Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc_11

Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α, có thể chứng minh : • dvuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong α.. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường t

Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1 Để có hai đường thẳng d và d′vuông góc, có thể chứng minh :

• →−u −→v = 0, ở đó −→u và −→v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′

• Góc giữa chúng bằng 90◦

• d song song với đường thẳng ∆, còn d′vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó)

• d ⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.

• Khi d và d′cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảocủa định lí Pytago,

2 Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• dvuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α)

• d ∥ d′mà d′⊥(α)

• d⊥(β) mà (β) ∥ (α)

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B, C).

• dlà giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α)

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

(α)thì d⊥(α).

3 Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :

• Góc giữa chúng bằng 90◦

• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia

4 Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

A

Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h a,h b,h c và m a,m b,m clần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất

phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = a + b + c

4 Công thức diện tích tam giác:

(a) Tam giác thường

(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S = 1

2AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a2

10 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1

2 tích hai đường chéo

11.1 Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ

Vấn đề 1 :Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

BA′, −→c =−−→CB′ Gọi M là trung điểm AA′và G là trong tâm tam giác

ABC Hãy biểu diễn các vectơ −−→AA′,−−−→B′G,−−−→MNtheo ba vectơ −→a ,→−b , −→c

Vấn đề 2 :Chứng minh các đẳng thức vectơ



1 Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại

2 Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho

Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh rằng −−→ AB +−−→AD +−−→AE =−−→AG

Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Chứng minh rằng −−→ S A +−−→S C =−−→S B +−−→S D

Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Chứng minh rằng −−→ S A2+−−→S C2 =−−→S B2+−−→S D2

Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho CA

Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a Gọi O và O′theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′

1 Hãy biểu diễn các vectơ −−→AO,−−−→AO′theo các vectơ −−→AA′,−−→AB,−−→AD

• Chứng minh vectơ hai −−→ABvà −−→ACcùng phương, tức là −−→AB = k−−→AC

• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh −→ IC = m−−→OA + n−−→OB với m + n = 1.

2 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −−→ ABvà −−→CDcùng phương

3 Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc

−−→

AB = x−→u + y−→v trong đó các vectơ −→u và −→v có giá song song hoặc nằm trên (P).

Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′Dsao cho −−−→MA′ = k−−→MC,

−−−→

NC′= l−−→ND (k và l đều khác 1) Đặt −−→ BA = −→a, −−→BB′=→−b, −−→BC = −→c

1 Hãy biểu thị các vectơ −−→BM và BN qua các vectơ −→a ,→−b , −→c

2 Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′

Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→ MA = m−−→AB Tìm điểm N trên đường thẳng

B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m , 0).

Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→ MA =−2−−→MB,−−→

ND =−2−−→NC Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→ IA = k−→ID,−−→J M = k−−→JN,−−→K B = k−−→KC Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A1,B1,C1 Với điểm O bất kì

trong không gian, đặt −→OI =−−−→AA1,−−→

OJ =−−−→BB

1,−−→

OK =−−−→CC

1 Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD Gọi B0,C0,D0lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G0là trọng tâm tam

giác BCD và B0C0D0 Chứng minh rằng ba điểm A, G0,Gthẳng hàng

Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 M là điểm trên cạnh AD sao cho −−→ AM = 1

3

−−→

AD N là điểm trên đường thẳng BD1,Plà

điểm trên đường thẳng CC1sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Tính

−−−→MN

−−→NP

Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′,BC, C′D′ lân lượt tại M, N, P sao cho

−−−→N M = 2−−→NP Tính MA

MA′

Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1

1 Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1và đỉnh C1thuộc một đường thẳng

Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1,AB1của các mặt

bên sao cho EF ∥ BC1 Tìm tỉ số EF

BC1

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1 Trên đường chéo AB1,BC1của các mặt

bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM Tìm tỉ số EF

2 Khi đường thẳng MN ∥ A′C , chứng minh rằng MN vuông góc với AD′và DB.

Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G, G′lần lượt là trọng tâm của các tứ diện

