ÔN THPT QUỐC GIA ĐÁP ÁN CHI TIẾT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ CÁC DẠNG TOÁN

bằng Câu 3: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp tứ giác đều có , côsin góc hợp bởi... Câu 10: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng.. mà SAC là tam giác Câu 19: [Lớp T

Trang 1

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 – THỂ TÍCH VÒNG 2

 Cần nhớ!

1

2

3 Các công thức tính nhanh + tỉ lệ thể tích

Công thức 1 Cho hình chóp S ABC Trên các đoạn

thẳng SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , M N K khác , ,

Công thức 3 Mặt phẳng   cắt các cạnh của khối

lăng trụ ABC A B C    lần lượt tại M N P sao cho , ,

S

N

K M

CHINH PHỤC ĐIỂM 8,9,10 KÌ THI THPT QUỐC GIA ĐÁP ÁN CHI TIẾT : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ CÁC DẠNG TOÁN (MỨC 8+) LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Tham gia Group chinh phục 8+ https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/

Trang 2

Công thức 4 Cho hình hộp ABCD A B C D    , lấy

1, 1, 1, 1

A B C D lần lượt trên các cạnh AA BB CC DD, , , 

sao cho bốn điểm ấy đồng phẳng Ta có tỉ số thể tích hai

V  h BB  BB với h là khoảng cách giữa hai

đáy, ,B B là diện tích của hai đáy

Công thức 8 Thể tích khối tứ diện biết các góc , ,  

Trang 3

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 – THỂ TÍCH VÒNG 2 Công thức 9 Cho tứ diện ABCD có

ABa CDb d AB CD d AB CD  Khi đó

1sin6

ABCD

Công thức 10 Cho hình chóp S ABC với các mặt

phẳng SAB , SBC , SCA vuông góc với nhau từng

đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt , ,

Công thức 11 Cho hình chóp S ABC có SA vuông

góc với ABC, hai mặt phẳng SAB và SBC

vuông góc với nhau, BSC;ASB

Khi đó:

3

.sin 2 tan12

S ABC

SB

Công thức 12 Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC

là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b

Công thức 13 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có

cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc



Khi đó:

3

tan24

S ABC a

Trang 4

Công thức 14 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có

các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng

S ABC

Công thức 15 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có

đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a, và

A'

D

Trang 5

( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

 Công thức tính diện tích tam giác:

 , r bán kính đường tròn nội tiếp

 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

3 Diện tích đa giác:

 Tam giác vuông

H

C B

Trang 6

 Đặt biệt: 1 trong các góc trong của hình thoi bằng 60,

khi đó hình thoi được tạo bởi 2 tam giác đều

32

A

C D

Trang 7

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 – THỂ TÍCH VÒNG 2 Câu 2: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 4, chiều cao của

khối chóp bằng chiều cao của tam giác đáy Gọi M là trung điểm của cạnh SA Thể tích của khối chóp M ABC bằng

Câu 3: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp tứ giác đều có , côsin góc hợp bởi

Trang 8

Gọi cạnh hình vuông đáy là ,góc hợp bởi hai mặt phẳng và là góc nhọn

1101

10

2 11

x a

Trang 9

Gọi cạnh hình vuông đáy là ,góc hợp bởi hai mặt phẳng và là góc nhọn

Áp dụng định lí cosin trong tam giác có

Câu 6: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là

trung điểm của SB, N là điểm thuộc cạnh SC sao cho SN2CN , P là điểm thuộc cạnh SD

sao cho SP3DP Mặt phẳng (MNP cắt ) SA tại Q Biết khối chóp S MNPQ có thể tích bằng

1, khối đa diện ABCD QMNP có thể tích bằng

a x

Q

Trang 10

Câu 7: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình hộp chữ nhật ABCD EFGH có AB 3, CB 1, CG 2 Gọi

M là trung điểm FG Tính thể tích khối đa diện MBCHE

Câu 8: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A

và ABa, ACa 3, mặt phẳng A BC  tạo với đáy một góc 30 Thể tích của khối lăng trụ

ABC A B C   bằng

A

3

312

a

3

33

a

3

3 34

a

3

34

C D

E

Trang 11

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , ta có BC AH BC AA H BC A H

Câu 9: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi có hai

đường chéo ACa, BDa 3 và cạnh bên AA a 2 Thể tích V của khối hộp đã cho là

Trang 12

Câu 10: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 a Tính

thể tích V của khối chóp SABC

A

3

36

S ABC

a

3

1112

Trang 13

3111

3211

Trang 14

Câu 12: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,

32

a AA  Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích V của khối lăng trụ đó theo a

Câu 13: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABC ; tam giác ABC đều; SAABC, mặt phẳng

