với mọi vectơ g ta đều có:

Không mât tính tông quát, ta giả sir răng các vectơ bị bó qua trong ( 1.8)

là Xi, ¡=1+1 1+2, n Định lý hình chiêu phát biểu như sau [3]:

"Xắp XI tốt n h ấ t cua g l à g theo nạhĩa sai sò bình phương n h o n h ấ t, cụ th ổ la :

Với một vectơ g có dạng (1.7) ta dễ dàng thấy rang:

i— 1

Do đó bình phương cùa vectơ trong miền ban đầu bầng tổng bình phương của các hệ số troniz miền biến đổi Điều này tương tự như định lý Parseval cho biên đỏi Fourier [3]:

15

-Định lý Parseval phát biểu rẩng năng lirợng trong miền thời gian bànơ năn í! lượng trong miền tẩn số.

Tiêp theo chúng ta mờ rộng việc khai triển trực giao đối với các hàm Tập hợp các hàm (fi(t)} là trực giao trên khoảng t| đến t: nếu:

Ị f i( t ) f /( t ) d t = 5 ij (1.15)

I *2 '|

Trong đó dấu * thể hiện là liên hợp phức Ví dụ tập các hàm | e w Ị với

n là số tự nhiên và C0() là hang số khác 0 là trực giao trên khoảng [-172, T/2], với T = 2 tĩ / cù 0 Đặc tính xấp xi bình phương nhỏ nhất cùa các vectơ cũng được

áp dụng với các hàm Do đó tron‘i việc biêu điền tín hiệu tuần hoàn bàng chuỗi Pouriet' thi tổng còn lại sau khi đã bỏ đi một số phần từ của dãy cũng sẻ

là xàp xi bình phirơnẹ nhò nhất của tín hiệu.

Trong khi bièu diễn tín hiệu bời tập hợp trực giao (fi(t)}, ta chì có thể biểu diễn được chính xác tín hiệu nếu đỏ là một tập hợp đầy đu Một tập hợp sọi là đầy đủ nếu khôníi tồn tại một hàm h(t) khác không, không thuộc tập hợp thoa mãn:

[ h ( t ) f /( t ) d t = 0 , i = Ị 2 , , n (1.16)

I,

Nếu tồn tại hàm h(t) như thế thì nỏ sẽ tạrc giao với tập hợp dà cho và

do dó nó sẽ là một phần tử cùa tập hợp, nếu không tập hợp sẽ không đầy đù Với các vectơ, tập hợp đảy đủ là tập hợp các vectơ cơ sở bao không gian vectơ.

1.4 K H U N G T R O N G K H Ô N G GIAN V E C T O

Việc phân tích một vectư ra tập hợp trực chuẩn của các vectơ cơ sở đơn iĩinn chi là phép tính tích v ô hướng Bây 2ÌỜ ta m on2 muôn vẫn giữ nguyên phép tinh đơn gian như thế khi các vectơ cư sư không còn là trực chuẩn (hoặc

trực giao) nữa Chú ý rầng các vectơ cơ sở khône cẩn phải trực chuẩn, nó thậm chí có thẻ phụ thuộc tuyến tính và do đó có thể là dư thừa Chi có một yẻu câu là chủng bao khòng gian vectư sao cho mọi vectơ thuộc không gian vectơ đều có thể được biểu diễn theo các vcctơ dó Lý thuyết khunơ là sự tổng quát hoá nguyên lv phàn tích trực chuẩn và cho ta cách biểu diễn một vectơ mxl như sau [3]:

g = Ề < g , X ị >Xj , n > m (1.17) 1=1

Điều này cũng tưcmc tự như công thức (1.7) trừ tập hợp {\j} không nhàt thiết phài trục chuân và do n>m nên các vectơ cơ sờ Xj có thê phụ thuộc tuyến tính Tập hợp | x I gọi là tập đối ngầu của tạp hợp {Xi} Công thức (1.17) cho thấy ràng khi phân tích ta vần tính tích vô hướng nhưng khi khôi phục ta phải đưa thèm các đối ngầu vào.