A′D′MN và BCC′D′ Chứng minh rằng đường thẳng GG′và mặt phẳng (ABB′A′)song song với nhau

Vấn đề 4 :Chứng minh các vectơ đồng phẳng



Muốn chứng minh các vectơ −→a ,→−b , −→c đồng phẳng chúng ta có thể :

1 Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,→−b , −→c có giá cùng song song với một mặt phẳng

2 Ba vectơ −→a ,→−b , −→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n→−b, trong đó −→a ,→−b là hai vectơ khôngcùng phương

Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :

1 −−→AB,−−−→A′C′,−−−→B′D′; 2 −−→AB,−−→BB′,−−−→B′C′; 3 −−→AB,−−−→B′D, C−−−→′D′.

Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→ AM = 3−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→ N B =−3−−→NC.Chứng minh rằng ba vectơ −−→AB,−−→DC,−−−→MNđồng phẳng

Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường

chéo của hình bình hành BCGF Chứng minh rằng ba vectơ −−→ BD,−→IK, GF−−→đồng phẳng

Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các

điểm M, N sao cho

AM

AC = BN

BD = k (k > 0).

Chứng minh rằng ba vectơ −−→PQ,−−→PM,−−→PNđồng phẳng

Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′có chung đỉnh A Chứng minh rằng các vectơ −−→ BB′, −−−→CC′, −−−→DD′đồng phẳng

Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt Chứng minh rằng

các vectơ −−→AA′,−−→

BB′,−−−→

CC′,−−−→

DD′đồng phẳng

Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1sao cho AM = BN Chứng

minh rằng ba vectơ −−−→MN,−−→AB,−−−→B

Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng các phân giác trong của các gócdyOz, zOxdvà phân giác ngoài củaxOydthuộcmột mặt phẳng

Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1song song với DA1và AB1 Mặt phẳng này cắt đường

thẳng BC1tại M, và giả sử −−→ BM = k−−−→BC1 Hãy tính k ?

Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao

cho AR

AC = BS

BD Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′và A′C′ Điểm K thuộc B′C′sao cho −−−→KC′=−2−−−→K B′

Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho −−→ MA = k1−−→MC ; N là điểm thuộc BD sao cho −−→ N B = k2−−→ND Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1= k2

Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho −−→ AM = 1

DP = k−−→DC Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

11.2 Hai đường thẳng vuông góc

Vấn đề 1 :Tính góc giữa hai vectơ



1 Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu −−→OA = −→a ,−−→OB =→−b thì (−→a ,→−b ) = (−−→OA,−−→OB) = AOBÔ Đặc biệt

• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức

(−−→OA,−−→OB) = (−−→AO,−−→BO) = AOB.Ô

• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức

(−−→AO,−−→OB) = (−−→OA,−−→BO) = 180◦

Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a√2 Tính góc giữa hai vectơ −−→ABvà −−→S C

Vấn đề 2 :Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

1 AM và BC ; 2 AM và OP, với P là trung điểm BC.

Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.

1 Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.

2 Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J.

Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và

DM

Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết

AB = CD = 2a và MN = a√

3

Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B) Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M

và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.

Vấn đề 3 :Chứng minh hai đường thẳng vuông góc



Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90◦hoặc chứng minh −−→AB CD = 0.−−→

Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′ Chứng minh rằng MN⊥A′C

Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.

1 Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2 Tính cosin góc giữa hai vectơ −−→AB, CD−−→

Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1A, A1B, B1C, C1D của các mặt của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1lấy các điểm M, N, P, Q sao

Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng OA⊥CD.

Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a Trên các cạnh DC và BB′ta lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút sao cho DM = BN Chứng minh rằng AC′⊥MN.

Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ Chứng minh rằng

AB ⊥CD.

Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng AC⊥B′D′ Chứng minh rằng nếu

Ô

ABC =ÕB′BA =ÕB′BC = 60◦thì A′B′CDlà hình vuông

Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho −−→ MB = k−−→MCvà −−→NA = k−−→ND , với k là

số thực khác 0 cho trước Đặt α = (−−−→MN,−−→BA), β = (−−−→MN, CD)−−→ Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45◦

Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

1 Chứng minh rằng AD⊥BC.

2 Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho −−→ MA = k−−→MB,−−→ND = k−−→N B Tính góc giữa hai đường thẳng

MN và BC.

Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = 4

3AB Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD Biết JK = 5

6AB, tính góc giữa các

đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và

CD Chứng minh rằng trong ba số hạng a2cos α, b2cos β, c2cos γcó một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại

11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Vấn đề 1 :Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)



1 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).

2 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

3 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).

Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm BC.

1 Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H Chứng minh rằng AH⊥(S BC).

2 Gọi G1,G2lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC Chứng minh rằng G1G2⊥(ABC).

Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và S A = SC.

1 Chứng minh rằng AC⊥(S BD).

2 Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I Chứng minh rằng I cách đều A và C.

Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a, Ô

2 Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng minh rằng AH⊥(BCD).

Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a√3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD vuông tại D và có S D = a√5

1 Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.

2 Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C Hãy xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ) Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(SCD).

3 Tính diện tích tứ giác AKHL.

Bài 11.66 : Cho tam giác ABC Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường

thẳng CB tại B Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 11.67 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC Chứng minh rằng

S O ⊥(ABC) Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.68 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC = 120Ô ◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.

1 Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2 Tính góc giữa S B và (ABC).

Bài 11.69 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ( A = 90b ◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời

S A = S C = S D Gọi M là trung điểm AD Chứng minh rằng S M ⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).

Vấn đề 2 :Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau



1 Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia

2 Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′của a trên (P).

3 Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia

Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm A trên các cạnh S B, S C, S D.

1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).

2 Chứng minh rằng S C⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).

3 Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.

Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D.

1 Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).

2 Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.

Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ OH vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tại H Chứng minh rằng:

1 OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB.

2 H là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh các

mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông

Bài 11.75 : Cho chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).

1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB).

2 Gọi AH là đường cao của tam giác S AB Chứng minh rằng AH⊥SC.

Bài 11.76 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.

1 Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB).

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng S H⊥AC.

3 Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A Tính AM theo a.

Bài 11.77 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và S C = a√2 Gọi H, K là trung điểm AB, AD.

1 Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2 Chứng minh rằng AC⊥S K, CK⊥S D.

Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A′H ⊥(ABC) Chứng minh rằng

1 AA′⊥BC và AA′⊥B′C′

2 Gọi MM′là giao tuyến của mặt phẳng (AHA′)với mặt bên BCC′B′, trong đó M ∈ BC và M′∈ B′C′ Chứng minh rằng tứ giác

BCC′B′là hình chữ nhật và MM′là đường cao của hình chữ nhật đó

Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC) Gọi D là

điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(SCA).

Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)

trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.

1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).

2 Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.

Bài 11.81 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là

trung điểm của AB và CD.

Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H2 = HA.HC Chứng minh rằng S C⊥(S AB).

Bài 11.83 : Cho hình chóp S.ABC có BS C = 120Ô ◦;CS A = 60Ô ◦;AS B = 90Ô ◦và S A = S B = S C Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.

Vấn đề 3 :Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)



1 Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a′của a trên mặt phẳng (P).

2 Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0◦

3 Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90◦

4 Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông góc H của B lên (P) Khi đó góc giữa a và (P) bằng BAHÔ

Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a Tính góc giữa

nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy

Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a√6 Tính gócgiữa

1 S C và (ABCD); 2 S C và (S AB); 3 S B và (S AC); 4 AC và (S BC).

Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a√2

1 Tính góc giữa đường thẳng BC′và (ABB′A′)

2 Gọi M là trung điểm CC′ Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A′B′C′).

Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có A = 120b ◦, BC = a√3 Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