SBC cách A một khoảng bằng a và hợp với ABC góc 30 Thể tích của khối chóp S ABC

a

3312

a

3

49

a

Lời giải

Trang 15

Gọi D là trung điểm BC

Trong SAD dựng AH SD với HSD

Câu 14: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABC có đáyABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc mặt đáy, đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc 60 o Thể tích khối chóp S ABC .bằng

a

Lời giải

Trang 16

Tam giácABC đều có diện tích là:

234

a

S 

Do SAmp ABC  nên góc giữa SB và mp ABC  là SBA 600

Vì SAmp ABC  nên SAAB

Trong ABC vuông tại A có SA AB tanSBAa tan 600 a 3

Khối chóp S ABC có đáy là ABC  , chiều cao SA có thể tích là:

Câu 15: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 30 Thể tích của khối chóp

đã cho bằng

A

333

Mặt khác, theo giả thiết ABBC Do đó B C  (SA B) nên SBBC

 Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (A B C D)là góc SBA 30

Trang 17

Ta có SBSCa, BSC 60 suy ra tam giác BSC đều BCa

Lại có SASCa, ASC 90 suy ra tam giác ASC vuông cân tại S ACa 2

Mặt khác, SASBa, ASB 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB, ta được:

C'

B' B

B'

B

D' D

Trang 18

Gọi x là độ dài cạnh hình lập phương ABCD A B C D , khi đó hình chữ nhật ' ' ' ' BDD B' ' có

d B ACD d D ACD  B I DI  x  a nên x3a

Lại có thể tích của ABCD A B C D ' ' ' ' là ka3 nên ka3 27a3 k27

Câu 18: [Lớp Toán Thầy Huy]Tính thể tích Vcủa khối chóp tứ giác đều S ABCD mà SAC là tam giác

Câu 19: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh ' ' '

bằng a và A BC'  hợp với mặt đáy ABC một góc 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ  ' ' '

Trang 19

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC Suy ra AH BC

'

A H BC

Mà ABC  A BC' BC

 Góc giữa A BC'  và ABC bằng góc AH A H; '  AHA'30 

Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên AH  a 3

 Góc giữa A BC'  và ABC bằng góc AH A H; '  AHA'30 

Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên AH  a 3

a

A AAH 30 

2

Trang 20

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là ' ' ' V  A A S' ABC  a a  a

Câu 20: [Lớp Toán Thầy Huy]Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy bằng

a, góc giữa đường A C ' và mặt (ABB') là 30?

A 3 3

.4

4

.2

.8

2 2

Trang 21

Giả sử ta có khối lập phương thỏa mãn yêu cầu bài toán là ABCD A B C D     có cạnh bằng a và khối tứ diện đều có 4 đỉnh là đỉnh của khối lập phương là D AB C  có cạnh bằng a 2 Khi đó, thể tích của khối tứ diệnD AB C  là  3  3 3

Câu 22: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABC có SAABC, ABC là tam giác đều cạnh 2a

, SB  2 a 2 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

Trang 22

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A0;0;0,C4; 0;0 , D0;6; 0 Gọi tọa độ điểm B

Mặt phẳng CAD(Oxy) nên có phương trình:CAD: z  0

Chiều cao của tứ diện ABCD hạ từ B:    

EF a và song song với AD Tất cả các cạnh còn lại của khối đa diện ABCDEF bằng a

Tính thể tích V của khối đa diện ABCDEF

A

326

a

3

5 26

a

323

a

3212

Trang 23

Câu 25: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và S ABC

là tứ diện đều cạnh a Thể tích V của khối chóp S ABCD là

mặt phẳng SCD và mặt đáy bằng 450 Thể tích khối chóp đã cho bằng

a

334

Trang 24

Gọi H là trung điểm của AB SH ABCD

Tam giác ABC đều nên CH  AB, mà CD/ /ABCH CD  1

Câu 27: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại , A BC 2 2 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCC B  bằng 30 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Trang 25

Gọi H là trung điểm BC Dễ thấy AH BC, AHBB'AH BCC B' '

Tam giác ABB' vuông tại BBB'2 AB'2AB2   8 4 4 BB'2

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là 1 2

2

ABC

V BB  AB 

Câu 28: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V, hai điểm M P, lần lượt là trung

điểm của AB , CD ; N là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD3AN Tính thể tích tứ diện BMNP

B'

P

M A

N

D B

C

Trang 26

Câu 29: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

ACa, SAABC và SB hợp với đáy một góc 60 Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

368

a

3648

a

3324

a

3624

SB hợp với đáy một góc 60 nên góc  SBA 60

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có, tan SA

SBA AB

Câu 30: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C , đáy là tam giác ABC đều ' ' '

cạnh a Gọi M là trung điểm AC Biết tam giác A MB cân tại A và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng ABC Góc giữa A B với mặt phẳng ABC là 30 Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A

3

316

a

3348

a

Lời giải

Trang 27

Gọi H là trung điểm BM , tam giác A BM cân tại A nên A H' BM

ABC

a S

A B có hình chiếu vuông góc trên ABC là HB

Góc tạo bởi A B với mặt phẳng ABC là góc A BH

Xét tam giác A BH vuông tại H, ta có:

Câu 31: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a 3, đường cao bằng

2a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ trên là

A 2 a  2 B

3

23

Trang 28

Gọi lăng trụ là ABC A B C    , hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ như hình vẽ G là tâm tam giác đều ABC

Câu 32: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABC D có đáy là hình thoi tâm O, BD 2AC 4a

Biết SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Thể tích của khối chóp S ABC D là

A

3153

Gọi H là trung điểm cạnh AD suy ra SH  AD

Do SAD  ABCD theo giao tuyến AD nên SHABCD

Câu 33: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết

Trang 29

khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng 3

a

3

324

a

3

312

a

3

33

Gọi H là hình chiếu của M lên AA

Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng MH  a43

3,2

Câu 34: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của đỉnh A lên đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh BC, cạnh bên AA

tạo với đáy ABC góc 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A

3

3 38

a

33 2

a

3

3 316

a

3

34

B

C A

C'

B' A'

Trang 31

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 – THỂ TÍCH VÒNG 2 Câu 36: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , ABa

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA3a Gọi M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SD sao cho SN 2ND Tính thể tích khối tứ diện ACMN

Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ ( Ax là trục hoành, Ay là trục tung, Az là trục cao)

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta xem a là một đơn vị đo độ dài

Câu 37: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp đều S ABC có cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng SA

và mặt phẳng ABC bằng 60 Gọi A B C, ,  tương ứng là các điểm đối xứng của A B C, ,

qua S Thể tích V của khối bát diện có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB,   ,  ,  , , AB C BA C ,  , CA B  là

A V 2 3a3 B

3

2 33

a

3

4 33

a

332

x

y

O

N M

C

B S

Trang 32

Ta có: V 2V A B C BC   2.4V A SBC. 8V A SBC. 8V S ABC.

Gọi G là trọng tâm ABC Ta có SA,ABC SA AG, SAG 60

2 38

Câu 38: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hình chóp S ABC có SASBSC, tam giác ABC là tam giác

đều cạnh 2a, khoảng cách giữa SA và BC bằng 3

Trang 33

Câu 39: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho khối tứ diện ABCD có AB AC AD, , đôi một vuông góc với nhau

và ABa AC, 2 ,a AD3a Các điểm M N P, , theo thứ tự thuộc các cạnh AB AC AD, , sao cho 2AM MB AN, 2NC AP,  PD Tính thể tích khối tứ diện AMNP?

a

3

23

a

3

34

a

3

8 23

a

3

2 23

C

D

O B

A S

Trang 34

3 2

a

334

//

HK CC với K  BC  ED

Theo định lý ta – lét, ta được:

23

ED  EA

23

ED EA

H K E

C' C

B'

D' A

A'

D B

Trang 35

S   S Theo giả thiết V  S h

Gọi H  BC   ED , theo định lý 3 giao tuyến suy ra ED D   BB C C  HK trong đó

//

HK CC với K  BC  ED Theo định lý ta – lét, ta được:

23

ED  EA

23

Câu 43: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có diện tích mặt bên ABB A1 1 bằng 4, khoảng

cách giữa cạnh CC1 và mặt phẳng ABB A1 1 bằng 6 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1

Trang 36

Câu 44: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a

,SA2a và SA(ABC).Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tính thể tích hình chóp S AHK

A

38

45

a

3815

a

345

a

3415

Câu 45: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3

a

333

a

336

a

3324

Trang 37

Câu 46: [Lớp Toán Thầy Huy] Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh bằng 1 Gọi M là trung

điểm cạnh BB Mặt phẳng MA D  cắt cạnh BC tại K Thể tích của khối đa diện

A B C D MKCD    bằng:

A 7

7

1

17.24

a

343

a

3

4 33

a

K M

B' A'

B

C' D'

A

Trang 38

AB D C ABCD A B C D A ABC

a

V    V     V  

Câu 48: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho tứ diện ABCD có  BACDAB60 , CAD 90 , AB 1, AD 2

, AC  Thể tích khối tứ diện ABCD bằng3

Câu 49: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có đáy bằng a và ABBC

Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

3

78

Trang 39

Gọi E là điểm đối xứng với A qua B Ta có tứ giác ABEB là hình bình hành nên AB // BE

a

3

312

a

3

727

a

3

2127

Trang 40

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, S ABC là hình chóp đều suy ra SHABC, tam giác

Câu 51: [Lớp Toán Thầy Huy]Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên

2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

Lời giải

Gọi h , a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều

Thể tích của khối chóp tứ giác đều là 1 2

3

V  a h Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là

Câu 52: [Lớp Toán Thầy Huy]Cho hình tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi I là trung

điểm của C D Trên tia AI lấy điểm S sao cho AI2IS

Thể tích của khối đa diện ABCDS

Định dạng
Số trang	158
Dung lượng	4,33 MB