X, bây uiờ được gọi là phẩn tư cùa một khung và | x Ị gọi là khung dối

ngầu cùa {Xị} Để đơn giản ta già sư Xj là vectơ dơn vị Một khung {Xj} là tập hợp các vectơ thoả côn«; thức sau với mọi vectơ m có dạng m xl khác không:

A||g||: < X | < g , x , >|: <B|Ịg|Ị: n > m (1.18)

irl Trong dó A và B là các hàng số chi phụ thuộc vào {X|} và gọi là các

ui ới hạn khung, với 0 < A < B <co Chúng là các giới hạn dưới cao nhất và giới hạn trên thấp nhất cùa khung Giới hạn dưới đảm bào rằng tập hợp { X j } bao không gian vectơ, cụ thể là { X j } là một khung đầy đù, nếu không

Ỳ,\< g, X >Ị: có thể bàng không với một số giá trị của 11 g I ỉ khác không Nếu 1-1

íX,} là một khung thì (1.17) được duy trì Một khung là chặt nếu A = B và (1.17) thoa mãn với X = X , / A Hơn nữa, nếu bỏ một phần tử của một khung

ị c

-• 1 7 - , t k ĩ - 1 0 / ĩ M

chặt thì sẽ vi phạm siiới hạn dưới cùa (1.18), cụ thể là khung sè trờ nên không đay đù Các phàn tử cùa một khung chặt với A = B = 1 sê tạo thành một cơ sờ trực chuẩn và (1.17) đ ư ợ c duy trì với X = X,.

Tóm lại, lý thuyết khung cung cấp cách biểu diễn một vectơ theo tập hợp các vectơ cơ sờ mà các vectư này không cần thiết phãi trực chuẩn hay đọc lạp tuyên tính Các hệ sò vàn là tích vô hướng cùa vectơ với vectơ cơ sờ Việc khôi phục yêu cầu các vectơ cơ sờ mới gọi là đôi ngầu Khi {Xi} thoả mãn (1.18) thì mọi vectơ g đều có thể dược tổng hợp theo (1.17) N eu A = B thì X = X ,/A và nêu {Xj} là chặt và A = B = 1 thì X =Xj và {Xj} tạo thành một

cơ sở trực chuẩn Lý thuyết khuníí sau này được dùng để phân tích và khôi phục một hàm băng các wavelet.

Nếu {x,Ị là một khung chặt thì X = c x ¡ , trong đó c là một hang sổ Đè

lim khung đổi ngẫu Ịx I khi {XịỊ không chặt, gọi:

Một trong các nụhiộm dạng nghịch đào là:

(1.19)

Nghịch dào trong công thức trên tồn tại do ta đã giả sử rằng { X j } là khung đầy đu Thay thố trực tiếp (1.22) vào (1.21) tất nhiên sẽ cho kết qua là

ma trận đơn vị Dù sao thì (1.22) cùng chi là nghiệm chuẩn nhỏ nhất Ta sẽ có các nghiệm khác là X + x với X là mọi vectơ thoá mãn ! ^ 0 và X X 1 = 0

Tiếp theo, già sử A = B = 1 Gọi:

là một ma trận dương đối xứng do X có đày du các hàng Do đó tôn tại một

ma trận đơn vị p sao cho:

1 9

-À và X = xựx. Nhưng nếu K = 1, tức là A = B = 1 thì X = X, và { X j } là trực chuân.

Nêu một bicn đòi có biến đòi ngược thì nănc lượng tín hiệu trona; miền ban đàu phải băng năng lượng tronu miền biến đổi nhân với một hảng số Đây uọi là tính đồng nhât Một ví dụ đièn hình cùa tính đồng nhất là đinh lý Parseval Do đó việc khôi phục tín hiệu theo các hàm cơ s ờ chi khả thi nếu năng lượng được giừ trong một hang số Khunc nhìn chung không thoa mãn tính đồng nhất Vì vậy khi khôi phục ta phái đưa các đối ngẫu vào.