1 Chứng minh rằng AO⊥(DBC).

2 Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi BDC = 90Ô ◦

Bài 11.88 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm

các cạnh S A và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦

1 Tính độ dài MN và S O; 2 Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).

Bài 11.89 : Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = α Biết S A, S B, S C đều hợp với mặt phẳng (ABC)Ô

2 Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA′C′)

3 Gọi N là trung điểm của cạnh BB′ Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA′C′)

Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′có đáy ABC vuông cân tại A, AA′vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đoạn nối trung điểm M của

AB và trung điểm N của B′C′có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC′B′)góc β

1 Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2 Chứng minh rằng cos α = √2 sin β

Bài 11.92 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc

30◦, cắt S A, S D lần lượt tại M và N Tính diện tích tứ giác BCNM.

Bài 11.93 : Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc α Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đáy ABC Chứng minh rằng S O⊥(ABC) Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.94 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a√3 Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo

với đáy một góc 60◦ Tính góc tạo bởi

1 S A và (S BC); 2 S A và BC.

Bài 11.95 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a√2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo

với đáy một góc 45◦ Gọi M là trung điểm AD.

1 Chứng minh rằng BM⊥S A; 2 Tính góc giữa BM và S C.

Vấn đề 4 :Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước



Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.

1 Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M Mặt phẳng xác định bởi hai

đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α)

2 Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc chứa b).

Bài 11.96 : Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.

Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a).

1 Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α) Thiết diện là hình gì?

2 Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông

góc với S C Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.

Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a Tìm thiết diện của tứ diện S ABC

với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

1 (α) qua S và vuông góc với BC.

2 (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.

3 (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC.

Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.

M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).

Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β)

Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng

vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi

1 mặt phẳng qua M và vuông góc với AB 2 mặt phẳng qua M và vuông góc với S C.

Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = BC = a, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho

AM = x (với 0 < x < a) Xác định và tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A Tìm vị trí của

Mđể diện tích thiết diện là lớn nhất

Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CC′ Hãy xác định

và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.

Bài 11.103 : Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 60Ô 0 Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC) Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA′= a√

2 Gọi M là trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A′B Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α)

Bài 11.105 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E, K, H Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a√2

Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a Vẽ đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc với AC Đặt CM = x

√

3

2

1 Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q) Tính diện tích của thiết diện.

2 Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.

Bài 11.107 : Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, Ô

ABC = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện

và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

11.4 Hai mặt phẳng vuông góc

Vấn đề 1 :Xác định góc giữa hai mặt phẳng



Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :

1 Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó Nghĩa là,

lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

2 Giả sử c = (P) ∩ (Q) Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b Lúc đó, góc ϕ giữa

(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c tại H Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc AHBÔ (nếuAHBÔ ≤ 90◦) và là góc 180◦−AHBÔ (nếu

S với S′là diện tích hình H′và S là diện tích hình H

Bài 11.108 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a√3 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau

1 (S BC) và (ABCD); 2 (S CD) và (ABCD); 3 (S BC) và (S CD).

Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có Ô

ABC = 90◦, AB = 2a, BC = a√3, S A = 2a và S A⊥(ABC).

1 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

2 Mọi M là trung điểm của AB Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.

3 Tính tan ϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).

Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Tính góc giữa hai mặt phẳng

1 (ABCD) và (A′B′C′D′); 2 (ABCD) và (CDD′C′); 3 (ACC′A′)và (ABB′A′); 4 (A′BD) và (ABCD).

Bài 11.111 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.

1 Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60◦

2 Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).

Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5và Ô

BAC = 120◦ Gọi M là trung điểm cạnh CC1

Chứng minh rằng MB⊥MA1và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

Bài 11.113 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và

S A = a√

3 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1 (S AD) và (S BC); 2 (S CD) và (S BC).

Bài 11.114 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a Gọi E và F lần lượt

là trung điểm các cạnh AB và AC Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1 (S AC) và (S BC); 2 (S EF) và (S BC).

