Đề thi đại học môn Toán khối A 2009 - Bám sát cấu trúc Bộ giáo dục

Các mặt bên tạo với đáy góc β.. Tính góc giữa hai mặt phẳng AKC và SAB theo β.. Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng HIKvà mặt phẳng toạ độ Oxy.. Học sinh tự giải... Tính cosin của góc t

Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo

ĐỀ THAM KHẢO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009

Môn thi : TOÁN, khối A

Thi thử thứ năm hàng tuần (26.02.2009)

ĐỀ 02

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2 điểm )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2

y =x + x + x +

2 Tìm trên đồ thị của hàm số y =2x4 −3x2 +2x + những điểm 1 A có khoảng cách đến đường thẳng

( )d : 2x −y −1=0 nhỏ nhất

Câu II: ( 2 điểm )

2 log x =log x.log 2x +1−1

2 Cho tam giác ABC có A B, nhọn và thỏa mãn 2 2 2009

sin A+sin B = sinC Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C

Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân

2

3

1 sin cos sin

π

π

=

−

∫

Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tứ diện đều S ABCD Các mặt bên tạo với đáy góc β Gọi K là trung điểm cạnh SB Tính góc giữa hai mặt phẳng (AKC) và (SAB) theo β

Câu V: ( 1 điểm ) Cho bất phương trình : 2 3 2 ( 2 )

2

4

x

nghiệm x thuộc tập xác định

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )

1 Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C có phương trình: 2 2

x +y − x + = Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với ( )C mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 0

60

2 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm 1; 0; 0 , 0; ; 0 ,1 1;1;1

      Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng

(HIK)và mặt phẳng toạ độ Oxy

Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 2 2 2

1

a +b +c = Chứng minh rằng :

3 3 2

b +c +c +a +a +b ≥

2 Theo chương trình Nâng cao :

Câu VI.b ( 2 điểm )

1 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho đường thẳng ( ):

d = = và các điểm A(2; 0;1 ,) (2; 1; 0 ,) (1; 0;1)

B − C Tìm trên đường thẳng ( )d điểm S sao cho : SA SB SC+ +









đạt giá trị nhỏ nhất

2 Viết phương trình đường phân giác trong của 2 đường thẳng : ( )d1 : 2x +y+3= 0, ( )d2 :x +2y+6= 0

Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn a + + b c =1 Chứng minh rằng :

6

a +b + b +c + c +a ≤

GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt Đáp án đăng tải tại http://www.maths.vn sau 15h cùng ngày

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2 điểm )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =x3 +4x2 +4x + 1

2 Tìm trên đồ thị của hàm số 4 2

y = x − x + x + những điểm A có khoảng cách đến đường thẳng ( )d : 2x −y −1=0 nhỏ nhất

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =x3 +4x2 +4x + Học sinh tự giải 1

2 Tìm trên đồ thị của hàm số 4 2

y = x − x + x + những điểm A có khoảng cách đến đường thẳng ( )d : 2x −y −1=0 nhỏ nhất

A x y ∈ = y x − x + x + ⇒ y = x − x + x +

( )

( )

A d

+ −

( )

2 2 0

,

2

A d

x

d

Vậy min ( ,( )) 7 5

40

A d

0

x − = ⇔ x = ±

Câu II: ( 2 điểm )

2 log x =log x.log 2x +1−1

Điều kiện:

0

x

x

 >









+ − >



1

2

3

1

2

x

=





4

x

x x



=



thỏa x > 0

2 Cho tam giác ABC có A B, nhọn và thỏa mãn 2 2 2009

sin A+sin B = sinC Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C

sin A+sin B+sin C =2+2 cos cos cosA B C ( bài tập giáo khoa đại số 10)

sin A+sin B = sinC ⇔ sin C + sinC =2+2 cos cos cosA B C

Vì 2 2009

sin C + sinC ≤ nên 2 2+2 cos cos cosA B C ≤2⇒ cos cos cosA B C ≤0 ( )*

Do tam giác ABC có ,A B nhọn , đẳng thức ( )* ⇒cosC ≤0 ( )1

Mặt khác : 0<sinC ≤1⇒sin C ≤ 2009sinC hay sin C ≤ sin A+sin B ⇔c ≤a +b ( định lý hàm sin)