Rất nhiều tín hiệu là tín hiệu khôn" dừng C ô n s suàt và phò cua tín hiệu thay đôi theo thời gian Do đỏ việc mô tã đầy đu tín hiệu không dửng trong miền tần số phai chừa cà khía cạnh thời gian Điều này dần đến việc phân tích thời gian - tan sỏ cùa một tín hiệu.

Neu phô cùa một tín hiệu phụ thuộc thời gian thì ta phải sừ dụng các phân đoon dù ngan cùa nó ( với già sir rang phổ l:'i han 'ĩ số trên môi phân (loạn) đề tính toán phổ Việc lấy một đoạn cùa một hàm thời gian được gọi là lầy cửa sổ Như thể hiện trên hình 1.2 điều này tương đương với việc nhân tín hiệu với một hàm cửa sò có dạng:

Cửa sổ sè dịch chuyển dọc theo trục thời gian, có thể chồng lên nhau nếu cần thiết, để tạo ra các đoạn cùa tin hiệu s(t) để phân tích Ví dụ, ta có thê

cỏ đồ thị 3 chiều của biên độ phổ theo thời ẹian và tần số, hoặc đồ thị 2 chiêu cùa tẩn số theo thời gian với độ lớn cùa phô thò hiện bời độ đậm nhạt cùa

Ị.5 PHÂN TÍCH THỜI GIAN - T Ả N SÓ

với t’ < t < t’ + T

màu Các đò thị như thế gọi là các phổ dò (spectroíĩram) trons phân tích tiếng nói.

Một phần đoạn có chiều dài T cua tín hiệu là:

21

Hình 1.3: C ử a sổ phổ của: (a) một hình sin; (b) hai hình sin

Do việc lấy cửa sổ nên S(co) chính là I S(co) I được trài ra bởi cửa sổ

I VV(co) I Bây giờ nếu s(t) chứa hai sóng sin có cùng biên độ và tàn số là C0|

và co2 thì S(co) được thê hiện trên hình 1.3b, trong đó hình dạng phô phụ thuộc vảo khoảng cách I co2 - C0| I Nếu I co2 - C0| ị > 2~/T thì ịS(cù)| có hai đỉnh phàn biệt tại C')| và co2 Khi I CO: - C0j I càng nhò thì hai đinh càng dịch lại gần nhau và đèn một mức nào đó thì chỉ xuảt hiện một đinh Qua đó ta thày dẻ

phân biệt hai sóng sin thì thời gian quan sát phái chừa ít nhất một chu kỳ cua tàn sò lấy mầu, cụ thè là:

Troníí phần tích thời gian - tần số của một tín hiệu không clìrns, có hai yêu cầu xung đột nhau Đ ộ rộng cửa sồ T phái đủ lớn để cho ta độ phân giai tân số motm muốn nhưng cùng phải đù ngan để không làm mờ đi các biên cô phụ thuộc thời gian Nếu tín hiệu chứa hai xung cách nhau d giây thì T phải nhỏ hơn d giây để có thể phân biệt hai xung Đ ộ phân giải tốt theo thời gian hay tần sổ biểu hiện sự định vị tốt theo thời gian hav tần sổ Một cừa sô rât hẹp, lý tường là một xung, cho ta độ phân giải (định vị) hoàn hảo theo thời gian nhưng độ phân giải (định vị) tồi theo tần số do nó có băng tần v ô hạn Mặt khác, một bộ lọc băng hẹp sè cho ta định vị tốt theo tẩn số nhung định vị tôi theo thời gian do đáp ứng xung của nó không sià m xuống đủ nhanh theo thời ụian [3],

2 3

-Các sóng sin là cục bộ trong miền tần số nhưng lại trài dài trong miền thời gian Chúng có chiều dài vô hạn Được sử dụng như hàm cơ sở trong phân tích Fourier, chúng dựa vào sư triệt tiêu để biếu diễn (tổ hợp) sự không liên tục theo thời gian Đây là nguyên nhân của hiệu ứng Gibb Do đó tronẹ việc biêu diên các hàm hữu hạn (các hàm khác không trong một khoảng thời íỊĨan hữu hạn), các hình sin không hiệu quà băng các hàm cơ sở hữu hạn Hiệu qua ờ đây được đo bằng số các hệ số cần thiết trong miền biến đồi để biểu diễn một hàm nhất định.