Bài 11.115 : Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng sao cho xOy = 90d ◦,yOz =d zOx = 60d ◦ Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và

(zOx)

Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao

cho OS = R Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N Tính góc giữa hai mặt phẳng

(S , a) và (S, b) trong mỗi trường hợp sau :

1 MN là đường kính của đường tròn; 2 MON = 90Õ ◦

Bài 11.117 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông lần lượt

tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết ABC = ϕ.Ô

1 Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);

2 Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.

Bài 11.118 : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BAC = α, S AÔ ⊥(ABC) và S A = a Gọi ϕ là góc giữa hai mặt bên (S AC) và (S BC).

1 Chứng minh rằng tan α tan β =

√

1 + cos2α

cos α ; 2 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦

Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng cos2

α + cos2β + cos2γ = 1

Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60Ô ◦ Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA′và CC′

1 Chứng minh bốn điểm B′,M, D, N đồng phẳng Tứ giác B′MDNlà hình gì ?

2 Tính độ dài AA′theo a để tứ giác B′MDNlà hình vuông

3 Khi tứ giác B′MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′MDN) và (ABCD).

Vấn đề 2 :Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc



1 Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦

2 Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).

Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I Trên đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D = a

√

6

2 Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).

Bài 11.122 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).

1 Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).

2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).

3 Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác S BD Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).

Bài 11.123 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB = a

3 Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.124 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hai điểm

nằm trên BC, DC sao cho BM = a

2; DN = 3a

4 Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN).

Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB)

và (S AC) vuông góc với nhau.

Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng

nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN = a2

2 ĐặtBOM = α,Õ DON = β.Õ

1 Chứng minh rằng tan α tan β = 1 Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN Tính độ dài đoạn OH Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).

Vấn đề 3 :Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)



1 Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.

2 Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).

Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ

AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).

Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC) Vẽ các đường cao BE, DF của tam

giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.

1 Chứng minh rằng AB⊥(BCD).

2 Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).

3 Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD Chứng minh rằng OH⊥(ADC).

Bài 11.129 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a√2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AB.

1 Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD).

Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).

1 Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).

2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).

3 Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).

Bài 11.131 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có S AB = 30Ô ◦ Tính

góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.132 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, Ô

ABC = 60◦, M là trung điểm AB Các mặt phẳng (S AB) và (S CM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết góc giữa S C và (ABC) là 60◦, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′có đáy là tam giác vuông cân tại B Hai mặt phẳng (ABB′A′)và (ACB′)cùng vuông góc với

(ABC)

1 Chứng minh rằng BCC′B′là hình chữ nhật

2 Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′)và (A′B′C′)bằng 30◦ Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC′A′).

Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD Mặt phẳng (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB Điểm M di động sao choÕ

AMB =

Õ

AMD = 90◦

1 Chứng minh rằng M thuộc mặt phẳng trung trục của BD;

2 Giả sử MD cắt (P) tại M′ Chứng minh rằng AM′⊥BM′

Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Trên hai cạnh AC, BF lần

lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a√2)

1 Chứng minh rằng AF⊥(ABCD).

2 Gọi M1là hình chiếu vuông góc của M trên AB Chứng minh rằng MM1⊥M1N và MN ∥ (CDEF).

3 Tính MN theo a và x Tìm x để MN nhỏ nhất.

4 Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE.

Vấn đề 4 :Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P))



Từ một điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P) Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng.

Bài 11.136 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc Ô

BAD = 60◦ Đường thẳng S O⊥(ABCD) và S O = 3a4

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

1 Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).

2 Gọi O′,A′lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC) Tính độ dài các đoạn thẳng OO′,AA′

3 Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC) Xác định thiết diện cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện đó Tính góc giữa (P) và (ABCD).

Bài 11.137 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và

vuông góc với mặt (S CD).

1 Dựng mặt phẳng (α) Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2 Tính diện tích thiết diện đó

Bài 11.138 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:

1 (α) qua tâm O của đáy, trung điểm M của S D và vuông góc với (ABCD).

2 (α) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc với (S BC).

Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A′C′ Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC′B′) Tính diện tíchthiết diện và tính góc tạo bởi mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy

Bài 11.140 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh

S A ⊥(ABCD) và S A = a.

1 Chứng minh rằng (S AD)⊥(SCD) và (S AC)⊥(SCB).

2 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tan ϕ.

3 Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC) Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (α)

Bài 11.141 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E, K, H Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a√2

Bài 11.142 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD.

11.5 Khoảng cách

Vấn đề 1 :Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước



1 Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) tại H Ta có d(M, ∆) = MH.

2 Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥∆, cắt ∆ tại H Ta có d(M, ∆) = MH.

Bài 11.143 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi I là trung điểm cạnh

S C và M là trung điểm đoạn AB.

1 Chứng minh rằng OI⊥(ABCD) 2 Tính d(I, CM).

Bài 11.144 : Cho hình chóp S.ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a Tính khoảng cách từ S đến

C M , với M thuộc đoạn AB và AM = a

3

Bài 11.145 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a, ABC = 60Ô ◦và S A⊥(ABCD).

1 Chứng minh : BD⊥SC, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến SC.

2 Tính d(O; S B) và d(D; S C).

Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy

điểm O sao cho AO = 4cm Tính d(O, BC).

Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a) Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía Lấy

M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a, CN = a√5 Chứng minh rằng AB⊥(BCy) Tính khoảng cách từ M đến BN.

Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy Khoảng cách từ A đến Ox, Oy đều bằng a và AO = a

Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).

Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần

dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).

Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :

O A

Như vậy ta có hệ quả của bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách đều (P) (hoặc ∆) khi và chỉ khi AB ∥ (P) hoặc trung điểm

M của AB thuộc (P) (tương ứng ∆).

Bài 11.151 : Cho hình chóp S.ABC có S A⊥(ABC), tam giác ABC đều cạnh a và S A = a√2 Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c Xác định và tính khoảng

Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a√73 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống

(BCD) Chứng minh rằng H nằm trên trung tuyến BI của tam giác BCD Tính d(A, (BCD)).

Bài 11.155 : Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B (AB = 2a, BC = a); S A⊥(ABC) Tính d(B, (S AC)).

Bài 11.156 : Cho hình chóp S.ABC có S A = h, S A⊥(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B sao cho MS MB = 1

2, I là trung điểm của CM Tính d(I, (ABC)).

Bài 11.157 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a Xác định và tính

1 d(M, (ABCD)); 2 d(A, (S BC)); 3 d(O, (S BC)); 4 d(G, (S AC)).

Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho dưới

đây

1 Điểm A và mặt phẳng (BDB′D′); 2 Điểm A và mặt phẳng (A′BD)

Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a Tính d(B, (ACD)).

Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′đến mặt phẳng (AB′D′)

Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S.ABC cạnh a Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)) Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a.

1 Tính d(H, (S CD)) Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD).

2 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.165 : Cho góc vuôngxOydvà một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai cạnh Ox, Oy đều bằng 17cm Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.

Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a√2và tạo với (α) một góc 60◦

1 Tính khoảng cách CH từ C tới (α) 2 Chứng minh rằng cạnh BC tạo với (α) một góc bằng 45◦

Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a Tính :

1 d(O; (S AB)) ; 2 d(A; (S CD)).

Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC)

góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).

1 Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ; 2 Tìm số đo α khi biết d = 2a√

3, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).

Bài 11.169 : Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦ Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :

1 Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.

2 Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.

Bài 11.170 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm SC Tính

1 Tình d(S, (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));

2 Tính cosin góc giữa S B và AC;

3 Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).

Vấn đề 3 :Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau



Ta xét các trường hợp sau đây:

Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Hãy xét đồng phẳng vectơ :

• Góc hai vectơ có gốc vectơ vectơ tính cơng thức

(−−→AO,−−→OB) = (−−→OA,−−→BO)... trước



1 Trong mặt phẳng xác định điểm M đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) H Ta có d(M, ∆) = MH.

2 Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M (α)⊥∆, cắt