Tìm hiểu, nghiên cứu và ứng dụng một số thuật toán nén tiếng nói : Luận văn ThS. Công nghệ Thông tin : 60 48 05

Luận văn gồm các chương sau: Chương 1: Cơ sở toán học của luận văn Chương này trình bày những vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các chương saunhư nén dữ liệu, Zero Crossing, phép biến đổi C

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội – 2013

LỜI CAM ĐOAN

Với mục đích học tập, nghiên cứu để nâng cao kiến thức và trình độ chuyên môn nên tôi đã làm luận văn này một cách nghiêm túc và hoàn toàn trung thực

Trong luận văn, tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo của một số tác giả Tôi đã nêu ra trong phần tài liệu tham khảo ở cuối luận văn

Tôi xin cam đoan và chịu trách nhiệm về nội dung và sự trung thực trong luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ của mình!

Học viên: Nguyễn Như Hiền

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC BẢNG 4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 5

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA LUẬN VĂN 7

1.1 Nén dữ liệu 7

1.1.1 Khái niệm, định nghĩa 7

1.1.2 Phân loại nén dữ liệu 7

1.2 Điểm cắt Zero (Zero Crossing) 8

1.2.1 Khái niệm và định nghĩa 8

1.2.2 Trích chọn đặc trưng dựa vào điểm cắt Zero 8

1.2.3 Thuật toán lấy điểm cắt Zero 9

1.3 Phép biến đổi Cosin 11

1.3.1 Khái niệm và định nghĩa 11

1.3.2 Thuật toán Cosin và nén dữ liệu 15

1.4 Phép biến đổi Wavelet Haar 17

1.4.1 Phép biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) 19

1.4.2 Phép biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform - DWT) 21

1.4.3 Thuật toán Wavelet Haar và nén dữ liệu 22

1.5 Hệ số tương quan của các đại lượng ngẫu nhiên 26

1.5.1 Khái niệm và định nghĩa 26

1.5.2 Ý nghĩa của hệ số tương quan 27

CHƯƠNG 2 ÂM THANH, TIẾNG NÓI VÀ NHẬN DẠNG TIẾNG NÓI 30

2.1 Âm thanh và tiếng nói 30

2.1.1 Khái niệm về âm thanh 30

2.1.2 Tiếng nói, các đặc tính cơ bản của tiếng nói 30

2.2 Tổng quan về nhận dạng tiếng nói 30

2.2.1 Nhận dạng tiếng nói 30

2.2.2 Phân loại các bài toán nhận dạng tiếng nói 31

2.2.3 Quá trình nhận dạng tiếng nói 31

2.2.4 Một số hệ thống nhận dạng tiếng nói trên thị trường 33

CHƯƠNG 3 SỐ HÓA ÂM THANH 35

3.1 Âm thanh số 35

3.1.1 Một số khái niệm và định nghĩa 35

3.1.2 Số hóa âm thanh 36

3.2 File WAVE 37

3.2.1 Cấu trúc file Wave 37

3.2.2 Đọc, ghi file Wave 41

3.3 Nhiễu và khử nhiễu 43

3.3.1 Nhiễu 43

3.3.2 Khử nhiễu 43

CHƯƠNG 4 XÂY DỰNG ỨNG DỤNG NHẬN DẠNG TIẾNG NÓI 47

4.1 Xây dựng ứng dụng thử nghiệm 47

4.1.1 Bài toán nhận dạng tiếng nói 47

4.1.2 Mô tả bài toán nhận dạng từ đơn “Có” và “Không” 47

4.2 Tổ chức, chuẩn hóa dữ liệu 49

4.3 Học mẫu 49

4.4 Đối sánh đặc trưng và đánh giá kết quả 49

4.4.1 Thuật toán đối sánh theo hệ số tương quan 49

4.4.2 Thuật toán đối sánh qua phép biến đổi Cosin DCT 53

4.4.3 Thuật toán đối sánh qua phép biến đổi Wavelet Haar 55

4.5 Mô tả chương trình ứng dụng 55

4.6 Kết quả thử nghiệm 57

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Trọng lượng và vòng eo của 15 đối tượng 27

Bảng 1.2: Các cặp giá trị (Xi, Yi) với n học sinh trong một trường 28

Bảng 1.3: Số phần tử của mẫu n = 15 28

Bảng 3.1: Dạng tệp tin cơ bản 38

Bảng 3.2: Một dạng chuẩn của file Wave 39

Bảng 3.3: Khuôn dạng khúc fmt sử dụng cho dữ liệu PCM: 42

Bảng 4.1: Bảng số lượng mẫu thu thập hai từ “Có” và “Không” 57

Bảng 4.2: Bảng số lượng mẫu hai từ “Có” và “Không” lưu đặc trưng vào cơ sở dữ liệu 58

Bảng 4.3: Kết quả thử nghiệm chương trình với từ “Có” 58

Bảng 4.4: Kết quả thử nghiệm chương trình với từ “Không” 58

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1: Điểm cắt Zero biểu thị tương quan giữa điện áp và thời gian 8

Hình 1.2: Mô tả cách biểu diễn đoạn tín hiệu giữa hai điểm cắt zero qua tam giác ABC 9

Hình 1.3: Sơ đồ mô tả thuật toán xác định tệp f1.txt chứa các bộ ba {x,y,z} 10

Hình 1.4: Ví dụ phép biến đổi DCT một chiều 17

Hình 1.5: Biến đổi Wavelet 18

Hình 1.6: Mô tả các miền biến đổi của tín hiệu 18

Hình 1.7: Sóng sin và wavelet 18

Hình 1.8: Các thành phần wavelet tương ứng với các tỉ lệ và vị trí khác nhau 20

Hình 1.9: Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu 21

Hình 1.10: Hàm Wavelet ψ(t) và hàm tỉ lệ Haar φ(t) cơ bản 23

Hình 1.11: Tính toán chuẩn hóa biến đổi wavelet 25

Hình 1.12: Khôi phục lại từ một biến đổi wavelet đã được chuẩn hóa 26

Hình 1.13: Đồ thị tương quan giữa vòng eo và cân nặng của 15 đối tượng 29

Hình 2.1: Cấu trúc tổng quát của một hệ thống nhận dạng tiếng nói 32

Hình 3.1: Quá trình số hóa âm thanh 35

Hình 3.2: Nguyên lý số hóa âm thanh 36

Hình 3.3: Khuôn dạng tệp Wave 37

Hình 3.4: Cấu trúc file wave 39

Hình 3.5: Phần diễn dịch 41

Hình 3.6: Sơ đồ khối thuật toán lọc nhiễu sử dụng hàm năng lượng thấp 44

Hình 3.7: Dạng sóng của từ “Không” khi đọc qua mic (đã lọc năng lượng thấp) 45

Hình 3.8: Dạng sóng của từ “Không” ở trên sau khi lọc nhiễu dựa vào năng lượng tập trung 45