Trong khi thiêt ke hình dạrui cừa sô đè đạt được độ phân giải thời gian hav tân số mong muốn, có một giới hạn cơ bản mà theo đó ta có thể đưa ra giá trị T Giới hạn này xuất phát từ níiuvên lý bàt định, trong đó phát biêu rang mọi cặp biến dồi s(t) và S(co) đều phai thoà màn:

frong đó:

f | s ( t ) | : đ t

_ [co2|s(co)|2đco

I |s(co)f deo Chúng dược đo bằng sự biến thiên hay phân bố của s(t) và S(co) Coi

‘ / \l2

- - Ị— như là hàm mật độ xác suất cùa biến ngẫu nhiên t thì theo (1.34), s(t)| dt

A: là mômen bậc hai cùa t Ta có thể làm rõ hơn công thức (1.33) với Àt và

Aw là thời gian và băng tần hiệu dụng của tín hiệu nlur sau: nếu một tín hiệu

có băng tần A0) thì thời gian tồn tại của nó phai lớn hơn l/(2 A t0) và ngược lại Sau này ta sẽ thấy rần« biến đôi wavelet, thông qua việc sử china độ rộng cửa

sỏ khác nhau, có thể đạt dược At hav A0) nhò theo yêu cầu (ít nhất là về mặt lý thuyèt), mặc dầu tất nhiên ta khòníí thể đồníi thời đạt được cả hai [3].

Hàm thoà mãn dấu bang trone (1.33) là hàm Gausian Thật vậy, gọi:

1 -ịĩ

v 2 tĩỗ , Khi đó:

Do vậy s(t) thoà mãn (lau bang trong ( 1.33) [3].

Có một số phương pháp phân tích thời gian - tẩn số, đáng chú ý là biên đòi Fourier thời gian ngắn (STFT) sử dụng để tạo ra phò đồ trong phân tích tiêng nói và phân bố VVigner-Ville.

T ất cà các phương pháp phân tích thời gian - tần số đều có thề được tổng quát hoá bởi tích phân sau:

P(T,co) = —^ - Ị I j e : : ' Jộ ( 9 , À ) s ( u ) s ( u + — )du(iẰdO (1.39)

Trong đó P(t,co) là cường độ của tín hiệu s(t) tại thời gian T và tần số 0 ).

Bang cách chọn ệ(0,Ằ) = 1 và tính tích phân trên theo 0 ta được:

P(t, co) = — f f s(u - - ) s ( u + - ) e - lX"S(u - x)dudẰ (1.40)

2 ttỀ t (I > • ? 2

Đây chính là phân bố VVigner-Ville:

2 5

|S T FT ( t , co )|: = fe"J""s(t)\v(t-T)dt (1-45)

2 n ; Trong côníĩ thức trên, w(t - t ) là hàm cứa sổ lấy dọc theo s(t) và STFT

là biến đổi Pourier cùa tích đó Do đó STFT ánh xạ một tín hiệu một chiều s(t) vào miên hai chiều của thời gian và tần số Khi w(t) là cửa sổ ơausian thì S1TT dược gọi là biên đôi Gabor Trong việc phân tích tiẽng nói thì cửa sổ có thê là cửa sô Hamming, nó yêu cẩu ít phép tính hơn cửa sô Gausian [3].

Chú ý ran« tin hiệu một chiều và tín hiệu hình sin không phái là hàm

L (R) Nlurns các hàm có biên độ và thời gian tồn tại hừu hạn đều là hàm L:(R) Biến đôi wavelet liên tạc của tín hiệu s(t) là:

\Ị>( ( t - ĩ ) / a ) / v a là các hàm cơ sở wavelet, còn gọi là các w avelet con Bang cách đổi biên at'=t, công thức trên trờ thành:

-kỳ nầm trong cửa sổ vần giữ nguyên Hình 2.1 minh hoạ sự khác nhau này

Đ ộ phàn giai tàn sổ tỷ lệ thuận với độ rộng cửa sổ ờ cả STFT và biến đổi wavelet Nhưng trong biến đôi wavelet, tan số trung tâm sẽ dich tương ứn« với sự thay đòi độ rộng cửa sổ [3].