( )

Từ ( )1 và ( )2 suy ra cos 0

2

Vậy tam giác ABC vuông tại C

Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân

2

3

1 sin cos sin

π

π

=

−

∫

Cách 1 :

4

cos

x

x

π

sin

1 4

π

2

3

4

π

π

π

∫

Cách 2 :

−

Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tứ diện đều S ABCD Các mặt bên tạo với đáy góc β Gọi K là trung điểm cạnh SB Tính góc giữa hai mặt phẳng (AKC) và (SAB) theo β

Gọi O là tâm hình vuông ABCD cạnh a Khi đó SO ⊥(ABCD) và SO =h

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho OA≡Ox OB, ≡Oy OS, ≡Oz và O(0; 0; 0 ,) A a( ; 0; 0 ,) B(0; ; 0 ,a )

( ; 0; 0 ,)

C −a (0; ; 0 ,) (0; 0; ), 0; ;

2 2

a h

 

2

h a

β

+

 

 

( )

2

2

2

1 cos

1

2 cos

h

a

β β

⇒  =

 

Gọi µlà góc giữa hai mặt phẳng (AKC) và (SAB)

Mặt phẳng (AKC đi qua K và chứa trục Ox nên có phương trình : ) −hy+az =0

( )

2

1

2

h a

µ

 

−  

Từ ( )1 và ( )2 suy ra

3

2

3 cos 1 cos

2 1 cos

β µ

β

−

=

+ Câu V: ( 1 điểm ) Cho bất phương trình : 2 3 2 ( 2 )

2

4

x

nghiệm x thuộc tập xác định

Điều kiện : 2− <x < 2

2

4

x

−

Xét hàm số :f x( ) =x4 −2x3 −5x2, xác định và liên tục trên khoảng (−2;2)

Trên khoảng (−2;2)ta có : f'( )x = 4x3 −6x2 −10x

( )

( ) ( )

5 2;2 2

x





 = ∉ −



Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra : bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 12 >8−m ⇔m > − 4

Chú ý : Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc tập xác định khi và chỉ khi

− > − ⇔ >

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )

1 Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C có phương trình: 2 2

x +y − x + = Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với ( )C mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 0

60 Phương trình của ( )C có dạng: ( )2 2

x − +y = , có tâm là I( )3; 0 , bán kính R =2

Vẽ đường tròn trên hệ trục toạ độ Oxy, dễ thấy trục tung không có điểm chung với đường tròn ( )C Do đó, qua một điểm

M bất kì trên tục tung luôn kẻ được hai tiếp tuyến của ( )C

Giả sử điểm M (0;m)tùy ý thuộc trục tung.Qua M , kẻ các tiếp tuyến MA và MB của ( )C , trong đó ,A B là các tiếp điểm

Từ giả thiết góc giữa 2 đường thẳng MA và MB bằng 0

60 nên ta luôn có





0 0

60 (1)

120 (2)

AMB AMB





Vì MI là phân giác của AMBnên :

 0 2

0

sin 30

IA

0

sin 60

Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*)

Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: M(0;− 7)và M(0; 7)

2 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm 1; 0; 0 , 0; ; 0 ,1 1;1;1

      Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng

(HIK)và mặt phẳng toạ độ Oxy

Mặt phẳng (HIK)có vectơ chỉ phương là 1 1; ; 0 , 1;1;1

nên có vectơ pháp tuyến là










, (HIK)chọn vectơ pháp tuyến là m =(2;2; 9− )



Mặt phẳng (HIK) đi qua 1; 0; 0

2

  và có vectơ pháp tuyến là m =(2;2; 9− )