Hình 3.9: Sơ đồ khối thuật toán lọc nhiễu sử dụng năng lượng tập trung 46

Hình 4.1: Sơ đồ khối hệ thống nhận dạng từ đơn “Có” và “Không” 48

Hình 4.2: Xét sự tương quan giữa 2 dãy 51

Hình 4.3: Sơ đồ khối thuật toán đối sánh theo hệ số tương quan 52

Hình 4.4: Sơ đồ khối thuật toán đối sánh theo phép biến đổi Cosin DCT 54

Hình 4.5: Giao diện chính của chương trình 55

MỞ ĐẦU

Tiếng nói là một phương tiện trao đổi thông tin tiện ích vốn có của còn người Ước

mơ về những “máy nói”, “máy hiểu tiếng nói” đã không chỉ xuất hiện từ những câu truyện khoa học viễn tưởng xa xưa mà còn là động lực thôi thúc của nhiều chuyên gia nghiên cứu trên thế giới Hiện nay, nhiều thành tựu tiên tiến đã được đưa vào ứng dụng trong cuộc sống Tuy vậy, việc có được một “máy nói” mang tính tự nhiên (về giọng điệu, phát âm, …) cũng như một “máy hiểu tiếng nói” thực sự cho đến nay vẫn còn xa với mong muốn và yêu cầu thực tế của con người Cùng với xu thế phát triển của khoa học công nghệ ngày càng thúc đẩy việc hoàn thiện hơn nữa công nghệ để có thể đạt được mục tiêu của con người về lĩnh vực xử lý tiếng nói Chính vì thế, việc nắm bắt được các kỹ thuật cơ bản cũng như các công nghệ tiên tiến cho việc xử lý tiếng nói là thực sự cần thiết cho việc xây dựng các ứng dụng xử lý tiếng nói Với mục đích đó, luận văn đã tập trung vào việc tìm hiểu, nghiên cứu và tìm kiếm các đặc trưng của tiếng nói phục vụ cho việc nhận dạng.Trên cơ sở các kết quả nghiên cứu luận văn xây dựng ứng dụng để kiểm tra, đánh giá các đặc trưng.Với mục đích trên, không làm giảm ý nghĩa của nội dung nghiên cứu, luận văn đã chọn tiếng Việt để thử nghiệm Luận văn gồm các chương sau:

Chương 1: Cơ sở toán học của luận văn

Chương này trình bày những vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các chương saunhư nén dữ liệu, Zero Crossing, phép biến đổi Cosine, phép biến đổi Wavelet Haar, hệ số tương quan Peason

Chương 2: Âm thanh, tiếng nói và nhận dạng tiếng nói

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về âm thanh, tiếng nói và nhận dạng tiếng nói

Chương 3: Số hóa âm thanh

Chương này trình bày các phương pháp số hóa âm thanh, tiếng nói

Chương 4: Xây dựng ứng dụng để nhận dạng tiếng Việt

Chương này trình bày cách lấy đặc trưng tiếng nói, kỹ thuật nén các đặc trưng và thử áp dụng cho bài toán nhận dạng tiếng nói các từ đơn tiếng Việt

CHƯƠNG 1.CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA LUẬN VĂN 1.1.Nén dữ liệu

1.1.1.Khái niệm, định nghĩa

Trong công nghệ thông tin, Nén dữ liệu (tiếng Anh: Data compression) là việc biến đổi dữ liệu có dung tích lớn về dữ liệu có dung tích nhỏ hơn song vẫn có thể khôi phục lại dữ liệu ban đầu với độ chính xác nào đó Tùy thuộc vào khả năng khôi phục lại dữ liệu ban đầu, người ta chia nén dữ liệu thành hai loại: Nén bảo toàn thông tin (lostless) và nén không bảo toàn thông tin (lossy)

Nén dữ liệu là một lĩnh vực quan trọng trong Công nghệ Thông tin vì ngày càng

có nhiều bài toán dữ liệu quá lớn, thiết bị lưu trữ không đáp ứng được, tốn thời gian, tìm kiếm, tốn dung tích bộ nhớ Nén dữ liệu làm giảm dung tích lưu trữ, giảm thời gian truyền dữ liệu và giảm thời gian tìm kiếm, xử lý mà nhiều bài toán thực tế đòi hỏi Nhìn chung không có phương pháp nén tổng quát cho kết quả tốt đối với tất cả các loại tập tin Kỹ thuật nén tập tin thường được áp dụng cho các tập tin văn bản, các tập tin là hình ảnh, âm thanh, video, … Mỗi loại tập tin đòi hỏi các phương pháp nén khác nhau

1.1.2.Phân loại nén dữ liệu

Về nguyên tắc có 2 loại nén dữ liệu, nén bảo toàn thông tin và nén không bảo toàn thông tin Nén bảo toàn thông tin là loại dữ liệu được nén sau khi giải nén sẽ nhận được bản gốc ban đầu Một số kỹ thuật nén bảo tồn thông tin thông dụng là thuật toán Lempel-Ziv (LZ), DEFLATE, là một biến thể của thuật toán LZ, được tối ưu hóa nhằm tăng tốc độ giải nén và tỉ lệ nén, bù lại thuật toán này có tốc độ của quá trình nén chậm Các thuật toán nén bảo toàn thông tin được dùng để nén các file văn bản như file dạng word, excel, … Các loại dữ liệu này không được phép sai lệch so với bản gốc sau khi giải nén Ngoài ra còn một số thuật toán nén bảo toàn thông tin cơ bản khác như:

Nén không bảo toàn thông tinlà kiểu nén dữ liệu mà sau khi giải nén người ta không nhận lại được dữ liệu gốc.Đối với hình ảnh, âm thanh, video, nói chung các dữ liệu multimedia được nén theo kiểu này, ví dụ như nén MPEG, JPEG là kiểu nén mất

dữ liệu dùng cho các dữ liệu Multimedia Về nguyên tắc của loại nén này là dựa vào đặc tính sinh lý của các giác quan của con người, người ta có thể lược bỏ một số thành phần của dữ liệu mà con người không nhận ra

Ưu điểm của nénkhông bảo toàn thông tin so với nén bảo toàn thông tin đó là nén không bảo toàn thông tin cho tỉ lệ nén cao hơn rất nhiều so với bất cứ thuật toán nén bảo toàn thông tin

1.2.Điểm cắt Zero (Zero Crossing)

1.2.1.Khái niệm và định nghĩa

Điểm cắt zero là một khái niệm được sử dụng phổ biến trong kỹ thuật điện, toán học và xử lý ảnh Trong toán học, điểm cắt zero là điểm mà ở đó hàm số đổi dấu, ví dụ

từ dương sang âm và được biểu diễn bằng điểm cắt trên trục hoành

Hình 1.1: Điểm cắt Zero biểu thị tương quan giữa điện áp và thời gian

1.2.2.Trích chọn đặc trưng dựa vào điểm cắt Zero

Chúng ta xem đường cong tạo bởi tín hiệu của âm thanh là đường hình sin liên tụctheo thời gian t, khi đó điểm cắt zero là điểm đường cong cắt trục thời gian (t).Thay cho việc lưu giữ các giá trị mẫu tín hiệu trên cung ABC chúng ta chỉ lưu thông tin về tam giác ABC như mô tả ở hình 1.2

Hình 1.2: Mô tả cách biểu diễn đoạn tín hiệu giữa hai điểm cắt zero qua tam giác

ABC

Thông tin về tam giác ABC gồm:

 Độ dài cạnh AC được đo bằng x= t 2 -t 0

 Độ dài từ t 0 đến thời điểm giá trị tín hiệu đạt cực đạit 1 ta ký hiệulày=t 1 -

t 0 ;Về lý thuyết hàm tín hiệu liên tục φ(t)thì vị trí này luôn tồn tại

 Giá trị cực đại max của tín hiệu trên cung ABC kí hiệu là z

Khi đó kết quả thu được từ hàm tín hiệu φ(t) là tệp dữ liệu text mà mỗi đoạn nằm

giữa của 2 điểm cắt zero liên tiếp ứng với bộ ba tham số {x,y,z}

Trong đó: x: là độ dài giữa hai điểm cắt Zero liên tiếp;

y: là độ dài đoạn từ điểm cắt Zero thứ nhất đến thời điểm tín hiệu đạt giá trị max;

z: là giá trị max của tín hiệu

1.2.3.Thuật toán lấy điểm cắt Zero

Input: Tín hiệu tiếng nói, là chuỗi các biên độ ứng với giá trị tín hiệu tiếng nói Output: Dữ liệu là một chuỗi của các bộ 3 tham số {x,y,z}

Kí hiệu n là độ dài tệp dữ liệu được gọi tên là f.wave, dùng mảng A để đọc dữ liệu tiếng nói từ tệp dữ liệu f Duyệt từ byte thứ 44 cho đến cuối mảng A (do cấu trúc tệp

dữ liệu dạng wave, 44 byte đầu tiên lưu thông tin Header của tệp dữ liệu), xét dấu từng giá trị tín hiệu, nếu có sự đổi dấu của giá trị tín hiệu khi đó có tồn tại một điểm cắt zero Trong đoạn giữa hai điểm cắt zero liên tiếp này, tìm z là giá trị lớn nhất của tín hiệu, y là vị trí đạt z và x là độ dài đoạn tín hiệu đang khảo sát, nếu chọn bước lấy mẫu

là đơn vị thì x cũng là số mẫu được lấy trên đoạn tín hiệu trên Lưu bộ 3 giá trị này vào tệp dữ liệu f1 Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi hết tệp dữ liệu f, tệp dữ liệu có

n = f.length read(f,A)

z = A(i); y = i

x = dem; write (f1, x, y, z)

z = A(i); y = i; dem = 0 dau = lay_dau (A(i))

Hình 1.3: Sơ đồ mô tả thuật toán xác định tệpf1.txtchứa các bộ ba {x,y,z}

Các biến được sử dụng trong thuật toán lấy điểm cắt Zero được mô tả như trên Hình 1.3:

dau: nhận giá trị -1 hoặc +1 để nhận biết dãy giá trị tín hiệu đổi dấu, có nghĩa là

có điểm cắt Zero

A: lưu giá trị tín hiệu

x: lưu số mẫu hay số tín hiệu giữa 2 điểm cắt Zero

y: vị trí giá trị tín hiệu đạt cực đại giữa 2 điểm cắt Zero

z: giá trị biên độ cực đại hay giá trị cực đại của tín hiệu

n: số mẫu ứng với đoạn dữ liệu tiếng nói

dem: biến trung gian đếm số mẫu giữa 2 điểm cắt Zero

File f: chứa dữ liệu tiếngnói ngõ vào

File f1: chứa dữ liệu nén ngõ ra

1.3.Phép biến đổi Cosin

Phép biến đổi Cosin rời rạc (Discrete Cosine Transform - DCT) được Ahmed đưa

ra vào năm 1974 Kể từ đó đến nay nó được ứng dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật xử lý ảnh, âm thanh và các kỹ thuật xử lý tín hiệu số nói chung Mục đích của biến đổi Cosine rời rạc là nhằm giảm khối lượng dữ liệu của các tín hiệu mà vẫn bảo toàn chất lượng của tín hiệu

1.3.1.Khái niệm và định nghĩa

1.3.1.1.Phép biến đổi Cosinthuận rời rạc một chiều

Phép biến đổi Cosin thuận rời rạc một chiều được định nghĩa bởi công thức (1.1):

Khi dãy đầu vào x(n) là thực thì dãy các hệ số X(k) cũng là số thực Tính toán trên

trường số thực giảm đi một nửa thời gian so với biến đổi Fourier Để đạt được tốc độ biến đổi thỏa mãn yêu cầu của các ứng dụng thực tế, người ta đã cải tiến kĩ thuật tính toán và đưa ra nhiều thuật toán biến đổi nhanh Cosine như: Phép biến đổi Cosine nhanh FCT (Fast Cosine Transform)

1.3.1.2 Phép biến đổi Cosin ngược một chiều

Phép biến đổi Cosin ngược một chiều được định nghĩa bằng công thức (1.2):

như phép biến đổi FFT ngược Từ X(k) chúng ta phải khôi phục lại X M (k) bằng cách

thực hiện các phép cộng truy hồi và phép hoán vị theo thứ tự đảo bit Công thức tổng quát cho mỗi khối biến đổi ngược được xây dựng dựa trên công thức tổng quát trong biến đổi xuôi:

𝑋𝑚 −1 𝑖 =1

2𝑋𝑚 𝑖 + 𝑋𝑚 𝑖 + 𝑁

2𝑚

12𝐶𝑁/2𝑖 𝑚 −1 (1.4)

Phép biến đổi ngược phải cài đặt riêng Tuy vậy, tư tưởng chính của hai bài toán

xuôi và ngược về cơ bản giống nhau Đầu ra của phép biến đổi ngược sẽ là x’(n) Muốn thu được x(n) ta phải đảo vị trí

1.3.1.3 Phép biến đổi Cosin nhanh

Phép biến đổi Cosin nhanh viết tắt là FCT (Fast Cosine Transform), dựa vào ý tưởng đưa bài toán ban đầu về tổ hợp các bài toán biến đổi FCT trên các dãy con Việc tiến hành biến đổi trên các dãy con sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với dãy gốc Vì thế, người ta tiếp tục phân nhỏ dãy tín hiệu cho đến khi chỉ còn một phần tử

Giải thuật biến đổi Cosin nhanh không thực hiện trực tiếp trên dãy tín hiệu đầu vào

x(n) mà thực hiện trên dãy x’(n) là một hoán vị của x(n) Giả thiết số điểm cần tính

FCT là lũy thừa của 2: N=2M

Dữ liệu đầu vào sẽ được sắp xếp lại như sau:

𝑥′ 𝑖 = 𝑥 2𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑖 = 0, 1, … ,𝑁

2 − 1

𝑥′ 𝑁 − 𝑖 − 1 = 𝑥 2𝑖 + 1 𝑣ớ𝑖 𝑖 = 0, 1, … ,𝑁

2 − 1

Như vậy, nửa đầu dãy x’(n) là các phần tử chỉ số chẵn của x(n) xếp theo chiều tăng dần của chỉ số Nửa sau của x’(n) là các phần tử chỉ số lẻ của x(n) xếp theo chiều giảm

Có thể nhận ra ngay các công thức trên là các phép biến đổi Cosin N/2 điểm của

g(n) và h(n).Hai dãy g(n) và h(n)được tính toán một cách dễ dàng, g(n) là tổng của nửa

đầu dãy x’(n) với nửa sau của nó, h(n) là hiệu của nửa đầu dãy x’(n) với nửa sau của

nó Như vậy, bài toán biến đổi Cosin của dãy x’(n) đã được đưa về biến đổi Cosin của hai dãy là g(n) và h(n) có kích thước bằng một nửa x’(n), sau đó đem nhân với 2𝐶𝑁𝑛 Ta

lặp lại quá tŕnh chia đôi đ ối với các dãy con, dãy con của dãy con và cứ tiếp tục như

thế Mỗi bước lặp được coi là một tầng phân chia Với N = 2M thì số tầng phân chia là

M

Để dễ hình dung, đầu ra của mỗi tầng được kí hiệu là X m (n) với m là tầng hiện

thời Ta xem x’(n) là biến đổi Cosin(0) tầng của x’(n):

X 0 (n) = x’(n) (1.6)

X M (n) là biến đổi Cosin tầng M của x(n), nó không phải là X(k) Bởi vì cứ sau mỗi

tầng, không chỉ thứ tự các phần tử trong X(k) bị xáo trộn mà các X(2k+1) còn được cộng với X(2k-1) Đầu ra của một tầng là đầu vào của tầng tiếp theo

2𝑚 −1 Công đoạn biến đổi trên một dãy con gọi là một khối biến đổi Mỗi dãy con sẽ tiếp tục được phân làm hai dãy nhỏ hơn Công thức tổng quát của mỗi khối là:

 Thuật toán biến đổi nhanh Cosin

Thuật toán biến đổi nhanh Cosin có thể mô tả bằng các bước sau:

Bước 1: Tính dãy hệ số C i j

Xác định số tầng M=log2N Tầng hiện thời m=1

Bước 2: Nếu m ≤ M thực hiện bước 5 Nếu không kết thúc

(Chưa hết các khối trong một tầng)

Bước 3: Khối hiện thời k = 0

Bước 4: Nếu k<2m-1 Thực hiện bước 5 Nếu không thực hiện bước 6

(Chưa hết các khối trong một tầng)

Bước 5: Tính toán X m (i) trong khối theo công thức tổng quát (1.6),( 1.7)

Tăng k lên 1 Quay về bước 4

Bước 6: Tăng m lên 1 Quay về bước 2

(Chuyển đến tầng tiếp theo)

Khác với biến đổi Fourier nhanh, trong biến đổi Cosin, x(n) không phải đầu vào trực tiếp và X(k) không phải là đầu ra trực tiếp Ở đầu vào, x’(n) chỉ là cách sắp xếp lại

x(n) Chúng ta biết rằng tại mỗi tầng, đối với mỗi khối:

X(2i + 1) = X(2i +1) + X(2i -1)

Nên ở đầu ra, sau khi tính được X M (n) chúng ta phải thực hiện việc trừ truy hồi từ

tầng M về tầng 1 sau đó hoán vị lại theo thứ tự đảo bit mới thu được hệ số biến đổi

X(k) cần tính

Dãy hệ số C i j được tính trước một lần trong các ứng dụng mà số điểm tính FCT

không đổi hoặc chỉ nhận một số giá trị cụ thể, người ta thường tính trước C i j và ghi ra file Khi thực hiện biến đổi thì đọc từ file để lấy thông tin này

1.3.1.4 Phép biến đổi Cosinerời rạc hai chiều

 Phép biến đổi Cosine thuận rời rạc hai chiều được định nghĩa bởi công thức (1.11):

𝑋 𝑘1, 𝑘2 =4𝜀𝑘1𝜀𝑘2

𝑁1𝑁2 𝑥 𝑛1, 𝑛2 𝐶𝑜𝑠 𝜋 2𝑛1+ 1 𝑘1

𝜋 2𝑛2+ 1 𝑘22𝑁2

Trong đó, ε k1 , ε k2 nhận các giá trị như trong công thức biến đổi xuôi

1.3.2.Thuật toán Cosin và nén dữ liệu

Theo phép biến đổi Cosin một chiều được cho bởi công thức (1.1) chúng ta thấy:

Dữ liệu đầu vào là một tập hợp gồm n giá trị dữ liệu pt (các pixel, các mẫu âm

thanh, hoặc dữ liệu loại khác), và dữ liệu đầu ra là một tập hợp gồm n các hệ số biến đổi DCT X(k) Hệ số đầu tiên X (0) được gọi là hệ số DC, các phần còn lại được xem như là hệ số AC (những thuật ngữ này được thừa kế từ ngành kĩ thuật điện, chúng được hiểu như là “direct current” (dòng điện một chiều) và “alternating current” (dòng điện xoay chiều)),các hệ số này có thể âm hoặc có thể dương Để khôi phục lại dữ liệu gốc ban đầu ta sử dụng phép biến đổi Cosin ngược IDCT Phép biến đổi Cosin ngược IDCT được cho bởi công thức (1.8)

Đặc trưng quan trọng của phép biến đổi Cosin DCT, điều khiến nó trở nên rất hữu dụng trong nén dữ liệu đó là nó lấy các dữ liệu đầu vào có tương quan với nhau Hệ số

AC được coi là đại diện, các hệ số DC nhỏ không đáng kể Về mặt kỹ thuật người ta coi AC là năng lượng tập trung của nhóm

Nếu dữ liệu đầu vào bao gồm các khối dữ liệu có tương quan với nhau thì phần

lớn n hệ số biến đổi được tạo ra sau phép biến đổi cosin rời rạc DCT là 0 hoặc các số

rất nhỏ, và chỉ hệ số AC và một vài hệ số DC là đáng kể

Chúng ta nhận thấy rằng, các hệ số ở đầu khối chứa thông tin quan trọng và các hệ

số còn lại chứa thông tin ít quan trọng hơn Bởi vậy nén dữ liệu với phép biến đổi Cosin rời rạc được hoàn thành bằng cách làm tròn các hệ số Các hệ số nhỏ được làm tròn về 0 và các số lớn có thể được làm tròn về số nguyên gần nhất

Giải nén được thực hiện bằng cách áp dụng phép biến đổi Cosin ngược IDCT trên những hệ số đã được làm tròn Kết quả trong các giá trị dữ liệu ta được dãy sai khác với giá trị dữ liệu gốc ban đầu

Trong các ứng dụng thực tế, dữ liệu nén được phân chia thành các khối bao gồm n giá trị (người ta thường chọn n=8) và mỗi khối được áp dụng phép biến đổi DCT và được làm tròn từng giá trị một

Ví dụ sau đây minh họa sức mạnh của biến đổi Cosin rời rạc một chiều

Xét dãy pgồm 8hệ sốlàp={12;10;8;10;12;10;8;11}, áp dụng phép biến đổi DCT

một chiềuta nhận dược kết quả là:

q = {28.6375;0.571202;0.46194;1.757;3.18198; -1.72956; 0.191342; -0.308709}

Áp dụng phép biến đổi Cosin ngược IDCT với q ta có thể khôi phục lại dãy pban

đầu (loại trừ các lỗi nhỏ nguyên nhân bởi giới hạn độ chính xác của máy tính).Tuy nhiên mục đích của chúng ta ở đây là nén dữ liệu bằng cách làm tròn các hệ số

Đầu tiên chúng ta làm tròn các hệ số củadãy qthành dãy q 1= {28.6; 0.6; 0.5; 1.8; 3.2; -1.8; 0.2; -0.3}rồi áp dụng phép biến đổi Cosin ngược IDCT để khôi phục lại ta thu được dãy

p 1 = {12.0254; 10.0233; 7.96054; 9.93097; 12.0164; 9.99321; 7.94354; 10.9989}

Sau đó chúng ta tiếp tục làm tròn các hệ số củadãy q 1 với mức độ cao hơn thành

dãy q 2= {28; 1; 1; 2; 3; -2; 0; 0} và áp dụng phép biến đổi IDCT để khôi phục lại ta tiếp tục thu được dãy

p 2 = {2.1883; 10.2315; 7.74931; 9.20863; 11.7876; 9.54549; 7.82865; 10.6557}

Cuối cùng, chúng ta làm tròn cáchệ số của dãyq 2 thành dãyq 3 = {28; 0; 0; 2; 3; -2; 0; 0} và tiếp tục khôi phục lại dữ liệu từ phép biến đổi Cosin ngược IDCT ta thu được dãy

p 3 = {11.236; 9.62443; 7.66286; 9.57302; 12.3471; 10.0146; 8.05304; 10.6842}

từ dãy p 3 được khôi phục lại và dãy p ban đầu ta thấy rằng sự khác biệt lớn nhất

giữa hệ số gốc ban đầu (12) và hệ số được khôi phục lại (11.236) là 0.764 (hay là 6.4% của 12) Các bước thực hiện ví dụ cho kết quả trên thực hiện trong Matlab được liệt kê trong hình 1.4

Hình 1.4: Ví dụ phép biến đổi DCT một chiều

Ta nhận thấy rằng 8 hệ số dữ liệu gốc có thể được khôi phục lại với độ chính xác caochỉ với 4 bước biến đổi DCT một chiều

1.4.Phép biến đổi Wavelet Haar

Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có thành phần thời gian và tần số, ta cần dùng một phương pháp biến đổi sao cho độ phân giải thời gian

và tần số có thể thay đổi phù hợp với đặc tính của tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số Vấn đề này được giải quyết bằng cách thay thế phép di dời đơn giản trong STFT (Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn) bằng phép tịnh tiến và thay đổi tỉ lệ (shifts and scales) Điều này dẫn đến sự ra đời của một phép biến đổi mới đó là phép biến đổi wavelets

Phép biến đổi Wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền thời gian ngắn hơn đối với thông tin tần số cao

Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian, tần số, STFT :

Hình 1.5: Biến đổi Wavelet

Vậy biến đổi wavelet không dùng một miền thời gian – tần số, mà là miền thời gian – tỷ lệ

Hình 1.6: Mô tả các miền biến đổi của tín hiệu

Wavelets là các dạng sóng nhỏ có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung bình bằng 0 So sánh với sóng sin thì sóng sin không có khoảng thời gian giới hạn – nó kéo dài từ âm vô cùng đến vô cùng Và trong khi sóng sin là trơn tru và có thể dự đoán, wavelet lại bất thường và bất đối xứng Hình 1.7 mô tả sóng sin và wavelet

Hình 1.7: Sóng sin và wavelet

Biến đổi Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị và tỷ lệ (co dãn) của một hàm đơn hay gọi là hàm mẹ wavelet Vì vậy tín hiệu với thay đổi nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn là với một sóng sin trơn Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các wavelet

1.4.1.Phép biến đổi Wavelet liên tục(Continuous Wavelet Transform - CWT)

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) của một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) ψ(t), ψ(t) có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thoả mãn các tính chất sau đây:

a) Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm ψ(t) là bằng 0 Tức là:

Khi a >1 : hàm wavelet sẽ được trải rộng

Khi 0< a <1: thì hàm sẽ được co lại

Hình 1.8: Các thành phần wavelet tương ứng với các tỉ lệ và vị trí khác nhau

 Phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelets liên tục được tính như sau:

ψ 𝜔 = ψ 𝑡

+∞

−∞

e−𝑗𝑤𝑡dt 1.21

Với Ψ (ω) là biến đổi Fourier của ψ (t) :

Nếu W(a,b) là biến đổi CWT của f(t) bằng hàm Wavelet ψ(t), thì biến đổi ngược của biến đổi CWT sẽ được tính như sau:

𝑓(𝑡) = 1

1

𝑎 2 +∞

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn Do đó C được gọi là điều kiện tồn tại của biến đổi Wavelet Đây cũng là điều kiện một hàm cần phải thoả mãn để có thể được lựa chọn làm hàm wavelet

Có thể xem biến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép tính tích vô hướng giữa hai hàm f (t) và ψa,b(t) Các hàng của ma trận tương ứng với các giá trị của a và các cột tương ứng với các giá trị của b do cách tính biến đổi wavelet theo tích vô hướng đã trình bày ở trên:

1.4.2.Phép biến đổi Wavelet rời rạc(Discrete Wavelet Transform - DWT)

Việc tính toán các hệ số wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức phức tạp, sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ Để đơn giản người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí để tiến hành tính toán, cụ thể lựa chọn tiến hành tại các

tỷ lệ và các vị trí trên cơ sở luỹ thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều Quá trình chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính toán như trên tạo thành lưới nhị tố (dyamic) Một quá trình phân tích như thế hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ biến đổi wavelet rời rạc (discrere wavelet transform/ DWT)

Với nhiều tín hiệu, nội dung tần số thấp là quan trọng nhất, nó xác định tín hiệu Nội dung tần số cao chỉ làm tăng thêm hương vị Ví dụ như giọng nói người, nếu tách

bỏ phần cao tần, giọng có khác nhưng vẫn có thể hiểu được nội dung Tuy nhiên nếu loại bỏ tần số thấp đến một mức nào đó, sẽ không nghe rõ nữa Với phân tích wavelet

ta thu được hai thành phần tương ứng trên, cụ thể việc thực hiện như sau:

Hình 1.9:Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu

Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rời rạc hoá biến đổi Wavelet liên tục (CWT); việc rời rạc hoá được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như

sau:a = 2m; b = 2mn; m,n є Z Có thể hiểu phép biến đổi Wavelet rời rạc – DWT như

là áp dụng một tập các bộ lọc thông cao và thông thấp

1.4.3.Thuật toán Wavelet Haar và nén dữ liệu

Biến đổi Wavelet Haar được đề xuất vào năm 1909 bởi Alfréd Haar Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi cơ bản, đơn giản nhất trong các phép biến đổi Wavelet Biến đổi Haarsử dụng một hàm tỉ lệ φ(t) và hàm Wavelet gốc ψ(t), cả hai hàm được mô tả như trong hình 1.10a, để đại diện cho một số lượng lớn các hàm f(t) Đại diện là tổng vô hạn

Trong đó,c k và d j, k là các hệ số được tính toán

Hàm tỉ lệϕ(t) cơ bản là đơn vị xung

𝜙 = 1, 0 ≤ 𝑡 < 1

0, 𝑐á𝑐𝑕 𝑘𝑕á𝑐

Hàm φ(t − k) là một bản sao của hàmφ(t), tịnh tiến k đơn vị sang bên phải Tương

tự hàm φ(2t − k) là bản sao của hàm φ(t − k) thu nhỏ một nửa chiều rộng của φ(t − k) Các bản sao đã tịnh tiến được sử dụng để f(t) gần đúng tại thời điểm t khác nhau Các bản sao đã tỉ lệ được sử dụng để f(t) gần đúng ở độ phân giải cao hơn Hình 1.10b mô

tả hàm φ(2 j t − k) choj =0, 1, 2, và 3 và chok =0, 1, , 7

Các wavelet Haar cơ bản là hàm bước

𝜓 𝑡 = 1, 0 ≤ 𝑡 < 0.5

−1, 0.5 ≤ 𝑡 < 1

Từ đây chúng ta có thể thấy rằng wavelet Haar tổng quát ψ(2 j t - k)là một bản sao

của ψ(t) đã tịnh tiến k đơn vị sang bên phải và đã tỉ lệ tổng chiều rộng của nó là 1/2j

Ví dụ hình 1.10c cho thấy 4 wavelet Haar ψ(2 2 t − k) chok =0, 1, 2, và 3

Cả hai hàmφ(2 j t − k)vàψ(2 j t - k)là khác không trong khoảng rộng 1/2j Khoảng này

là khoảng hỗ trợ của chúng Khi khoảng hỗ trợ này có su hướng ngắn lại ta nói rằng

những hàm này có compact support

Hình 1.10: Hàm Wavelet ψ(t) và hàm tỉ lệ Haarφ(t) cơ bản

Để minh họa cách biến đổi Haar sử dụng để nén dữ liệu, chúng ta xét một mảng một chiều có n phần tử Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng n là một lũy thừa của 2 (Chúng ta sử dụng giả thiết này mà không mất đi tính tổng quát Nếu n có một giá trị khác, dữ liệu có thể mở rộng bằng cách thêm 0 vào Sau khi giải nén phần dữ liệu thừa

được loại bỏ.) Xét một mảng r gồm 8 giá trị p = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Trước tiên chúng ta tính toán 4 giá trị trung bình của 2 phần tử liên tiếp (1 + 2)/2 = 3/2, (3 +4)/2=7/2, (5 + 6)/2=11/2, và (7 + 8)/2=15/2 Ta không thể xây dựng lại 8 giá trị gốc ban đầu từ 4 giá trị này, vì vậy ta tính sự khác biệt của 4 cặp (1 − 2)/2=−1/2,(3

− 4)/2= −1/2, (5 − 6)/2= −1/2, và (7 − 8)/2= −1/2 Ta gọi những khác biệt này là các hệ

số chi tiết (detail coefficients) Chúng ta có thể coi các giá trị trung bình là biểu diễn

độ phân giải thô của dữ liệu gốc và các hệ số chi tiết là dữ liệu cần thiết để xây dựng lại dữ liệu gốc từ độ phân giải thô Nếu các giá trị là tương quan khi đó biểu diễn dữ liệu thô sẽ gần giống với dữ liệu gốc, trong khi đó các hệ số chi tiết rất nhỏ Điều này giải thích vi sao wavelet Haar nén dữ liệu sử dụng các giá trị trung bình và các hệ số chi tiết

Từ các giá trị trung bình và các hệ số chi tiết ta có mảng q = {3/2, 7/2, 11/2, 15/2,−1/2,−1/2,−1/2,−1/2} Thật dễ để thấy rằng từ mảng q này ta có thể khôi phục lại mảng p ban đầu Mảng q này có 8 phần tử nhưng 4 phần tử cuối của nó, độ khác biệt

có xu hướng số nhỏ, điều này giúp ích trong việc nén dữ liệu Tiếp tục cách này ta lặp

lại quá trình trên 4 giá trị trung bình (các giá trị lớn trong mảng q), chúng chuyển sang

dạng 2 thành phần là các giá trị trung bình và các hệ số chi tiết ta được mảng

p’ = {10/4, 26/4,−4/4,−4/4,−1/2,−1/2,−1/2,−1/2}

Bước tiếp theo và là cuối cùng ta lặp đi lặp lại quá trình này để chuyển đổi hai phần tử đầu tiên của mảng mới thành một giá trị trung bình (giá trị trung bình của tất

cả 8 phần tử của mảng q ban đầu) và một hệ số chi tiết ta được mảng

q’= {36/8,−16/8,−4/4,−4/4,−1/2,−1/2,−1/2,−1/2}

Mảng q’ cuối cùng này là kết quả biến đổi wavelet Haar của các dữ liệu ban đầu

Phép biến đổi wavelet Haar có xu hướng làm nhỏ khối hệ số chi tiết so với giá trị

dữ liệu gốc, nhờ vậy nó xuất hiện nhiều giá trị giống nhau nên rất thuận tiện cho việc nén sử dụng RLE, kết hợp với kỹ thuật nén mã hóa Huffman sẽ tăng hiệu quả của quá trình nén Nén có tổn thất dữ liệu có thể đạt được nếu một vài hệ số chi tiết nhỏ hơn được làm tròn hay thậm trí xóa bỏ hoàn toàn (thay thành 0)

Trước khi tiếp tục, chúng ta tính toán độ phức tạp tính toán của phép biến đổi, có nghĩa là tính số phép toán số học cần thiết theo kích thước dữ liệu đầu vào để thực hiện phép biến đổi Trong ví dụ trên chúng ta cần (8 + 4 + 2) = 14 phép tính (phép tính cộng và trừ), số 14 này có thể viết thành 14 = 2(8 - 1) Trong trường hợp tổng quát, giả

sử rằng chúng ta bắt đầu với kích thước dữ liệu đầu vào là N=2 n Trong vòng lặp đầu

tiên chúng ta cần 2 n phép tính, trong vòng lặp thứ 2 chúng ta cần 2 n-1 phép tínhvà tiếp

tục cho đến vòng lặp cuối cùng ta cần 2 n-(n-1) = 2 1 phép tính Như vậy tổng số các phép tính là

Phép biến đổi wavelet Haar của dữ liệu đầu vào kích thước N có thể thực hiện với

2(N – 1) phép tính, vì vậy độ phức tạp tính toán của nó là O(N), một kết quả tuyệt vời

Nó rất hữu ích để kết hợp với mỗi lần lặp một đại lượng gọi là độ phận giải (resolution), được định nghĩa là số lượng giá trị trung bình còn lại ở vòng lặp cuối Độ phân giải sau mỗi lần lặp của ba lần lặp trong ví dụ trên là 4(= 22), 2(= 21), và 1(= 20) Mỗi phần tử của phép biến đổi wavelet cần phải được chuẩn hóa bằng cách chia cho căn bậc hai của độ phân giải (đây là trực chuẩn của biến đổi Haar - orthonormal Haar transform), vì vậy biến đổi wavelet của chúng ta trở thành

Hai thủ tục trong Hình 1.11 thể hiện cách phép biến đổi wavelet tính toán chuẩn

hóa một mảng n phần tử (n là lũy thừa của 2) Khôi phục lại mảng gốc từ mảng đã

được phép biến đổi wavelet chuẩn hóa được thể hiện bằng hai thủ tục trong Hình 1.12

procedure NWTcalc(a:array of real, n:int);

//n là kích thước của mảng (Một lũy thừa của 2)

a:=a/√n // chia toàn bộ mảng

Hình 1.11: Tính toán chuẩn hóa biến đổi wavelet

procedure NWTreconst(a:array of real, n:int);

end;

procedure NWTRstep(a:array of real, j:int);

Hình 1.12: Khôi phục lại từ một biến đổi wavelet đã được chuẩn hóa

Những thủ tục này nhìn khác với việc tính giá trị trung bình và độ sai khác ở trên,

chúng không tính toán giá trị trung bình vì chúng chia cho √2 thay vì 2 Thủ tục đầu tiên bắt đầu bằng cách chia các phần tử cho √n và cái thứ hai kết thúc bằng cách làm

ngược lại Tuy nhiên kết quả cuối cùng vẫn giống với cách làm trên Bắt đầu với mảng

p = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, ba vòng lặp của thủ tục NWTcalc cho kết quả như sau

1.5.Hệ số tương quan của các đại lượng ngẫu nhiên

1.5.1.Khái niệm và định nghĩa

Hệ số tương quan là chỉ số đo mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng ngẫu nhiên

X và Y

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X nhận các giá trị x 1 , x 2 , …, x i , x n tương ứng đại lượng

ngẫu nhiên Y nhận các giá trị y 1 , y 2 , …, y i , y n Khi đó hệ số tương quan Pearson được xác định theo công thức (1.31)

r = (𝑥𝑖 − 𝑥

𝑛 𝑖=1 )(𝑦𝑖 − 𝑦 )

𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑖=1 𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦 2

𝑖=1

(1.31) Hay

r = 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑛𝑥

𝑛

𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑛𝑥 2 𝑖=1 𝑛 𝑦𝑖2 − 𝑛𝑦 2

𝑖=1

(1.32) Trong đó, 𝑥 và𝑦 là giá trị trung bình các giá trị biến số x(i) và y(i)

1.5.2.Ý nghĩa của hệ số tương quan

Hệ số tương quan có giá trị từ -1 đến +1 Hệ số tương quan bằng 0 (hay gần 0) có nghĩa là hai đại lượng ngẫu nhiên không có liên hệ gì với nhau; ngược lại nếu hệ số bằng -1 hay 1 có nghĩa là hai đại lượng ngẫu nhiên có một mối liên hệ tuyệt đối Nếu giá trị của hệ số tương quan là âm (r<0) có nghĩa là khi X tăng cao thì Ygiảm (và ngược lại, khi X giảm thì Y tăng); nếu giá trị hệ số tương quan là dương (r > 0) có nghĩa là khi X tăng cao thì Y cũng tăng, và khi Xgiảm thì Y cũng giảm theo

Tóm lại: với r ta có một số kết luận sau:

 −1 ≤ 𝑟 ≤ 1

 r được dùng để ước lượng hướng và độ mạnh của mối quan hệ giữa X,Y

𝑟 > 0,8 tương quan mạnh

𝑟 = 0,4 − 0,8 tương quan trung bình

𝑟 < 0,4 tương quan yếu

𝑟 càng lớn thì tương quan giữa X và Y càng chặt

𝑟 > 0 hướng TN – ĐB, 𝑟 < 0 hướng TB – ĐN

0 < 𝑟 < 1 : gọi là tương quan tuyến tính thuận (X↑,Y↑)

−1 ≤ 𝑟 ≤ 0 : gọi là tương quan tuyến tính nghịch (X↑,Y↓)

 Trong ứng dụng thực tế tùy thuộc vào tính chất và tầm quan trọng của từng lĩnh vực người ta định ra các ngưỡng cho r để ra quyết định

Ví dụ

Cân nặng và vòng eo Số liệu sau đây được trích ra từ một nghiên cứu qui mô (trên

3000 người) ở Việt Nam về mối liên hệ giữa các chỉ số nhân trắc và bệnh tiểu đường Trọng lượng và vòng eo của 15 đối tượng:

Bảng 1.1: Trọng lượng và vòng eo của 15 đối tượng

Trọng lƣợng (kg) 51 66 47 54 64 75 54 52 53 52 48 46 63 40 90 Vòng eo (cm) 71 89 64 74 87 93 66 74 75 72 70 66 81 57 94

Gọi X là biến ngẫu nhiên để đo trọng lượng và Ylà biến ngẫu nhiên chỉvòng eo của đối tượng Với n đối tượng ta có n cặp giá trị (xi,yi) như trong Bảng 1.2

Bảng 1.2: Các cặp giá trị (Xi,Yi) với n học sinh trong một trường

r = (𝑥𝑖 − 𝑥

15 𝑖=1 )(𝑦𝑖 − 𝑦 )

15 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑖=1 15 𝑦𝑖 − 𝑦 2

𝑖=1

= 1831

2290 ∗ 1715.7= 0.92 r=0.92 tương quan mạnh

Hình 1.13: Đồ thị tương quan giữa vòng eo và cân nặng của 15 đối tượng