W avelet cơ sở V|/(t) có thê là thực hoặc phức, do vậy kết quả của biến đôi wavelet cũng có thẻ là thực hoặc phức Khi \|y(t) là phức thi liên hợp phức cua nó được đùng trong các c ô n s thức (2.2) và (2.3) Với một số ừng dụng, có một số tiện lợi khi sử dụim w avelet phức do pha của biến đôi w avelet có thẻ chừa các thòng tin hữu ích.

Sau đâv ta đưa ra một sổ ví dụ về các wavelet cơ sờ Vị/(t) và biến đổi Kourier tương ứng của nó:

1) Gausian có điều chế (Morlet):

-sin ( Ttt / 2) ( 371^

\ ư ( t ) = -— -— - C O S —

-rrt/2 \ 2 , 'f(co) = Ị 1

(2,7) [0 với 0 khác

Chúng được v ẽ trên hình 2.2 và các phiên bản dịch và tý lệ của chúng được the hiện trên hình 2.3.

Từ các hình v è trên chúng ta có thể rút ra một số đặc tính của w avelet như sau:

1) T(co) = 0 tại (ử = ũ, hoặc tương ứng là I \j/(t)cỉt = 0 , cụ thể là chúng không có thành phần một chiều.

2) Clúine là các tín hiêu thônsỊ dải.

3) Chúnc suy ííiãm rảt nhanh vè 0 theo thời gian.

Tính chat 1 là kết quà cùa điều kiện chấp nhận được của một wavelet, điêu kiện này đám bào biến đồi wavelet có biến đồi nụirợc Tính chất 2 được suy ra từ tính chat 1 Điều kiện suy giảm nhanh là không cần thiết về mặt lý thuyèt dè T (t) trở thành một wavelet Dù sao trong thực tế thì '-P(t) nên là hàm hữu hạn đề có khá năng định vị tốt trong miền thời gian.

Hình 2.3: W avelet Haar và wavelet con cùa nó

Từ công thức (2.2) ta thấy có 4 cách tính CWT như sau:

1) Tính theo tích vô hướng hay tương quan chéo của s(t) với v[/(t/a) / v ã

tại độ dịch T a Do dó nó tính độ “tươns dồng” giữa s(t) và i | / ( t / a ) / \ / ă , hoặc là các thành phần cùa s(t) có chung với V|/(t/ a ) / V ã

2) Nó là đầu ra cùa một bộ lọc thông dài có đáp ứng xung v | / ( - t / a ) / V ã , đau vào s(t) tại thời điểm x/a.

3) Do (2.3) tương tự như (2.2), ta cũng có thê tính theo tích vỏ hướng hay tương quan chéo giữa một tín hiệu tỷ lệ s(at) với V ã\|/(t), tại độ dịch t/a.

4) Từ (2.3) ta cũng thấy rang CWT cũng là đầu ra cùa bộ lọc thông dải có đáp ừng xung yfã\ịi(-l), đầu vào s(at), tại thời điểm x/a.

Các cách này làm tăng số phirơng án thực hiện biẻn đôi wavelet Việc lựa chọn phụ thuộc vào các thuật toán hiện có và phụ thuộc vào ứng dụng Ví

dụ, ta có thế thực hiện biến đổi wavelet theo hai sơ đồ trên hình 2.4 và 2.5 [3].

-I rong sơ đồ thứ nhất trên hình 2.4, việc tính tươns quan chéo giữa s(t)

và w avelet con tương đương với việc tìm đầu ra của các bâng lọc thông dải có đáp ứng xung V[v(-t/a)/yỉã và đầu vào s(t) Trong sơ dồ thứ hai trên hình 2.5, các phiên bàn tỷ lệ của s(t) được đưa qua các bộ lọc thông dài tương tự nhau

dè tìm ra biến đôi Sơ đô thứ hai cho ta biến đồi giống sơ đồ thứ nhất nhưns

có vè dễ thực hiện hơn nêu có cách dơn giản đề tính tỷ lệ hàm s(t) Bang cách rời rạc hoá s(t) và siới hạn tỷ lệ đè đạt hệ số nén bang 2, mỗi khối tính tỳ lệ trên hình 2.5 sẽ trờ thành một bộ lọc thông thấp và tiếp theo là bộ phân chia 2 Đây chính là cơ sở đê cùa biến đòi wavelet nhanh sẽ được nghiên cừu ờ phần sau.