, nên có phương trình :

1

2

Mặt phẳng (Oxy):z =0

Góc tạo bởi hai mặt phẳng () (, ) : cos 0.2 0.2 9 9

Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 2 2 2

1

a +b +c = Chứng minh rằng :

3 3 2

b +c +c +a +a +b ≥

Phân tích bài toán :

•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a< ≤b ≤ thoả mãn điều kiện c a2 +b2 +c2 = , vậy ta có thể suy ra 1

0<a ≤b ≤c < hay không? Như vậy điều kiện 1 a b c, , không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi

, , 0;

•Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ? Dễ thấy 2 2 2

1

a +b +c = và 2 2 2 2 2 2

b +c c +a a +b Gợi ý ta đưa bài toán

về dạng cần chứng minh :

3 3 2

• Vì vai trò , ,a b c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích

3 3 2

2 2

2 2

2 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

a

a a

b

b b

c

c c



≥



−





≥



−





≥



−



•Ta thử đi tìm lời giải :

a

Dễ thấy







Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

2 =2a +(1−a ) (1+ −a )≥3 2 (1a −a )(1−a )

3

Tương tự cho các trường hợp còn lại

Bài giải dành cho độc giả : Độc giả muốn tìm hiểu thêm về điểm rơi bất đẳng thức trong côsi ( AM_GM) vui lòng

tìm đọc bài viết trên diễn đàn toán học Việt Nam http://www.maths.vn hoặc diễn đàn toán học thế giới

http://www.mathlinks.ro , hi vọng qua các bài toán điểm rơi trong AM_GM sẽ giúp các em THPT một cách nhìn mới về bất đẳng thức cổ điển thuộc chương trình THPT hiện nay , BĐT rất đơn giản và dễ hiểu Chúc các bạn độc giả thành công

Câu VI.b ( 2 điểm )

1 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho đường thẳng ( ):

d = = và các điểm A(2; 0;1 ,) (2; 1; 0 ,) (1; 0;1)

B − C Tìm trên đường thẳng ( )d điểm S sao cho : SA SB SC+ +









đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán này nhiều cách giải , tôi đưa ra một cách giải ngắn gọn chứ không phải là cách giải đẹp!

Gọi G là trọng tâm tam giác 5; 1 2;

3 3 3

Dễ thấy SA+SB+SC = 3SG ⇒ SA+SB+SC =3SG
























SA+SB +SC









đạt giá trị nhỏ nhất khi 3 SG



đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó S là hình chiếu của G lên ( )d Giả sử ( ) β là mặt phẳng qua G và vuông góc với ( )d , thì phương trình mặt phẳng ( ) β :x +2y +3z −3 =0 Khi đó toạ độ điểm S cần tìm là giao điểm của đường thẳng ( )d và mặt phẳng ( ) β , toạ độ điểm S thoả mãn hệ :

( )

( )

3 14

; ;

:

14

x

d

z

β



=





2 Viết phương trình đường phân giác trong của 2 đường thẳng : ( )d1 : 2x +y +3 =0, ( )d2 :x +2y +6 =0 Đây là phần giảm tải thuộc chương trình THPT Do đó độc giả nghiên cứu thêm

Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn a + + b c =1 Chứng minh rằng :

6

a +b + b +c + c +a ≤

Phân tích bài toán :

•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a< ≤b ≤ thoả mãn điều kiện c a + +b c = , dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 1

a b c

 < = =





1

3

• Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a +b + b+c + c +a ≤ 6(a + +b c) hay

•Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

( )

Tương tự cho các trường hợp còn lại

Cách khác :

Giả sử với mọi m >0, ta luôn có : 1 ( ) 1

2

  Vấn đề bây giờ ta dự đoán 0

m > bao nhiêu là phù hợp?

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi 1 2

3 3

m

a b

 + =





= =

Giải :

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

2 _

2 _

2 _























a b c

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

a =b =c =

Chúc các em thành công