Người ta đã dựa vào tinh chất cùa các tham số và bién sổ đe chia ra thành 4 loại biến đôi w avelet như sau:

1) Biển đỏi w av elet liên tục:

Biến đồi này tương tự như biến đổi Fourier Biến số t, tỷ lệ a (tương đương vứi tần số trong biến đổi Fourier) vả độ dịch I đều là các biển sô và tham sô liên tục.

2) Biến đổi w avelet tham số rời rạc:

Trong dó các tham số a, X được rời rạc hoá bởi a = aỊ" v à X = nT()a|” với a0, T(J là các khoảng lấy mầu và m, n là số tự nhiên Cá s(t) và Vị/(a0" t) vẫn là các hàm liên tục Điều này tương đươní^ với chuỗi Fourier, trong đó chỉ tàn sò

là tham số rời rạc Đổ tính toán có hiệu quà người ta thường dùng a0=2 và

DTVV T( m, n) = a~ - s( k )iị/ ( a^"' k - rvr0 ) (2.10) '['rong đó so với (2 9 ) thì thời gian đã được rời rạc hoá bời t = kT và chu kv lày mâu T = 1 Đ iêu này tương tự như chuồi Fourier rời rạc, trong đó

ca thời gian và tần số đều rời rạc.

4) Biến đôi w avelet rời rạc:

D W T (m ,n ) = 2 - £ s ( k ) \ j / ( 2 - " k _ n) (2.11)

k

Trons đó w av elet rời rạc V|y(k) có thê, nhimg không nhất thiết, phải là một phiên bản lay mẫu cùa một hàm liên tục Nó có thê là một hàm rời rạc không có phiên bản liên tục Khi Vị/(k) là hàm rời rạc cùa \Ị/(t) thì DVVT tương

tự như DTWT, với hàm \ị/(t) của (2.9) Trong tnrờng hợp này DW T gần giống với biên đôi Fourier rời rạc.

2.2 BIẾN ĐỎI W A V E L E T LIÊN TỤC

Cặp biến đối w av elet liên tục (CWT) như sau:

-Hăng sô này là một điều kiện để chấp nhận hàm \|/(t) là một wavelet Với C,,,<cc thi \ụ(t) phải thoả mãn:

'■F(co)| < so với mọi co

- T ( 0 ) = 0 tức là Ị vj/(t)đt = 0

Đ ôi với một biến dôi thì diều quan trọng cần có là nó phải có biến đồi ngược Đ iều này là cẩn thiết để đàm báo khôi phục hoàn hảo và đàm bào chi

có một cách trinh bày duy nhất một tín hiệu thông qua biến đổi đỏ Người ta

đã chứng minh dược rang biến đổi một tín hiệu một chiều s(t) vào miền wavelet hai chiều (a,x) dựa theo công thức (2.12) sẽ có biến đổi ngược nếu biên đôi này bào tôn năng lượng với một hệ sô hang Cy cho bởi (2 1 4 ) [3].2.3 BIẾN 1)01 W A V E L E T T H A M SỔ RÒI RẠC

Tro nu; biến đôi wavelet liên tục thì cà a và T đều là biến liên tục, do vậy

sẽ có nhiều du thừa khi bièu điền CWT cùa một tín hiệu s(t) [3] Chăc chấn là

ta khonsỊ cần tính CWT(a,x) cho tất cà các siủ trị có thể cỏ cùa (a,x) Trên thực tế thì (a,x) chỉ cẩn một sổ hữu hạn các giá trị Khi ta lày mâu các tham sô (a,t) du dẩy thì ta hoàn toàn có khả năng khôi phục s(t) từ CW T(a.x) với (a,t) rời rạc Điều này cũng tương tự như ta có thê khôi phục hoàn hão tín hiệu từ các mẫu của nó lấy tại tần số lấy mẫu lớn hơn hoặc bang tần số Nyquist Phụ thuộc vào kiểu của Vị>(t) và lưới lấy mẫu (a,x), đôi khi ta can các đối ngẫu đè khôi phục hoàn hảo Đặc biệt khi (a,x) dược lấy mầu bang lưới cơ sô hai (dvadic) và Vị/(t) có thể tạo ra một lớp hàm trực chuẩn \|/((t - i ) / a ) / V ã với (a.T) rời rạc thì s(t) có thể được tổ hợp chính xác bời tổng các trọng số của các hàm cơ sờ trực chuân.

Khi (a,x) là rời rạc và cho bời a = a ” , T = nT0a" , m, n là số tự nhiên thì biến dôi vvavelet tham sỏ rời rạc sẽ là:

D PW T (m ,n) = I s(t)v[7mn ( t )d t (2.15)

T r o n í i đó:

'H,,,,, ( 0 — â(l' ^ — n^ll) ị-) 16) Vno(0 = v|/(t)

và a0, To là các hàng số xác định chu kỷ lấy mẫu Chú ý ràng cả s(t) và V|./(t)

vàn là các hàm liên tục theo thời gian.

Nèu Vịimnịt) tạo thành một cơ sở trực chuẩn thi ta sẽ khỏi phục tín hiệu tlieo côn g thức sau:

s ( 0 = I l D P W T ( m , n ) v (t) (2.17)

III II

Nêu V|/mn(t) t ạ o t h à n h m ộ t k h u n g thì đ ể khỏi p h ụ c tín hiệu ta phái d ù n g

cúc k h u n g đối níiầu \ị/ m(t) cùa k h u n g V|;mn(t) the o công thức sau:

111 II Nhìn chung v iệ c chọn (ao,To) trong việc lấy mầu các biển liên tục

a = a"' , T = nT()a",’ sẽ xác định khả năng có biến đồi ngược của DPVVT Lưới lấy mầu quá thưa rõ ràng sẽ không cho phép khôi phục hoàn hảo Có các giá

trị ngưỡng cùa ( a (),To) đối với một hàm vy(t) nhất định mà dưới netrờng đó MVmơ) luôn tạo thành một khung Khi đó ta có thể khôi phục tín hiệu theo (2.18) Ta cũng có khà năng chọn (a0,T0) sao cho vỊ/nin(t) tạo thành một cơ sở

trực chuẩn và khi đó ta sẽ khôi phục tín hiệu theo (2.17).

Trone thực tế người ta thường lây a0 = 2 và To = 1, khi dó a = 2"', T - n 2m do đó:

37

Do biến đổi Fourier của VỊ/(at) / v ã là 4 ;(co/a)/a Vã nên khi tỷ lệ thời gian là a thì tần số trung tâm và băng tần đều tý lệ với một hệ số là 1/a Do vậy tham sỏ Q của tất cả các wavelet con là:

Vì thế nên người ta thường ÍIỌĨ đó là khả năng phân tích với hầng số Q của wavelet.

V iệc tìm kiếm các wavelet trực chuẩn tham sổ rời rạc có thời gian tồn tại hữu hạn là một chù đề nghiên cứu lớn do khả năng áp dụng của chúng rất

IỚI1 tronc thực tế Phần sau ta sẽ thấy rằng chúng là nhừng hàm không tam tlurừníi cua họ Daubechies tạo bời phép truy hồi Sau đây là hai ví dụ về các hàm trực chuàn, tham sô rời rạc (lav mẫu cơ sô hai) [3]:

I) Wavelet Haar

W avelet mẹ là:

1 , 0 < t < 0.5 V|/(t) = < - 1 , 0.5 < t < l

39

Một bộ lọc sổ là một hệ thống tuyến tính bất biến trong m iêng biên sô

n có sơ đồ khối như sau: